01MAA4:Kapitola16: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Upraveno tvrzení věty 15.3 (v souladu se skripty). Původní bylo nejasné.) |
(doplnění indexu V.) |
||
Řádka 81: | Řádka 81: | ||
Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^{r + m}$, $r$-tice $\lambda$, okolí | Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^{r + m}$, $r$-tice $\lambda$, okolí | ||
$\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ a zobrazení $\phi:\V_{x_0^\lambda}\to\R^m$ třídy $\c q$ tak, že platí | $\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ a zobrazení $\phi:\V_{x_0^\lambda}\to\R^m$ třídy $\c q$ tak, že platí | ||
− | $\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}=\{x\in\H_{x_0}|x^\lambda\in\ | + | $\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}=\{x\in\H_{x_0}|x^\lambda\in\V_{x_0^\lambda},\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}$ |
+ | |||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar | Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar |
Verze z 23. 2. 2017, 21:48
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Implicitní zobrazení} Mějme soustavu nelineárních rovnic \[ \begin{matrix} \Phi^1(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots y^m)&=&0\\ &\vdots&\\ \Phi^m(\underbrace{x^1,\dots,x^r}_x,\underbrace{y^1,\dots y^m}_y)&=&0 \end{matrix}. \] Očekávám, že za jistých podmínek z~této soustavy dostanu \[ \begin{matrix} y^1&=&\phi^1(x^1,\dots,x^r)\\ &\vdots&\\ y^m&=&\phi^m(x^1,\dots,x^r) \end{matrix}. \] \begin{define} Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$. Potom řešením rovnice $\Phi^j(x,y)=0$, $j\in\hat m$, rozumíme každé zobrazení $\phi:\R^r\to\R^m$ takové, že $\Phi(x,\phi(x))=0$ pro každé $x\in\df\phi$. \end{define} \begin{remark} Říkáme, že $\phi$ je zadáno {\bf implicitně}. \end{remark} \begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti] Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$, $\Phi\in\c{q}$, $q,r,m\in\N$ a platí: \begin{enumerate}[(I)] \item existuje $(x_0\ y_0)\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0\ y_0)=0$, \item \[\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}(x_0\ y_0)\not=0.\] \end{enumerate} Potom existuje okolí $\V_{x_0}$, že rovnicí $\Phi(x,y)=0$ je na $\V$ definováno právě jedno zobrazení $\phi:\V\subset\R^r\to\R^m$ takové, že platí: \begin{enumerate} \item $\phi(x_0)=y_0$, \item $\phi\in\c{q}$, \item $\Phi(x,\phi(x))=0$ na $\V_{x_0}$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Bude proveden v následující větě, která je obecnější. \end{proof} \begin{remark} \begin{enumerate} \item \[ \left.\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}\right|_{(x_0,y_0)}= \left| \begin{matrix} \frac{\pd\Phi^1}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd y^m}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\pd\Phi^m}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd y^m}\\ \end{matrix} \right|_{(x_0,y_0)} \] \item Stačí $\Phi\in\c{0}$, musí být třídy $\c{1}$ vůči $y^1,\dots,y^m$. Pak $\phi\in\c{0}$. \item $\Phi(x^1,\dots,x^n,y)$ stačí $\Phi\in\c{0}$ a monotonie vůči $y$. \item Buď $n\in\N$, $1\le i_1<i_2<\dots<i_r\le n$ rostoucí $r$-tice, $1\le j_1<j_2<\dots<j_m\le n$ rostoucí $m$-tice. Zaveďme $\lambda=(i_1,\dots,i_r)$, $\mu=(j_1,\dots,j_m)$, $(\lambda,\mu)$ je $(r+m)$-tice. Jestliže $\mu$ jsou zrovna takové, že $\lambda$ doplní do $\n$, pak označíme $\mu=\lambda'$. $(\lambda,\lambda')=(1,\dots,n)$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Nechť $q,r,m\in\N$. Buď $\Phi$ zobrazení třídy $\c{q}$ z~$\R^{r + m}\to\R^m$ a platí: \begin{enumerate} \item existuje $x_0\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0)=0$, \item $\h(\Phi'(x_0))=m$. \end{enumerate} Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^{r + m}$, $r$-tice $\lambda$, okolí $\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ a zobrazení $\phi:\V_{x_0^\lambda}\to\R^m$ třídy $\c q$ tak, že platí $\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}=\{x\in\H_{x_0}|x^\lambda\in\V_{x_0^\lambda},\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}$ \begin{proof} Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar \[ \left( \begin{matrix} \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{r + m}}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{r + m}}\\ \end{matrix} \right)_{x=x_0} \] Z~hodnosti plyne existence $\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$ taková, že \[ \left| \begin{matrix} \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_m}}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_m}}\\ \end{matrix} \right|_{x=x_0} \not=0 \] a ze spojitosti $\forall x\in U_{x_0}$ je $\jac(\Phi_{j_1,\dots,j_m}^{1,\dots,m})(x)\not=0$. Definujeme $f^\lambda(x)=x^\lambda$, $f^{\lambda'}(x)=\Phi(x)$. $f:\R^{r + m}\to\R^{r + m}\in\c{q}$. %$\jac f(x_0)$ má následující tvar: %\[ %\left( %\begin{matrix} %0 & \hdots & 1 & \hdots & 0 & \hdots & 0 \\ %\vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ %0 & \hdots & 0 & \hdots & 1 & \hdots & 0 %\end{matrix} %\right) %\] %a tedy \[ \jac f(x_0)=\left| \begin{matrix} \Phi_{j_1}^1 & \hdots & \Phi_{j_m}^1\\ \vdots & & \vdots\\ \Phi_{j_1}^m & \hdots & \Phi_{j_m}^m \end{matrix} \right|\not=0 \] $f$ splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, tedy existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f|_\H$ je prosté, $f(\H)$ je otevřené, $g=f^{-1}\in\c{q}$. \[\V=\{x^\lambda\in\R^r|(x^\lambda\ 0^{\lambda'})\in f(\H)\}=\vn{\V}\] \[ \begin{split} \{x\in\H|\Phi(x)=0\}&=\{x\in\H|f(x)=(x^\lambda,0^{\lambda'})\}= \{x\in\H|x=g(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=\\ &=\{x\in\H|x^\lambda\in\V,\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\} \end{split} \] a $\phi(x^\lambda)=g^{\lambda'}(x^\lambda,0^{\lambda'})$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} $\Phi(x)=\Phi^p(x^\lambda,x^{\lambda'})$, $p\in\hat m$, $x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)$, $\lambda=(i_1,\dots,i_r)$, $\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$. $\Phi^p(x^\lambda,\phi(x^\lambda))=0$, $x^\lambda\in\V$. Pro pevně zvolené $i_k$, $k\in\hat r$ a každé $p\in\hat m$ platí: \[ \frac{\pd}{\pd x_{i_k}}\Phi^p(x^\lambda, \phi^{\lambda'}(x^\lambda)) = 0 \] \[ \Phi_{i_k}^p+\sum_{l=1}^{m}\Phi_{j_l}^p\phi_{i_k}^l=0, \] což je soustava lineárních rovnic pro $\phi_{i_k}^l$ Z~Cramerova pravidla pak dostáváme \[ \phi_{i_k}^l=- \frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)} {\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_{l-1}},x^{i_k},x^{j_{l+1}},\dots,x^{j_m})}} {\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_m})}}. \] Zapsáno \uv{klasicky}: \[ \frac{\pd y^l}{\pd x^k}=- \frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)} {\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_{l-1}},x^{i_k},y^{j_{l+1}},\dots,y^{j_m})}} {\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_m})}} \] Pokud už mám $(x,y)$, pro které $\Phi(x,y)=0$, můžu určit hodnotu derivace v~tom bodě. \end{remark}