01MAA3:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Změna uzavřených intervalů na novou symboliku.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Kompaktní prostory}
+
\section{Topologie}
 
   
 
   
\index{pokrytí}
+
\index{topologie}
\index{podpokrytí}
+
\index{topologický prostor}
 +
\index{otevřená množina}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin
+
Buď $X$ libovolná množina, $\P(X)$ její potenční množina, $\tau\subset\P(X)$ taková, že platí:
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall
+
x\in X)(\exists V\in\S)(x\in\vn{V})$.
+
+
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
+
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\S_1\subset\S$,
+
\item $\emptyset,X\in\tau$,
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.
+
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ konečná) platí:
 +
$\bigcap\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$,
 +
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ libovolná) platí:
 +
$\bigcup\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 +
Potom množinu $(X,\tau)$ nazveme {\bf topologickým prostorem} a $\tau$ jeho
 +
{\bf topologií}. Prvky topologie nazveme {\bf otevřené množiny}.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Je-li  $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené se prý hodí pro použití v integrálech.
+
\index{topologie, diskrétní} \index{topologie, triviální}
 +
Na každé množině $X$ lze zavézt triviální topologii $\tau_0 = \{\emptyset,X\}$ a diskrétní topologii $\tau_d=\P(X)$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\index{kompaktní prostor}
+
\index{okolí bodu}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
+
Buď $x\in (X,\tau)$. Potom množinu $\H_x$ nazveme {\bf okolím bodu} $x$, právě když
pokrytí má konečné podpokrytí.\bigskip
+
$(\exists A\in\tau)(x\in A\subset\H_x)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
 +
\begin{example}
 +
Nechť je na uzavřeném intervalu $X =  [0,1] $ zavedena  topologie $\tau_{fin}$ taková,
 +
že do ní patří $\emptyset$, $X$ a všechny doplňky konečných podmnožin $X$.
 +
Potom pro všechna $x \in X$  a libovolnou prostou postoupnost ($x_{n_1} \neq x_{n_2}$ pro $n_1\neq n_2$)
 +
platí, že $x_n \longrightarrow x$, protože každé okolí $U(x)$ obsahuje $\{x_n\}$ až na konečný počet členů.
 +
Takže neplatí tvrzení o jednoznačnosti limity.
 +
\end{example}
 +
 +
\index{axiomy oddělitelnosti}
 +
Z toho důvodu zavedeme \bf{axiomy oddělitelnosti:
 +
 +
\begin{tabbing}
 +
$T_0$: \= $(\forall x\not=y)[(\exists\H_x)(y\not\in\H_x) \lor (\exists\H_y)(x\not\in\H_y)]$ \\
 +
$T_1$: \> $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)
 +
(y\not\in\H_x\wedge x\not\in\H_y)$ \\
 +
$T_2$: \> $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset)$ \\
 +
$T_3$: \> $(\forall A=\uz{A})(\forall x\not\in A)(\exists\H_A,\H_x)(\H_A\cap\H_x=\emptyset)$\\
 +
$T_4$: \> $(\forall A=\uz{A},B=\uz{B})(A \cap B = \emptyset)(\exists\H_A,\H_B)(\H_A\cap\H_B=\emptyset)$
 +
\end{tabbing}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\index{kompaktní množina}
+
\item Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
+
\index{izolovaný bod}
topologický podprostor je kompaktní.\bigskip
+
\item Je-li $x$ sám svým okolím, řekneme, že $x$ je izolovaný.
\item Každá konečná množina je kompaktní.\bigskip
+
\index{$\epsilon$ okolí}
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.\bigskip
+
\item V~metrickém prostoru definujeme $\epsilon$-okolí
\item $\R$ není kompakt, ale $\uz{\R}$ už kompakt je. \bigskip
+
$\H_x^\epsilon=B(x,\epsilon)$
\item Kompaktnost nezávisí na metrice.  \bigskip
+
\index{okolí množiny}
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní\bigskip
+
\item Okolí množiny $\H_A$ definujeme jako $\H_A=\bigcup_{x\in
 +
A}\H_x$, neboli $(\exists B\in\tau)(A\subset B\subset\H_A)$
 +
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{theorem}
+
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin
+
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.
+
\begin{define}
\begin{proof}
+
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_0$ budeme nazývat \index{Kolmogorovův prostor} {\bf Kolmogorovův}.
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
+
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
+
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_2$ budeme nazývat \index{Hausdorffův prostor} {\bf Hausdorffův}.
platí, pomocí de Morganových zákonů :
+
\[
+
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_3$ budeme nazývat \index{Regulární prostor} {\bf Regulární}.
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
+
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=
+
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_4$ budeme nazývat \index{Normální prostor} {\bf Normální}.\end{define}
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
+
\iff
+
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
+
\]
+
a existuje konečné podpokrytí.  
+
\end{proof}
+
\end{theorem}
+
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Nechť $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu
+
\item Od~této chvíle budeme předpokládat prostor $T_2$.
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí
+
\item Metrický prostor je normální.
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
+
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
+
\item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
+
platit:
+
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
+
\item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
+
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
+
takové, že platí
+
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\begin{theorem}
 
Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.
 
% dodělat důkaz
 
\end{theorem}
 
 
   
 
   
 +
\index{uzavřená množina}
 +
\begin{define}
 +
Řekneme, že množina $A$ je {\bf uzavřená} v~$X$, právě když $X\sm
 +
A\in\tau$ (její doplněk do $X$ je otevřená).
 +
\end{define}
 +
 +
\index{kotopologie}
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
+
Systém všech uzavřených množin nazýváme {\bf kotopologie}, značíme $c\tau$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je
+
Nechť $(X,\tau)$ je topologický prostor, $c\tau$ jeho kotopologie. Pak platí:
uzavřená.
+
\begin{enumerate}[(i)]
 +
\item $\emptyset,X\in c\tau$
 +
\item $B_i\in c\tau\Rightarrow\bigcup\limits_{i=1}^n B_i\in c\tau$
 +
\item $B_\alpha\in c\tau,\ \alpha\in\I
 +
\Rightarrow\bigcap\limits_{\alpha\in\I} B_\alpha\in c\tau$
 +
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
+
\begin{enumerate}[(i)]
\[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
+
\item $X\sm\emptyset=X\in\tau$, $X\sm X=\emptyset\in\tau$.
Dále platí:
+
\item S~využitím de Morganových zákonů dostáváme
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
+
      \[X\sm \bigcup_{i=1}^n B_i=\bigcap_{i=1}^n(X\sm B_i)\in\tau\]
tedy systém okolí $H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je
+
\item
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy
+
      \[X\sm \bigcap_{\alpha\in\I}B_\alpha=
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]
+
        \bigcup_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)\in\tau\]
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí
+
\end{enumerate}
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$
+
platí:
+
\[
+
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
+
\]
+
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je
+
bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve
+
vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
+
de Morganovy zákony se dokáží aplikací vztahů
\begin{proof}
+
$$X\sm (A\cap B) = (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
%Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí
+
$$X\sm (A\cup B) = (X\sm A)\cap( X\sm B)$$
%větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným
+
$A,B\subset X$ pak platí
%průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené
+
$$x\in X\sm (A\cap B) \Leftrightarrow x\notin A\cap B \Leftrightarrow  x\notin A \vee x\notin B $$
%v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém
+
$$\Leftrightarrow x\in X\sm A \vee x\in X\sm B \Leftrightarrow x \in    (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
%$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje.
+
druhý vztah se dokáže podobně
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$.
+
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i,i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i; i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$.
+
+
\end{proof}
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\bigskip
 
\begin{theorem}
 
Buď $X$ konečnědimenzionální lineární prostor. Potom $A\subset X$ je kompaktní,
 
právě když je uzavřená a omezená.
 
\begin{proof}
 
\begin{enumerate}[a)]
 
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.
 
