01MAA3:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobné úpravy.)
(oprava značení, překlepů, zjednodušení zápisu a přidáno několik poznámek)
Řádka 5: Řádka 5:
 
\index{podpokrytí}
 
\index{podpokrytí}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin
+
Buď $X$ topologický prostor, $\S \subset \P(X)$ systém množin
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall
+
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$, právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.
x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.
+
 
   
 
   
 
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
 
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
Řádka 15: Řádka 14:
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{define}
 
\end{define}
 
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Je-li  $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4).
+
Je-li  $\S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $\S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4).
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
Řádka 25: Řádka 23:
 
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
 
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
 
pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
 
pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
topologický podprostor je kompaktní.
+
topologický podprostor $X$ je kompaktní.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 46: Řádka 44:
 
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
 
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
 
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
 
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
platí, pomocí de Morganových zákonů :
+
platí, pomocí de Morganových zákonů:
 
\[
 
\[
 
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
 
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
Řádka 64: Řádka 62:
 
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
 
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
 
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
 
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
\item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
+
\item \emph{(o existenci)} Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
 
platit:
 
platit:
 
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
 
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
\item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
+
\item \emph{(o jednoznačnosti)} Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
 
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
 
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
 
takové, že platí
 
takové, že platí
Řádka 73: Řádka 71:
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 +
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.
+
Každý omezený uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.
 
% dodělat důkaz
 
% dodělat důkaz
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 81: Řádka 80:
 
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
 
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je
+
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená.
uzavřená.
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
 
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
\[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
+
\[(\forall y\in A)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
 
Dále platí:
 
Dále platí:
 
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
 
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
Řádka 100: Řádka 97:
 
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
 
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
 
\]
 
\]
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je
+
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x \in \vn{(X \sm A)}$.
bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve
+
Bod $x \in X \sm A$ jsme volili libovolně, proto je doplněk množiny $A$ otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
 
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
%Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí
 
%větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným
 
%průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené
 
%v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém
 
%$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje.
 
 
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$.  
 
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$.  
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat  $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i ~|~ i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$.  
+
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat  $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i \mid i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$.  
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 128: Řádka 118:
 
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
 
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
 
\begin{enumerate}[1)]
 
\begin{enumerate}[1)]
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.
+
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$ (maximová norma, $\forall \vec x \in \VEC X \; \norm{x} = \max_{i\in\n}\abs{x_i}$).
 
   
 
   
$A$ je omezená, tudíž $A\subset
+
$A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$.
B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je
+
$\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní.
v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je
+
$A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní.
kompaktní.
+
 
   
 
   
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.
+
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$.
 
   
 
   
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových
+
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bazických vektorů:
vektorů
+
 
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
 
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
 
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n\mapsto\R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
 
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n\mapsto\R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
 
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.
 
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.
 
   
 
   
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná.
+
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}$ libovolná.
 
   
 
   
 
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
 
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
Řádka 152: Řádka 140:
 
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
 
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
 
vztahu vyplývá spojitost identity  
 
vztahu vyplývá spojitost identity  
$(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$.
+
$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)\mapsto (\VEC X,\norm{\cdot})$.
 
   
 
   
Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky
+
Libovolná koule $\uz{B}(\vec 0,R)\subset (\VEC X,\norm{\cdot})$ je uzavřená, díky
spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$.
+
spojitosti je uzavřená i~v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
$A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
+
$A=\{\vec x\in \VEC X \mid \norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
v~$(X,\norm{\ }_\infty)$,
+
v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
$(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$.
+
 
   
 
   
 
Dále platí:
 
Dále platí:
 
\[
 
\[
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset,
+
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(\vec 0,R)\cap A\right)=\emptyset,
 
\]
 
\]
neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy
+
neboť v~průniku koulí leží pouze $\vec 0$, ten ale neleží v~$A$ a platí tedy
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
+
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(\vec 0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
 
   
 
   
 
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
 
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
Řádka 185: Řádka 172:
 
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
 
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
 
   
 
   
Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí:
+
Pro všechny $\vec x\not=\vec 0$ pak platí:
 
\[
 
\[
 
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
 
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
Řádka 197: Řádka 184:
 
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
 
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
 
\]
 
\]
Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
+
Pro $\vec x=\vec 0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
 
část nerovnosti.
 
