01MAA3:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (oprava předchozí editace - překlepy)
(zdůvodnění nové poznámky 4 u hranice.)
 
(Není zobrazeno 14 mezilehlých verzí od stejného uživatele.)
Řádka 157: Řádka 157:
 
\item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$ $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$.
 
\item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$ $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$.
 
\item Vnitřek množiny $A$ tvoří všechny body množiny $A$, jimž je $A$ okolím.
 
\item Vnitřek množiny $A$ tvoří všechny body množiny $A$, jimž je $A$ okolím.
\item $A \subset B \implies \vn{A} \subset \vn{B}$ (Důkaz: $x \in \vn{A} \implies (\exists U \in \tau, x \in U \subset \vn{A}), A \subset B \implies U \in B \implies x \in U \subset \vn{B}$), $\vn{(A \cup B)} \supset \vn{A} \cup \vn{B}$ (ne rovnost: $\vn{((0,1)\cup [1,2))} \neq \vn{(0,1)} \cup \vn{[1,2)}$), $\vn{(A \cap B)} = \vn{A} \cap \vn{B}$ (Důkaz:$A \cap B$ je okolím $\iff$ je okolím $A$ i $B$).
+
\item $A \subset B \implies \vn{A} \subset \vn{B}$ (Důkaz: $x \in \vn{A} \implies (\exists U \in \tau, x \in U \subset \vn{A}), A \subset B \implies U \in B \implies x \in U \subset \vn{B}$)
 +
\item $\vn{(A \cup B)} \supset \vn{A} \cup \vn{B}$ (ne rovnost: $\vn{((0,1)\cup [1,2))} \neq \vn{(0,1)} \cup \vn{[1,2)}$)
 +
\item $\vn{(A \cap B)} = \vn{A} \cap \vn{B}$ (Důkaz:$A \cap B$ je okolím $\iff$ je okolím $A$ i $B$).
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 170: Řádka 172:
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená.
+
\item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená. (Je doplňkem otevřených množin)
\item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$.
+
\item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$. (ne rovnost: $\hr{((0,1)\cup [1,2))} = \emptyset \neq \hr{(0,1)} \cup \hr{[1,2)}=\{1\}$)
 +
\item $\hr{A} = \uz{A} \cap \uz{(X\sm A)}$ (ekvivalentní definici)
 
\item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset
 
\item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset
\wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$.
+
\wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$. (Plyne z předchozího bodu a definice uzávěru \ref{uzaver})
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 201: Řádka 204:
 
\item Alternativní definice otevřené množiny: $\vn{A}=A$.
 
\item Alternativní definice otevřené množiny: $\vn{A}=A$.
 
\item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$,
 
\item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$,
$\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$,
+
$\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$ (ne rovnost:  $\uz{((0,1)\cup (1,2))} = \emptyset \neq \uz(0,1)} \cup \uz{(1,2)}=\{1\}$),
 
$\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$.
 
$\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$.
 
\item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{(\vn{A})}=\vn{A}$.
 
\item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{(\vn{A})}=\vn{A}$.
Řádka 209: Řádka 212:
 
\item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$,
 
\item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$,
 
$\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset
 
$\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset
\uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$.
+
\uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$ (protipříklad rovnosti: $\uz{\{(x,y)|0<x^2+y^2<r\}}$ obsahuje počátek, tj. vnitřek uzávěru se nerovná vnitřku)
 
\item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$,
 
\item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$,
 
$\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$.
 
$\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$.
Řádka 233: Řádka 236:
  
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Pokud uvažujeme prostor $X = \R$ se standardní metrikou indukovanou absolutní hodnotou a metrický podprostor $Y = [a,b]$ (\uv{uzavřený} interval), pak pro $c \in (a,b)$ je množina $A = (c,b]$ (\uv{polouzavřený} interval) otevřená v $Y$.
+
Pokud uvažujeme prostor $X = \R$ se standardní metrikou indukovanou absolutní hodnotou a metrický podprostor $Y = [a,b]$ (\uv{uzavřený} interval), pak pro $c \in (a,b)$ je množina $A = (c,b]$ (\uv{polouzavřený} interval) otevřená v $Y$ ($(c,b]= [a,b] \cap (c,d)$, kde $d>b$, tj. průnik podprostoru a otevřené množiny z $X$).
 
