Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Křivkový integrál prvního druhu}
\begin{define}
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto \R$, $g$ dráha, $[g]\subset\df f$,
$\sigma$ rozdělení $g$. Potom klademe
\[S(f,g,\sigma)=
\sum_{i=1}^p f(g(\xi_i))\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}
\text{ pro }\xi_i\in\left[ t_{i-1},t_i\right] \]
\end{define}
\begin{define}[křivkový integrál prvního druhu]
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky,
$[g]\subset\df f$. Nechť pro každou normální posloupnost rozdělení
$\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita
\[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)\overset{\text{ ozn.}}=\int_g f\d s.\]
Pak říkáme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$
a tuto limitu nazýváme křivkovým {\bf integrálem funkce $f$ po dráze $g$}, resp. {\bf křivkovým integrálem prvního druhu}.
\end{define}
\begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item (aditivita)
\[\int_g(f+h)\d s=\int_g f\d s+\int_g h\d s,\]
\item (homogenita)
\[\int_g(\alpha f)\d s=\alpha\int_g f\d s.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\[\int_{g_1\dotp g_2}f\d s=\int_{g_1}f\d s+\int_{g_2}f\d s,\]
\item
\[\int_{\dotm g}f\d s= +\int_{g}f\d s,\] %opravdu tam není mínus!
\item
\[\abs{\int_g f\d s}\le K~l(g),\quad \text{kde }K\ge\sup_{\df g}|f(x)|.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu prvního druhu]
Buď $f\in\c{0}, g\in\c{1}, [g]\in\df f, \df g=\left[a,b\right].$ Potom funkce $f$ je
integrabilní a platí
\[\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.\]
\begin{proof}
Obdobný důkazu \ref{VSubsKrivII}, není vyžadován na zkoušce.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Křivkový integrál prvního druhu je {\bf neorientovaný}, je tedy nezávislý na parametrizaci dráhy.
\item Vzorec na výpočet délky křivky: $l(g)=\int_g\d s$.
\item Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $g\in\c{1}$,
$[g]\subset\df\omega$, $g'(t)\not=\covec o$ pro každé $t\in\left[ a,b\right] $, tedy $g$ je lokálně prostá. Pro $x\in [g]$ definujme
\[\vec v(x)=\left.\frac{g'(t)}{\norm{g'(t)}}\right|_{x=g(t)}.\]
Pak platí (převod křivkového integrálu druhého druhu na první druh)
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))g'(t)\d t=
\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t=
\int_g\covec\omega\vec v~\d s=
\int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\]
%\[(\covec\omega\vec v)(x)=\covec\omega\vec v(x)\]
Práci po dráze (křivkový integrál druhého druhu) můžeme tedy vyjádřit jako křivkový integrál prvního druhu (tečka $\cdot$ značí standardní skalární součin):
\[\int_g\vec F\cdot\d\vec r=\int_g\vec F \cdot \vec r~\d s.\]
Proto se ve fyzice často používá užitečný, ale formálně nesprávný zápis $\d\vec r=\vec r~\d s$.
\end{enumerate}
\end{remark}