01MAA4:Kapitola16: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobná úprava.)
m
 
(Není zobrazeno 9 mezilehlých verzí od 4 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Variety}
+
\section{Implicitní zobrazení}
+
Mějme soustavu nelineárních rovnic
\begin{define}\label{DVarieta}
+
Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu
+
$M\subset\R^n$ nazveme diferenciální varietou třídy $\c{q}$ dimenze $r$, platí-li:
+
\begin{enumerate}[(I)]
+
\item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\
+
\Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$,
+
\item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}$,
+
\item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$.
+
\end{enumerate}
+
\end{define}
+
+
\begin{remark}
+
\begin{enumerate}
+
\item Varieta $\equiv$ varieta třídy $\c{q}$.
+
\item Bod jde dodefinovat zvlášť jako 0-rozměrnou varietu.
+
\item $r$-varieta $\equiv$ $r$-rozměrná varieta.
+
\item $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha.
+
\item $r$-varieta je {\bf lokálně diffeomorfní} s~množinami, které jsou
+
izometrické s~otevřenými podmnožinami $\R^m$.\
+
\item Variety nemají kraj.
+
\item Kompaktní variety jsou (geometricky) uzavřené.
+
\item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta.
+
\item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\mapsto\R^m$. Definujme
+
 
\[
 
\[
M=\{x\in\df\Phi|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
+
\begin{matrix}
 +
\Phi^1(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots y^m)&=&0\\
 +
&\vdots&\\
 +
\Phi^m(\underbrace{x^1,\dots,x^r}_x,\underbrace{y^1,\dots y^m}_y)&=&0
 +
\end{matrix}.
 
\]
 
\]
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$.
+
Očekávám, že za jistých podmínek z~této soustavy dostanu
\begin{proof}
+
Buď $x\in M$, $(\forall y\in\H_x)(\h(\Phi'(y))=m)$
+
\[M\cap\H=\{x\in H|\Phi(x)=0\}\]
+
\end{proof}
+
\item $M=\{x\in\R^n|\abs{x}=1\}=
+
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=
+
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\Theta\}$,
+
např. $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$.
+
$\h(\Phi'(x))=1$, právě když $x\not=0$.
+
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.
+
\begin{proof}
+
Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje
+
$L:\V^n\mapsto\V^m$ takové, že $Z(W)=L^{-1}(\Theta)$, $\h(L)=m$.
+
 
\[
 
\[
\begin{split}
+
\begin{matrix}
M&=\{x\in\R^n|L(x-x_0)=\Theta\}=
+
y^1&=&\phi^1(x^1,\dots,x^r)\\
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\\
+
&\vdots&\\
&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}
+
y^m&=&\phi^m(x^1,\dots,x^r)
\end{split}
+
\end{matrix}.
 
\]
 
\]
\end{proof}
 
\item Pouze variety uzavřené a omezené, tj. kompaktní, jsou uzavřené geometricky.
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in\V^n$ nazveme {\bf
+
Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$. Potom řešením rovnice $\Phi^j(x,y)=0$,
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení
+
$j\in\hat m$, rozumíme každé zobrazení $\phi:\R^r\to\R^m$ takové, že
$\psi:\R\mapsto M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.
+
$\Phi(x,\phi(x))=0$ pro každé $x\in\df\phi$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$.
+
Říkáme, že $\phi$ je zadáno {\bf implicitně}.
\[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}=
+
\lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\]
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{define}
+
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti]
{\bf Tečným prostorem k~varietě} $M$ {\bf v~bodě} $x_0$ budeme rozumět
+
Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$, $\Phi\in\c{q}$, $q,r,m\in\N$ a platí:
množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_{x_0}M$.
+
\begin{enumerate}[(I)]
\end{define}
+
\item existuje $(x_0\ y_0)\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0\ y_0)=0$,
+
\item
\begin{theorem}
+
\[\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}(x_0\ y_0)\not=0.\]
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf
+
\end{enumerate}
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$ neboli:
+
Potom existuje okolí $\V_{x_0}$, že rovnicí $\Phi(x,y)=0$ je na
$T_{x_0}M=\ker \Phi'(x_0)$.
+
$\V$ definováno právě jedno zobrazení $\phi:\V\subset\R^r\to\R^m$
 +
takové, že platí:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $\phi(x_0)=y_0$,
 +
\item $\phi\in\c{q}$,
 +
\item $\Phi(x,\phi(x))=0$ na $\V_{x_0}$.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{theorem}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 +
Bude proveden v následující větě, která je obecnější.
 +
\end{proof}
 +
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$
+
\item  
$\vec h\in T_{x_0}M\implies (\exists\psi:\R\mapsto
+
\[
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,
+
\left.\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}\right|_{(x_0,y_0)}=
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno
+
\left|
$\Phi$. Definuji $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že
+
\begin{matrix}
$(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$.
+
\frac{\pd\Phi^1}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd y^m}\\
\[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\]
+
\vdots & & \vdots\\
tedy $\vec h$ je z~jádra.
+
\frac{\pd\Phi^m}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd y^m}\\
\item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$.
+
\end{matrix}
Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem
+
\right|_{(x_0,y_0)}
\[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\]
+
kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$:
+
\[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\]
+
\[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec
+
h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff
+
f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'})
+
 
