01MAA3:Kapitola12

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 09:49, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA3} \section{Derivace} \begin{theorem} Je-li $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ a $\dim\vec X<\infty$, potom $f$ je spojité. \begin{proof} \[ \norm{f\vec x-f\vec...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Derivace}
 
\begin{theorem}
Je-li $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ a $\dim\vec X<\infty$, potom $f$ je
spojité.
\begin{proof}
\[
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}
=\norm{\vec x-\vec y}K
\]
jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f\in\L(\vec X,\vec Y)$. Potom následující tvrzení jsou
ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $f$ je spojité.
\item $f$ je spojité v~$\theta$.
\item $f$ je omezené, tj.
$(\exists k)(\forall\vec x\in\vec X)
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.
\item $f$ je lipschitzovské, tj.
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$.
\item $f$ je stejnoměrně spojité.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $1\implies 2$: zřejmé.
\item $2\implies 3$:
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\vec X)
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.
Pro každý vektor $\vec x\in\vec X$ pak platí
\[
\norm{
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)
}\le 1,
\]
s~využitím linearity pak dostáváme
\[
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.
\]
\item $3\implies 4$:
\[
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.
\]
\item $4\implies 5$: zřejmé.
\item $5\implies 1$: zřejmé.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{norma lineárního zobrazení}
\begin{define}
Buď $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ omezené. Potom
\[
\norm{f}=\inf\{
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})
\}
=\sup_{\vec x\in\vec X\sm\{\theta\}}
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
Buďte $\vec X$, $\vec Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem
$\L(\vec X,\vec Y)$ budeme rozumět lineární prostor všech lineárních
spojitých zobrazení $\vec X\mapsto \vec Y$ s~normou z~předchozí
definice.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\vec X,\vec Y)$ takové, že platí
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)
\right)=\theta.
\]
\end{define}
 
\index{diferencovatelnost v~bodě}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové
$L\in\L(\vec X,\vec Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
\[
f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\theta
\]
\item
Derivace ve směru 
\[
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}
\right)=
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}
\] \label{poznamkaderivace}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{derivace zobrazení}
\begin{define}
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
z~předchozí definice nazýváme {\bf derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.
\begin{proof}
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve
směru. Platí, že
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)=
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]
\[\frac{\pd f}{\pd x_i}(x_0)=
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]
\begin{proof}
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\vec X,\vec Y)$
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
\begin{proof}
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak
\[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\theta.\]
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem} \label{1210}
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,
\item 
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(I)]
\item
\begin{multline*}
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}
\end{multline*}
\item
\[
\begin{split}
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0)(g(x)-g(x_0))}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}
\end{split}
\]
\item 
\[
\begin{split}
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\
\end{split}
\]
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to
zřejmé).
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{gradient}
\begin{define}
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty ($(\vec k,\vec
h)=f'(x_0)\vec h$ pro každé $h\in\vec X$) nazýváme {\bf gradientem}
funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
\end{define}
 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $(\vec k,\vec{e_i})=f'(x_0)\vec{e_i}=f_i(x_0)$
\item
\[
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}
\]
\[
\begin{split}
f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\
& = \frac{(\grad f(x_0),\grad f(x_0))}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\norm{\grad f(x_0)}
\end{split}
\]
Z~předchozího a za použití Schwarzovy nerovnosti vyplývá:
\[
f_v(x_0)=f'(x_0)\vec v=(\grad f(x_0),\vec v)\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
\]
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem} \label{1212}
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}
\right) & =
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}
\right)=\\
& = \lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)
}{\tau}
\right)+\\
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}[o přírůstku]
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\la x_0,x\ra$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že
$f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$.
\begin{proof}
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde
$\xi\in(0,1)$. Potom
\[f(x)-f(x_0)=f'(x_0+\xi\vec h)\vec h=
f'(x_0+\xi(x-x_0))(x-x_0)=f'(y)(x-x_0).\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{i t}$ na $<0,2\pi>$ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=ie^{i \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\la x_0,x\ra$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že
\[
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|
\]
\begin{proof}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
 
 
 
 
\begin{theorem} \label{1215}
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\Theta$ pro každé $x\in
A$. Potom $f(x)=konst.$
\begin{proof}
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A|f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
\begin{enumerate}[a)]
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.
\end{enumerate}
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}
\begin{define}
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru E do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \setminus \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$
\end{define}
 
 
\begin{theorem}
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \setminus \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \setminus \{ x_0 \}$:
\[
f'(x)(x-x_0)=\alpha f(x)
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 ; +\infty)$ do $\R$ předpisem 
\[
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{homogenita} t^\alpha f(x).
\]
 Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí 
 \[
 \left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).
 \]
 Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost 
 \[
f'(x)(x - x_0) = \alpha f(x).
\]
 
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí 
\[
f'(y)(y - x_0) = \alpha f(y).
\]
Definujme na intervalu $(0 ; +\infty)$ zobrazení 
\[
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0)).
\]
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 ; +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 ; +\infty)$ platí 
\[
\begin{split}
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t(x-x_0)) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0) = \\
		  & = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t(x-x_0))t(x-x_0) - \alpha f(x_0+t(x-x_0)) \right) = 0
\end{split}
\]
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 ; +\infty)$ a platí
\[
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0))=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$, $X$ konečnědimenzionální, nechť $f$ má na
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:
\[
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)
\]
Potom
\[
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}
=0.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$
 $\exists f'$  $\Rightarrow$   $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.
\begin{proof}
\begin{align}
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h \|&=\|(g'(x)-g'(x_0))\sum (\vec h,\vec e_i)\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| \notag \\
&=\|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| \notag
\end{align}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
\index{$\c{1}$ třída}
\begin{define}
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé
$i\in\widehat{\dim X}$
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item
\[
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)
\]
\item V~případě, že $m=r=n$, platí
\[
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)
\]
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)_{t=t_0}
\]
\[
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}
\]
$\J\! F:=\det F'$ --- Jacobiho determinant, Jacobián
\[
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)
\]
\end{enumerate}
\end{remark}