Verze z 5. 10. 2013, 01:13

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
 
\section*{Značení}
 
\begin{tabular}{| c | p{250pt} |}
	\hline
	\textbf{Značka}                                         & \textbf{Popis}                                                                                              \\ \hline\hline
	$\RR$                                                   & $\R\cup \left\lbrace  -\infty, +\infty \right\rbrace$                                                       \\
	$\CC$                                                   & $\C\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$                                                                  \\
	$\mathbbm{X}_0$                                         & $\mathbbm{X} \cup \left\lbrace  0 \right\rbrace$, kde $\mathbbm{X}$ je číselná množina                      \\
	$\n$                                                    & $\left\lbrace  m \in \N ~|~ m \leq n \right\rbrace$                                                         \\
	$\df f $                                                & definiční obor zobrazení $f$                                                                                \\
	$\obr f $                                               & obor hodnot zobrazení $f$                                                                                   \\
	$\posl{x_n}$                                            & posloupnost jdoucí od $1$ do $+\infty$                                                                      \\
	$\lfloor k \rfloor$                                     & dolní celá část čísla $k$                                                                                   \\
	$\left(c,d\right)$                                      & otevřený interval                                                                                           \\
	$\left[c,d\right] $                                     & uzavřený interval                                                                                           \\
	$\overset{\sim}{\phi}$                                  & třída ekvivalence $\phi$                                                                                    \\
	$\sim$                                                  & ekvivalence matic, množin či funkcí                                                                         \\
	$\to$                                                   & bodová konvergence                                                                                          \\
	$\mapsto$                                               & přiřazení                                                                                                   \\ \hline
	$A\times B$                                             & kartézský součin množin $A$ a $B$                                                                           \\
	$\vn A$                                                 & vnitřek množiny $A$                                                                                         \\
	$\hr A$                                                 & hranice množiny $A$                                                                                         \\
	$\uz A$                                                 & uzávěr množiny $A$                                                                                          \\
	$\iz A$                                                 & izolátor množiny $A$                                                                                        \\
	$A'$                                                    & derivace množiny $A$                                                                                        \\
	$\pd A$                                                 & geometrický okraj množiny $A$                                                                               \\
	$\left[\phi \right] $                                   & stopa dráhy $\phi$ ($\obr \phi$)                                                                            \\
	$U_x,H_x,V_x$                                           & okolí bodu $x$                                                                                              \\ \hline
	$\VEC V = V^n$                                          & lineární vektorový prostor dimenze $n$                                                                      \\
	$\covec V=V^\# = V_n $                                  & lineární kovektorový (duální) prostor dimenze $n$                                                           \\
	$\LL(\VEC X,\VEC Y)$                                     & normovaný prostor všech spojitých lineárních zobrazení $\VEC X \mapsto \VEC Y$                              \\
	$\vert b \ra  = \vec b = (b^1,b^2,\dots ,b^r)^\text{T}$ & ket = vektor (kontravariantní tenzor 1.řádu) = sloupcový vektor                                             \\
	$\la a \vert = \covec a = a^\# =(a_1,a_2,\dots ,a_r)$   & bra = kovektor (kovariantní tenzor 1.řádu) = lineární funkcionál (1-forma) = řádkový vektor                 \\
	$\covec a \vec b = \la a \vert b \ra$                   & akce kovektoru na vektor (funkcionál v bodě) = braket                                                       \\
	$\la \vec a, \vec b \ra$                                & skalární součin vektorů                                                                                     \\
	$\norm{\vec x}_p$                                       & $p$--norma vektoru $\vec x$                                                                                 \\ \hline
	$\d f $                                                 & totální diferenciál funkce $f$                                                                              \\
	$\boldsymbol\omega$                                     & diferenciální forma libovolného stupně                                                                      \\
	$\boldsymbol\omega \wedge \boldsymbol\zeta $            & vnější součin forem                                                                                         \\
	$\star \vec x$                                          & Hodgeův operátor                                                                                            \\ \hline
	$\c{p} (M)$                                             & třída všech funkcí majících na množině $M$ spojitou derivaci až do řádu $p$                                 \\
	$\L^p(M)$                                               & prostor všech Lebesgueovsky integrabilních funkcí na množině $M$ s $p$-normou (faktorizovaný $f(x)=0$ s.v.) \\
	$\pd_k = \frac{\pd}{\pd x_k} $                          & operátor parciální derivace podle $k$--té složky                                                            \\
	$\J f(x_0)$                                             & Jacobiho matice zobrazení $f$ v bodě $x_0$ (první derivace)                                                 \\
	$\im$                                                   & imaginární
	 jednotka                                                                                       \\
	$\Re z$                                                 & reálná část komplexního čísla $z$                                                                           \\
	$\Im z$                                                 & imaginární část komplexního čísla $z$                                                                       \\ \hline
\end{tabular}
 