\]
 
\]
Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$;
+
\item Stačí $\Phi\in\c{0}$, musí být třídy $\c{1}$ vůči
$f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$;
+
$y^1,\dots,y^m$. Pak $\phi\in\c{0}$.
\[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\]
+
\item $\Phi(x^1,\dots,x^n,y)$ stačí $\Phi\in\c{0}$ a monotonie vůči
\[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0
+
$y$.
\iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\]
+
\item Buď $n\in\N$, $1\le i_1<i_2<\dots<i_r\le n$ rostoucí $r$-tice,
Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je
+
$1\le j_1<j_2<\dots<j_m\le n$ rostoucí $m$-tice. Zaveďme
tečný vektor.
+
$\lambda=(i_1,\dots,i_r)$, $\mu=(j_1,\dots,j_m)$, $(\lambda,\mu)$ je
 +
$(r+m)$-tice. Jestliže $\mu$ jsou zrovna takové, že $\lambda$ doplní do
 +
$\n$, pak označíme $\mu=\lambda'$. $(\lambda,\lambda')=(1,\dots,n)$.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
 
\begin{remark}
 
Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta.
 
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{define}
+
\begin{theorem}
{\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu
+
\label{Obec. Impl. Funk.}
$x_0+T_{x_0}M$.
+
Nechť $q,r,m\in\N$. Buď $\Phi$
\end{define}
+
zobrazení třídy $\c{q}$ z~$\R^{r + m}\to\R^m$ a platí:
+
\begin{remark}
+
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Bod $x$ je z~tečny, právě když
+
\item existuje $x_0\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0)=0$,
\[x-x_0\in T_{x_0}M\iff\Phi'(x_0)(x-x_0)=0.\]
+
\item $\h(\Phi'(x_0))=m$.
\item Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď
+
\end{enumerate}
\[M=\left\{x\in\R^n\left|
+
Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^{r + m}$, $r$-tice $\lambda$, okolí
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0
+
$\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ a zobrazení $\phi:\V_{x_0^\lambda}\to\R^m$ třídy $\c q$ tak, že platí
\right.\right\}.\]
+
$\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}=\{x\in\H_{x_0}|x^\lambda\in\V_{x_0^\lambda},\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}$
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$,
+
 
protože matici  $a_{ij}$ lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část
+
\begin{proof}
\[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji})  
+
Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar
 +
\[
 +
\left(
 +
\begin{matrix}
 +
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{r + m}}\\
 +
\vdots & & \vdots\\
 +
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{r + m}}\\
 +
\end{matrix}
 +
\right)_{x=x_0}
 
\]
 
\]
Navíc je-li reálná matice $B$  
+
Z~hodnosti plyne existence $\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$ taková, že
antisymetrická, platí
+
 
\[
 
\[
  x^TBx = (Bx,x) = -(x,Bx)\Rightarrow x^TBx = 0
+
\left|
\]  
+
\begin{matrix}
 +
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_m}}\\
 +
\vdots & & \vdots\\
 +
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_m}}\\
 +
\end{matrix}
 +
\right|_{x=x_0}
 +
\not=0
 +
\]
 +
a ze spojitosti $\forall x\in U_{x_0}$ je
 +
$\jac(\Phi_{j_1,\dots,j_m}^{1,\dots,m})(x)\not=0$.
 