\end{example}
 
\end{example}
  
Řádka 296: Řádka 299:
 
\Leftrightarrow \uz{A}=\uz{A \sm \{x\}} \Leftrightarrow \rho(x,A\sm \{x\})=0$
 
\Leftrightarrow \uz{A}=\uz{A \sm \{x\}} \Leftrightarrow \rho(x,A\sm \{x\})=0$
 
\item $\iz{A} = \iz{\uz{A}}$
 
\item $\iz{A} = \iz{\uz{A}}$
 +
\begin{proof}
 +
Vezmeme–li $\iz{A}$ jako podprostor, budou všechny množiny $\{x\}$ otevřené (($\exists H_x=\vn{H_x})(\{x\}=H_x \cap A)$), jejich libovolné sjednocení je tudíž otevřené a doplněk tohoto sjednocení je uzavřený. Z toho plyne, že libovolná podmnožina $\iz{A}$ je uzavřená. (Celá množina: sjednocení $\{x\}$ a jeho doplňku).
 +
\end{proof}
 
\item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$.
 
\item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$.
 
\item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$.
 
\item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$.

Aktuální verze z 3. 2. 2017, 21:08

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Topologie}
 
\index{topologie}
\index{topologický prostor}
\index{otevřená množina}
\begin{define}[Hausdorff, 1914]
Buď $X$ libovolná neprázdná množina, $\P(X)$ její potenční množina a $\tau\subset\P(X)$ taková, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\emptyset,X\in\tau$,
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ konečná) platí:
$\bigcap\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$,
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ libovolná) platí:
$\bigcup\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$.
\end{enumerate}
Potom $\tau$ nazýváme {\bf topologií} na $X$ a dvojici $(X,\tau)$ nazveme {\bf topologickým prostorem}. Prvky topologie nazveme {\bf otevřenými množinami}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pojem topologie zobecňuje vlastnosti metriky \ref{metr_sjednoceni_pruniky}. Každá metrika indukuje topologii, jejíž prvky určíme podle \ref{metr_otevrena_mnozina}.
Topologie je však obecnější pojem nezávislý na metrice. Prvky topologie (tj. otevřené množiny) pak mohou být klidně i množiny, jež jsou v nějaké metrice uzavřené.
\item \index{topologie, diskrétní} \index{topologie, triviální}
Na každé neprázdné množině $X$ lze zavézt triviální topologii $\tau_0 = \{\emptyset,X\}$ a diskrétní topologii $\tau_d=\P(X)$. Diskrétní topologie je indukovaná diskrétní metrikou.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{uzavřená množina}
\begin{define}
Řekneme, že množina $A$ je {\bf uzavřená} v~$X$, právě když $X\sm
A\in\tau$ (její doplněk do $X$ je otevřená).
\end{define}
 
\index{kotopologie}
\begin{remark}
Systém všech uzavřených množin nazýváme {\bf kotopologie}, značíme $c\tau$.
\end{remark}
 
\index{okolí bodu}
\begin{define}
Buď $x\in (X,\tau)$. Potom množinu $\H_x$ nazveme {\bf okolím bodu} $x$, právě když
$(\exists A\in\tau)(x\in A\subset\H_x)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt} 
\index{$\epsilon$ okolí}
\item V~metrickém prostoru definujeme $\epsilon$-okolí
$\H_x^\epsilon=H_\epsilon(x)=B(x,\epsilon)=B_\epsilon(x)$.
\index{okolí množiny}
\item Okolí množiny $\H_A$ definujeme jako $\H_A=\bigcup_{x\in
A}\H_x$, neboli $(\exists B\in\tau)(A\subset B\subset\H_A)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{example}
Nechť je na uzavřeném intervalu $X =  [0,1] $ zavedena  topologie $\tau_\text{fin}$ taková, 
že do ní patří $\emptyset$, $X$ a všechny doplňky konečných podmnožin $X$.
Potom pro všechna $x \in X$  a libovolnou prostou posloupnost ($x_{n_1} \neq x_{n_2}$ pro $n_1\neq n_2$)
platí, že $x_n \to x$, protože každé okolí $U(x)$ obsahuje $\{x_n\}$ až na konečný počet členů. Všechny body $\{x_n\}$ splňují definici limity,
 tj. neplatí tvrzení o jednoznačnosti limity. 
\end{example}
 
