Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Variety}
\begin{define}\label{DVarieta}
Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu
$M\subset\R^n$ nazveme {\bf diferenciální varietou} třídy $\c{q}$ dimenze $r$, platí-li:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\
\Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$,
\item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}~|~\Phi(x)=0\}$,
\item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Přívlastek \textit{diferenciální} budeme vynechávat, neboť bude z kontextu vždy jasné, že se nejedná o varietu algebraickou. Taktéž budeme $r$-rozměrnou varietou (popř. $r$-varietou) rozumět varietu dimenze $r$ a zapisujeme $\dim M=r$ podobně jako u lineárních prostorů.
\item Zobrazením $\Phi$ říkáme {\bf vazby}. Jsou-li třídy $\c{q}$, o příslušné varietě říkáme, že je též třídy $\c{q}$.
\item Variety nazýváme dle dimenze $r$: $r=0$ bod, $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha. Pro korektnost je třeba dodat, že varietu dimenze 0 jsme dodefinovali.
\item $r$-varieta je {\bf lokálně difeomorfní} s~množinami, které jsou
izometrické s~prvky topologie (otevřenými podmnožinami) v $\R^m$. (Což se dá „lidsky“ říct tak, že $r$-varieta je v podstatě zakřivená plocha dimenze $r$.)
\item Varieta se nemůže křížit nebo protínat. (V tomto případě neplatí $(\h(\Phi'(x))=m)$, protože jinak by nastal spor s tím, že $\{x\in\H_{x_0}~|~\Phi(x)=0\}$ je funkce dle věty \ref{Obec. Impl. Funk.})
\item Variety nemají kraj. Pouze kompaktní variety (tj. uzavřené a \textit{omezené}) jsou uzavřené v~geometrickém (intuitivním) smyslu.
\item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta. Povrch koule varietou je a nazývá se sféra, značíme $S^2$. Podobně je varietou povrch toru, značíme $T^2$, ne však torus samotný (včetně vnitřku).
(Koule a torus včetně vnitřku nesplňují $m<n$, navíc by museli být definovány nerovnicí. Obecně musí být dimenze variety $r$ menší než $n$.)
\item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\to\R^m$. Definujme
\[
M=\{x\in\df\Phi~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
\]
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$ třídy $\c{q}$ (nebo prázdná množina).
\begin{proof}
Pokud je $M$ neprázdná, zvolme libovolné $x\in M$. Platí $\h(\Phi'(x))=m$, a protože je $\Phi$ třídy alespoň $\c{1}$, má derivace plnou hodnost i na nějakém okolí $x$ (příslušný subdeterminant řádu $m$ totiž bude nenulový). Na tomto okolí tedy platí ekvivalence $x\in M \Leftrightarrow \Phi(x)=0$.
\end{proof}
Varietu je tedy možno zadat jako soustavu vazeb, je však nutno prověřit jejich nezávislost (ve smyslu LN jejich derivací).
\item Příkladem variety je povrch jednotkové koule. Definujeme-li zobrazení $\Phi$ vztahem $\Phi(x)=\norm{x}_2^2-1$, má jeho derivace $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$ hodnost jedna pro každé $x\not=0$. Můžeme tedy psát
\[
M=\{x\in\R^n~|~\norm{x}_2=1\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\covec 0\}.
\]
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.
\begin{proof}
Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje
$L:V^n\to V^m$ takové, že $Z(W)=\ker L$, $\h(L)=m$.
\[
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n~|~L(x-x_0)=\vec 0\}=
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\\
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
\qedhere
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in V^n$ nazveme {\bf
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení
$\psi:\R\to M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.
\end{define}
\begin{remark}
Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$.
\[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}=
\lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\]
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Tečným prostorem k~varietě} $M$ {\bf v~bodě} $x_0$ budeme rozumět
množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_{x_0}M$.
\end{define}
\begin{theorem}
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$, tj.
$T_{x_0}M=\ker \Phi'(x_0)$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$
$\vec h\in T_{x_0}M\implies (\exists\psi:\R\to
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno
$\Phi$. Definujme $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že
$(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$.
\[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\]
tedy $\vec h$ je z~jádra.
\item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$.
Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem
\[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\]
kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$:
\[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\]
\[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec
h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff
f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'})
\]
Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$;
$f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$;
\[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\]
\[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0
\iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\]
Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je
tečný vektor.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumarate}
\item Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta.
\item Z této a Frobeniovy věty (LA1) plyne, že je $T_{x_0}M$ lineární prostor.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu $x_0+T_{x_0}M$.
\end{define}
\begin{remark}
Bod $x$ je z~tečny, právě když
\[
x-x_0\in T_{x_0}M\iff\COVEC{\Phi'(x_0)}\overrightarrow{(x-x_0)}=0.
\]
\end{remark}
\begin{remark}
Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď
\[M=\left\{x\in\R^n\left|~
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0
\right.\right\}.\]
Každou matici, tedy i $\mathbb A=(a_{ij})$, lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část
\[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji}).
\]
Protože pro každou reálnou antisymetrickou matici $\mathbb B$ a libovolný vektor $x$ platí
\[
\la x,\mathbb Bx\ra = x^T\mathbb Bx = (\mathbb B^T x)^T x = -\la\mathbb Bx,x\ra, \text{ a tedy } x^T\mathbb Bx = 0,
\]
lze bez újmy na obecnosti předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$.
Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant
\[
\Delta=\left|
\begin{matrix}
a_{ij} & b_i \\
b_j & c
\end{matrix}
\right|.
\]
Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované
kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \covec 0 \},
\end{split}
\]
takže pokud $\Phi'(x)\neq \covec 0$ tak $M$ je nadplocha.
\end{proof}
Derivací podle $x_k$ se získá
\[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\]
Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to v pořádku,
pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že
$\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě.
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\]
\[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0 \quad (\forall k\in\hat n)\]
Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde
\[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\]
Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vznikl by spor, neboť (derivace v~$x_0\in M$: $\COVEC{\Phi'(x_0)}\overrightarrow{(x-x_0)}=0$)
\[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\]
pak s~využitím $x_0\in M$ platí
\[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\] %pokud to chápete, doplňte to
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Normálovým prostorem} $N_{x_0}M$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru, tj. $N_{x_0}M=(T_{x_0}M)^\perp$.
\end{define}
\begin{define}
{\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_{x_0}M$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\vec n\in N_{x_0}M$, právě když $(\forall\vec h\in
T_{x_0}M)(\left\langle \vec n,\vec h\right\rangle =0)$.
\item $\vec h\in T_{x_0}M\iff \Phi'(x_0)\vec
h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h=
{\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$.
\item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_{x_0}M)$. Gradienty
tvoří bázi normálového prostoru.
\item Buď $f'(x_0)\not=\covec 0$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$.
Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí
\[M=\{x\in\H~|~f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H~|~f(x)=f(x_0)\wedge
f'(x_0)\not=0\}.\]
$\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$. Ekvipotenciální plochy jsou tedy varietami na takovém okolí, které splňuje $f'(x)\neq 0$.
\end{enumerate}
\end{remark}