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
 
\begin{enumerate}[1)]
 
\item $X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.
 
 
   
 
   
$A$ je omezená, tudíž $A\subset
 
B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je
 
v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je
 
kompaktní.
 
 
   
 
   
\item $X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.
 
 
   
 
   
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových
+
\index{obojetná množina}
vektorů
+
\begin{define}
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
+
Množinu $A\subset X$, pro kterou platí $A\in\tau\cap c\tau$ nazveme {\bf obojetnou}.
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfním
+
\end{define}
zobrazením $V^n$ do $R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
+
\begin{remark}
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.
+
Například  $\emptyset,X$ jsou obojetné množiny.
 +
\end{remark}
 
   
 
   
\item $X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná.
+
\index{vnitřek}
 +
\begin{define}
 +
Buď $A\subset X$. Potom {\bf vnitřkem} množiny $\vn{A}$ je sjednocení
 +
\[\vn{A}=\bigcup_{\substack{B\subset A\\B\in\tau}}B.\]
 +
\end{define}
 
   
 
   
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
+
\index{vnějšek}
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le
+
\index{vnější bod}
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=
+
\begin{remark}
K\norm{\vec x}_\infty,\]
+
\begin{enumerate}
 +
\item Vnitřek $A$ je největší otevřená podmnožina $A$; $A=\vn A$ $\iff$ $A$ je otevřená $\iff A \in \tau$.
 +
\item Je-li $A\subset X$, potom {\bf vnějšek} množiny je vnitřek doplňku
 +
(tj. $\vn{(X\sm A)}$). Prvky vnějšku nazýváme {\bf vnějšími body}.
 +
\index{okolí bodu}
 +
\item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$
 +
  $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 
   
 
   
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
+
\index{hranice}
vztahu vyplývá spojitost identity
+
\begin{define}
$(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$.
+
{\bf Hranicí množiny} $A$ nazýváme množinu
 +
$\hr{A}=X\sm(\vn{A}\cup\vn{(X\sm A)})$, její prvky pak {\bf hraniční body}.
 +
\end{define}
 
   
 
   
Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky
+
\begin{remark}
spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$.
+
\begin{enumerate}
$A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
+
\item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená.
v~$(X,\norm{\ }_\infty)$,
+
\item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$.
$(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$.
+
\item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset
+
\wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$.
Dále platí:
+
\[
+
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset,
+
\]
+
neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy
+
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
+
+
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
+
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.
+
+
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,
+
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak
+
\[
+
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=
+
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<
+
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,
+
\]
+
ale
+
\[
+
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=
+
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,
+
\]
+
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
+
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
+
+
Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí:
+
\[
+
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
+
\]
+
tedy
+
\[
+
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,
+
\]
+
z~čehož vyplývá
+
\[
+
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
+
\]
+
Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
+
část nerovnosti.
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
+
\end{remark}
\end{proof}
+
\end{theorem}
+
 
   
 
