Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Laurentovy řady}
\begin{define}
Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu
\[
\sum_{n = -\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n
\]
nazveme \textbf{Laurentovou} [Loránovou] \textbf{řadou} a její součet definujeme jako
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}
\]
v těch bodech, v nichž obě uvedené sumy konvergují. První sumu nazýváme \textbf{regulární} a druhou \textbf{hlavní částí} Laurentova rozvoje.
\end{define}
\begin{remark}
První suma je mocninnou řadou a konverguje na nějakém kruhu, řekněme o poloměru $R$. Druhá suma je \uv{převrácenou mocninnou řadou} a není těžké si rozmyslet, že konverguje na doplňku nějakého kruhu, řekněme o poloměru $r$. Pokud je $r>R$, nekonverguje Laurentova řada nikde. V~případě, že $r<R$, konverguje na mezikruží $B(z_0,r,R)$, tj. pro všechna $z$ splňující $\abs{z-z_0}<R$ a $\abs{z-z_0}>r$. (Vyšetřit, jak se chová na hranici onoho mezikruží, může být obtížné.)
\end{remark}
\begin{theorem}[Laurent]
Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží
\[P(z_0,r,R)=\{z\in\C \mid r<\abs{z-z_0}<R\}.\]
Pak pro každé $z\in P$ platí
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\]
kde
\[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im}
\oint_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\]
pro libovolnou Jordanovu dráhu $\vartheta$ takovou, že $\la\vartheta\ra \subset P$ a $z_0\in\intd\vartheta$.
\end{theorem}
\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics{01MAA4_lauren.pdf}
\caption{K důkazu Laurentovy věty}
\end{figure}
\begin{proof}
Buď $z\in P$. Zvolme $r_1$ a $r_2$ tak, aby $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, a příslušné kružnice probíhané v kladném smyslu označme $\psi_1$, $\psi_2$. Spojme je pomocnými úsečkami a vytvořme tak dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$, viz obrázek. Pišme
\[
\begin{split}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi-
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}.
\end{split}
\]
V první rovnosti jsme funkční hodnotu v bodě $z$ vyjádřili pomocí Cauchyho integrálního vzorce jako integrál přes dráhu $\phi_2$. K ní přičítáme integrál přes dráhu $\phi_1$, který je nulový, protože funkce je na vnitřku dráhy holomorfní. Druhé rovnítko znamená jen to, že jsme sečtením drah $\phi_{1,2}$ dostali kružnice $\psi_{1,2}$. Ve třetí rovnosti jsme první integrál rozepsali přesně stejným způsobem jako v důkazu Cauchyho integrální věty a druhý integrál přepsali takto:
\[
\begin{split}
-\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&=
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi=
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0}
\frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}=
\int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty
\frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi.
\end{split}
\]
Všimněme si, že obě geometrické řady, jejichž součty jsme využili, opravdu mají kvocient menší než jedna (každá na své kružnici). Záměnu sumy a integrálu lze opět ospravedlnit nalezením majoranty. Zde je vhodné si uvědomit, že počítáme integrál přes kružnici, tedy přes uzavřenou množinu, a následně využít holomorfnosti funkce.
Na závěr je potřeba zdůvodnit, proč lze při výpočtu každého koeficientu $a_n$ využít libovolnou dráhu $\vartheta$, ne jen kružnice $\psi_1$, resp. $\psi_2$. To ale hned plyne z principu deformace dráhy, protože žádný z~počítaných integrálů už na $z$ nijak nezávisí a integrandy jsou tedy holomorfní na celém mezikruží. Je vhodné si tuto věc uvědomit již na začátku důkazu: požadujeme totiž aby to fungovalo pro každou dráhu splňující předpoklady věty. Proto tuto dráhu můžeme obklopit dvěma kružnicemi (to skutečně lze díky otevřenosti mezikruží) a dráhu na tyhle dvě kružnice zdeformovat.
\end{proof}
Zároveň platí, že Laurentův rozvoj funkce je jednoznačně daný.
\begin{define}
$P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$.
\end{define}
\begin{define}
Bod $z_0$ se nazývá \textbf{izolovaným singulárním bodem} funkce $f$, jestliže $f$
je holomorfní na $P(z_0,R)$ pro nějaké $R\in\R^+$ a v~$z_0$ není.
\end{define}
\begin{define}
Buď $z_0$ izolovaný singulární bod funkce $f$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro všechna záporná $n$.
\item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól $p$-tého stupně), jestliže $a_{-p}\neq 0$ a $a_n=0$
pro $n<-p$.
\item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro
nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n
\]
její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme \textbf{reziduum funkce v~bodě $z_0$}.
\end{define}
\begin{theorem}[reziduová]
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je množina jejích izolovaných singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká Jordanova dráha neprocházející žádným singulárním bodem, $\uz{\intd\phi}\subset G$. Pak
\[
\oint_\phi f(z)\,\d z = \sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
%starý důkaz:
%Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj
%$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím
%\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\]
%a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že
%\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\
Předpokládejme, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod $z_0$, potom z~Laurentovy věty je
\[
a_{-1}=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi \im}\oint_{\phi}f(\xi) \d \xi\,.
\]
Pro jeden singulární bod tedy věta platí. Obecné znění věty dokážeme indukcí. Nechť věta platí pro dráhu obsahující ve vnitřku $n$ singulárních bodů a nechť uvnitř dráhy $\phi$ leží $n+1$ singularit. Vnitřek můžeme\footnote{Kdybychom chtěli být precizní, bylo by potřeba zdůvodnit, že je to opravdu možné. Ale Vrána se na to neptá.} rozdělit pomocnou dráhou $\psi$ na dvě části, z nichž každá obsahuje alespoň jeden singulární bod. Potom můžeme integrál přes $\phi$ roztrhnout na dva integrály, z nichž oba splňují indukční předpoklad. Jejich součet je proto opravdu roven $\sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a$.
\end{proof}
\begin{remark}
Představme si, že chceme spočítat reziduum v bodě $z_0$, v němž je singularita $p$-tého řádu. Když funkci $f$ vynásobíme $(z-z_0)^p$, získáme funkci, kterou lze vyjádřit jako mocninnou řadu (pouze v bodě $z_0$ není definována), přičemž koeficientem před $(z-z_0)^0$ je $a_{-p}$. Proto platí $a_{-p} = \lim_{z \to z_0} f(z)(z-z_0)^p$. Abychom místo $a_{-p}$ spočítali reziduum $a_{-1}$, musíme součin před provedením limity zderivovat.
\begin{align*}
f(z) &= \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \\
f(z)(z-z_0)^p &= \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \\
\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right) &= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \\
a_{-1} &= \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\bigl( f(z)(z-z_0)^p \bigr)
\end{align*}
Tuto limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla.
\end{remark}
\newpage
