01MAA3:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m (Borel – přidána poznámka. mírné doplnění důkazu.)
 
(Není zobrazeno 54 mezilehlých verzí od 6 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Souvislé prostory}
+
\section{Kompaktní prostory}
+
 
\index{souvislost}
+
\index{pokrytí}
 +
\index{podpokrytí}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Topologický prostor $(X,\tau)$ je {\bf souvislý}, právě když jeho jedinými
+
Buď $X$ topologický prostor, $\S \subset \P(X)$ systém množin
obojetnými podmnožinami jsou $X$ a $\emptyset$.
+
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$, právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.
 +
 
 +
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
 +
\begin{enumerate}[(I)]
 +
\item $\S_1\subset\S$,
 +
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.
 +
\end{enumerate}
 
\end{define}
 
\end{define}
\bigskip
+
 
+
\begin{example}
+
Příklad topologického prostoru, který není souvislý je množina X s více než dvěma prvky a s diskrétní topologií.
+
Protože je každá podmnožina X obojetná.
+
\end{example}
+
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Prostor $X$ je souvislý, právě když ho nelze zapsat jako sjednocení
+
Je-li  $\S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $\S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4).
dvou otevřených neprázdných disjunktních podmnožin.
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\bigskip
+
 
 +
\index{kompaktní prostor}
 +
\begin{define}
 +
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
 +
pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
 +
topologický podprostor $X$ je kompaktní.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
\begin{enumerate}
 +
\index{kompaktní množina}
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 +
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní. (Pokryjeme je sjednocením jejich konečných pokrytí.)
 +
\item Každá konečná množina je kompaktní. (Pokryjeme ji konečným počtem okolí bodů této množiny.)
 +
\item \label{kompaktVMetr}
 +
V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená. ($\S_1 = \bigcup_{n \in \N} B(x,n)$ pokrývá celý prostor, tedy pro pokrytí kompaktní množiny stačí jedna koule.)
 +
\item $\R$ není kompakt ($\S=\{(-n,n)|n \in \N\}$ nemá konečné podpokrytí), ale $\RR$ už kompakt je. (Pokryji ho okolími nekonečen a uzavřeným intervalem z $\R$, který je podle \ref{kompaktInterval} kompaktní)
 +
\item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice).
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $A_\alpha$ systém souvislých množin takový, že každé 2 mají
+
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin
neprázdný průnik. Potom sjednocení $A=\bigcup A_\alpha$ je souvislá
+
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.
množina.
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $A=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$, $B_1\cap
+
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
B_2=\emptyset$. Potom $A_\alpha=(B_1\cap A_\alpha)\cup(B_2\cap
+
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
A_\alpha)$ a protože $B_\iota$ jsou v~$A$ otevřené, platí, že
+
platí, pomocí de Morganových zákonů:
$(B_\iota\cap A_\alpha)=\vn{(B_\iota\cap A_\alpha)}^{A_\alpha}$.
+
\[
+
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
Protože $A_\alpha$ jsou souvislé, $A_\alpha$ musí být buď podmnožinou
+
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=
$B_1$ nebo $B_2$. Všechny $A_\alpha$ pak musí ležet buď v~$B_1$ nebo
+
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
$B_2$, neboť každé 2 mají neprázdný průnik. Pak ale $B_1$ nebo $B_2$
+
\iff
je prázdná, což je spor.
+
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
 +
\]
 +
a existuje konečné podpokrytí.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
 +
\begin{remark}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu
 +
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí
 +
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
 +
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
 +
\item \emph{(o existenci)} Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
 +
platit:
 +
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
 +
\item \emph{(o jednoznačnosti)} Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
 +
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
 +
takové, že platí
 +
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $A\subset X$, $A\subset B\subset\uz{A}$. Pak je-li $A$ souvislá,
+
\label{kompaktInterval}
jsou i $\uz A$ a $B$ souvislé.
+
Každý omezený uzavřený interval $\I$ v $\R^n$ je kompaktní.
 +
\begin{remark}
 +
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
 +
\end{remark}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
+
Kontrola!!!!!(nejsem si jistý správností/pochopením tohoto důkazu)
\item \emph{ (sporem)} Buď $x\in A'$, $B=A\cup\{x\}$. Nechť $B=B_1\cup B_2$,
+
(Sporem) \[(\exists V\in \S)(\I \subset \bigcup_{V \in \S} V)(V \in \tau)\] tak, že neexistuje konečné podpokrytí $\S_1$. Nyní budu $\I=\left[a,b\right]$ opakovaně půlit, tj. tvořit posloupnost uzavřených intervalů
$B_\iota=\vn{B_\iota}^B$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom
+
$\left[a_n,b_n\right]_{n=1}^\infty$ tak, že \[(b_n-a_n<\frac{a-b}{2^n}).\]Vždy bude existovat část, která zůstává nepokrytá konečným podpokrytím. Z věty o půlení intervalu plyne, že existuje limitní bod, který si označíme $x$. $x$ je hromadným bodem posloupností $(a_n)$ a $(b_n)$ a zároveň \[(\exists V \in \S)(x \in V).\] Protože je toto $V$ otevřené, musí pokrývat okolí $x$ jímž, je jeden z intervalů $\left[a_n,b_n\right]$, což je spor s nepokrytím konečným podsystémem (interval $\left[a,b\right]$ pokryjeme konečným množstvím intervalů $\left[a_n,b_n\right]$).
$A=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)$.  
+
Platí, že $(B_\iota\cap A)=\vn{(B_\iota\cap
+
A)}^{A}$, proto buď $A\subset B_1$ nebo $A\subset B_2$
+
$\implies$ buď $\uz{A}^B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $\uz{A}^B\subset\uz{B_2}^B$,
+
$\implies$ buď $B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $B\subset\uz{B_2}^B$, což je
+
spor.\bigskip
+
\item $B=\bigcup_{x\in B}(A\cup\{x\})$, tedy $B$ vzniklo sjednocením
+
souvislých množin s~neprázdným průnikem.
+
\end{enumerate}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Jedinými souvislými množinami v~$\R$ jsou intervaly.
+
\label{kompakt_podmnozina}
 +
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
+
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
\bigskip\item $A$ není interval $\implies$ $A$ není souvislá:
+
\[(\forall y\in A)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
+
Dále platí:
Nechť tedy $A$ není interval, tj. platí, že
+
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
 +
tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je
 +
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy
 +
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]
 +
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí
 +
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$
 +
platí:
 