   
 
   
 +
Definujeme $f^\lambda(x)=x^\lambda$,
 +
$f^{\lambda'}(x)=\Phi(x)$. $f:\R^{r + m}\to\R^{r + m}\in\c{q}$.
 
   
 
   
Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant
+
%$\jac f(x_0)$ má následující tvar:
 +
%\[
 +
%\left(
 +
%\begin{matrix}
 +
%0 & \hdots & 1 & \hdots & 0 & \hdots & 0 \\
 +
%\vdots &  &  & \ddots &  &  & \vdots \\
 +
%0 & \hdots & 0 & \hdots & 1 & \hdots & 0
 +
%\end{matrix}
 +
%\right)
 +
%\]
 +
%a tedy
 
\[
 
\[
\Delta=\left|
+
\jac f(x_0)=\left|
 
\begin{matrix}
 
\begin{matrix}
a_{ij} & b_i \\
+
\Phi_{j_1}^1 & \hdots & \Phi_{j_m}^1\\
b_j & c
+
\vdots & & \vdots\\
 +
\Phi_{j_1}^m & \hdots & \Phi_{j_m}^m
 
\end{matrix}
 
\end{matrix}
\right|.
+
\right|\not=0
 
\]
 
\]
Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované
+
(Plyne z rozvoje determinantu.)
kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta.
+
$f$ splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, tedy existuje $\H_{x_0}$ takové, že
\begin{proof}
+
$f|_\H$ je prosté, $f(\H)$ je otevřené, $g=f^{-1}\in\c{q}$.
 +
\[\V=\{x^\lambda\in\R^r|(x^\lambda\ 0^{\lambda'})\in f(\H)\}=\vn{\V}\]
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\
+
\{x\in\H|\Phi(x)=0\}&=\{x\in\H|f(x)=(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=
&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \Theta \},
+
\{x\in\H|x=g(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=\\
 +
&=\{x\in\H|x^\lambda\in\V,\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
takže pokud $\Phi'(x)\neq \Theta$ tak $M$ je nadplocha.
+
a $\phi(x^\lambda)=g^{\lambda'}(x^\lambda,0^{\lambda'})$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
Derivací podle $x_k$ se získá
+
\end{theorem}
 
   
 
   
\[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\]
+
\begin{remark}
Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to OK,
+
Tvrzení věty zapsal Vrána i ve stručné podobě: $\exists H, \{x \in \H|\Phi(x)=0\} \in \c q$ a označil ho za „nejkrásnější vyjádření". V tomto případě je množina považována za zobrazení (přesněji to je obraz zobrazení na H).
pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že
+
$\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě.
+
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\]
+
\[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0  \forall k\in\hat n)\]
+
Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde
+
\[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\]
+
Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vylezl by spor, protože
+
+
Derivace v~$x_0\in M$: $\Phi'(x_0)(x-x_0)=0$
+
\[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\]
+
s~využitím $x_0\in M$
+
\[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\]  %pokud to chápete, podlňte to
+
\end{enumerate}
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 +
 +
\begin{remark}
 +
$\Phi(x)=\Phi^p(x^\lambda,x^{\lambda'})$, $p\in\hat m$,
 +
$x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)$, $\lambda=(i_1,\dots,i_r)$,
 +
$\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$. $\Phi^p(x^\lambda,\phi(x^\lambda))=0$,
 +
$x^\lambda\in\V$.
 
   
 
   
\begin{define}
+
Pro pevně zvolené $i_k$, $k\in\hat r$ a každé $p\in\hat m$ platí:
{\bf Normálovým prostorem} $N_{x_0}M$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru, tj. $N_{x_0}M=(T_{x_0}M)^\perp$
+
\[
\end{define}
+
\frac{\pd}{\pd x_{i_k}}\Phi^p(x^\lambda, \phi^{\lambda'}(x^\lambda)) = 0
 +
\]
 