 
\clearpage
 
\section{Regulární zobrazení}
 
\begin{remark} Připomeneme si Banachovu větu:
\begin{enumerate}
\item Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},
	právě když
	\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]
\item Každé kontrahující zobrazení na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~inverzním zobrazení]\label{VInvZob}
Nechť $q\in\N$, $g:E\mapsto E\in\c{q}$, $t_0\in\vn {(\df g)}$, $=\det
g'(t_0)\not=0$. Potom existuje $\H_{t_0} = \vn{(\H_{t_0})}$ takové, že
\begin{enumerate}[(i)]
\item Zúžení $g|_{\H_{t_0}}$ je prosté,
\item $U=g(\H_{t_0})=\vn{U}$, tj. obraz otevřeného okolí je otevřený,
\item $f=(g|_{\H_{t_0}})^{-1}\in\c{q}$.
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
Buď $x_0=g(t_0)$, $x=g(t)$. Pak $x-g(t)=0$, $t=x+(t-g(t))=\phi_x(t)$.
\begin{enumerate}[I)]
\item předpokládejme, že $g'(t_0)\in\LL(\VEC E,\VEC E)$,
$g'(t_0)=\id{E}$
\[\phi'_x(t_0)=\id{\vec E}-g'(t_0)=\Theta\]
\[\abs{\phi_x^i(t_2)-\phi_x^i(t_1)}=\abs{(\phi_x^i)'(\xi)(t_2-t_1)}\]
S využitím spojitosti $g$ existuje $\uz{B}(t_0,r)$ taková, že $(\forall t\in
B)\norm{\phi'_x(t)}\le k\in(0,1)$
a zároveň $\uz{B}$ je úplný prostor (je uzavřená v~úplném prostoru).
 
Musíme ještě ověřit, zda $\phi_x:\uz{B}(t_0,r)\mapsto \uz{B}(t_0,r)$.
\[
\begin{split}
\norm{\phi_x(t)-t_0}&=\norm{x+t-g(t)-(x_0+t_0-g(t_0))}=\\
&=\norm{(x-x_0)+(x+t-g(t))-(x+t_0-g(t_0))}\le\\
&\le\norm{x-x_0}+\norm{\phi_x(t)-\phi_x(t_0)}\le (1-k)r+kr \le r
\end{split}
\]
Jestliže je $x\in B(x_0,(1-k)r)$, pak $\phi_x$ na $\uz{B}(t_0,r)$
kontrahuje a $\phi_x$ je $\uz{B}\mapsto\uz{B}$. Z~toho vyplývá, že má
právě jeden pevný bod pro každé $x\in B(x_0,(1-k)r)$ a tedy zvolím-li
si $x\in B$, pak existuje právě jedno $t\in B(t_0,r)$ tak, že platí
$x=g(t)$. Tedy $g|_\H$ je prosté.
 