\[
 
\[
(\exists x_1,x_2\in A)(\exists c\in\R)(x_1<c<x_2\wedge c\not\in A).
+
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
 
\]
 
\]
Buďte $B_1=A\cap(-\infty,c)$, $B_1=A\cap(c,+\infty)$, tedy
+
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x \in \vn{(X \sm A)}$.
$B_\iota=\vn{B_\iota}^A$. $A=B_1\cup B_2$ a přitom $B_1$ a $B_2$ jsou
+
Bod $x \in X \sm A$ jsme volili libovolně, proto je doplněk množiny $A$ otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
otevřené, neprázdné a disjunktní, tudíž $A$ není souvislá množina.
+
\bigskip
+
\item $A$ je interval $\implies$ $A$ je souvislá:
+
+
Nechť $A=/\alpha,\beta/$ je libovolný interval, $B=\uz{B}^A=\vn{B}^A$,
+
$B\not=\emptyset$ neprázdná obojetná podmnožina $A$. Dokážeme, že
+
$B=A$. Buď $c\in B$, $b=\sup\{x\in\R~|~\left[ c,x\right] \subset B\}$.
+
+
Předpokládejme, že $b<\beta$. Z~2. vlastnosti supréma vyplývá, že
+
\[(\forall\epsilon>0)(\exists x\in \left( b-\epsilon,b\right] )
+
(\left[  c,x\right] \subset B),\] tedy v~libovolném okolí bodu $b$ leží bod
+
z~$B$, z~čehož vyplývá, že $b\in\uz{B}^A=B$.
+
+
Protože $b\in B$, z~otevřenosti $B$ vyplývá existence takového
+
$\epsilon$, že platí $\left[ b-\epsilon,b+\epsilon\right] \subset B$. Současně
+
ale $\left[ c,b\right] \subset B$, takže $\left[  c,b+\epsilon\right] \subset B$, což
+
je spor s~1. vlastností supréma, tedy $b=\beta$.
+
+
Analogicky se dokáže tvrzení pro dolní hranici intervalu a z~obou pak
+
vyplývá, že nutně $A=B$.
+
\end{enumerate}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
\clearpage
 
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Spojitý obraz souvislé množiny je souvislý.
+
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $f(X)=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^{f(X)}$, $B_1\cap
+
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$.
B_2=\emptyset$. Pak $X=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$. Množiny
+
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat  $G$, proto mu dáme první index (kdyby ho neobsahovalo, tak ho tam přidám, stále to bude konečné podpokrytí). Potom $\{G_i \mid i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$.
$f^{-1}(B_1)$ a $f^{-1}(B_2)$ jsou otevřené (to vyplývá ze spojitosti
+
$f$) a disjunktní (to vyplývá z~jednoznačnosti obrazu), tedy vzor není
+
souvislý, což je spor.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé kompaktní množině infima, suprema a všeho mezi tím.
+
Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní,
 +
právě když je uzavřená a omezená.
 +
\begin{proof}
 +
\begin{enumerate}[a)]
 +
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální. (Plyne z \ref{kompaktVMetr} a \ref{kompakt_podmnozina})
 +
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
 +
\begin{enumerate}[1)]
 +
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$ (maximová norma, $\forall \vec x \in \VEC X \; \norm{x} = \max_{i\in\n}\abs{x_i}$).
 +
 
