01MAA3:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA3} \section{Topologie v~metrickém prostoru} \index{metrika} \index{metrický prostor} \begin{define} Buď $X$ neprázdná množina, na níž je defin...) |
(V lineárním prostoru je uzávěr otev. koule uzav. koule.) |
||
(Není zobrazeno 15 mezilehlých verzí od 5 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA3} | %\wikiskriptum{01MAA3} | ||
− | \section{ | + | \section{Metrika} |
− | + | ||
− | \index{ | + | Touto kapitolou dle Vrány začíná \uv{látka z druhého ročníku}. Na úvod si připomeneme základní definici z lineární algebry. Z té se samozřejmě nezkouší, ale je vhodné ji porovnat s~následujícími definicemi. |
− | \index{ | + | |
+ | \index{skalární součin} | ||
+ | \index{unitární prostor} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $ | + | \label{defunit} |
− | $\ | + | Buď $V$ vektorový prostor nad $\C$, buď definováno zobrazení |
+ | $\la\cdot,\cdot\ra: V \times V \to \C$ takové, že platí: | ||
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
− | \item $\ | + | \setlength{\itemsep}{2pt} |
− | \item $\ | + | \item pozitivní definitnost: $\forall\vec x\in V \; \la \vec x,\vec x\ra \ge 0$, přičemž $\la \vec x, \vec x \ra = 0 \Leftrightarrow \vec x = \vec 0$, |
− | \item $\ | + | \item hermitovskost: $\forall\vec x,\vec y\in V \; \la \vec x,\vec y\ra=\uz{\la \vec y,\vec x \ra}$, |
+ | \item levá linearita: $\forall\vec x,\vec y\in V, \forall\lambda\in\C \; \la \lambda \vec x+\vec y,\vec z\ra =\lambda\la \vec x,\vec z\ra + \la \vec y,\vec z\ra$, | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | + | pak zobrazení $\la \cdot,\cdot \ra$ nazveme {\bf skalární součin} a dvojici $(V,\la\cdot,\cdot\ra)$ nazveme {\bf pre-Hilbertův prostor}. | |
− | $( | + | |
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\index{norma} | \index{norma} | ||
\index{normovaný prostor} | \index{normovaný prostor} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
+ | \label{defnorm} | ||
Buď $V$ vektorový prostor nad $T$, buď definováno zobrazení | Buď $V$ vektorový prostor nad $T$, buď definováno zobrazení | ||
− | $\norm{\ }:V\ | + | $\norm{\cdot}:V\to \Rop$ takové, že platí: |
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
− | \item $\norm{\vec x}=0\iff \vec x=\vec 0$, | + | \setlength{\itemsep}{2pt} |
− | \item $\norm{\lambda\vec x}=\abs{\lambda}\, \norm{\vec x} \ | + | \item pozitivní definitnost: $\forall\vec x\in V \; \norm{\vec x}=0\iff \vec x=\vec 0$, |
− | + | \item pozitivní homogenita: $\forall\vec x\in V, \forall\lambda\in T \; \norm{\lambda\vec x}=\abs{\lambda}\, \norm{\vec x}$, | |
− | \ | + | \item trojúhelníková nerovnost: $\forall\vec x,\vec y\in V \; \norm{\vec x+\vec y}\le\norm{\vec x}+\norm{\vec y}$, |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | pak | + | pak zobrazení $\norm{\cdot}$ nazveme {\bf normou} na prostoru $V$ a dvojici $(V,\norm{\cdot})$ nazveme {\bf normovaný lineární prostor}. Není-li splněn axiom (I), zobrazení nazýváme {\bf seminormou}. |
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark}Příklady norem: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \setlength{\itemsep}{3pt} | ||
+ | \item Norma indukovaná skalárním součinem: $\norm {\vec x}=\sqrt{\la\vec x,\vec x\ra}$. | ||
+ | \item Norma indukovaná lineárním funkcionálem $\phi$: $\norm {\vec x}=\abs{\phi(\vec x)}$ | ||
+ | \index{maximová norma} | ||
+ | \item Maximová norma: $\displaystyle\norm{\vec x}_\infty=\max_{i}\{\abs{x_i}\}$ | ||
+ | \index{supremová norma} | ||
+ | \item Supremová norma: $\displaystyle\norm{f}_\infty=\sup_{x}\{\abs{f(x)}\}$ | ||
+ | \index{$p$--norma} | ||
+ | \item $p$--norma: $\displaystyle \norm{\vec x}_p=\left(\sum_{i=1}^{\dim V} \abs{x_i}^p\right)^{1/p} \quad \forall p\ge1$ --- pro $p\in(0,1)$ není splněn axiom (III). | ||