   
 
   
\begin{define}
+
\[
{\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_{x_0}M$.
+
\Phi_{i_k}^p+\sum_{l=1}^{m}\Phi_{j_l}^p\phi_{i_k}^l=0,
\end{define}
+
\]
+
což je soustava lineárních rovnic pro $\phi_{i_k}^l$
\begin{remark}
+
Z~Cramerova pravidla pak dostáváme
\begin{enumerate}
+
\[
\item $\vec n\in N_{x_0}M)$, právě když $(\forall\vec h\in
+
\phi_{i_k}^l=-
T_{x_0}M)(\left\langle \vec n,\vec h\right\rangle =0)$.
+
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
\item $\vec h\in T_{x_0}M\iff \Phi'(x_0)\vec
+
{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_{l-1}},x^{i_k},x^{j_{l+1}},\dots,x^{j_m})}}
h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h=
+
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_m})}}.
{\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$.
+
\]
\item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_{x_0}M)$. Gradienty
+
Zapsáno \uv{klasicky}:
tvoří bázi normálového prostoru.
+
\[
\item Buď $f'(x_0)\not=\Theta$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$.
+
\frac{\pd y^l}{\pd x^k}=-
Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí
+
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
\[M=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\wedge
+
{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_{l-1}},x^{i_k},y^{j_{l+1}},\dots,y^{j_m})}}
f'(x_0)\not=0\}.\]
+
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_m})}}
$\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$.
+
\]
\end{enumerate}
+
Pokud už mám $(x,y)$, pro které $\Phi(x,y)=0$, můžu určit hodnotu
 +
derivace v~tom bodě.
 
\end{remark}
 
\end{remark}

Aktuální verze z 1. 5. 2017, 08:09

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Implicitní zobrazení}
Mějme soustavu nelineárních rovnic
\[
\begin{matrix}
\Phi^1(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots y^m)&=&0\\
&\vdots&\\
\Phi^m(\underbrace{x^1,\dots,x^r}_x,\underbrace{y^1,\dots y^m}_y)&=&0
\end{matrix}.
\]
Očekávám, že za jistých podmínek z~této soustavy dostanu
\[
\begin{matrix}
y^1&=&\phi^1(x^1,\dots,x^r)\\
&\vdots&\\
y^m&=&\phi^m(x^1,\dots,x^r)
\end{matrix}.
\]
 
\begin{define}
Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$. Potom řešením rovnice $\Phi^j(x,y)=0$,
$j\in\hat m$, rozumíme každé zobrazení $\phi:\R^r\to\R^m$ takové, že
$\Phi(x,\phi(x))=0$ pro každé $x\in\df\phi$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Říkáme, že $\phi$ je zadáno {\bf implicitně}.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti]
Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$, $\Phi\in\c{q}$, $q,r,m\in\N$ a platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item existuje $(x_0\ y_0)\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0\ y_0)=0$,
\item
\[\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}(x_0\ y_0)\not=0.\]
\end{enumerate}
Potom existuje okolí $\V_{x_0}$, že rovnicí $\Phi(x,y)=0$ je na
$\V$ definováno právě jedno zobrazení $\phi:\V\subset\R^r\to\R^m$
takové, že platí:
\begin{enumerate}
\item $\phi(x_0)=y_0$,
\item $\phi\in\c{q}$,
\item $\Phi(x,\phi(x))=0$ na $\V_{x_0}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
 Bude proveden v následující větě, která je obecnější.
\end{proof}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
\[
\left.\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}\right|_{(x_0,y_0)}=
\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd y^m}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd y^m}\\
\end{matrix}
\right|_{(x_0,y_0)}
\]
\item Stačí $\Phi\in\c{0}$, musí být třídy $\c{1}$ vůči
$y^1,\dots,y^m$. Pak $\phi\in\c{0}$.
\item $\Phi(x^1,\dots,x^n,y)$ stačí $\Phi\in\c{0}$ a monotonie vůči
$y$.
\item Buď $n\in\N$, $1\le i_1<i_2<\dots<i_r\le n$ rostoucí $r$-tice,
$1\le j_1<j_2<\dots<j_m\le n$ rostoucí $m$-tice. Zaveďme
$\lambda=(i_1,\dots,i_r)$, $\mu=(j_1,\dots,j_m)$, $(\lambda,\mu)$ je
$(r+m)$-tice. Jestliže $\mu$ jsou zrovna takové, že $\lambda$ doplní do
$\n$, pak označíme $\mu=\lambda'$. $(\lambda,\lambda')=(1,\dots,n)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{Obec. Impl. Funk.}
Nechť $q,r,m\in\N$. Buď $\Phi$
zobrazení třídy $\c{q}$ z~$\R^{r + m}\to\R^m$ a platí:
\begin{enumerate}
\item existuje $x_0\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0)=0$,
\item $\h(\Phi'(x_0))=m$.
\end{enumerate}
Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^{r + m}$, $r$-tice $\lambda$, okolí
$\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ a zobrazení $\phi:\V_{x_0^\lambda}\to\R^m$ třídy $\c q$ tak, že platí
$\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}=\{x\in\H_{x_0}|x^\lambda\in\V_{x_0^\lambda},\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}$
 