 +
$A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$.
 +
$\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní.
 +
$A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní.
 +
 
 +
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$.
 +
 
 +
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bazických vektorů:
 +
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
 +
Buď $f: \vec x \mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n \to \R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
 +
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní. (V případě $\VEC X=V^n$ nad komplexními čísly musíme vzít $V^n \to \R^{2n}$ tak, že bereme zvlášť reálnou a komplexní část $x^i$)
 +
 
 +
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}$ libovolná.
 +
 
 +
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
 +
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le
 +
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=
 +
K\norm{\vec x}_\infty,\]
 +
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
 +
vztahu vyplývá spojitost identity
 +
$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty) \to (\VEC X,\norm{\cdot})$.
 +
 
 +
Libovolná koule $\uz{B}(\vec 0,R)\subset (\VEC X,\norm{\cdot})$ je uzavřená, díky
 +
spojitosti je uzavřená i~v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
 +
$A=\{\vec x\in \VEC X \mid \norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
 +
v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
 +
 
 +
Dále platí:
 +
\[
 +
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(\vec 0,R)\cap A\right)=\emptyset,
 +
\]
 +
neboť v~průniku koulí leží pouze $\vec 0$, ten ale neleží v~$A$ a platí tedy
 +
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(\vec 0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
 +
 
 +
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
 +
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.
 +
 
 +
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,
 +
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak
 +
\[
 +
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=
 +
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<
 +
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,
 +
\]
 +
ale
 +
\[
 +
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=
 +
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,
 +
\]
 +
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
 +
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
 +
 
 +
Pro všechny $\vec x\not=\vec 0$ pak platí:
 +
\[
 +
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
 +
\]
 +
tedy
 +
\[
 +
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,
 +
\]
 +
z~čehož vyplývá
 +
\[
 +
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
 +
\]
 +
Pro $\vec x=\vec 0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
 +
část nerovnosti.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{enumerate}
 +
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
% chybí důkaz
+
 
+
\index{hromadná hodnota}
\index{svázanost}
+
\index{komponenta souvislosti}
+
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Definujme na $X\times X$ relaci svázanosti: $x\sv y$, právě když
+
Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je {\bf hromadnou hodnotou posloupnosti},
existuje souvislá množina $A\subset X$ taková, že $x\in A$ a $y\in
+
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho
A$. Všechny třídy podle ekvivalence $x\sv y$ nazveme {\bf komponentami
+
členů posloupnosti.
souvislosti}.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Komponenta souvislosti bodu $x$ je největší souvislá množina
+
\item (\textit{alternativní definice pro metrický prostor}) Nechť $(X,\rho)$ je metrický prostor. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti $(x_n) \Leftrightarrow$
obsahující $x$.
+
existuje vybraná posloupnost $(x_{k_n})$ tak, že $(x_{k_n}) \to a$. (Tuto posloupnost sestavujeme tak, že bereme $x_{k_n} \in B(a,\frac{1}{n})$, takže potřebujeme metriku a nelze to udělat v topologii)
\item Komponenta souvislosti bodu x je uzavřená množina v X.
+
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$.  
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\bigskip
+
 
+
\begin{theorem}
+
\label{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
\index{lokální souvislost}
+
V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
 +
hromadnou hodnotu.
 +
\begin{proof}
 +
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,
 +
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:
 +
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]
 +
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že
 +
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru).
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
V~kompaktním Hausdorffově prostoru posloupnost konverguje, právě když má
 +
právě jednu hromadnou hodnotu.
 +
\begin{proof}
 +
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci
 +
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje \textbf{otevřené} okolí
 +
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
 +
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
 +
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle \ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
 +
tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\begin{lemma}[Lebesgue]
 +
\label{lebesgue}
 +
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
 +
jednu hromadnou hodnotu, $\S = \{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
 +
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
 +
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
 +
\begin{proof}
 +
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\S$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z pokrývajících množin z $\S$.
 +
 
 +
Vezměme tedy takové pokrytí $\S = \{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)}$, které nejsou podmnožinou žádné z pokrývajících množin $V \in \S$.
 +
 
