Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Newtonova formule v $\R^2$}
\begin{define}
Buďte $f,g\in \c{1}\left[ \alpha,\beta\right] $, množinu
$D=\{(x,y)\in\R^2~|~x\in(\alpha,\beta),\ g(x)<y<f(x)\}$
nazýváme {\bf elementární oblastí typu $x(y)$}.
\end{define}
\begin{remark}
Definujeme $\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$,
kde
\[
\begin{array}{l}
\phi_g(t)=(t,g(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\
\phi_\beta(t)=(\beta,g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)))\quad t\in\left[ 0,1\right]\\
\phi_f(t)=(t,f(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\
\phi_\alpha(t)=(\alpha,g(\alpha)+t(f(\alpha)-g(\alpha)))\quad t\in\left[ 0,1\right].
\end{array}
\]
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $P:\uz{D}\mapsto\R$ reálná funkce spojitá na $\uz{D}$ a třídy
$\c{1}$ na $D$. Pak
\[\int_\phi P\,\d x=-\iint_D\frac{\pd P}{\pd y}\,\d x\d y.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Z~Fubiniho věty a věty o~derivaci podle parametru
\[
\begin{split}
\int_\phi P\,\d x + 0\d y &=\int_{\phi_g}+\int_{\phi_\beta}
-\int_{\phi_f}-\int_{\phi_\alpha}=
\int_\alpha^\beta(P(t,g(t)),0)(1, g'(t))\,\d t+
\int_0^1(P,0)(0,f(\beta)-g(\beta))\,\d t-\\
&\quad -\int_\alpha^\beta(P(t,f(t)),0)(1,f'(t))\,\d t-
\int_0^1(P,0)(0,f(\alpha)-g(\alpha))\,\d t=\\
&=\int_\alpha^\beta(P(t,g(t))-P(t,f(t)))\,\d t=
-\int_\alpha^\beta[P(x,y)]_{g(x)}^{f(x)}\,\d x=
-\int_\alpha^\beta\left(
\int_{g(x)}^{f(x)}\frac{\pd P}{\pd y}(x,y)\,\d y
\right)\d x.
\end{split}
\]
\end{proof}
\begin{theorem}
Buď $Q\in\c{0}(\uz{D})$, $Q\in\c{1}(D)$, kde $D$ je oblast typu
$y(x)=\{(x,y)\in\R^2~|~y\in\left[\alpha,\beta\right],\ g(y)<x<f(y)\}$. Buď
$\phi$ konstruována jako v~předchozím příkladu a $[\phi]=\hr{D}$.
Pak
\[\int_\phi Q\,\d y=\iint_D\frac{\pd Q}{\pd x}\,\d x\d y.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
$\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$,
$\phi_g(t)=(g(t),t)$, $t\in\left[\alpha,\beta\right]$,
$\phi_\beta(t)=(g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)),\beta)$,
$t\in\left[ 0,1\right]$ atd... analogicky, jako v předchozí větě.
\end{proof}
\begin{define} \label{de:Jordanovadraha}
Buď $\phi\in\c{0}\left[\alpha,\beta\right]$,
$\phi:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto\R^n$. Potom $\phi$ nazveme {\bf Jordanovou
dráhou}, pokud platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi(\alpha)=\phi(\beta)$,
\item $\phi$ je na $\left[ \alpha,\beta\right) $ prostá.
\end{enumerate}
\end{define}
Jordanovy dráhy jsou tedy takové křivky, které jsou uzavřené a přitom se nikde neprotínají. Platí pro ně následující věta, která je sice \uv{naprosto zjevná}, ale jejíž důkaz je velmi obtížný.
\begin{theorem}[Jordan]
Buď $\varphi$ {\bf Jordanova dráha} v~$\R^2$. Pak lze $\R^2$ jednoznačně disjunktně rozloží na tři komponenty souvislosti $\R^2=A\cup[\phi]\cup B$, kde $A$ je neomezená a $B$ omezená. Komponentu $A$ označíme $\extd\phi$ a nazveme ji {\bf vnějšek
dráhy}, $B$ budeme značit $\intd\phi$ a nazývat {\bf vnitřek dráhy}.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Green]
Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\phi$ je kladně orientovaná Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\int_\phi(P\d x+Q\d y)=\iint_D\left(
\frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y}
\right)\d x\d y.
\]
\end{theorem}
\begin{theorem}
Vnitřek Jordanovy dráhy je jednoduše souvislý. (jednoduchá souvislost viz \ref{simplyconnected})
\end{theorem}
\begin{remark}
Je-li forma $\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$ je uzavřená na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru, z definice platí \[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}.\] Z Greenovy věty pak získáme
\[\int_\phi (P\d x+Q\d y)=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\]
forma $\boldsymbol\omega$ je tedy konzervativní.
\end{remark}