+ | \index{taxicab norma} | ||
+ | \item Položíme-li v definici $p$--normy $p=1$, získáme součtovou normu. \footnote{V anglické literatuře se nazývá též {\it taxicab} norma, resp. manhattanská norma. Jméno je odvozené z toho, jakou vzdálenost musí ujet taxikář v manhattanské obdélníkové síti ulic.} | ||
+ | \index{Eukleidovská norma} | ||
+ | \item Položíme-li v definici $p$--normy $p=2$, získáme eukleidovskou normu (normu indukovanou standardním skalárním součinem). | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | Pro $p$--normy dále platí | ||
+ | \begin{enumerate}[(i)] | ||
+ | \item $\lim_{p\to +\infty}\norm{\cdot}_p=\norm{\cdot}_\infty$ | ||
+ | \item $(\forall p<q)(\forall\vec x\in V)(\norm{\vec x}_p\geq \norm{\vec x}_q)$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Norma na prostoru funkcí indukovaná skalárním součinem z poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} nesplňuje axiom (I), je to tedy seminorma. Abychom získali normu, stačí pouze namísto Riemannova integrálu mínit integrál Lebesgueův. Korektní zavedení této normy na prostoru funkcí je náplní MAA4. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \index{metrika} | ||
+ | \index{metrický prostor} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buď $X$ neprázdná množina, na níž je definováno zobrazení | ||
+ | $\rho: X \times X \to \Rop$ takové, že platí: | ||
+ | \begin{enumerate}[(I)] | ||
+ | \setlength{\itemsep}{2pt} | ||
+ | \item totožnost: $\rho(x,y)=0 \iff x=y \quad\forall x,y\in X$, | ||
+ | \item symetrie: $\rho(x,y)=\rho(y,x) \quad\forall x,y\in X$, | ||
+ | \item trojúhelníková nerovnost: $\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z) \quad\forall x,y,z\in X$, | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | pak zobrazení $\rho$ nazveme {\bf metrikou} na množině $X$ a dvojici $(X,\rho)$ nazveme {\bf metrický prostor}. | ||
+ | Prvky nosné množiny se nazývají {\bf body} a $\rho(x,y)$ nazýváme {\bf | ||
+ | vzdálenost bodů} $x,y$. \index{vzdálenost bodů} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \index{diskrétní metrika} | ||
+ | \index{diskrétní prostor} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Na množině $X$ není definován součet prvků, stačí nám definovat jejich vzdálenost pomocí metriky. | ||
+ | \item Na každé množině lze zavést metriku --- přinejmenším tzv. diskrétní metrika, která poskytuje pouze rozlišovací schopnost: | ||
+ | \[\d(x,y)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | 0 & x=y \\ | ||
+ | 1 & x\not=y \\ | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
\index{metrika indukovaná normou} | \index{metrika indukovaná normou} | ||
− | \item $\rho(x,y)=\norm{\vec x - \vec y}$ | + | \item Norma automaticky indukuje metriku $\rho(x,y)=\norm{\vec x - \vec y}$. Tímto způsobem získáme metriku maximovou, eukleidovskou, součtovou, atd. |
− | + | \item Metrický prostor už nemusí mít strukturu vektorového prostoru. Pro zdůraznění linearity užíváme pojmu \textit{lineární} prostor namísto vektorového a zapisujeme $\VEC X$ místo $X$. Navíc se tímto odliší lineární prostor od afinního \ref{affine}. | |
− | \item | + | \item Každý pre-Hilbertův prostor je normovaný a každý normovaný prostor je metrický. |
− | \ | + | |
− | \ | + | |
− | \item | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom: | + | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom definujeme: |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
+ | \setlength{\itemsep}{2pt} | ||
\index{průměr množiny} | \index{průměr množiny} | ||
− | \item $\forall A\subset X: | + | \item $\forall A\subset X: \text{diam}(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y)$ --- {\bf |
průměr množiny} | průměr množiny} | ||
\index{vzdálenost množiny} | \index{vzdálenost množiny} | ||