 +
Dle předpokladu věty existuje pro posloupnost středů $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V \in \S$ tak, aby $a \in \vn{V}$; potom určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
 +
 
 +
Z definice limity najděme $n_1$ tak, aby $(\forall n > n_1)(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_2$ tak, aby $(\forall n > n_2)(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
 +
 
 +
Po volbě $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$ platí $(\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.
 +
\end{proof}
 +
\end{lemma}
 +
 
 +
\index{$\epsilon$ síť}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Řekneme, že prostor $X$ je {\bf lokálně souvislý}, právě když každé okolí má
+
{\bf $\epsilon$-sítí} v metrickém prostoru $(X,\rho)$ rozumíme množinu koulí o~poloměru $\epsilon$ pokrývající $X$.
souvislé podokolí.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Otevřené množiny v~lineárním prostoru jsou lokálně souvislé.
+
Definice $\epsilon$-sítě není jednotná. Někdy se výše uvedený pojem nazývá $\epsilon$-pokrytím a v definici $\epsilon$-sítě se navíc požaduje minimální vzdálenost středů koulí o $\epsilon$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\bigskip
+
 
\index{dráha}
+
\begin{lemma}[Borel]
\index{stopa dráhy}
+
\label{borel}
\begin{define}
+
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň
{\bf Dráhou v~topologickém prostoru} rozumíme každé spojité zobrazení
+
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje \textbf{konečná}
kompaktního intervalu z~$\R$ do $X$.
+
$\epsilon$-síť (se středy koulí vzdálenými od sebe minimálně o $\epsilon$).
+
Množinu $[\phi]=\{\phi(x)~|~x\in\left[ \alpha, \beta\right] \}$ nazýváme {\bf stopa
+
dráhy}.
+
+
Jestliže $[\phi]\cap A\not=\emptyset$, říkáme, že dráha {\bf protíná}
+
$A$. Jestliže dráha protíná jednobodovou množinu $\{x\}$, říkáme, že
+
dráha {\bf prochází} bodem $x$.
+
\bigskip
+
\index{orientovaný součet drah}
+
{\bf Orientovaný součet dvou drah}: Jestliže koncový bod jedné dráhy splývá
+
s~počátečním bodem druhé dráhy ($\phi_1(\beta_1)=\phi_2(\alpha_2)$), pak
+
\[
+
(\phi_1\dotp\phi_2)(t)=\phi(t)=
+
\begin{cases}
+
\phi_1(t) & \text{pro $t\in\left[ \alpha_1,\beta_1\right] $}\\
+
\phi_2( t+ \alpha_2 - \beta_1) & \text{pro $t\in\left[ \beta_1,\beta_1+\beta_2-\alpha_2\right] $}
+
\end{cases}
+
\]
+
\bigskip
+
\end{define}
+
+
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Stopa dráhy je vždy souvislá.
+
Podle Vrány není nutné, aby byly středy koulí vzdálené alespoň o $\epsilon$. (Pouze to vyplyne z důkazu.)
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
\begin{define}
 
Opačně orientovanou drahou k~dráze $\phi$ je dráha
 
$\dotm\phi(t)=\phi(-t)$, kde $t\in\left[ -\beta,-\alpha\right] $
 
\end{define}
 
 
\begin{remark}
 
$\phi_1\dotm\phi_2=\phi_1\dotp(\dotm\phi_2)$ za předpokladu, že dráhy
 
mají stejný koncový bod.
 
\end{remark}
 
\bigskip
 
\begin{theorem}
 
Buď $A$ množina z~$X$, buď $\phi$ dráha spojující nějaký vnitřní a
 
vnější bod z~$A$, tj. $[\phi]\cap\vn{A}\not=\emptyset \wedge[\phi]\cap\vn{(X\sm
 
A)}\not=\emptyset$. Potom $[\phi]\cap\hr{A}\not=\emptyset$.
 
 
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\emph{ (sporem)} Buď $B$ souvislá množina $(B\cap A\not=\emptyset\wedge
+
Vezměme libovolné $\epsilon$ a dokažme, že pro něj existuje konečná $\epsilon$-síť. Vezměme bod $x_1$, vytvořme kouli $B_{1}(x_{1},\epsilon)$. Leží v kouli celý prostor? Pokud ano máme konečnou $\epsilon$-síť, pokud ne, vezměme bod $x_2$ z $X\sm B_{1}$ a vyrobme další kouli se středem v tomto bodě $B_{2}(x_{2},\epsilon)$. Leží v těchto dvou koulích celý prostor? Pokud ano, máme konečnou $\epsilon$-síť, pokud ne, pokračujeme dále s vytvářením koulí se středy v doplňcích. Prostor musí být pokryt konečným počtem koulí, protože pokud by nebyl, dostáváme posloupnost středů koulí $\posl{x_n}$, které jsou vzdáleny alespoň o $\epsilon$ a nemá nemá tudíž hromadnou hodnotu, což je spor s předpokladem.
B\cap \vn{(X\sm A)}\not=\emptyset)$ a předpokládejme, že
+
\end{proof}
$B\cap\hr{A}=\emptyset$. Pak ale
+
\end{lemma}
$B=(B\cap\vn{A})\cup(B\cap\vn{(X\sm A)})$, tedy $B$ lze vyjádřit jako
+
 