část nerovnosti.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Řádka 215: Řádka 202:
  
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 +
\label{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
 
V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
 
V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
 
hromadnou hodnotu.
 
hromadnou hodnotu.
Řádka 227: Řádka 215:
  
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má
+
V~kompaktním Hausdorffově prostoru posloupnost konverguje, právě když má
 
právě jednu hromadnou hodnotu.
 
právě jednu hromadnou hodnotu.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Řádka 234: Řádka 222:
 
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
 
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
 
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
 
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí
+
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle \ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
+
tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 242: Řádka 230:
 
\label{lebesgue}
 
\label{lebesgue}
 
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
 
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
+
jednu hromadnou hodnotu, $\S = \{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
 
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
 
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
 
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
 
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
\bigskip
 
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in\S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S.
+
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\S$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z pokrývajících množin z $\S$.
 
   
 
   
Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)} = $ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin.
+
Vezměme tedy takové pokrytí $\S = \{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)}$, které nejsou podmnožinou žádné z pokrývajících množin $V \in \S$.
 
   
 
   
Dle předpokladu věty existuje pro $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in\S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
+
Dle předpokladu věty existuje pro posloupnost středů $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V \in \S$ tak, aby $a \in \vn{V}$; potom určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
 
   
 
   
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
+
Z definice limity najděme $n_1$ tak, aby $(\forall n > n_1)(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_2$ tak, aby $(\forall n > n_2)(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
 
   
 
   
Po volbě $n_0 = \max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.
+
Po volbě $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$ platí $(\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{lemma}
 
\end{lemma}
Řádka 268: Řádka 255:
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
   
 
   
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru $X$ splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.
+
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť.
+
Vezměme si pro takové $\epsilon$ libovolný systém koulí $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrývající prostor $X$ a splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$.
 +
 
 +
Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.
 
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.
 
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.
 
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{lemma}
 
\end{lemma}
Řádka 290: Řádka 278:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
 +
\subsection{Kompaktnost a spojitost}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $(X,\tau),(Y,\tau')$ topologické prostory, $f:(X,\tau)\mapsto (Y,\tau')$ spojité zobrazení. Potom
+
Buďte $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $f: X \to Y$ spojité zobrazení. Potom
 
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
 
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek
+
Buď $\S$ otevřené pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je otevřené pokrytí $X$, neboť
a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže
+
otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže $f^{-1}(\S)$
$f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
+
konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
 
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
 
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
Řádka 304: Řádka 294:
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 
\label{max-kompakt}
 
\label{max-kompakt}
Buď $f:A\mapsto\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$
+
Buď $f:A\to\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$
 
nabývá na $A$ svého infima a suprema.
 
nabývá na $A$ svého infima a suprema.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a
+
$f(A)$ je kompaktní, tudíž uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží.
supremum v~ní leží.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 316: Řádka 305:
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\bigskip
 
 
\index{stejnoměrná spojitost}
 
\index{stejnoměrná spojitost}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité
+
Buďte $(X,\rho)$, $(Y,\sigma)$ metrické prostory. Řekneme, že
zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě
+
zobrazení $f: X \to Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když  
když  
+
 
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
 
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
 +
\begin{remark}
 +
Uvědomme si, že na metrických prostorech je definice \ref{def_spojitost} ekvivalentní s naší \uv{starou} definicí spojitosti:
 +
zobrazení $f: (X,\rho) \to (Y,\sigma)$ je spojité, právě když
 +
\[
 +
(\forall x \in X)(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in X)(\rho(x,y) < \delta \implies \sigma(f(x),f(y)) < \epsilon).
 +
\]
 +
\end{remark}
 +
 
\begin{theorem}[Cantor]
 
\begin{theorem}[Cantor]
 
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
 
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
Řádka 334: Řádka 330:
 
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
 
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
 
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
 
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\]
+
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x),\]
Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
+
tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
 
   
 
   
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro

Verze z 8. 9. 2015, 15:06

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Kompaktní prostory}
 
\index{pokrytí}
\index{podpokrytí}
\begin{define}
Buď $X$ topologický prostor, $\S \subset \P(X)$ systém množin
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$, právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.
 