   
\index{hromadná hodnota}
+
\index{uzávěr}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $(x_n)\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,
+
{\bf Uzávěrem} $\uz{A}$ množiny $A$ nazveme nejmenší uzavřenou nadmnožinu, tj.
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho
+
\[\uz{A}=\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C\]
členů posloupnosti.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
\bigskip
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $(x_n)$.
+
\item $\vn{A}\subset A\subset\uz{A}$.
\bigskip\item V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
+
\bigskip\item Uzávěr a vnějšek libovolné množiny jsou disjunktním rozkladem
hromadnou hodnotu.
+
množiny $X$:
\begin{proof}
+
\[
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,
+
X\sm\uz{A}=X\sm\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C=
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:
+
\bigcup_{\substack{X\sm C\subset X\sm A\\X\sm C\in\tau}}(X\sm C)=
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]
+
\vn{(X\sm A)},
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že
+
\]
$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru).
+
tedy $\uz{A}=\vn{X\sm(X\sm A)}$,
\end{proof}
+
$\uz{A}=\vn{A}\cup\hr{A}=A\cup\hr{A}$.
\bigskip\item V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má
+
\bigskip\item Pro uzavřenou množinu platí: $A\subset\uz{A}\subset A$, tedy
právě jednu hromadnou hodnotu.
+
$\uz{A}=A$.
\begin{proof}
+
\bigskip\item Pro otevřenou množinu platí: $\vn{A}=A$.
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci
+
\bigskip\item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$,
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí
+
$\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$,
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
+
$\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$.
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
+
\bigskip\item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{\vn{A}}=\vn{A}$.
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí
+
\bigskip\item $x\in\uz{A}$, právě když
mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
+
$(\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset)$,
\end{proof}
+
v~metrickém prostoru
 +
$(\forall\epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\not=\emptyset)$.
 +
\bigskip\item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$,
 +
$\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset
 +
\uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$.
 +
\bigskip\item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$,
 +
$\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\bigskip
 
\begin{lemma}[Lebesgue]
 
\label{lebesgue}
 
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
 
jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
 
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
 
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
 
\bigskip
 
\begin{proof}
 
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S.
 
 
   
 
   
Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in S}$ a uvažujme posloupnost $(\epsilon_n)=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $B_n = (x_n,\epsilon_n)$ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin.
+
\index{topologický podprostor}
 +
\begin{define}
 +
Buď $(X,\tau)$ topologický prostor, $A\subset X$. Na $A$ definujeme
 +
{\bf relativní} (též {\bf indukovanou}) topologii $\tau_A=(B\cap
 +
A|B\in\tau)$. $(A,\tau_A)$ nazveme {\bf topologickým podprostorem}.
 +
\end{define}
 
   
 
   
Dle předpokladu věty existuje pro $x_n$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
+
\index{metrický podprostor}
 +
\begin{define}
 +
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y\subset X$, $\rho_Y=\rho|_{Y\times
 +
Y}$. Potom uspořádanou dvojici $(Y,\rho_Y)$ nazveme {\bf metrickým
 +
podprostorem} $Y\pp X$.
 +
\end{define}
 
   
 
   
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
 
 
Po volbě $x_0 = max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(B_{k_n} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $B_n$.
 
\end{proof}
 
\end{lemma}
 
\bigskip
 
\begin{lemma}[Borel]
 
\label{borel}
 
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
 
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná
 
\index{$\epsilon$ síť}
 
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy
 
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).
 
\begin{proof}
 
 
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru X splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.
 
 
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $(B(x_n,\epsilon))$. Posloupnost $(x_n)\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.
 
 
\end{proof}
 
\end{lemma}
 
\bigskip
 
\begin{theorem}[Weierstrass]
 
Buď $X$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá
 
posloupnost má konvergentní podposloupnost.
 
\begin{proof}
 
\begin{enumerate}[a)]
 
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.
 
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru
 
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá
 
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících
 
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto
 
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí
 
$B(x_i,\epsilon)$.
 