sjednocení dvou disjunktních otevřených množin, což je spor s~tím, že
+
\begin{theorem}[Weierstrass]
$B$ je souvislá. Důkaz věty pak dostáváme, pokud položíme $B=[\phi]$, neboť stopa dráhy je souvislá množina (spojitý obraz intervalu v $\R$ tj. souvislé množiny je souvislý).
+
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá
 +
posloupnost má konvergentní podposloupnost.
 +
\begin{proof}
 +
\begin{enumerate}[a)]
 +
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná (\ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}).
 +
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru
 +
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá
 +
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících
 +
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto
 +
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí
 +
$B(x_i,\epsilon)$.
 +
\end{enumerate}
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
\bigskip
+
 
+
\subsection{Kompaktnost a spojitost}
+
 
\index{lineární souvislost}
+
\begin{theorem}
\begin{define}
+
Buďte $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $f: X \to Y$ spojité zobrazení. Potom
$X$ je lineárně souvislá, právě když libovolné dva body z~$X$ lze
+
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
spojit dráhou.
+
\end{define}
+
+
\begin{remark}
+
\begin{enumerate}
+
\item Lineárně souvislý prostor je souvislý, opačná implikace neplatí.  
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Libovolný bod $x\in X$ lze spojit s~ostatními body $X$ dráhou. Tyto
+
Buď $\S$ otevřené pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je otevřené pokrytí $X$, neboť
dráhy mají neprázdný průnik a jejich sjednocením je prostor $X$. Tedy
+
otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže $f^{-1}(\S)$ má
$X$ lze vyjádřit jako sjednocení množin s~neprázdným průnikem, takže
+
konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
$X$ je souvislý.
+
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
\item Naopak to neplatí --- např. množina
+
\end{theorem}
\[
+
 