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\S_1\subset\S$,
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li  $\S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $\S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4).
\end{remark}
 
\index{kompaktní prostor}
\begin{define}
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
topologický podprostor $X$ je kompaktní.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\index{kompaktní množina}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Každá konečná množina je kompaktní.
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.
\item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je.
\item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice).
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.
\begin{proof}
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
platí, pomocí de Morganových zákonů:
\[
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
\iff
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
\]
a existuje konečné podpokrytí. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
\item \emph{(o existenci)} Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
platit:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
\item \emph{(o jednoznačnosti)} Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
takové, že platí
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Každý omezený uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.
% dodělat důkaz
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
\[(\forall y\in A)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
Dále platí:
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$
platí:
\[
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
\]
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x \in \vn{(X \sm A)}$.
Bod $x \in X \sm A$ jsme volili libovolně, proto je doplněk množiny $A$ otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
\begin{proof}
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. 
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat  $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i \mid i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní,
právě když je uzavřená a omezená.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
\begin{enumerate}[1)]
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$ (maximová norma, $\forall \vec x \in \VEC X \; \norm{x} = \max_{i\in\n}\abs{x_i}$).
 
$A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$.
$\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní.
$A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní.
 
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$.
 
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bazických vektorů:
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n\mapsto\R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.
 
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}$ libovolná.
 
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=
K\norm{\vec x}_\infty,\]
 
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
vztahu vyplývá spojitost identity 
$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)\mapsto (\VEC X,\norm{\cdot})$.
 
Libovolná koule $\uz{B}(\vec 0,R)\subset (\VEC X,\norm{\cdot})$ je uzavřená, díky
spojitosti je uzavřená i~v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
$A=\{\vec x\in \VEC X \mid \norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
 
Dále platí:
\[
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(\vec 0,R)\cap A\right)=\emptyset,
\]
neboť v~průniku koulí leží pouze $\vec 0$, ten ale neleží v~$A$ a platí tedy
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(\vec 0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
 
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.
 
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak
\[
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,
\]
ale
\[
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,
\]
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
 
Pro všechny $\vec x\not=\vec 0$ pak platí:
\[
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
\]
tedy
\[
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,
\]
z~čehož vyplývá
\[
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
\]
Pro $\vec x=\vec 0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
část nerovnosti.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{hromadná hodnota}
\begin{define}
Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho
členů posloupnosti.
\end{define}
\begin{remark}
Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
hromadnou hodnotu.
\begin{proof}
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že 
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním Hausdorffově prostoru posloupnost konverguje, právě když má
právě jednu hromadnou hodnotu.
\begin{proof}
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle \ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{lemma}[Lebesgue]
\label{lebesgue}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu, $\S = \{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
\begin{proof}
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\S$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z pokrývajících množin z $\S$.
 
Vezměme tedy takové pokrytí $\S = \{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)}$, které nejsou podmnožinou žádné z pokrývajících množin $V \in \S$.
 
Dle předpokladu věty existuje pro posloupnost středů $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V \in \S$ tak, aby $a \in \vn{V}$; potom určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
 
Z definice limity najděme $n_1$ tak, aby $(\forall n > n_1)(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_2$ tak, aby $(\forall n > n_2)(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
 
Po volbě $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$ platí $(\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}[Borel]
\label{borel}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná
\index{$\epsilon$ síť}
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).
\begin{proof}
 
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť.
Vezměme si pro takové $\epsilon$ libovolný systém koulí $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrývající prostor $X$ a splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$.
 
Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}[Weierstrass]
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá
posloupnost má konvergentní podposloupnost.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí
$B(x_i,\epsilon)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Kompaktnost a spojitost}
 
\begin{theorem}
Buďte $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $f: X \to Y$ spojité zobrazení. Potom
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
\begin{proof}
Buď $\S$ otevřené pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je otevřené pokrytí $X$, neboť
otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže $f^{-1}(\S)$ má
konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{max-kompakt}
Buď $f:A\to\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$
nabývá na $A$ svého infima a suprema.
\begin{proof}
$f(A)$ je kompaktní, tudíž uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.
\end{remark}
 
\index{stejnoměrná spojitost}
\begin{define}
Buďte $(X,\rho)$, $(Y,\sigma)$ metrické prostory. Řekneme, že
zobrazení $f: X \to Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když 
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Uvědomme si, že na metrických prostorech je definice \ref{def_spojitost} ekvivalentní s naší \uv{starou} definicí spojitosti:
zobrazení $f: (X,\rho) \to (Y,\sigma)$ je spojité, právě když
\[
(\forall x \in X)(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in X)(\rho(x,y) < \delta \implies \sigma(f(x),f(y)) < \epsilon).
\]
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Cantor]
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
\begin{proof}
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí 
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]
Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x),\]
tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže
\[
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,
\]
z~čehož vyplývá
\[
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<
\epsilon,
\]
což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}