− | \item $\forall A,B\subset X: \ | + | \item $\forall A,B\subset X: \text{dist}(A,B)=\inf\limits_{x\in A,y\in |
B}\rho(x,y)$ --- {\bf vzdálenost množin} | B}\rho(x,y)$ --- {\bf vzdálenost množin} | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
− | |||
\index{omezená množina} | \index{omezená množina} | ||
+ | Říkáme, že množina $A\subset X$ je omezená, právě když $\text{diam}(A)<+\infty$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Jelikož $\sup\emptyset = -\infty$, definuje se někdy průměr prázdné množiny explicitně jako $\text{diam}(\emptyset) = 0$. | ||
+ | Zobrazení $\text{diam}$ je tedy nezáporné na potenční množině $\P(X)$, tj. $\forall A \subset X \; 0 \le \text{diam}(A) \le +\infty$. | ||
+ | S definicí vzdálenosti množin podobný problém nemáme, neboť $\inf\emptyset = +\infty$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $A \subset X$. Vzdálenost bodu $x \in X$ od množiny $A$ definujeme jako $\text{dist}(x,A) = \text{dist}(\{x\},A)$. | |
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Pak platí: | ||
+ | \begin{enumerate}[(i)] | ||
+ | \item $\forall x,y \in X, \forall A \subset X \quad \text{dist}(x,A) \le \rho(x,y) + \text{dist}(y,A)$ | ||
+ | \item $\forall x,y \in X, \forall A \subset X \quad \abs{\text{dist}(x,A) - \text{dist}(y,A)} \le \rho(x,y)$ | ||
+ | \item $\forall x \in X, \forall A,B \subset X \quad \text{dist}(x,A \cup B) = \min\{\text{dist}(x,A),\text{dist}(x,B)\}$ | ||
+ | \item $\forall x \in X, \forall A \subset X \quad x \in A \Rightarrow \text{dist}(x,A) = 0$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Plyne z vlastností infima a metriky $\rho$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Zobrazení $\text{dist}(\cdot,\cdot)$ obecně není metrikou potenční množiny $\P(X)$. | ||
+ | Pokud totiž pro dvě různé množiny $A,B \subset X$ platí $A \cap B \not= \emptyset$, pak $\text{dist}(A,B) = 0$, ale množiny $A,B$ nejsou identické. | ||
+ | Obecně tedy metrika představuje vzdálenost, ale vzdálenost nemusí být metrikou. | ||
+ | \end{remark} | ||
\index{otevřená koule} | \index{otevřená koule} | ||
+ | \index{uzavřená koule} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $x\in X$, $r\in\Rp$. Potom | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $x\in X$, $r\in\Rp$. Potom | ||
− | ( | + | \begin{enumerate}[(I)] |
+ | \item {\bf otevřenou koulí} rozumíme množinu $B(x,r)=\{y\in X~|~\rho(y,x)<r\}$, | ||
+ | \item {\bf uzavřenou koulí} rozumíme množinu $S(x,r)=\{y\in X~|~\rho(y,x)\leq r\}$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | |||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Prostor je omezený, právě když $\exists r,x | + | \setlength{\itemsep}{3pt} |
− | + | \item Prostor je omezený, právě když se vejde do koule, tj. $(\exists r,x)(X\subset B(x,r))$. | |
− | + | \item Takto definovaná koule nemusí být kulatá, dokonce nemusí být ani konvexní. V případě metriky indukované normou konvexní bude. | |
− | \item Takto definovaná koule nemusí být kulatá, dokonce nemusí být ani konvexní. V případě metriky | + | \item V~diskrétní metrice: $B(x,1)=\{x\}$, ale $S(x,1) = X=B(x,r>1)$. V jazyce \ref{vnitrek} lze říci, že uzávěr otevřené koule je podmnožina uzavřené koule, tj. $\uz{B(x,r)}\subset S(x,r)$. (Rovnost platí v lineárním prstoru.) |
− | \item V~ | + | \item Diskrétní prostor $(\R,\mathrm{d})$ je omezený, ale prostor s absolutní hodnotou $(\R,\abs{\cdot})$ není omezený. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \item $(\R,d)$ je omezený, $(\R,\abs{\ })$ není omezený. | + | |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 113: | Řádka 170: | ||
\index{otevřená množina} | \index{otevřená množina} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Říkáme, že množina $A\subset X$ je {\bf otevřená}, právě když $(\forall x\in | + | \label{metr_otevrena_mnozina} |