\end{enumerate}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\bigskip
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$ spojité zobrazení topologického prostoru. Potom
+
Buď $Y\pp X$, $A\subset Y$. Potom $\uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}$.
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek
+
\[\uz{A}^Y=\{x\in Y|\rho(x,A)=0\}=Y\cap
a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže má
+
\underbrace{\{x\in X|\rho(x,A)=0\}}_{\displaystyle\uz{A}}
$f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
+
=Y\cap\uz{A}\]
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A\mapsto\R$. Potom $f$
+
Buď $Y$ metrický podprostor prostoru $X$. Potom platí:
nabývá na $A$ svého infima a supréma.
+
$A=\uz{A}^Y\iff (A=Y\cap B,B=\uz{B})$.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a
+
\begin{enumerate}[a)]
suprémum v~ní leží.
+
\item $(\Rightarrow)$: $A=\uz{A}^Y\implies A=Y\cap\uz{A}=Y\cap B$.
 +
\item $(\Leftarrow)$: $A=Y\cap B,B=\uz{B}\implies A\subset B\implies
 +
      \uz{A}\subset\uz{B}=B\implies \uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}\subset
 +
      Y\cap B=A$. Opačná inkluze ($A\subset\uz{A}^Y$) je triviální.
 +
\end{enumerate}
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.
+
\begin{enumerate}
 +
\item Buď $A\subset Y\subset X$. Pak platí:
 +
$A=\uz{A}^X\implies A=\uz{A}^Y$:
 +
$A=Y\cap A=Y\cap\uz{A}^X=\uz{A}^Y$.
 +
\item $A=\vn{A}^X\implies A=\vn{A}^Y$.
 +
\item $A=\uz{A}^Y\wedge Y=\uz{Y}^X\implies A=\uz{A}^X$:
 +
$A=\uz{A}^Y=\underbrace{Y\cap B}_{\text{uzavřené v~}X}$.
 +
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
+
\begin{remark}
+
\begin{enumerate}
\bigskip
+
\index{izolovaný bod}
\index{stejnoměrná spojitost}
+
\index{izolátor}
\begin{define}
+
\item {\bf Izolovaným bodem} množiny $A$ nazýváme bod $x\in A$, pro
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité
+
který existuje okolí $\H_x$ takové, že $\H_x\cap A=\{x\}$. Množinu
zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je stejnoměrně spojité, právě
+
$\iz{A}$ všech izolovaných bodů množiny $A$ nazýváme {\bf izolátorem}.
když
+
\index{hromadný bod}
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
+
\index{derivace množiny}
\end{define}
+
\item Bod $x\in\uz{A}$ nazýváme {\bf hromadným bodem} množiny $A$,
\bigskip
+
právě když není jejím bodem izolovaným. Množinu všech hromadných bodů
\begin{theorem}
+
nazýváme {\bf derivací} množiny $A$, značíme $A'$.
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
+
\item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$.
\begin{proof}
+
\item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$.
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí
+
\item $A=\uz{A}\iff A'\subset A$.
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)
+
\item $A'=\uz{A'}$: $\subset$ jasné;
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]
+
  $\supset$: $x \in \uz{A \sm \{x\}} \iff \forall \H_x: \H_x \cap (A \sm \{x\}) \neq \emptyset$, tj. má jiný společný bod než je $x$, a tudíž dle definice $x \in A'$
Buď $(x_n)$,$(y_n)$ posloupnosti takové, že platí
+
\item $(A')'\subset\uz{A'}=A'$ (př. množiny, která se derivováním menší $A=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{m})\in \R^2|m,n$ přirozená$\}$ pak $A'=\{(\frac{1}{n}, 0),(0,\frac{1}{n}), (0,0)|n$ přirozené$\}$ a následně $(A')'=\{(0,0)\}$)
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]
+
\index{diskrétní množina}
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
+
\item $A=\iz{A}$ --- diskrétní množina.
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
+
\index{perfektní množina}
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\]
+
\item $A=A'$ --- perfektní množina.
Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
+
\end{enumerate}
   
+
\end{remark}
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro
+
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je
+
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$
+
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a
+
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže
+
\[
+
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }
+
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,
+
\]
+
z~čehož vyplývá
+
\[
+
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le
+
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<
+
\epsilon,
+
\]
+
což je spor.
+
\end{proof}
+
\end{theorem}
+
\bigskip
+

