Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Parametrické integrály}
Definujme funkci $F:A\mapsto\R$ vztahem
\[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x.\]
Analogie $F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x$ a
$F(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$, $x\leftrightarrow n$,
$\alpha\leftrightarrow x$.
\[F(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty f_n(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x\]
\begin{theorem}[o spojitosti]
Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, $f:M\times A\mapsto\R$
a nechť platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Pro skoro všechna $x\in M$
\[f(x,\ ,)\in\c{0}(A)\]
\item $(\forall\alpha\in A)
(f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$,
\item $(\exists g\in\LL(M))
(\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A)
(\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$.
\end{enumerate}
Potom
\[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\in\c{0}(A).\]
\begin{proof}
Buď jde o izolované body (které jsou body spojitosti z definice), nebo platí následující věta o limitě, což dokazuje spojitost.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o limitě]
Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$,
$\alpha_0\in A'$, $f:M\times A\mapsto\R$ a nechť platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Pro skoro všechna $x\in M$
\[\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}f(x,\alpha)=\phi(x),\]
\item $(\forall\alpha\in A\sm\{\alpha_0\})
(f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$,
\item $(\exists g\in\LL(M))
(\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A\sm{\alpha_0})
(\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$.
\end{enumerate}
Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi\in\LL(M)$,
\item
\[\int_M\phi=\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}
\int_M f(x,\alpha).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
Heineova věta: $\lim\alpha_n=\alpha_0$, $\alpha_n\in A\sm\{\alpha_0\}$,
$\phi_n(x)=f(x,\alpha_n)\to\phi(x)$. $\phi_n(x)$ je měřitelná na $M$,
z~Lebesgueovy věty plyne, že $\phi\in\LL(M)$. Pro libovolnou
posloupnost $\alpha_n$ platí
\[\int_M\phi=\lim_{n\to\infty}\int_M f(x,\alpha_n)\,\d x=
\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}
\int_M f(x,\alpha).\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o derivaci]
Buď $M$ měřitelná množina, $M\subset\R^n$ a nechť $\I=\vn{\I}\subset\R$. Nechť $f:M\times\I\mapsto\R$ je reálná funkce a platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Existuje $\alpha_0\in\I$ takové, že $f(\ ,\alpha_0)\in\LL(M)$,
\item pro každé $\alpha\in\I$ platí, že $f(\ ,\alpha)$ je měřitelná na
$M$,
\item je-li $N\subset M$, $\mu(N)=0$, pak $f(x,\ )$ je
diferencovatelná na $\I$ pro každé $x\in M\sm N$,
\item existuje $g\in\LL(M)$ tak, že
\[(\forall x\in M\sm N)(\forall\alpha\in\I)
\left(\abs{\frac{\pd f(x,\alpha)}{\pd\alpha}}\le g(x)\right).\]
\end{enumerate}
Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f(\ ,\alpha)\in\LL(M)$ pro každé $\alpha\in\I$,
\item $\frac{\pd}{\pd\alpha}f(\ ,\alpha)\, \in\LL(M)$ pro každé $\alpha\in\I$,
\item a platí
\[\frac{\d}{\d\alpha}\int_M f(x,\alpha)\,\d x=\int_M\frac{\pd}{\pd\alpha}f(x,\alpha)\,\d x.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Buď $x\in M\sm N$, pak
\[f(x,\alpha)-f(x,\alpha_0)=\frac{\pd f}{\pd\alpha}(x,\xi)\abs{\alpha-\alpha_0},\]
takže
\[\abs{f(x,\alpha)}\le
\underbrace{\abs{f(x,\alpha_0)}}_{\in\LL(M)}
+\underbrace{g(x)(\alpha-\alpha_0)}_{\in\LL(M)},\]
kde $\alpha$ je pevné.
