01MAA3:Kapitola14: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobné úpravy.)
(oprevena klasifikace kvadratických forem)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Lokální extrémy}
+
\section{Lokální extrémy}
+
 
 
\index{lokální maximum}
 
\index{lokální maximum}
 
\index{lokální minimum}
 
\index{lokální minimum}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když
 
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{
+
\begin{align*}
resp.}\]
+
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)), \text{ resp.} \\
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]
+
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))
 +
\end{align*}
 
\end{define}
 
\end{define}
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Extrém může mít pouze reálná funkce. Na komplexních číslech není zavedena relace uspořádání, nelze tedy porovnávat komplexní funkční hodnoty.
 
Extrém může mít pouze reálná funkce. Na komplexních číslech není zavedena relace uspořádání, nelze tedy porovnávat komplexní funkční hodnoty.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\index{ostré lokální maximum}
 
\index{ostré lokální maximum}
 
\index{ostré lokální minimum}
 
\index{ostré lokální minimum}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když
 
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]
+
\begin{align*}
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)>f(a))\]
+
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)<f(a)), \text{ resp.} \\
 +
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)>f(a))
 +
\end{align*}
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buď $f'(x_0)=\covec 0$. Potom $x_0$ nazýváme {\bf stacionárním bodem} funkce $f$.
 
Buď $f'(x_0)=\covec 0$. Potom $x_0$ nazýváme {\bf stacionárním bodem} funkce $f$.
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li v $x_0$ diferencovatelná, pak je  
+
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li v $x_0$ diferencovatelná, pak je $x_0$ stacionárním bodem funkce $f$.
$x_0$ stacionárním bodem funkce $f$.
+
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{define}
 
\begin{define}
\item Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{\vec 0\}$. Pak řekneme,
+
Řekneme, že $f''(x_0)$ je:
že $f''(x_0)$ je {\bf pozitivně definitní}.
+
\begin{enumerate}[(I)]
\item Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{\vec 0\}$. Pak řekneme,
+
\item {\bf pozitivně definitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 > 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X\sm\{\vec 0\}$;
že $f''(x_0)$ je {\bf pozitivně semidefinitní}.
+
\item {\bf pozitivně semidefinitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 \ge 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X$ a existuje $\vec h \not= \vec 0$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 = 0$;
 +
\item {\bf negativně definitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 < 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X\sm\{\vec 0\}$;
 +
\item {\bf negativně semidefinitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 \le 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X$ a existuje $\vec h \not= \vec 0$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 = 0$;
 +
\item {\bf indefinitní}, pokud existují $\vec h,\vec k \in \vec X$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 > 0$ a $f''(x_0)\vec k^2 < 0$.
 +
\end{enumerate}
 +
Dále řekneme, že $f''(x_0)$ je {\bf pozitivní}, pokud je pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní. Analogicky $f''(x_0)$ nazveme {\bf negativní}, pokud je negativně definitní nebo negativně semidefinitní.
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\covec 0$.
 
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\covec 0$.
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).
+
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní.
 
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
 
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
 
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.
 
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.

Verze z 9. 9. 2015, 10:25

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Lokální extrémy}
 
\index{lokální maximum}
\index{lokální minimum}
\begin{define}
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když
\begin{align*}
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)), \text{ resp.} \\
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))
\end{align*}
\end{define}
\begin{remark}
Extrém může mít pouze reálná funkce. Na komplexních číslech není zavedena relace uspořádání, nelze tedy porovnávat komplexní funkční hodnoty.
\end{remark}
 
\index{ostré lokální maximum}
\index{ostré lokální minimum}
\begin{define}
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když
\begin{align*}
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)<f(a)), \text{ resp.} \\
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)>f(a))
\end{align*}
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $f'(x_0)=\covec 0$. Potom $x_0$ nazýváme {\bf stacionárním bodem} funkce $f$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li v $x_0$ diferencovatelná, pak je $x_0$ stacionárním bodem funkce $f$.
\end{theorem}
 
\begin{define}
Řekneme, že $f''(x_0)$ je:
\begin{enumerate}[(I)]
\item {\bf pozitivně definitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 > 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X\sm\{\vec 0\}$;
\item {\bf pozitivně semidefinitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 \ge 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X$ a existuje $\vec h \not= \vec 0$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 = 0$;
\item {\bf negativně definitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 < 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X\sm\{\vec 0\}$;
\item {\bf negativně semidefinitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 \le 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X$ a existuje $\vec h \not= \vec 0$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 = 0$;
\item {\bf indefinitní}, pokud existují $\vec h,\vec k \in \vec X$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 > 0$ a $f''(x_0)\vec k^2 < 0$.
\end{enumerate}
Dále řekneme, že $f''(x_0)$ je {\bf pozitivní}, pokud je pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní. Analogicky $f''(x_0)$ nazveme {\bf negativní}, pokud je negativně definitní nebo negativně semidefinitní.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\covec 0$.
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní.
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\[
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2
\]
\[
\begin{split}
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}
\end{split}
\]
\begin{enumerate}[(I)]
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0
\]
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M=\left\{\vec h : \norm{\vec h}=1\right\}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabývá svého minima
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2.\]
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec
h)}<\frac14a$, pak
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0
\]
\item Podobně jako výše.
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě
$x_0$ lokální extrém.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}