\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup
+
\left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)~\right|~x\in\R\sm\{0\}\right\}
+
\]
+
je souvislá, ale není souvislá lineárně. Množiny
+
$\{(x,\sin\frac1x)~|~x\in\Rm\}$ a $\{(x,\sin\frac1x)~|~x\in\Rp\}$ jsou
+
souvislé (jsou to spojité obrazy intervalu), souvislé jsou tedy i
+
jejich uzávěry $\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup\{\dots\}$. Sjednocení
+
uzávěrů je souvislé, ale body $(x,\sin\frac1x)$ a $(y,\sin\frac1y)$
+
pro $x\in\Rm$ a $y\in\Rp$ nelze spojit dráhou.
+
\end{enumerate}
+
\end{remark}
+
\bigskip
+
+
\index{lokální lineární souvislost}
+
\begin{define}
+
Prostor $X$ je {\bf lokálně lineárně souvislý}, právě když každé okolí
+
na $X$ má lineárně souvislé podokolí.
+
\end{define}
+
+
+
\bigskip
+
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $X$ lokálně lineárně souvislý prostor. Potom
+
\label{max-kompakt}
\begin{enumerate}[(I)]
+
Buď $f:A\to\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$
\item Je-li $X$ souvislý, pak je souvislý lineárně.
+
nabývá na $A$ svého infima a suprema.
\item Není-li $X$ souvislý, pak všechny komponenty $X$ jsou obojetné a
+
lineárně souvislé.
+
\end{enumerate}\bigskip
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(I)]
+
$f(A)$ je kompaktní, tudíž uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží. (Uzavřená množina obsahuje všechny svoje hromadné body a supremum i infimum jimi jsou)
\item Zvolme bod $x\in X$ pevně, nechť $A_x=\{y~|~x\phi y\}$ množina
+
všech bodů $y$, které lze spojit drahou s~$x$. Množina $A_x$ je
+
neprázdná (obsahuje přinejmenším bod $x$). Dokážeme, že $A_x$ je
+
obojetná:
+
\begin{enumerate}[a)]
+
\bigskip\item Důkaz, že $A_x$ je otevřená:
+
+
Buď $y\in A_x$. Pak existuje lineárně souvislé okolí $\H_y$. Pro
+
libovolné $z\in\H_y$ platí, že $z\psi y\wedge y\phi x$, tedy
+
$x(\phi\dotp\psi)z$, tedy $z$ lze spojit drahou s~$x$ a $z\in
+
A_x$. Každý bod $y\in A_x$ leží v~$A_x$ i~s~okolím, tedy $A_x$ je
+
otevřená.
+
+
\bigskip\item Důkaz, že $A_x$ je uzavřená:
+
+
Buď $y\not\in A_x$. Bod $y$ má lineárně souvislé okolí
+
$\H_y$. Předpokládejme, že $\H_y\cap A_x\not=\emptyset$. Pak ale pro
+
$z\in \H_y\cap A_x$ existují $\phi$ a $\psi$ takové, že $x\phi z\wedge
+
z\psi y$, tedy $y\in A_x$, což je spor. Tedy
+
$\H_y\cap A_x=\emptyset$ a $A_x$ je uzavřená.
+
\end{enumerate}
+
Prostor $X$ je souvislý, tedy jedinými jeho obojetnými podmnožinami
+
jsou $X$ a $\emptyset$. Protože $A_x$ je obojetná a neprázdná, je
+
$A_x=X$, takže $X$ je lineárně souvislý.
+
+
\bigskip\item
+
\begin{enumerate}[a)]
+
\bigskip\item Každá komponenta je souvislá, podle předchozích úvah je souvislá
+
lineárně.
+
\bigskip\item Pro každý bod $x\in A$ platí, že $A$ je největší souvislá
+
množina obsahující bod $x$, tedy $A$ je uzavřená.
+
\bigskip\item Každý bod $x\in A$ má lineárně souvislé okolí, které je
+
podmnožinou $A$, takže $A$ je otevřená.
+
\end{enumerate}
+
\end{enumerate}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
\index{oblast}
+
\begin{define}
+
V~topologickém prostoru se {\bf oblastí} rozumí otevřená a souvislá
+
množina.
+
\end{define}
+
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
V~lineárním prostoru je každá oblast lokálně lineárně souvislá a každé
+
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.
2 body v~ní lze spojit lomenou čarou tvořenou konečně mnoha
+
\uv{segmenty.}
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
 +
\index{stejnoměrná spojitost}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Omezená oblast $D\subset\R^2$ se nazývá {\bf jednoduše souvislá},
+
Buďte $(X,\rho)$, $(Y,\sigma)$ metrické prostory. Řekneme, že
právě když $D$ i $\R^2\sm D$ jsou souvislé množiny.
+
zobrazení $f: X \to Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když
 +
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
 
\end{define}
 
\end{define}
  
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Jednoduše souvislá oblast je tedy množina \uv {bez děr}.
+
Uvědomme si, že na metrických prostorech je definice \ref{def_spojitost} ekvivalentní s naší \uv{starou} definicí spojitosti:
 +
zobrazení $f: (X,\rho) \to (Y,\sigma)$ je spojité, právě když
 +
\[
 +
(\forall x \in X)(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in X)(\rho(x,y) < \delta \implies \sigma(f(x),f(y)) < \epsilon).
 +
\]
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 +
 +
\begin{theorem}[Cantor]
 +
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí
 +
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)
 +
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]
 +
Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí
 +
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]
 +
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
 +
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
 +
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x),\]
 +
tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
 +
 +
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro
 +
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je
 +
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$
 +
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a
 +
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže
 +
\[
 +
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }
 +
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,
 +
\]
 +
z~čehož vyplývá
 +
\[
 +
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le
 +
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<
 +
\epsilon,
 +
\]
 +
což je spor.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}

Aktuální verze z 8. 2. 2017, 21:51

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Kompaktní prostory}
 
\index{pokrytí}
\index{podpokrytí}
\begin{define}
Buď $X$ topologický prostor, $\S \subset \P(X)$ systém množin
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$, právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.
 
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\S_1\subset\S$,
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li  $\S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $\S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4).
\end{remark}
 
