01MAA4:Kapitola17: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Opravení chybného znění jedné věty a převedení důkazu do srozumitelné podoby.)
m
Řádka 26: Řádka 26:
 
M=\{x\in\df\Phi~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
 
M=\{x\in\df\Phi~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
 
\]
 
\]
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$ (nebo prázdná množina).
+
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$ třídy $\c{q}$ (nebo prázdná množina).
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Pokud je $M$ neprázná, zvolme libovolné $x\in M$. Platí $\h(\Phi'(x))=m$, a protože je $\Phi$ třídy alespoň $\c{1}$, má derivace plnou hodnost i na nějakém okolí $x$ (příslušný subdeterminant řádu $m$ totiž bude nenulový). Na tomto okolí tedy platí ekvivalence$(y\in M) \leftrightarrow \Phi(x)=0.
+
Pokud je $M$ neprázdná, zvolme libovolné $x\in M$. Platí $\h(\Phi'(x))=m$, a protože je $\Phi$ třídy alespoň $\c{1}$, má derivace plnou hodnost i na nějakém okolí $x$ (příslušný subdeterminant řádu $m$ totiž bude nenulový). Na tomto okolí tedy platí ekvivalence $(x\in M) \Leftrightarrow \Phi(x)=0.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
Varietu je tedy možno zadat jako soustavu vazeb, je však nutno prověřit jejich lineární nezávislost.
 
Varietu je tedy možno zadat jako soustavu vazeb, je však nutno prověřit jejich lineární nezávislost.
\item $M=\{x\in\R^n~|~\abs{x}=1\}=
+
\item Příkladem variety je povrch jednotkové koule. Definujeme-li zobrazení $\Phi$ vztahem $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, má jeho derivace $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$ hodnost jedna pro každé $x\not=0$. Můžeme tedy psát
 +
\[
 +
M=\{x\in\R^n~|~\abs{x}=1\}=
 
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=
 
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\covec 0\}$,
+
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\covec 0\}.
např. $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$.
+
\]
$\h(\Phi'(x))=1$, právě když $x\not=0$.
+
 
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.
 
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Řádka 45: Řádka 46:
 
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\\
 
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\\
 
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}
 
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}
 +
\qedhere
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
Řádka 54: Řádka 56:
 
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in V^n$ nazveme {\bf
 
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in V^n$ nazveme {\bf
 
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení
 
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení
$\psi:\R\mapsto M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.
+
$\psi:\R\to M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 70: Řádka 72:
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf
 
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$ neboli:
+
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$, tj.
 
$T_{x_0}M=\ker \Phi'(x_0)$.
 
$T_{x_0}M=\ker \Phi'(x_0)$.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\item $(\Rightarrow)$
 
\item $(\Rightarrow)$
$\vec h\in T_{x_0}M\implies (\exists\psi:\R\mapsto
+
$\vec h\in T_{x_0}M\implies (\exists\psi:\R\to
 