\item Pro $\alpha\in\I$
\[\frac{F(\alpha+h)-F(\alpha)}{h}=
\int_M
\underbrace{\frac{f(x,\alpha+h)-f(x,\alpha)}{h}}_{\psi(x,h)}
\,\d x.\]
Použijeme minulou větu, $A=\{h~|~\alpha+h\in\I\}$, $0\in A'$. Limita
\[\lim_{\substack{h\to 0\\ h\in A}}\int_M\psi(x,h)\]
existuje a je záměnná, neboť pro $x\in M\sm N$ platí
$\abs{\psi(x,h)}=\abs{\frac{\pd f(x,\xi_{x\alpha})}{\pd\alpha}}\le g(x)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark} Co kdyby meze závisely na $\alpha$?
\[F(\alpha)=\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)\]
$f,\frac{\pd f}{\pd\alpha}\in\c{0}(\I_1,\I_2)$,
$a(\alpha),b(\alpha)\in\c{1}(\I_2)$, $(a(\I_1),b(\I_2))\subset\I_1$,
\[
\begin{split}
\frac{\d}{\d\alpha}\left(
\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)
\right)&=
\frac{\d}{\d\alpha}\left(
\int_{a(\alpha)}^{a(\alpha_0)}+
\int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)}+
\int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)}
\right)=\\
&=f(b(\alpha),\alpha)b'(\alpha)-f(a(\alpha),\alpha)a'(\alpha)+
\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}\frac{\pd f(x,\alpha)}{\pd\alpha}\,\d x.
\end{split}
\]
Pomůcka pro zapamatování:
\[\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)=F(a(\alpha),b(\alpha),\alpha),\]
$\frac{\pd f}{\pd\alpha}$ podle derivace složené funkce.
\end{remark}
\begin{theorem}[o integraci]
Buď $M\subset\R^n$ měřitelná, $N\subset\R^m$ měřitelná a $f:M\times
N\mapsto\R$ měřitelná funkce. Nechť alespoň jeden z integrálů
\[
\int_M\left(\,\int_N\abs{f(x,y)}\,\d y\right)\d x
\quad\quad
\int_N\left(\,\int_M\abs{f(x,y)}\,\d x\right)\d y
\]
konverguje. Pak
\[
\int_M\left(\,\int_N f(x,y)\,\d y\right)\d x=\int_N\left(\,\int_Mf(x,y)\,\d x\right)\d y.
\]
\begin{proof}
$f\in\M \implies \abs{f}\in\Lambda$. Z Fubiniho je pak též $\abs{f}\in\LL$, což je majoranta $f$ a zbytek plyne z Fubiniho.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Předcházející věta představuje zobecnění Fubiniovy věty. Povšimněte si, že v předpokladech nemusí platit $f\in\Lambda$, stačí pouze měřitelnost.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $p,q>0$. Potom {\bf Eulerův integrál druhého druhu} je integrál ve tvaru
\[\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x\]
a {\bf Eulerův integrál prvního druhu} je integrál ve tvaru
\[\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\]
\\
{\bf Funkce gama} je Eulerův integrál druhého druhu jako funkce $p$, tj.
\[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x.\]
{\bf Funkce beta} je Eulerův integrál prvního druhu jako funkce $p,q$, tj.
\[\betaf(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Dříve se tyto funkce zaváděly jako elementární. S nástupem výpočetní techniky a softwaru to již není třeba.
\item Podmínka $p,q>0$ je proto, aby integrály konvergovaly. Zajímavé je, že na konvergenci je třeba zobecněný Riemannův integrál, ale Lebesgeův integrál pouze obyčejný.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}Funkce beta je symetrická ve svých argumentech, tj. $\betaf(p,q)=\betaf(q,p).$
\begin{proof}
\[\betaf(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}=
\int_0^1+\int_1^{+\infty}=
\int_0^1\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}.\]
V 1. kroku se použila substituce $x = t/(t+1)$, ve 2. kroku na druhý integrál $x = 1/t$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}.\] pro $p \in (0,1)$
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\betaf(p,1-p)&=\int_0^1\frac{x^{p-1}}{1+x}+
\int_0^1\frac{x^{(1-p)-1}}{1+x}=
\int_0^1\left(
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{p+n-1}+
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{n-p}
\right)\d x=\\
&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{p+n}+
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{n-p+1}=
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{p+n}+
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n-p}=\\
&=\left[
\frac{1}{\pi p}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(
\frac{1}{\pi p+\pi n}+\frac{1}{\pi p-\pi n}
\right)
\right]\pi=\frac{\pi}{\sin p\pi}.