Verze z 25. 8. 2013, 16:05

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Topologie}
 
\index{topologie}
\index{topologický prostor}
\index{otevřená množina}
\begin{define}
Buď $X$ libovolná množina, $\P(X)$ její potenční množina, $\tau\subset\P(X)$ taková, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\emptyset,X\in\tau$,
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ konečná) platí:
$\bigcap\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$,
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ libovolná) platí:
$\bigcup\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$.
\end{enumerate}
Potom množinu $(X,\tau)$ nazveme {\bf topologickým prostorem} a $\tau$ jeho
{\bf topologií}. Prvky topologie nazveme {\bf otevřené množiny}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\index{topologie, diskrétní} \index{topologie, triviální}
Na každé množině $X$ lze zavézt triviální topologii $\tau_0 = \{\emptyset,X\}$ a diskrétní topologii $\tau_d=\P(X)$.  
\end{remark}
 
\index{okolí bodu}
\begin{define}
Buď $x\in (X,\tau)$. Potom množinu $\H_x$ nazveme {\bf okolím bodu} $x$, právě když
$(\exists A\in\tau)(x\in A\subset\H_x)$.
\end{define}
 
\begin{example}
 Nechť je na uzavřeném intervalu $X =  [0,1] $ zavedena  topologie $\tau_{fin}$ taková, 
že do ní patří $\emptyset$, $X$ a všechny doplňky konečných podmnožin $X$.
Potom pro všechna $x \in X$  a libovolnou prostou postoupnost ($x_{n_1} \neq x_{n_2}$ pro $n_1\neq n_2$)
platí, že $x_n \longrightarrow x$, protože každé okolí $U(x)$ obsahuje $\{x_n\}$ až na konečný počet členů.
Takže neplatí tvrzení o jednoznačnosti limity. 
\end{example}
 
\index{axiomy oddělitelnosti}
Z toho důvodu zavedeme \bf{axiomy oddělitelnosti:
 
\begin{tabbing}
$T_0$: \= $(\forall x\not=y)[(\exists\H_x)(y\not\in\H_x) \lor (\exists\H_y)(x\not\in\H_y)]$ \\
$T_1$: \> $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)
(y\not\in\H_x\wedge x\not\in\H_y)$ \\
$T_2$: \> $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset)$ \\
$T_3$: \> $(\forall A=\uz{A})(\forall x\not\in A)(\exists\H_A,\H_x)(\H_A\cap\H_x=\emptyset)$\\
$T_4$: \> $(\forall A=\uz{A},B=\uz{B})(A \cap B = \emptyset)(\exists\H_A,\H_B)(\H_A\cap\H_B=\emptyset)$
\end{tabbing}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
 
\index{izolovaný bod}
\item Je-li $x$ sám svým okolím, řekneme, že $x$ je izolovaný.
\index{$\epsilon$ okolí}
\item V~metrickém prostoru definujeme $\epsilon$-okolí
$\H_x^\epsilon=B(x,\epsilon)$
\index{okolí množiny}
\item Okolí množiny $\H_A$ definujeme jako $\H_A=\bigcup_{x\in
A}\H_x$, neboli $(\exists B\in\tau)(A\subset B\subset\H_A)$
 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
 
 
\begin{define}
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_0$ budeme nazývat \index{Kolmogorovův prostor} {\bf Kolmogorovův}.
 
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_2$ budeme nazývat \index{Hausdorffův prostor} {\bf Hausdorffův}.
 
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_3$ budeme nazývat \index{Regulární prostor} {\bf Regulární}.
 