\index{kompaktní prostor}
\begin{define}
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené
pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako
topologický podprostor $X$ je kompaktní.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\index{kompaktní množina}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní. (Pokryjeme je sjednocením jejich konečných pokrytí.)
\item Každá konečná množina je kompaktní. (Pokryjeme ji konečným počtem okolí bodů této množiny.)
\item \label{kompaktVMetr}
V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená. ($\S_1 = \bigcup_{n \in \N} B(x,n)$ pokrývá celý prostor, tedy pro pokrytí kompaktní množiny stačí jedna koule.)
\item $\R$ není kompakt ($\S=\{(-n,n)|n \in \N\}$ nemá konečné podpokrytí), ale $\RR$ už kompakt je. (Pokryji ho okolími nekonečen a uzavřeným intervalem z $\R$, který je podle \ref{kompaktInterval} kompaktní)
\item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.
\begin{proof}
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále
platí, pomocí de Morganových zákonů:
\[
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
\iff
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha
\]
a existuje konečné podpokrytí.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.
\item \emph{(o existenci)} Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí
platit:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]
\item \emph{(o jednoznačnosti)} Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$
takové, že platí
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{kompaktInterval}
Každý omezený uzavřený interval $\I$ v $\R^n$ je kompaktní.
\begin{remark}
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.
\end{remark}
\begin{proof}
Kontrola!!!!!(nejsem si jistý správností/pochopením tohoto důkazu)
(Sporem) \[(\exists V\in \S)(\I \subset \bigcup_{V \in \S} V)(V \in \tau)\] tak, že neexistuje konečné podpokrytí $\S_1$. Nyní budu $\I=\left[a,b\right]$ opakovaně půlit, tj. tvořit posloupnost uzavřených intervalů
$\left[a_n,b_n\right]_{n=1}^\infty$ tak, že \[(b_n-a_n<\frac{a-b}{2^n}).\]Vždy bude existovat část, která zůstává nepokrytá konečným podpokrytím. Z věty o půlení intervalu plyne, že existuje limitní bod, který si označíme $x$. $x$ je hromadným bodem posloupností $(a_n)$ a $(b_n)$ a zároveň \[(\exists V \in \S)(x \in V).\] Protože je toto $V$ otevřené, musí pokrývat okolí $x$ jímž, je jeden z intervalů $\left[a_n,b_n\right]$, což je spor s nepokrytím konečným podsystémem (interval $\left[a,b\right]$ pokryjeme konečným množstvím intervalů $\left[a_n,b_n\right]$).
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{kompakt_podmnozina}
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:
\[(\forall y\in A)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]
Dále platí:
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]
tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$
platí:
\[
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,
\]
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x \in \vn{(X \sm A)}$.
Bod $x \in X \sm A$ jsme volili libovolně, proto je doplněk množiny $A$ otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.
\begin{proof}
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$.
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat  $G$, proto mu dáme první index (kdyby ho neobsahovalo, tak ho tam přidám, stále to bude konečné podpokrytí). Potom $\{G_i \mid i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní,
právě když je uzavřená a omezená.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální. (Plyne z \ref{kompaktVMetr} a \ref{kompakt_podmnozina})
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.
\begin{enumerate}[1)]
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$ (maximová norma, $\forall \vec x \in \VEC X \; \norm{x} = \max_{i\in\n}\abs{x_i}$).
 
$A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$.
$\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní.
$A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní.
 
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}=\norm{\cdot}_\infty$.
 
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bazických vektorů:
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]
Buď $f: \vec x \mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n \to \R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní. (V případě $\VEC X=V^n$ nad komplexními čísly musíme vzít $V^n \to \R^{2n}$ tak, že bereme zvlášť reálnou a komplexní část $x^i$)
 
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\cdot}$ libovolná.
 
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=
K\norm{\vec x}_\infty,\]
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto
vztahu vyplývá spojitost identity
$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty) \to (\VEC X,\norm{\cdot})$.
 
Libovolná koule $\uz{B}(\vec 0,R)\subset (\VEC X,\norm{\cdot})$ je uzavřená, díky
spojitosti je uzavřená i~v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
$A=\{\vec x\in \VEC X \mid \norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená
v~$(\VEC X,\norm{\cdot}_\infty)$.
 
Dále platí:
\[
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(\vec 0,R)\cap A\right)=\emptyset,
\]
neboť v~průniku koulí leží pouze $\vec 0$, ten ale neleží v~$A$ a platí tedy
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(\vec 0,\rho)\cap A=\emptyset)$.
 
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.
 
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak
\[
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,
\]
ale
\[
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,
\]
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies
\norm{\vec x}_\infty<1)$.
 