\end{split}
\]
Korektnost postupu: Na záměnu nemůžu použít Leviovu větu kvůli
$(-1)^n$. Pro $x \in (0,1)$ platí
\[\int_0^1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{\alpha-1+n}=
\int_0^1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{\alpha-1+k}=
\int_0^1\lim x^{\alpha-1}\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x},\]
pro $\alpha \in (0,1)$ je $x^{\alpha-1}$ integrabilní majorantou, takže integrál konverguje
a podle Lebesgueovy věty lze zaměnit.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\[\betaf(p,q)=\frac{\gammaf(p)\gammaf(q)}{\gammaf(p+q)}.\]
\begin{proof}
\[\gammaf(\beta)=\int_0^{+\infty}x^{\beta-1}e^{-x}\,\d x=
\alpha^\beta\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-\alpha t}\,\d t.\]
Položím $\beta=p+q$, $\alpha=1+y$. Pak
\[\gammaf(p+q)=(1+y)^{p+q}
\left.
\int_0^{+\infty}t^{p+q-1}e^{-(1+y)t}\,\d t\right.\]
vynásobí se to $\cdot\frac{y^{p-1}}{(1+y)^{p+q}}$ a zintegruje přes $y$ od 0 do $\infty$
\[
\begin{split}
\betaf(p,q)\gammaf(p+q)&=
\underbrace{
\int_0^{+\infty}\Biggl(
y^{p-1}\int_0^{+\infty}t^{p+q-1}e^{-(1+y)t}\,\d t
\Biggr)\d y
}_{\text{integrál konverguje a je $\ge 0$, lze zaměnit}}=
\int_0^{+\infty}\Biggl(t^{p+q-1}e^{-t}
\underbrace{
\int_0^{+\infty}y^{p-1}e^{-yt}\,\d y
}_{\frac{1}{t^p}\gammaf(p)}
\Biggl)\d t=\\
&=\gammaf(q)\gammaf(p),
\end{split}
\]
za použití vzorce $\gammaf(\beta)$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}=\gammaf(p)\gammaf(1-p).\]
Po rozšíření pro záporná $p$ (viz poznámky za další větou) platí vzorec pro $p\in\R-\Z$
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $p>0$. Pak $\gammaf(p+1)=p\gammaf(p)$.
\begin{proof}
\[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}=
\left[\frac{x^p}{p} e^{-x}\right]_0^{+\infty}+
\frac1p\int_0^{+\infty}x^pe^{-x}=\frac1p\gammaf(p+1).\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Předchozí věta má obecnější platnost, platí pro $p \in \C$.
\item $\gammaf(1) =1$, pomocí předchozí věty pak $\gammaf(n+1)=n!$ pro $n\in\N$,
\item $\gammaf(1/2) =\sqrt{\pi}$,
\item $\gammaf(p+n)=(p+n-1)\cdots p\gammaf(p)$,
\item $\gammaf$ je definovaná na $(0,+\infty)$. Lze prodloužit i~na
záporná $p$ indukcí
\[\gammaf(p)=\frac{\gammaf(p+1)}{p}\]
pro $p\in(-1,0)$ a takto to natáhnu na $(-n+1,n)$.
\item Použitím vztahu
\[\ln\alpha=\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{\alpha}-1)\]
dostaneme
\[
\begin{split}
\gammaf(p+1)&=
\int_0^{+\infty}x^p e^{-x}\d x=
\int_0^1\left(\ln\frac1t\right)^p\d t=
\int_0^1\lim_{n\to\infty}n^p\left(
1-t^{\frac1n}\right)^p\d t=
\lim_{n\to\infty}n^p\int_0^1
\tau^{n-1}(1-\tau)^p\,\d\tau=\\
&=\lim_{n\to\infty}n^{p+1}\betaf(n,p+1)=
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p+1}(n-1)!\,p\gammaf(p)}
{(p+1)\cdots p\gammaf(p)}=
\lim_{n\to\infty}\frac{n^p\,n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}.