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_4$ budeme nazývat \index{Normální prostor} {\bf Normální}.\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item  Od~této chvíle budeme předpokládat prostor $T_2$.
\item Metrický prostor je normální.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{uzavřená množina}
\begin{define}
Řekneme, že množina $A$ je {\bf uzavřená} v~$X$, právě když $X\sm
A\in\tau$ (její doplněk do $X$ je otevřená).
\end{define}
 
\index{kotopologie}
\begin{remark}
Systém všech uzavřených množin nazýváme {\bf kotopologie}, značíme $c\tau$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť $(X,\tau)$ je topologický prostor, $c\tau$ jeho kotopologie. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\emptyset,X\in c\tau$
\item $B_i\in c\tau\Rightarrow\bigcup\limits_{i=1}^n B_i\in c\tau$
\item $B_\alpha\in c\tau,\ \alpha\in\I
\Rightarrow\bigcap\limits_{\alpha\in\I} B_\alpha\in c\tau$
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $X\sm\emptyset=X\in\tau$, $X\sm X=\emptyset\in\tau$.
\item S~využitím de Morganových zákonů dostáváme
      \[X\sm \bigcup_{i=1}^n B_i=\bigcap_{i=1}^n(X\sm B_i)\in\tau\]
\item
      \[X\sm \bigcap_{\alpha\in\I}B_\alpha=
        \bigcup_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)\in\tau\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
de Morganovy zákony se dokáží aplikací vztahů 
$$X\sm (A\cap B) = (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
$$X\sm (A\cup B) = (X\sm A)\cap( X\sm B)$$
$A,B\subset X$ pak platí
$$x\in X\sm (A\cap B) \Leftrightarrow x\notin  A\cap B \Leftrightarrow   x\notin A \vee x\notin B $$
$$\Leftrightarrow x\in X\sm A \vee x\in X\sm B \Leftrightarrow x \in    (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
druhý vztah se dokáže podobně
\end{remark}
 
 
 
\index{obojetná množina}
\begin{define}
Množinu $A\subset X$, pro kterou platí $A\in\tau\cap c\tau$ nazveme {\bf obojetnou}.
\end{define}
\begin{remark}
 Například  $\emptyset,X$ jsou obojetné množiny.
\end{remark}
 
\index{vnitřek}
\begin{define}
Buď $A\subset X$. Potom {\bf vnitřkem} množiny $\vn{A}$ je sjednocení
\[\vn{A}=\bigcup_{\substack{B\subset A\\B\in\tau}}B.\]
\end{define}
 
\index{vnějšek}
\index{vnější bod}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Vnitřek $A$ je největší otevřená podmnožina $A$; $A=\vn A$ $\iff$ $A$ je otevřená $\iff A \in \tau$.
\item Je-li $A\subset X$, potom {\bf vnějšek} množiny je vnitřek doplňku
(tj. $\vn{(X\sm A)}$). Prvky vnějšku nazýváme {\bf vnějšími body}.
\index{okolí bodu}
\item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$
  $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{hranice}
\begin{define}
{\bf Hranicí množiny} $A$ nazýváme množinu 
$\hr{A}=X\sm(\vn{A}\cup\vn{(X\sm A)})$, její prvky pak {\bf hraniční body}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená.
\item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$.
\item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset
\wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{uzávěr}
\begin{define}
{\bf Uzávěrem} $\uz{A}$ množiny $A$ nazveme nejmenší uzavřenou nadmnožinu, tj.
\[\uz{A}=\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\vn{A}\subset A\subset\uz{A}$.
\bigskip\item Uzávěr a vnějšek libovolné množiny jsou disjunktním rozkladem
množiny $X$:
\[
X\sm\uz{A}=X\sm\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C=
\bigcup_{\substack{X\sm C\subset X\sm A\\X\sm C\in\tau}}(X\sm C)=
\vn{(X\sm A)},
\]
tedy $\uz{A}=\vn{X\sm(X\sm A)}$,
$\uz{A}=\vn{A}\cup\hr{A}=A\cup\hr{A}$.
\bigskip\item Pro uzavřenou množinu platí: $A\subset\uz{A}\subset A$, tedy
$\uz{A}=A$.
\bigskip\item Pro otevřenou množinu platí: $\vn{A}=A$.
\bigskip\item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$,
$\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$,
$\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$.
\bigskip\item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{\vn{A}}=\vn{A}$.
\bigskip\item $x\in\uz{A}$, právě když 
$(\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset)$,
v~metrickém prostoru 
$(\forall\epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\not=\emptyset)$.
\bigskip\item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$,
$\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset
\uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$.
\bigskip\item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$,
$\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{topologický podprostor}
\begin{define}
Buď $(X,\tau)$ topologický prostor, $A\subset X$. Na $A$ definujeme
{\bf relativní} (též {\bf indukovanou}) topologii $\tau_A=(B\cap
A|B\in\tau)$. $(A,\tau_A)$ nazveme {\bf topologickým podprostorem}.
\end{define}
 
