01MAA3:Kapitola8
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 8. 2. 2017, 22:51, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Borel – přidána poznámka. mírné doplnění důkazu.)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 09:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 22. 2. 2016 | 00:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 14:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 22:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 19:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 22:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 13:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 18:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 10:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 14:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Kompaktní prostory} \index{pokrytí} \index{podpokrytí} \begin{define} Buď $X$ topologický prostor, $\S \subset \P(X)$ systém množin $\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$, právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$. Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když: \begin{enumerate}[(I)] \item $\S_1\subset\S$, \item $\S_1$ je pokrytím $X$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Je-li $\S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $\S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4). \end{remark} \index{kompaktní prostor} \begin{define} Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako topologický podprostor $X$ je kompaktní. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \index{kompaktní množina} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní. (Pokryjeme je sjednocením jejich konečných pokrytí.) \item Každá konečná množina je kompaktní. (Pokryjeme ji konečným počtem okolí bodů této množiny.) \item \label{kompaktVMetr} V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená. ($\S_1 = \bigcup_{n \in \N} B(x,n)$ pokrývá celý prostor, tedy pro pokrytí kompaktní množiny stačí jedna koule.) \item $\R$ není kompakt ($\S=\{(-n,n)|n \in \N\}$ nemá konečné podpokrytí), ale $\RR$ už kompakt je. (Pokryji ho okolími nekonečen a uzavřeným intervalem z $\R$, který je podle \ref{kompaktInterval} kompaktní) \item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice). \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem. \begin{proof} Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako $A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále platí, pomocí de Morganových zákonů: \[ \emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha= \bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)= X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha \iff X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha \] a existuje konečné podpokrytí. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí \[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\] Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$. \item \emph{(o existenci)} Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí platit: \[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\] \item \emph{(o jednoznačnosti)} Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$ takové, že platí \[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} \label{kompaktInterval} Každý omezený uzavřený interval $\I$ v $\R^n$ je kompaktní. \begin{remark} Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$. \end{remark} \begin{proof} Kontrola!!!!!(nejsem si jistý správností/pochopením tohoto důkazu) (Sporem) \[(\exists V\in \S)(\I \subset \bigcup_{V \in \S} V)(V \in \tau)\] tak, že neexistuje konečné podpokrytí $\S_1$. Nyní budu $\I=\left[a,b\right]$ opakovaně půlit, tj. tvořit posloupnost uzavřených intervalů $\left[a_n,b_n\right]_{n=1}^\infty$ tak, že \[(b_n-a_n<\frac{a-b}{2^n}).\]Vždy bude existovat část, která zůstává nepokrytá konečným podpokrytím. Z věty o půlení intervalu plyne, že existuje limitní bod, který si označíme $x$. $x$ je hromadným bodem posloupností $(a_n)$ a $(b_n)$ a zároveň \[(\exists V \in \S)(x \in V).\] Protože je toto $V$ otevřené, musí pokrývat okolí $x$ jímž, je jeden z intervalů $\left[a_n,b_n\right]$, což je spor s nepokrytím konečným podsystémem (interval $\left[a,b\right]$ pokryjeme konečným množstvím intervalů $\left[a_n,b_n\right]$). \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{kompakt_podmnozina} Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená. \begin{proof} Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí: \[(\forall y\in A)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\] Dále platí: \[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\] tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy \[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\] Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí $\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$ platí: \[ \H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset, \] tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x \in \vn{(X \sm A)}$. Bod $x \in X \sm A$ jsme volili libovolně, proto je doplněk množiny $A$ otevřený, tudíž $A$ je uzavřená. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní. \begin{proof} Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index (kdyby ho neobsahovalo, tak ho tam přidám, stále to bude konečné podpokrytí). Potom $\{G_i \mid i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní, právě když je uzavřená a omezená. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Implikace $\Rightarrow$ je triviální. (Plyne z \ref{kompaktVMetr} a \ref{kompakt_podmnozina}) \item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená. \begin{enumerate}[1)] \item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$ (maximová norma, $\forall \vec x \in \VEC X \; \norm{x} = \max_{i\in\n}\abs{x_i}$). $A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní. \item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$. Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bazických vektorů: \[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\] Buď $f: \vec x \mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n \to \R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a $(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní. (V případě $\VEC X=V^n$ nad komplexními čísly musíme vzít $V^n \to \R^{2n}$ tak, že bereme zvlášť reálnou a komplexní část $x^i$) \item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}$ libovolná. Pro libovolný vektor $\vec x$ platí: \[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le \sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty= K\norm{\vec x}_\infty,\] což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto vztahu vyplývá spojitost identity $(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty) \to (\VEC X,\norm{\cdot})$. Libovolná koule $\uz{B}(\vec 0,R)\subset (\VEC X,\norm{\cdot})$ je uzavřená, díky spojitosti je uzavřená i~v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$. $A=\{\vec x\in \VEC X \mid \norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$. Dále platí: \[ \bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(\vec 0,R)\cap A\right)=\emptyset, \] neboť v~průniku koulí leží pouze $\vec 0$, ten ale neleží v~$A$ a platí tedy $(\exists\rho>0)(\uz{B}(\vec 0,\rho)\cap A=\emptyset)$. Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies \norm{\vec x}_\infty\not=1)$. Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí, že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak \[ \norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}= \frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}< \norm{\vec{x_0}}\le\rho, \] ale \[ \norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty= \frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1, \] což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies \norm{\vec x}_\infty<1)$. Pro všechny $\vec x\not=\vec 0$ pak platí: \[ \norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho, \] tedy \[ \norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1, \] z~čehož vyplývá \[ \norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}. \] Pro $\vec x=\vec 0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou část nerovnosti. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{hromadná hodnota} \begin{define} Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je {\bf hromadnou hodnotou posloupnosti}, právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item (\textit{alternativní definice pro metrický prostor}) Nechť $(X,\rho)$ je metrický prostor. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti $(x_n) \Leftrightarrow$ existuje vybraná posloupnost $(x_{k_n})$ tak, že $(x_{k_n}) \to a$. (Tuto posloupnost sestavujeme tak, že bereme $x_{k_n} \in B(a,\frac{1}{n})$, takže potřebujeme metriku a nelze to udělat v topologii) \item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} \label{kompakt_hromadna_hodnota_existence} V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu hromadnou hodnotu. \begin{proof} Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$, $\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí: \[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\] kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že $\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} V~kompaktním Hausdorffově prostoru posloupnost konverguje, právě když má právě jednu hromadnou hodnotu. \begin{proof} Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje \textbf{otevřené} okolí hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy $X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle \ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence} tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor. \end{proof} \end{theorem} \begin{lemma}[Lebesgue] \label{lebesgue} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu, $\S = \{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru $\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin. \begin{proof} Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\S$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z pokrývajících množin z $\S$. Vezměme tedy takové pokrytí $\S = \{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)}$, které nejsou podmnožinou žádné z pokrývajících množin $V \in \S$. Dle předpokladu věty existuje pro posloupnost středů $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V \in \S$ tak, aby $a \in \vn{V}$; potom určitě $\exists B(a,r)\subset V$. Z definice limity najděme $n_1$ tak, aby $(\forall n > n_1)(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_2$ tak, aby $(\forall n > n_2)(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$. Po volbě $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$ platí $(\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$. \end{proof} \end{lemma} \index{$\epsilon$ síť} \begin{define} {\bf $\epsilon$-sítí} v metrickém prostoru $(X,\rho)$ rozumíme množinu koulí o~poloměru $\epsilon$ pokrývající $X$. \end{define} \begin{remark} Definice $\epsilon$-sítě není jednotná. Někdy se výše uvedený pojem nazývá $\epsilon$-pokrytím a v definici $\epsilon$-sítě se navíc požaduje minimální vzdálenost středů koulí o $\epsilon$. \end{remark} \begin{lemma}[Borel] \label{borel} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje \textbf{konečná} $\epsilon$-síť (se středy koulí vzdálenými od sebe minimálně o $\epsilon$). \begin{remark} Podle Vrány není nutné, aby byly středy koulí vzdálené alespoň o $\epsilon$. (Pouze to vyplyne z důkazu.) \end{remark} \begin{proof} Vezměme libovolné $\epsilon$ a dokažme, že pro něj existuje konečná $\epsilon$-síť. Vezměme bod $x_1$, vytvořme kouli $B_{1}(x_{1},\epsilon)$. Leží v kouli celý prostor? Pokud ano máme konečnou $\epsilon$-síť, pokud ne, vezměme bod $x_2$ z $X\sm B_{1}$ a vyrobme další kouli se středem v tomto bodě $B_{2}(x_{2},\epsilon)$. Leží v těchto dvou koulích celý prostor? Pokud ano, máme konečnou $\epsilon$-síť, pokud ne, pokračujeme dále s vytvářením koulí se středy v doplňcích. Prostor musí být pokryt konečným počtem koulí, protože pokud by nebyl, dostáváme posloupnost středů koulí $\posl{x_n}$, které jsou vzdáleny alespoň o $\epsilon$ a nemá nemá tudíž hromadnou hodnotu, což je spor s předpokladem. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem}[Weierstrass] Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá posloupnost má konvergentní podposloupnost. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná (\ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}). \item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru $X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí $B(x_i,\epsilon)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Kompaktnost a spojitost} \begin{theorem} Buďte $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $f: X \to Y$ spojité zobrazení. Potom je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní. \begin{proof} Buď $\S$ otevřené pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je otevřené pokrytí $X$, neboť otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže $f^{-1}(\S)$ má konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{max-kompakt} Buď $f:A\to\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$ nabývá na $A$ svého infima a suprema. \begin{proof} $f(A)$ je kompaktní, tudíž uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží. (Uzavřená množina obsahuje všechny svoje hromadné body a supremum i infimum jimi jsou) \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole. \end{remark} \index{stejnoměrná spojitost} \begin{define} Buďte $(X,\rho)$, $(Y,\sigma)$ metrické prostory. Řekneme, že zobrazení $f: X \to Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\] \end{define} \begin{remark} Uvědomme si, že na metrických prostorech je definice \ref{def_spojitost} ekvivalentní s naší \uv{starou} definicí spojitosti: zobrazení $f: (X,\rho) \to (Y,\sigma)$ je spojité, právě když \[ (\forall x \in X)(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in X)(\rho(x,y) < \delta \implies \sigma(f(x),f(y)) < \epsilon). \] \end{remark} \begin{theorem}[Cantor] Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně. \begin{proof} Důkaz provedeme sporem. Nechť platí \[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X) (\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\] Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí \[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\] Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí \[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x),\] tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$. Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je $\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$ konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a $\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže \[ \sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a } \sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2, \] z~čehož vyplývá \[ \sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le \sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))< \epsilon, \] což je spor. \end{proof} \end{theorem}