Definujeme tímto zobrazení $f(x)=t$.
% \[\H=f(B(x_0,(1-k)r))=g^{-1}(B(x_0,(1-k)r)).\]
% Jelikož $g\in\c{q}$, je $U=B(x_0,(1-k)r)$ otevřená. Zbývá dokázat, že
% $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$.
Nejprve ukážeme spojitost $f$.
\[
\begin{split}
\norm{g(t_2)-g(t_1)}&=\norm{x+t_2-\phi_x(t_2)-(x+t_1-\phi_x(t_1))}\ge\\
&\ge\norm{t_2-t_1}-\norm{\phi_x(t_2)-\phi_x(t_1)}
\ge(1-k)\norm{t_2-t_1}
\end{split}
\]
a tedy pro každé $x_1,x_2\in g(\H)$ platí:
\[\norm{f(x_2)-f(x_1)}\le\frac{1}{1-k}\norm{x_2-x_1},\]
tedy zobrazení $f$ je lipschitzovské, tedy i spojité. Vzor otevřené množiny při spojitém zobrazení je otevřený. Proto 
$U=g(\H)=f^{-1}(\H)=\vn{U}$. Zbývá dokázat, že $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$.
 
\[g(t)=g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}\]
\[x-x_0=g'(t_0)(f(x)-f(x_0))+\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)}\]
\[f(x)-f(x_0)=(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)-
(g'(t_0))^{-1}(\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)})\]
\[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}+
\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}\norm{f(x)-f(x_0)}\]
\[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}\]
a tedy
\[f(x)=f(x_0)+(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\]
a
\[
\norm{\omega(x)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}
\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}
\]
Existuje $f'(x_0)=(g'(t_0))^{-1}$. Pro $x\in U$, $t\in\H$
\[f'(x)=(g'(t))^{-1}\]
\item Pokud $g'(t_0)\not=\id{\vec E}$:
Definujeme
\[h(x)=x_0-g'(t_0)^{-1}(x-x_0).\]
Platí, že $G=(h\circ g)\in\c{q}$, $G(t_0)=x_0$,
$G'(t_0)=(h\circ g)'(t_0)=(g'(t_0))^{-1}\circ g'(t_0)=\id{\vec E}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $g^{-1}=f$ (funkce k sobě inverzní)
\item $\jac f(x_0)=(\jac g(t_0))^{-1}$ (Jacobiho matice k sobě inverzní)
\item $\det f'(x_0)=\frac{1}{\det g'(t_0)}$ (determinanty k sobě inverzní)
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $g$ zobrazení třídy alespoň $\c{1}$ pro každé $t\in\df g$. Nechť
$\det g'(t)\not=0$ (tj. $g$ má regulární derivaci). Pak řekneme, že $g$
je {\bf regulární}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Regulární zobrazení splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, takže je {\bf lokálně
prosté}, tj. $(\forall t)(\exists\H_t)$ takové, že $g$ je na něm prosté.
\end{remark}
 
\begin{define}
Zobrazení $g:E\mapsto E$ se nazývá {\bf difeomorfismus}, resp. {\bf
$q$-difeomorfismus} platí-li
\begin{enumerate}[(I)]
\item $g$ je prosté
\item $g$ i $g^{-1}$ jsou třídy $\c{1}$ resp. $\c{q}$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Regulární zobrazení je {\bf lokálně difeomorfní}.
\item Homeomorfismus je 0-difeomorfismus.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Zobrazení $g$ se nazývá {\bf otevřené}, platí-li
\[(A\subset \df g\wedge A=\vn{A})\implies g(A)=\vn{g(A)}.\]
\end{define}
 
\begin{theorem}
Je-li $g$ regulární, je otevřené.
\begin{proof}
$x_0\in g(A)$, tedy $(\exists t_0\in A)(g(t_0)=x_0)$. Na $g|_A$
aplikujeme větu \ref{VInvZob} \\ $(\exists\H_{x_0}\subset A)(g(H_{x_0})= U,\ x_0\in U\subset
g(A))$ a tedy $g(A)$ je otevřená.
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Zobrazení regulární a prosté je difeomorfní.
\end{remark}