\end{split}
\]
Takto lze definovat $\gammaf$ i~pro $\C$, ale problémy jsou s~$\Zm$.
\item Funkce $\gammaf$ je třídy $\c{\infty}$, neboť integrál
\[\gammaf^{(k)}(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^k x\,\d x\]
existuje --- má integrabilní majorantu (pro každé $p$ existuje okolí
$(p_1,p_2)$, na němž majoranta existuje):
\[\int_0^1\underbrace{x^{p-1}e^{-x}\ln^k x}
_{\le x^{p_1-1}e^{-x}\abs{\ln x}^{k+1}}\,\d x+
\int_1^{+\infty}\underbrace{x^{p-1}e^{-x}\ln^{k+1} x}
_{\le x^{p_2-1}e^{-x}\ln^k x}\,\d x.\]
\[\gammaf''(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^2 x\,\d x>0,\]
takže $\gammaf$ je konvexní.
$\gammaf(1)=\gammaf(2)=1$, z~Rolleovy věty existuje $p_0\in(1,2)$ takové,
že $\gammaf'(p_0)=0$. Funkce $\gammaf'$ je rostoucí, takže $\gammaf'(p)>0$,
právě když $p>p_0$, tedy $\gammaf$ roste konvexně od $p_0$. Z~Heineovy
věty a spojitosti vyplývá
\[\lim_{p\to\infty}\gammaf(p)=+\infty,\quad
\gammaf(p)=\frac{\gammaf(p+1)}{p}\implies\lim_{p\to 0}\gammaf(p)=+\infty.\]
\end{enumerate}
\begin{figure}
\includegraphics{01MAA4_gamma.pdf}
\caption{Průběh funkce gama}
\end{figure}
\end{remark}
\clearpage
\begin{theorem}[Legendrův vzorec]
\[\gammaf(p)\gammaf(p+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p-1}}\gammaf(2p).\]
pro $p\geq 0$
\begin{proof}
Po úpravě a substituci $\frac12-x=\frac12\sqrt{t}$ dostaneme
\[
\begin{split}
\betaf(p,p)&=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{p-1}=
\int_0^1(x-x^2)^{p-1}=\int_0^1\left[
\frac14-\left(\frac12-x\right)^2
\right]^{p-1}=\\
&=\int_0^{\frac12}+\int_{\frac12}^1=
2\int_0^{\frac12}\left[
\frac14-\left(\frac12-x\right)^2
\right]^{p-1}=
2\int_0^1\frac{1}{2^{2p}}t^{-\frac12}(1-t)^{p-1}\,\d t=\\
&=\frac{1}{2^{2p-1}}\,\betaf\left(\frac12,p\right)=
\frac{1}{2^{2p-1}}\frac{\gammaf(\frac12)\gammaf(p)}{\gammaf(p+\frac12)}=
\frac{\gammaf^2(p)}{\gammaf(2p)}.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Stirlingova formule]
\[\gammaf(p)=\sqrt{2\pi}\,p^{p-\frac12}e^{-p}(1+r(p)),
\text{ kde}
\abs{r(p)}\le\left(e^{\frac1{12p}}-1\right).\]
\begin{proof}
\[\gammaf(n+1)=n!=\sqrt{2\pi}(n+1)^{n+\frac12}
e^{-n-1}(1+r(n+1))\approx\sqrt{2\pi}\,n^{n+\frac12}e^{-n},\]
tedy
\[\frac{n!}{n^ne^{-n}}\approx\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\right)^{-1}.\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Funkci $\gammaf$ lze jednoznačně definovat takto:
$F\in\c{1}$ na $(0,+\infty)$, $F(p+1)=pF(p)$,
\[F(p)F(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi},\quad
F(p)F\left(p+\frac12\right)=
\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p+1}}F(2p).\]
\end{remark}