\begin{proof}
Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{r + m}}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{r + m}}\\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\]
Z~hodnosti plyne existence $\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$ taková, že
\[
\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_m}}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_m}}\\
\end{matrix}
\right|_{x=x_0}
\not=0
\]
a ze spojitosti $\forall x\in U_{x_0}$ je
$\jac(\Phi_{j_1,\dots,j_m}^{1,\dots,m})(x)\not=0$.
 
Definujeme $f^\lambda(x)=x^\lambda$,
$f^{\lambda'}(x)=\Phi(x)$. $f:\R^{r + m}\to\R^{r + m}\in\c{q}$.
 
%$\jac f(x_0)$ má následující tvar:
%\[
%\left(
%\begin{matrix}
%0 & \hdots & 1 & \hdots & 0 & \hdots & 0 \\
%\vdots &  &  & \ddots &  &  & \vdots \\
%0 & \hdots & 0 & \hdots & 1 & \hdots & 0
%\end{matrix}
%\right)
%\]
%a tedy
\[
\jac f(x_0)=\left|
\begin{matrix}
\Phi_{j_1}^1 & \hdots & \Phi_{j_m}^1\\
\vdots & & \vdots\\
\Phi_{j_1}^m & \hdots & \Phi_{j_m}^m
\end{matrix}
\right|\not=0
\]
(Plyne z rozvoje determinantu.)
$f$ splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, tedy existuje $\H_{x_0}$ takové, že
$f|_\H$ je prosté, $f(\H)$ je otevřené, $g=f^{-1}\in\c{q}$.
\[\V=\{x^\lambda\in\R^r|(x^\lambda\ 0^{\lambda'})\in f(\H)\}=\vn{\V}\]
\[
\begin{split}
\{x\in\H|\Phi(x)=0\}&=\{x\in\H|f(x)=(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=
\{x\in\H|x=g(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=\\
&=\{x\in\H|x^\lambda\in\V,\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}
\end{split}
\]
a $\phi(x^\lambda)=g^{\lambda'}(x^\lambda,0^{\lambda'})$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Tvrzení věty zapsal Vrána i ve stručné podobě: $\exists H, \{x \in \H|\Phi(x)=0\} \in \c q$ a označil ho za „nejkrásnější vyjádření". V tomto případě je množina považována za zobrazení (přesněji to je obraz zobrazení na H).
\end{remark}
 
\begin{remark}
$\Phi(x)=\Phi^p(x^\lambda,x^{\lambda'})$, $p\in\hat m$,
$x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)$, $\lambda=(i_1,\dots,i_r)$,
$\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$. $\Phi^p(x^\lambda,\phi(x^\lambda))=0$,
$x^\lambda\in\V$.
 
Pro pevně zvolené $i_k$, $k\in\hat r$ a každé $p\in\hat m$ platí:
\[
\frac{\pd}{\pd x_{i_k}}\Phi^p(x^\lambda, \phi^{\lambda'}(x^\lambda)) = 0
\]
 
\[
\Phi_{i_k}^p+\sum_{l=1}^{m}\Phi_{j_l}^p\phi_{i_k}^l=0,
\]
což je soustava lineárních rovnic pro $\phi_{i_k}^l$
Z~Cramerova pravidla pak dostáváme
\[
\phi_{i_k}^l=-
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_{l-1}},x^{i_k},x^{j_{l+1}},\dots,x^{j_m})}}
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_m})}}.
\]
Zapsáno \uv{klasicky}:
\[
\frac{\pd y^l}{\pd x^k}=-
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_{l-1}},x^{i_k},y^{j_{l+1}},\dots,y^{j_m})}}
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_m})}}
\]
Pokud už mám $(x,y)$, pro které $\Phi(x,y)=0$, můžu určit hodnotu
derivace v~tom bodě.
\end{remark}