01MAA3:Kapitola14: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Zrušena verze 4181 od uživatele Vezous (diskuse))
Řádka 43: Řádka 43:
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).
 
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).
\item Je-li $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
+
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
 
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.
 
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.
\item Je-li $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.
+
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.
 
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.
 
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Řádka 67: Řádka 67:
 
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0
 
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0
 
\]
 
\]
\item $f''(x)>0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že
+
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M={\vec h | /norm{\vec h}=1}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabívá svého minima
$f(x_0+t\vec h)-f(x_0)>0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální
+
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]
minimum
+
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí
 +
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
 +
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec
 +
h)\norm{\vec h}^2.\]
 +
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec
 +
h)}<\frac14a$, pak
 +
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]
 +
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.
 
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
 
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
 
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že
 
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že
Řádka 75: Řádka 82:
 
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0
 
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0
 
\]
 
\]
\item $f''(x)<0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že
+
\item Podobně jako výše.
$f(x_0+t\vec h)-f(x_0)<0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální
+
maximum
+
 
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a
 
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a
 
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného
 
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného

Verze z 19. 2. 2011, 13:10

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
 \section{Lokální extrémy}
 
\index{lokální maximum}
\index{lokální minimum}
\begin{define}
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{
resp.}\]
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]
\end{define}
\begin{remark}
 Extrém může mít pouze reálná funkce. 
\end{remark}
 
\index{ostré lokální maximum}
\index{ostré lokální minimum}
\begin{define}
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\]
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak
$x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$.
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,
že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní.
 
Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,
že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$.
\begin{enumerate}[(I)]
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\[
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2
\]
\[
\begin{split}
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}
\end{split}
\]
\begin{enumerate}[(I)]
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0
\]
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M={\vec h | /norm{\vec h}=1}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabívá svého minima
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2.\]
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec
h)}<\frac14a$, pak
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0
\]
\item Podobně jako výše.
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě
$x_0$ lokální extrém.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}