− | A)(\exists B(x,r)\subset A)$. | + | Říkáme, že množina $A\subset X$ je {\bf otevřená}, právě když s |
+ | libovolným bodem obsahuje i nějakou kouli se středem v tomto bodu, tj. | ||
+ | $(\forall x\in A)(\exists B(x,r)\subset A)$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Každý prostor je otevřená množina | + | Příklady otevřených množin: |
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Každý prostor je otevřená množina, prázdná množina je také otevřená. | ||
+ | \item Otevřená koule je otevřená množina. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
+ | \label{metr_sjednoceni_pruniky} | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
\item Buďte $A_1,\dots,A_n$ otevřené množiny v~$X$. Potom | \item Buďte $A_1,\dots,A_n$ otevřené množiny v~$X$. Potom |
Aktuální verze z 22. 1. 2017, 18:32
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 09:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 22. 2. 2016 | 00:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 14:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 22:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 19:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 22:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 13:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 18:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 10:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 14:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Metrika} Touto kapitolou dle Vrány začíná \uv{látka z druhého ročníku}. Na úvod si připomeneme základní definici z lineární algebry. Z té se samozřejmě nezkouší, ale je vhodné ji porovnat s~následujícími definicemi. \index{skalární součin} \index{unitární prostor} \begin{define} \label{defunit} Buď $V$ vektorový prostor nad $\C$, buď definováno zobrazení $\la\cdot,\cdot\ra: V \times V \to \C$ takové, že platí: \begin{enumerate}[(I)] \setlength{\itemsep}{2pt} \item pozitivní definitnost: $\forall\vec x\in V \; \la \vec x,\vec x\ra \ge 0$, přičemž $\la \vec x, \vec x \ra = 0 \Leftrightarrow \vec x = \vec 0$, \item hermitovskost: $\forall\vec x,\vec y\in V \; \la \vec x,\vec y\ra=\uz{\la \vec y,\vec x \ra}$, \item levá linearita: $\forall\vec x,\vec y\in V, \forall\lambda\in\C \; \la \lambda \vec x+\vec y,\vec z\ra =\lambda\la \vec x,\vec z\ra + \la \vec y,\vec z\ra$, \end{enumerate} pak zobrazení $\la \cdot,\cdot \ra$ nazveme {\bf skalární součin} a dvojici $(V,\la\cdot,\cdot\ra)$ nazveme {\bf pre-Hilbertův prostor}. \end{define} \index{norma} \index{normovaný prostor} \begin{define} \label{defnorm} Buď $V$ vektorový prostor nad $T$, buď definováno zobrazení $\norm{\cdot}:V\to \Rop$ takové, že platí: \begin{enumerate}[(I)] \setlength{\itemsep}{2pt} \item pozitivní definitnost: $\forall\vec x\in V \; \norm{\vec x}=0\iff \vec x=\vec 0$, \item pozitivní homogenita: $\forall\vec x\in V, \forall\lambda\in T \; \norm{\lambda\vec x}=\abs{\lambda}\, \norm{\vec x}$, \item trojúhelníková nerovnost: $\forall\vec x,\vec y\in V \; \norm{\vec x+\vec y}\le\norm{\vec x}+\norm{\vec y}$, \end{enumerate} pak zobrazení $\norm{\cdot}$ nazveme {\bf normou} na prostoru $V$ a dvojici $(V,\norm{\cdot})$ nazveme {\bf normovaný lineární prostor}. Není-li splněn axiom (I), zobrazení nazýváme {\bf seminormou}. \end{define} \begin{remark}Příklady norem: \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Norma indukovaná skalárním součinem: $\norm {\vec x}=\sqrt{\la\vec x,\vec x\ra}$. \item Norma indukovaná lineárním funkcionálem $\phi$: $\norm {\vec x}=\abs{\phi(\vec x)}$ \index{maximová norma} \item Maximová norma: $\displaystyle\norm{\vec x}_\infty=\max_{i}\{\abs{x_i}\}$ \index{supremová norma} \item Supremová norma: $\displaystyle\norm{f}_\infty=\sup_{x}\{\abs{f(x)}\}$ \index{$p$--norma} \item $p$--norma: $\displaystyle \norm{\vec x}_p=\left(\sum_{i=1}^{\dim V} \abs{x_i}^p\right)^{1/p} \quad \forall p\ge1$ --- pro $p\in(0,1)$ není splněn axiom (III). \index{taxicab norma} \item Položíme-li v definici $p$--normy $p=1$, získáme součtovou normu. \footnote{V anglické literatuře se nazývá též {\it taxicab} norma, resp. manhattanská norma. Jméno je odvozené z toho, jakou vzdálenost musí ujet taxikář v manhattanské obdélníkové síti ulic.