\index{axiomy oddělitelnosti}
Z toho důvodu zavedeme \bf{axiomy oddělitelnosti}:
 
\begin{itemize}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item[$T_0$:]  $(\forall x\not=y)[(\exists\H_x)(y\not\in\H_x) \lor (\exists\H_y)(x\not\in\H_y)]$
\item[$T_1$:]  $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(y\not\in\H_x\wedge x\not\in\H_y)$
\item[$T_2$:]  $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset)$
\item[$T_3$:]  $(\forall A\in c\tau)(\forall x\not\in A)(\exists\H_A,\H_x)(\H_A\cap\H_x=\emptyset)$
\item[$T_4$:]  $(\forall A,B\in c\tau)(A \cap B = \emptyset)(\exists\H_A,\H_B)(\H_A\cap\H_B=\emptyset)$
\end{itemize} 
 
\begin{define}
Topologický prostor vyhovující:
\begin{itemize}
\item axiomu $T_0$ nazýváme \index{Kolmogorovův prostor} {\bf Kolmogorovův},
\item axiomu $T_2$ nazýváme \index{Hausdorffův prostor} {\bf Hausdorffův},
\item axiomu $T_3$ nazýváme\index{regulární prostor} {\bf regulární},
\item axiomu $T_4$ nazýváme \index{normální prostor} {\bf normální}.
\end{itemize}
\end{define} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Od~této chvíle budeme předpokládat prostor $T_2$. 
\item Na Hausdorffovu počest se okolí bodu $x$ obvykle značí právě $\H_x$.
\item Metrický prostor splňuje $T_4$, tj. je normální.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\clearpage
 
\begin{theorem}
Nechť $(X,\tau)$ je topologický prostor, $c\tau$ jeho kotopologie. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\emptyset,X\in c\tau$
\item $B_i\in c\tau\Rightarrow\bigcup\limits_{i=1}^n B_i\in c\tau$
\item $B_\alpha\in c\tau,\ \alpha\in\I
\Rightarrow\bigcap\limits_{\alpha\in\I} B_\alpha\in c\tau$
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $X\sm\emptyset=X\in\tau$, $X\sm X=\emptyset\in\tau$.
\item S~využitím de Morganových zákonů dostáváme
      \[X\sm \bigcup_{i=1}^n B_i=\bigcap_{i=1}^n(X\sm B_i)\in\tau\]
\item
      \[X\sm \bigcap_{\alpha\in\I}B_\alpha=
        \bigcup_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)\in\tau\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
De Morganovy zákony se dokáží aplikací vztahů 
$$X\sm (A\cap B) = (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
$$X\sm (A\cup B) = (X\sm A)\cap( X\sm B)$$
Pro všechny $A,B\subset X$ pak platí:
$$x\in X\sm (A\cap B) \iff x\notin  A\cap B \iff   x\notin A \vee x\notin B $$
$$\iff x\in X\sm A \vee x\in X\sm B \iff x \in    (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
Druhý vztah se dokáže podobně.
\end{remark}
 
 
 
\index{obojetná množina}
\begin{define}
Množinu $A\subset X$, pro kterou platí $A\in\tau\cap c\tau$, nazveme {\bf obojetnou}.
\end{define}
\begin{remark}
V každém topologickém prostoru $(X,\tau)$ existují alespoň dvě obojetné množiny, a to prázdná množina $\emptyset$ a prostor $X$ samotný.
\end{remark}
 
\index{vnitřek}
\begin{define}
\label{vnitrek}
Buď $A\subset X$. Potom {\bf vnitřkem} množiny $\vn{A}$ je sjednocení
\[\vn{A}=\bigcup_{\substack{B\subset A\\B\in\tau}}B.\]
Body $x \in \vn{A}$ nazýváme {\bf vnitřními body} množiny A.
{\bf Vnějškem} množiny $A$ nazýváme vnitřek doplňku (tj. $\vn{(X\sm A)}$),
prvky vnějšku nazýváme {\bf vnějšími body} množiny $A$.
\end{define}
 