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,
 
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,
 
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno
 
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno

Verze z 7. 9. 2015, 22:13

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Variety}
 
\begin{define}\label{DVarieta}
Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu
$M\subset\R^n$ nazveme {\bf diferenciální varietou} třídy $\c{q}$ dimenze $r$, platí-li:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\
\Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$,
\item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}~|~\Phi(x)=0\}$,
\item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Přívlastek \textit{diferenciální} budeme vynechávat, neboť bude z kontextu vždy jasné, že se nejedná o varietu algebraickou. Taktéž budeme $r$-rozměrnou varietou (popř. $r$-varietou) rozumět varietu dimenze $r$ a zapisujeme $\dim M=r$ podobně jako u lineárních prostorů.
\item Zobrazením $\Phi$ říkáme {\bf vazby}. Jsou-li třídy $\c{q}$, o příslušné varietě říkáme, že je též třídy $\c{q}$.
\item Variety nazýváme dle dimenze $r$: $r=0$ bod, $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha. Pro korektnost je třeba dodat, že varietu dimenze 0 jsme dodefinovali.
\item $r$-varieta je {\bf lokálně difeomorfní} s~množinami, které jsou
izometrické s~prvky topologie (otevřenými podmnožinami) v $\R^m$.
\item Variety nemají kraj. Pouze kompaktní variety (tj. uzavřené a \textit{omezené}) jsou uzavřené v~geometrickém (intuitivním) smyslu.
\item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta. Povrch koule varietou je a nazývá se sféra, značíme $S^2$. Podobně je varietou povrch toru, značíme $T^2$, ne však torus samotný (včetně vnitřku). 
\item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\to\R^m$. Definujme
\[
M=\{x\in\df\Phi~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
\]
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$ třídy $\c{q}$ (nebo prázdná množina).
\begin{proof}
Pokud je $M$ neprázdná, zvolme libovolné $x\in M$. Platí $\h(\Phi'(x))=m$, a protože je $\Phi$ třídy alespoň $\c{1}$, má derivace plnou hodnost i na nějakém okolí $x$ (příslušný subdeterminant řádu $m$ totiž bude nenulový). Na tomto okolí tedy platí ekvivalence $(x\in M) \Leftrightarrow \Phi(x)=0.
\end{proof}
Varietu je tedy možno zadat jako soustavu vazeb, je však nutno prověřit jejich lineární nezávislost.
\item Příkladem variety je povrch jednotkové koule. Definujeme-li zobrazení $\Phi$ vztahem $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, má jeho derivace $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$ hodnost jedna pro každé $x\not=0$. Můžeme tedy psát
\[
M=\{x\in\R^n~|~\abs{x}=1\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\covec 0\}.
\] 
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.
\begin{proof}
Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje
$L:V^n\mapsto V^m$ takové, že $Z(W)=\ker L$, $\h(L)=m$.
\[
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n~|~L(x-x_0)=\vec 0\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\\
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}
\qedhere
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in V^n$ nazveme {\bf
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení
$\psi:\R\to M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$.
\[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}=
\lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\]
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Tečným prostorem k~varietě} $M$ {\bf v~bodě} $x_0$ budeme rozumět
množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_{x_0}M$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$, tj. 
$T_{x_0}M=\ker \Phi'(x_0)$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$
$\vec h\in T_{x_0}M\implies (\exists\psi:\R\to
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno
$\Phi$. Definujme  $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že
$(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$.
\[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\]
tedy $\vec h$ je z~jádra.
\item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$.
Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem 
\[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\]
kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$:
\[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\]
\[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec
h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff
f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'})
\]
Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$;
$f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$;
\[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\]
\[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0
\iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\]
Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je
tečný vektor.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta.
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu
$x_0+T_{x_0}M$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Bod $x$ je z~tečny, právě když
\[x-x_0\in T_{x_0}M\iff\COVEC{\Phi'(x_0)}\overrightarrow{(x-x_0)}=0.\]
\item Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď
\[M=\left\{x\in\R^n\left|~
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0
\right.\right\}.\]
Matici $\mathbb A=(a_{ij})$ lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část 
\[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji}), 
\]
proto lze bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$.
Je-li navíc reálná matice $\mathbb B$ 
antisymetrická, platí 
\[
  x^T\mathbb Bx = \la x,\mathbb Bx\ra= -\la\mathbb Bx,x\ra =\implies x^T\mathbb Bx = 0
\] 
 
 
Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant
\[
\Delta=\left|
\begin{matrix}
a_{ij} & b_i \\
b_j & c
\end{matrix}
\right|.
\]
Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované
kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \covec 0 \},
\end{split}
\]
takže pokud $\Phi'(x)\neq \covec 0$ tak $M$ je nadplocha.
\end{proof}
Derivací podle $x_k$ se získá
 
\[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\]
Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to v pořádku,
pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že
$\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě.
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\]
\[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0 \quad (\forall k\in\hat n)\]
Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde
\[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\]
Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vznikl by spor, neboť (derivace v~$x_0\in M$: $\COVEC{\Phi'(x_0)}\overrightarrow{(x-x_0)}=0$)
\[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\]
pak s~využitím $x_0\in M$ platí
\[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\]  					%pokud to chápete, doplňte to
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Normálovým prostorem} $N_{x_0}M$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru, tj. $N_{x_0}M=(T_{x_0}M)^\perp$
\end{define}
 
\begin{define}
{\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_{x_0}M$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\vec n\in N_{x_0}M$, právě když $(\forall\vec h\in
T_{x_0}M)(\left\langle \vec n,\vec h\right\rangle =0)$.
\item $\vec h\in T_{x_0}M\iff \Phi'(x_0)\vec
h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h=
{\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$.
\item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_{x_0}M)$. Gradienty
tvoří bázi normálového prostoru.
\item Buď $f'(x_0)\not=\covec 0$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$.
Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí
\[M=\{x\in\H~|~f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H~|~f(x)=f(x_0)\wedge
f'(x_0)\not=0\}.\]
$\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$.
\end{enumerate}
\end{remark}