Pro všechny $\vec x\not=\vec 0$ pak platí:
\[
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,
\]
tedy
\[
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,
\]
z~čehož vyplývá
\[
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.
\]
Pro $\vec x=\vec 0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou
část nerovnosti.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{hromadná hodnota}
\begin{define}
Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je {\bf hromadnou hodnotou posloupnosti},
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho
členů posloupnosti.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item (\textit{alternativní definice pro metrický prostor}) Nechť $(X,\rho)$ je metrický prostor. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti $(x_n) \Leftrightarrow$
existuje vybraná posloupnost $(x_{k_n})$ tak, že $(x_{k_n}) \to a$. (Tuto posloupnost sestavujeme tak, že bereme $x_{k_n} \in B(a,\frac{1}{n})$, takže potřebujeme metriku a nelze to udělat v topologii)
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$. 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu
hromadnou hodnotu.
\begin{proof}
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru).
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
V~kompaktním Hausdorffově prostoru posloupnost konverguje, právě když má
právě jednu hromadnou hodnotu.
\begin{proof}
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje \textbf{otevřené} okolí
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle \ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}
tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{lemma}[Lebesgue]
\label{lebesgue}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu, $\S = \{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.
\begin{proof}
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\S$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z pokrývajících množin z $\S$.
 
Vezměme tedy takové pokrytí $\S = \{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)}$, které nejsou podmnožinou žádné z pokrývajících množin $V \in \S$.
 
Dle předpokladu věty existuje pro posloupnost středů $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V \in \S$ tak, aby $a \in \vn{V}$; potom určitě $\exists B(a,r)\subset V$.
 
Z definice limity najděme $n_1$ tak, aby $(\forall n > n_1)(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_2$ tak, aby $(\forall n > n_2)(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.
 
Po volbě $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$ platí $(\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\index{$\epsilon$ síť}
\begin{define}
{\bf $\epsilon$-sítí} v metrickém prostoru $(X,\rho)$ rozumíme množinu koulí o~poloměru $\epsilon$ pokrývající $X$.
\end{define}
\begin{remark}
Definice $\epsilon$-sítě není jednotná. Někdy se výše uvedený pojem nazývá $\epsilon$-pokrytím a v definici $\epsilon$-sítě se navíc požaduje minimální vzdálenost středů koulí o $\epsilon$.
\end{remark}
 
\begin{lemma}[Borel]
\label{borel}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje \textbf{konečná}
$\epsilon$-síť (se středy koulí vzdálenými od sebe minimálně o $\epsilon$).
\begin{remark}
Podle Vrány není nutné, aby byly středy koulí vzdálené alespoň o $\epsilon$. (Pouze to vyplyne z důkazu.)
\end{remark}
\begin{proof}
Vezměme libovolné $\epsilon$ a dokažme, že pro něj existuje konečná $\epsilon$-síť. Vezměme bod $x_1$, vytvořme kouli $B_{1}(x_{1},\epsilon)$. Leží v kouli celý prostor? Pokud ano máme konečnou $\epsilon$-síť, pokud ne, vezměme bod $x_2$ z $X\sm B_{1}$ a vyrobme další kouli se středem v tomto bodě $B_{2}(x_{2},\epsilon)$. Leží v těchto dvou koulích celý prostor? Pokud ano, máme konečnou $\epsilon$-síť, pokud ne, pokračujeme dále s vytvářením koulí se středy v doplňcích. Prostor musí být pokryt konečným počtem koulí, protože pokud by nebyl, dostáváme posloupnost středů koulí $\posl{x_n}$, které jsou vzdáleny alespoň o $\epsilon$ a nemá nemá tudíž hromadnou hodnotu, což je spor s předpokladem. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}[Weierstrass]
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá
posloupnost má konvergentní podposloupnost.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná (\ref{kompakt_hromadna_hodnota_existence}).
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí
$B(x_i,\epsilon)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Kompaktnost a spojitost}
 
\begin{theorem}
Buďte $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $f: X \to Y$ spojité zobrazení. Potom
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.
\begin{proof}
Buď $\S$ otevřené pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je otevřené pokrytí $X$, neboť
otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže $f^{-1}(\S)$ má
konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{max-kompakt}
Buď $f:A\to\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$
nabývá na $A$ svého infima a suprema.
\begin{proof}
$f(A)$ je kompaktní, tudíž uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží. (Uzavřená množina obsahuje všechny svoje hromadné body a supremum i infimum jimi jsou)
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.
\end{remark}
 
\index{stejnoměrná spojitost}
\begin{define}
Buďte $(X,\rho)$, $(Y,\sigma)$ metrické prostory. Řekneme, že
zobrazení $f: X \to Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Uvědomme si, že na metrických prostorech je definice \ref{def_spojitost} ekvivalentní s naší \uv{starou} definicí spojitosti:
zobrazení $f: (X,\rho) \to (Y,\sigma)$ je spojité, právě když
\[
(\forall x \in X)(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in X)(\rho(x,y) < \delta \implies \sigma(f(x),f(y)) < \epsilon).
\]
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Cantor]
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.
\begin{proof}
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]
Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x),\]
tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže
\[
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,
\]
z~čehož vyplývá
\[
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<
\epsilon,
\]
což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}