\index{vnějšek}
\index{vnější bod}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Triviálně platí: $\vn{A} \in \tau$, $\vn{A} \subset A$, $x \in \vn{A} \iff \exists \H_x \subset A$.
\item Vnitřek $A$ je největší otevřená podmnožina $A$; $A=\vn A$ $\iff$ $A$ je otevřená $\iff A \in \tau$.
\index{okolí bodu}
\item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$ $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$.
\item Vnitřek množiny $A$ tvoří všechny body množiny $A$, jimž je $A$ okolím.
\item $A \subset B \implies \vn{A} \subset \vn{B}$ (Důkaz: $x \in \vn{A} \implies (\exists U \in \tau, x \in U \subset \vn{A}), A \subset B \implies U \in B \implies x \in U \subset \vn{B}$)
\item $\vn{(A \cup B)} \supset \vn{A} \cup \vn{B}$ (ne rovnost: $\vn{((0,1)\cup [1,2))} \neq \vn{(0,1)} \cup \vn{[1,2)}$)
\item $\vn{(A \cap B)} = \vn{A} \cap \vn{B}$ (Důkaz:$A \cap B$ je okolím $\iff$ je okolím $A$ i $B$).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{hranice}
\begin{define}
{\bf Hranicí množiny} $A$ nazýváme množinu 
$\hr{A}=X\sm(\vn{A}\cup\vn{(X\sm A)})$, její prvky pak {\bf hraniční body}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená. (Je doplňkem otevřených množin)
\item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$. (ne rovnost: $\hr{((0,1)\cup [1,2))} = \emptyset \neq \hr{(0,1)} \cup \hr{[1,2)}=\{1\}$)
\item $\hr{A} = \uz{A} \cap \uz{(X\sm A)}$ (ekvivalentní definici)
\item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset
\wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$. (Plyne z předchozího bodu a definice uzávěru \ref{uzaver})
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{uzávěr}
\begin{define}
\label{uzaver}
{\bf Uzávěrem} $\uz{A}$ množiny $A$ nazveme nejmenší uzavřenou nadmnožinu, tj.
\[\uz{A}=\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{10pt}
\item $\vn{A}\subset A\subset\uz{A}$, $\vn{A} \in \tau$, $\uz{A} \in c\tau$.
\item Uzávěr a vnějšek libovolné množiny jsou disjunktním rozkladem
množiny $X$:
\[
X\sm\uz{A}=X\sm\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C=
\bigcup_{\substack{X\sm C\subset X\sm A\\X\sm C\in\tau}}(X\sm C)=
\vn{(X\sm A)},
\]
tedy $\uz{A}=\vn{X\sm(X\sm A)}$,
$\uz{A}=\vn{A}\cup\hr{A}=A\cup\hr{A}$.
\item Alternativní definice uzavřené množiny: $A\subset\uz{A}\subset A$, tedy
$\uz{A}=A$.
\item Alternativní definice otevřené množiny: $\vn{A}=A$.
\item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$,
$\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$ (ne rovnost:  $\uz{((0,1)\cup (1,2))} = \emptyset \neq \uz(0,1)} \cup \uz{(1,2)}=\{1\}$),
$\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$.
\item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{(\vn{A})}=\vn{A}$.
\item $x\in\uz{A} \iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset)$,
to jest v~metrickém prostoru 
$(\forall\epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\not=\emptyset)$.
\item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$,
$\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset
\uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$ (protipříklad rovnosti: $\uz{\{(x,y)|0<x^2+y^2<r\}}$ obsahuje počátek, tj. vnitřek uzávěru se nerovná vnitřku)
\item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$,
$\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{topologický podprostor}
\begin{define}
Buď $(X,\tau)$ topologický prostor, $A\subset X$. Na $A$ definujeme
{\bf relativní} (též {\bf indukovanou}) topologii $\tau_A=(B\cap A|B\in\tau)$
a $(A,\tau_A)$ nazveme {\bf topologickým podprostorem}, značíme $(A,\tau_A) \pp (X,\tau)$.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $(X,\tau)$ topologický prostor s topologickým podprostorem $(Y,\tau_Y) \pp (X,\tau)$. Pak vnitřek množiny $A \subset Y$ v prostoru $Y$ značíme $\vn{A}^Y$ a její uzávěr v prostoru $Y$ značíme značíme $\uz{A}^Y$.
\end{define}
 
\index{metrický podprostor}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y\subset X$, $\rho_Y=\rho|_{Y\times Y}$.
Potom uspořádanou dvojici $(Y,\rho_Y)$ nazveme {\bf metrickým podprostorem}, $Y \pp X$.
\end{define}
 
\begin{example}
Pokud uvažujeme prostor $X = \R$ se standardní metrikou indukovanou absolutní hodnotou a metrický podprostor $Y = [a,b]$ (\uv{uzavřený} interval), pak pro $c \in (a,b)$ je množina $A = (c,b]$ (\uv{polouzavřený} interval) otevřená v $Y$ ($(c,b]= [a,b] \cap (c,d)$, kde $d>b$, tj. průnik podprostoru a otevřené množiny z $X$).
\end{example}
 
\begin{theorem}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y \pp X$ a $A\subset Y$. Potom $\uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}$.
\begin{proof}
\[
\uz{A}^Y=\{y\in Y~|~\rho(y,A)=0\}
=Y\cap\underbrace{\{x\in X~|~\rho(x,A)=0\}}_{\displaystyle\uz{A}}
=Y\cap\uz{A}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y \pp X$ a $A\subset Y$. Potom platí:
$$A=\uz{A}^Y\iff (A=Y\cap B,B=\uz{B}^X)$$
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(\Rightarrow)$: $A=\uz{A}^Y\implies A=Y\cap\uz{A}=Y\cap B$.
\item $(\Leftarrow)$: $A=Y\cap B,B=\uz{B}\implies A\subset B\implies
      \uz{A}\subset\uz{B}=B\implies \uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}\subset
      Y\cap B=A$. Opačná inkluze ($A\subset\uz{A}^Y$) je triviální.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y \pp X$.
\item Analogicky předchozí větě platí: $A = \vn{A}^Y \iff (A = Y \cap B, B = \vn{B}^X)$.
\item Buď $A \subset Y$. Pak platí: $A=\uz{A}^X\implies A=\uz{A}^Y$ (důkaz: $A=Y\cap A=Y\cap\uz{A}^X=\uz{A}^Y$).
\item Podobně jako v předchozím bodě: $A=\vn{A}^X\implies A=\vn{A}^Y$.
\item $A=\uz{A}^Y\wedge Y=\uz{Y}^X\implies A=\uz{A}^X$ (důkaz: $A=\uz{A}^Y=\underbrace{Y\cap B}_{\text{uzavřené v~}X}$).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
 
\begin{define}
\index{izolovaný bod}
\index{izolátor}
{\bf Izolovaným bodem} množiny $A$ nazýváme bod $x\in A$, pro
který existuje okolí $\H_x$ takové, že $\H_x\cap A=\{x\}$. Množinu
všech izolovaných bodů množiny $A$ nazýváme {\bf izolátorem}, značíme $\iz{A}$.
Množinu $A=\iz{A}$ nazveme {\bf diskrétní}.
\end{define}
 
\begin{define}
\index{hromadný bod}
\index{derivace množiny}
Bod $x\in\uz{A}$ nazýváme {\bf hromadným bodem} množiny $A$,
právě když není jejím izolovaným bodem. Množinu všech hromadných bodů
nazýváme {\bf derivací} množiny $A$, značíme $A'$.
Množinu $A=A'$ nazveme {\bf perfektní}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $x$ je hromadný bod množiny $A \Leftrightarrow (\forall H_x)(H_x \cap (A \sm \{x\}) \neq \emptyset) 
\Leftrightarrow \uz{A}=\uz{A \sm \{x\}} \Leftrightarrow \rho(x,A\sm \{x\})=0$
\item $\iz{A} = \iz{\uz{A}}$
\begin{proof}
Vezmeme–li $\iz{A}$ jako podprostor, budou všechny množiny $\{x\}$ otevřené (($\exists H_x=\vn{H_x})(\{x\}=H_x \cap A)$), jejich libovolné sjednocení je tudíž otevřené a doplněk tohoto sjednocení je uzavřený. Z toho plyne, že libovolná podmnožina $\iz{A}$ je uzavřená. (Celá množina: sjednocení $\{x\}$ a jeho doplňku).
\end{proof}
\item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$.
\item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$.
\item $A=\uz{A}\iff A'\subset A$.
\item $A'=\uz{A'}$
\begin{proof}
\item $\supset$: $x \in \uz{A \sm \{x\}} \iff \forall \H_x: \H_x \cap (A \sm \{x\}) \neq \emptyset$, tj. má jiný společný bod než je $x$, a tudíž dle definice $x \in A'$,
\item $\subset$: zřejmé.
\end{proof}
\item $(A')'\subset\uz{A'}=A'$ 
\begin{example}
Množina, která se derivováním menší, je např. 
$\displaystyle A=\left\lbrace \left. \begin{pmatrix}\frac{1}{n}\\\frac{1}{m}\end{pmatrix}\in\R^2 \right\vert m,n\in\N\right\rbrace $:
 
pak $A'=\displaystyle A=\left\lbrace \left. \begin{pmatrix}\frac{1}{n}\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{n}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\vert n\in\N\right\rbrace$
 
a následně $(A')'=\left\lbrace \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\rbrace $.
\end{example}
\end{enumerate}
\end{remark}