01MAA3:Kapitola12: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobná úprava.)
m (Drobná úprava notace kovektorů a vektorů.)
Řádka 84: Řádka 84:
 
\[
 
\[
 
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
 
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)
+
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}
 
\right)=\vec o.
 
\right)=\vec o.
 
\]
 
\]
Řádka 97: Řádka 97:
 
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
 
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
 
\[
 
\[
f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
+
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
 
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o
 
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o
 
\]
 
\]
Řádka 117: Řádka 117:
 
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
 
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
 
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
 
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\]
+
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s derivací parciální.
+
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.
 +
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu, význam však mají stejný. Přesto je třeba tyto termíny důsledně rozlišovat. Více v~MAA4.
 +
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve~fyzice platí následující  rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]
 
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!
 
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve fyzice platí následující  rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]
 
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 156: Řádka 157:
 
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
 
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak
+
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak
\[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\vec o.\]
+
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec o.\]
 
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
 
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
 
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
 
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
Řádka 216: Řádka 217:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
 +
\begin{remark}[Riezsova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.
 +
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.
 +
\end{remark}
 
   
 
   
 
\index{gradient}
 
\index{gradient}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
 
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty $(\exists_1 \vec k) (\forall \vec h) (f'(x_0)\vec h=\la \vec k,\vec h \ra $) nazýváme {\bf gradientem}
+
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 229: Řádka 233:
 
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
 
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
 
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
 
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $f'(x_0)\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, \\ tj.  $\COVEC{f'(x_0)}\vec{e_i}$ značí skalární součin.
+
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj.  parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.
 
\item
 
\item
 
\[
 
\[
Řádka 236: Řádka 240:
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
+
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\
+
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\
 
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
 
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
 
\norm{\grad f(x_0)}
 
\norm{\grad f(x_0)}
Řádka 244: Řádka 248:
 
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
 
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
 
\[
 
\[
|f_v(x_0)|=|f'(x_0)\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
+
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
 
\]
 
\]
 
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
 
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
Řádka 282: Řádka 286:
 
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[  x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na
 
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[  x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na
 
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že
 
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že
$f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$.
+
$f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty
 
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty
 
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde
 
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde
 
$\xi\in(0,1)$. Potom
 
$\xi\in(0,1)$. Potom
\[f(x)-f(x_0)=f'(x_0+\xi\vec h)\vec h=
+
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=
f'(x_0+\xi(x-x_0))(x-x_0)=f'(y)(x-x_0).\]
+
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 305: Řádka 309:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
 
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
Řádka 314: Řádka 314:
 
\begin{theorem} \label{1215}
 
\begin{theorem} \label{1215}
 
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
 
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$ pro každé $x\in
+
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$ (nulový kovektor) pro každé $x\in
A$. Potom $f(x)=konst.$
+
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A|f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
+
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
 
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
 
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
 
\begin{enumerate}[a)]
 
\begin{enumerate}[a)]
Řádka 337: Řádka 337:
 
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$:
 
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$:
 
\[
 
\[
f'(x)(x-x_0)=\alpha f(x)
+
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)
 
\]
 
\]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Řádka 351: Řádka 351:
 
  Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost  
 
  Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost  
 
  \[
 
  \[
f'(x)(x - x_0) = \alpha f(x).
+
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).
 
\]
 
\]
 
   
 
   
 
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí  
 
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí  
 
\[
 
\[
f'(y)(y - x_0) = \alpha f(y).
+
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).
 
\]
 
\]
 
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení  
 
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení  
 
\[
 
\[
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0)).
+
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).
 
\]
 
\]
 
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí  
 
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí  
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t(x-x_0)) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0) = \\
+
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\
  & = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t(x-x_0))t(x-x_0) - \alpha f(x_0+t(x-x_0)) \right) = 0
+
  & = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
 
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 , +\infty)$ a platí
 
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 , +\infty)$ a platí
 
\[
 
\[
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0))=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
+
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
 
\]
 
\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

Verze z 22. 9. 2013, 12:54

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Totální derivace}
 
\begin{theorem}
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom $f$ je
spojité.
\begin{proof}
\[
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}
=\norm{\vec x-\vec y}K
\]
jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou
ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $f$ je spojité.
\item $f$ je spojité v~$\vec o$.
\item $f$ je omezené, tj.
$(\exists k)(\forall\vec x\in\VEC X)
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.
\item $f$ je lipschitzovské, tj.
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\VEC X})$.
\item $f$ je stejnoměrně spojité.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $1\implies 2$: zřejmé.
\item $2\implies 3$:
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí
\[
\norm{
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)
}\le 1,
\]
s~využitím linearity pak dostáváme
\[
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.
\]
\item $3\implies 4$:
\[
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.
\]
\item $4\implies 5$: zřejmé.
\item $5\implies 1$: zřejmé.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{norma lineárního zobrazení}
\begin{define}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom
\[
\norm{f}=\inf\{
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})
\}
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\vec o}
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X\mapsto \VEC Y$ s~normou z~předchozí
definice.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}
\right)=\vec o.
\]
\end{define}
 
\index{diferencovatelnost v~bodě}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
\[
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o
\]
\item
Derivace ve směru 
\[
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}
\right)=
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}
\] \label{poznamkaderivace}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{derivace zobrazení}
\begin{define}
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu, význam však mají stejný. Přesto je třeba tyto termíny důsledně rozlišovat. Více v~MAA4.
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve~fyzice platí následující  rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.
\begin{proof}
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve
směru. Platí, že
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]
\[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_i f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]
\begin{proof}
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
\begin{proof}
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec o.\]
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem} \label{1210}
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,
\item 
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(I)]
\item
\begin{multline*}
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}
\end{multline*}
\item
\[
\begin{split}
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}
\end{split}
\]
\item 
\[
\begin{split}
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\
\end{split}
\]
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to
zřejmé).
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}[Riezsova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.
\end{remark}
 
\index{gradient}
\begin{define}
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
\end{define}
 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj.  parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.
\item
\[
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}
\]
\[
\begin{split}
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\norm{\grad f(x_0)}
\end{split}
\]
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
\[
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
\]
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem} \label{1212}
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}
\right) & =
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}
\right)=\\
& = \lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)
}{\tau}
\right)+\\
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}[o přírůstku]
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[  x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že
$f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.
\begin{proof}
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde
$\xi\in(0,1)$. Potom
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že
\[
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|
\]
\begin{proof}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
\begin{theorem} \label{1215}
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$  (nulový kovektor) pro každé $x\in
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$
\begin{proof}
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
\begin{enumerate}[a)]
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.
\end{enumerate}
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}
\begin{define}
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$
\end{define}
 
 
\begin{theorem}
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$:
\[
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 , +\infty)$ do $\R$ předpisem 
\[
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).
\]
 Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí 
 \[
 \left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).
 \]
 Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost 
 \[
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).
\]
 
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí 
\[
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).
\]
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení 
\[
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).
\]
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí 
\[
\begin{split}
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\
		  & = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0
\end{split}
\]
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 , +\infty)$ a platí
\[
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:
\[
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)
\]
Potom
\[
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}
=0.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$
 $\exists f'$  $\Rightarrow$   $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| 
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
\index{$\c{1}$ třída}
\begin{define}
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé
$i\in\widehat{\dim X}$
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice.
\[
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)
\]
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty.
\[
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)
\]
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)_{t=t_0}
\]
 
Značíme takto
\[
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}
\],
kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát
\[
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)
\].
\end{enumerate}
\end{remark}