\index{metrický podprostor}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y\subset X$, $\rho_Y=\rho|_{Y\times
Y}$. Potom uspořádanou dvojici $(Y,\rho_Y)$ nazveme {\bf metrickým
podprostorem} $Y\pp X$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $Y\pp X$, $A\subset Y$. Potom $\uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}$.
\begin{proof}
\[\uz{A}^Y=\{x\in Y|\rho(x,A)=0\}=Y\cap
\underbrace{\{x\in X|\rho(x,A)=0\}}_{\displaystyle\uz{A}}
=Y\cap\uz{A}\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $Y$ metrický podprostor prostoru $X$. Potom platí:
$A=\uz{A}^Y\iff (A=Y\cap B,B=\uz{B})$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(\Rightarrow)$: $A=\uz{A}^Y\implies A=Y\cap\uz{A}=Y\cap B$.
\item $(\Leftarrow)$: $A=Y\cap B,B=\uz{B}\implies A\subset B\implies
      \uz{A}\subset\uz{B}=B\implies \uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}\subset
      Y\cap B=A$. Opačná inkluze ($A\subset\uz{A}^Y$) je triviální.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $A\subset Y\subset X$. Pak platí:
$A=\uz{A}^X\implies A=\uz{A}^Y$: 
$A=Y\cap A=Y\cap\uz{A}^X=\uz{A}^Y$.
\item $A=\vn{A}^X\implies A=\vn{A}^Y$.
\item $A=\uz{A}^Y\wedge Y=\uz{Y}^X\implies A=\uz{A}^X$:
$A=\uz{A}^Y=\underbrace{Y\cap B}_{\text{uzavřené v~}X}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\index{izolovaný bod}
\index{izolátor}
\item {\bf Izolovaným bodem} množiny $A$ nazýváme bod $x\in A$, pro
který existuje okolí $\H_x$ takové, že $\H_x\cap A=\{x\}$. Množinu
$\iz{A}$ všech izolovaných bodů množiny $A$ nazýváme {\bf izolátorem}.
\index{hromadný bod}
\index{derivace množiny}
\item Bod $x\in\uz{A}$ nazýváme {\bf hromadným bodem} množiny $A$,
právě když není jejím bodem izolovaným. Množinu všech hromadných bodů
nazýváme {\bf derivací} množiny $A$, značíme $A'$.
\item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$.
\item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$.
\item $A=\uz{A}\iff A'\subset A$.
\item $A'=\uz{A'}$: $\subset$ jasné;
 $\supset$: $x \in \uz{A \sm \{x\}} \iff \forall \H_x: \H_x \cap (A \sm \{x\}) \neq \emptyset$, tj. má jiný společný bod než je $x$, a tudíž dle definice $x \in A'$
\item $(A')'\subset\uz{A'}=A'$ (př. množiny, která se derivováním menší $A=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{m})\in \R^2|m,n$ přirozená$\}$ pak $A'=\{(\frac{1}{n}, 0),(0,\frac{1}{n}), (0,0)|n$ přirozené$\}$ a následně $(A')'=\{(0,0)\}$)
\index{diskrétní množina}
\item $A=\iz{A}$ --- diskrétní množina.
\index{perfektní množina}
\item $A=A'$ --- perfektní množina.
\end{enumerate}
\end{remark}