} \index{Eukleidovská norma} \item Položíme-li v definici $p$--normy $p=2$, získáme eukleidovskou normu (normu indukovanou standardním skalárním součinem). \end{enumerate} Pro $p$--normy dále platí \begin{enumerate}[(i)] \item $\lim_{p\to +\infty}\norm{\cdot}_p=\norm{\cdot}_\infty$ \item $(\forall p<q)(\forall\vec x\in V)(\norm{\vec x}_p\geq \norm{\vec x}_q)$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} Norma na prostoru funkcí indukovaná skalárním součinem z poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} nesplňuje axiom (I), je to tedy seminorma. Abychom získali normu, stačí pouze namísto Riemannova integrálu mínit integrál Lebesgueův. Korektní zavedení této normy na prostoru funkcí je náplní MAA4. \end{remark} \index{metrika} \index{metrický prostor} \begin{define} Buď $X$ neprázdná množina, na níž je definováno zobrazení $\rho: X \times X \to \Rop$ takové, že platí: \begin{enumerate}[(I)] \setlength{\itemsep}{2pt} \item totožnost: $\rho(x,y)=0 \iff x=y \quad\forall x,y\in X$, \item symetrie: $\rho(x,y)=\rho(y,x) \quad\forall x,y\in X$, \item trojúhelníková nerovnost: $\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z) \quad\forall x,y,z\in X$, \end{enumerate} pak zobrazení $\rho$ nazveme {\bf metrikou} na množině $X$ a dvojici $(X,\rho)$ nazveme {\bf metrický prostor}. Prvky nosné množiny se nazývají {\bf body} a $\rho(x,y)$ nazýváme {\bf vzdálenost bodů} $x,y$. \index{vzdálenost bodů} \end{define} \index{diskrétní metrika} \index{diskrétní prostor} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Na množině $X$ není definován součet prvků, stačí nám definovat jejich vzdálenost pomocí metriky. \item Na každé množině lze zavést metriku --- přinejmenším tzv. diskrétní metrika, která poskytuje pouze rozlišovací schopnost: \[\d(x,y)= \begin{cases} 0 & x=y \\ 1 & x\not=y \\ \end{cases} \] \index{metrika indukovaná normou} \item Norma automaticky indukuje metriku $\rho(x,y)=\norm{\vec x - \vec y}$. Tímto způsobem získáme metriku maximovou, eukleidovskou, součtovou, atd. \item Metrický prostor už nemusí mít strukturu vektorového prostoru. Pro zdůraznění linearity užíváme pojmu \textit{lineární} prostor namísto vektorového a zapisujeme $\VEC X$ místo $X$. Navíc se tímto odliší lineární prostor od afinního \ref{affine}. \item Každý pre-Hilbertův prostor je normovaný a každý normovaný prostor je metrický. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom definujeme: \begin{enumerate}[(i)] \setlength{\itemsep}{2pt} \index{průměr množiny} \item $\forall A\subset X: \text{diam}(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y)$ --- {\bf průměr množiny} \index{vzdálenost množiny} \item $\forall A,B\subset X: \text{dist}(A,B)=\inf\limits_{x\in A,y\in B}\rho(x,y)$ --- {\bf vzdálenost množin} \end{enumerate} \index{omezená množina} Říkáme, že množina $A\subset X$ je omezená, právě když $\text{diam}(A)<+\infty$. \end{define} \begin{remark} Jelikož $\sup\emptyset = -\infty$, definuje se někdy průměr prázdné množiny explicitně jako $\text{diam}(\emptyset) = 0$. Zobrazení $\text{diam}$ je tedy nezáporné na potenční množině $\P(X)$, tj. $\forall A \subset X \; 0 \le \text{diam}(A) \le +\infty$. S definicí vzdálenosti množin podobný problém nemáme, neboť $\inf\emptyset = +\infty$. \end{remark} \begin{define} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $A \subset X$. Vzdálenost bodu $x \in X$ od množiny $A$ definujeme jako $\text{dist}(x,A) = \text{dist}(\{x\},A)$. \end{define} \begin{theorem} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Pak platí: \begin{enumerate}[(i)] \item $\forall x,y \in X, \forall A \subset X \quad \text{dist}(x,A) \le \rho(x,y) + \text{dist}(y,A)$ \item $\forall x,y \in X, \forall A \subset X \quad \abs{\text{dist}(x,A) - \text{dist}(y,A)} \le \rho(x,y)$ \item $\forall x \in X, \forall A,B \subset X \quad \text{dist}(x,A \cup B) = \min\{\text{dist}(x,A),\text{dist}(x,B)\}$ \item $\forall x \in X, \forall A \subset X \quad x \in A \Rightarrow \text{dist}(x,A) = 0$ \end{enumerate} \begin{proof} Plyne z vlastností infima a metriky $\rho$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Zobrazení $\text{dist}(\cdot,\cdot)$ obecně není metrikou potenční množiny $\P(X)$. Pokud totiž pro dvě různé množiny $A,B \subset X$ platí $A \cap B \not= \emptyset$, pak $\text{dist}(A,B) = 0$, ale množiny $A,B$ nejsou identické. Obecně tedy metrika představuje vzdálenost, ale vzdálenost nemusí být metrikou. \end{remark} \index{otevřená koule} \index{uzavřená koule} \begin{define} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $x\in X$, $r\in\Rp$. Potom \begin{enumerate}[(I)] \item {\bf otevřenou koulí} rozumíme množinu $B(x,r)=\{y\in X~|~\rho(y,x)<r\}$, \item {\bf uzavřenou koulí} rozumíme množinu $S(x,r)=\{y\in X~|~\rho(y,x)\leq r\}$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Prostor je omezený, právě když se vejde do koule, tj. $(\exists r,x)(X\subset B(x,r))$. \item Takto definovaná koule nemusí být kulatá, dokonce nemusí být ani konvexní. V případě metriky indukované normou konvexní bude. \item V~diskrétní metrice: $B(x,1)=\{x\}$, ale $S(x,1) = X=B(x,r>1)$. V jazyce \ref{vnitrek} lze říci, že uzávěr otevřené koule je podmnožina uzavřené koule, tj. $\uz{B(x,r)}\subset S(x,r)$. (Rovnost platí v lineárním prstoru.) \item Diskrétní prostor $(\R,\mathrm{d})$ je omezený, ale prostor s absolutní hodnotou $(\R,\abs{\cdot})$ není omezený. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Nechť $x,y\in X$, $x\not=y$. Pak existuje $r>0$ tak, že platí: $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$. \begin{proof} Například $r=\frac12\rho(x,y)$. \end{proof} \end{theorem} \index{otevřená množina} \begin{define} \label{metr_otevrena_mnozina} Říkáme, že množina $A\subset X$ je {\bf otevřená}, právě když s libovolným bodem obsahuje i nějakou kouli se středem v tomto bodu, tj. $(\forall x\in A)(\exists B(x,r)\subset A)$. \end{define} \begin{remark} Příklady otevřených množin: \begin{enumerate} \item Každý prostor je otevřená množina, prázdná množina je také otevřená. \item Otevřená koule je otevřená množina. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} \label{metr_sjednoceni_pruniky} \begin{enumerate}[(i)] \item Buďte $A_1,\dots,A_n$ otevřené množiny v~$X$. Potom $\bigcap\limits_{i=1}^n A_i$ je otevřená množina. \item Jsou-li $A_\alpha$ otevřené množiny ($\alpha\in\I$ {\bf libovolná} indexová množina), je $\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha$ je otevřená množina. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Pokud je průnik prázdný, je tvrzení triviální. Pro libovolný bod $x$ neprázdného průniku pak platí: $(\forall i\in\n)(\exists r_i>0)(B(x,r_i)\subset A_i)$. Vzhledem k~tomu, že množin je konečný počet, existuje $r=\min_{i\in\n}r_i$, tedy platí \[B(x,r)\in\bigcap\limits_{i=1}^n A_i,\]\bigskip což je tvrzení věty. \item Libovolný bod $x$ ze sjednocení leží alespoň v~jedné množině $A_\alpha$, tudíž podle předpokladu existuje koule \[B(x, r)\subset A_\alpha\subset\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha.\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem}