01MAA3:Kapitola12: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobná úprava.)
m (Sjednocení značení)
 
(Není zobrazeno 35 mezilehlých verzí od 6 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
\section{Totální derivace}
 
\section{Totální derivace}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\vec X<\infty$, potom $f$ je
+
\label{Spojitost lin. zobr. kon. dom.}
spojité.
+
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom je $f$ spojité.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
\[
 
\[
 
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}
 
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}
 
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}
 
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}
=\norm{\vec x-\vec y}K
+
=\norm{\vec x-\vec y}K.
 
\]
 
\]
jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,
+
Jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost, můžeme tedy zvolit libovolnou z ekvivalentních norem).
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě
+
Z~uvedeného vztahu již okamžitě vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
\begin{remark}
 +
$\dim\VEC X<\infty$ je podstatné, tj. pro nekonečnou dimenzi věta neplatí. Protipříklad: Nechť $\mathcal P_{[0,1]}$ je prostor reálných polynomů definovaných na $[0,1]$, na němž zavedeme normu:
 +
\[\norm{x}=\max_{t \in [0,1]}\abs{x(t)}\]
 +
Jako lineární zobrazení vezmeme derivaci (známou z MAA1, máme funkci jedné proměnné). Pro posloupnost definovanou jako $p_n(x)=x^n$ platí, že $\norm{p_n}=1$, ale $\norm{p'_n}=n \norm{p_n}$,
 +
takže derivace není omezená a tudíž nemůže být spojitá.
 +
\end{remark}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou
+
\label{Spojitost lin. zobr.}
ekvivalentní:
+
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\begin{enumerate}[(I)]
\item $f$ je spojité.
+
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $f$ je spojité v~$\vec o$.
+
\item $f$ je spojité, tj. $(\forall x \in \VEC X)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall y \in \VEC X)(\norm{\vec x-\vec y}<\delta\implies\norm{f\vec x-f\vec y}<\epsilon)$,
\item $f$ je omezené, tj.
+
\item $f$ je spojité v~$\vec 0$, tj. $(\forall a \in \VEC X)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\norm{\vec a}<\delta\implies\norm{f\vec a}<\epsilon)$,
$(\exists k)(\forall\vec x\in\vec X)
+
\item $f$ je omezené, tj. $(\exists k>0)(\forall\vec x\in\VEC X) (\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$,
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.
+
\vspace{3pt}
\item $f$ je lipschitzovské, tj.
+
\item $f$ je lipschitzovské, tj. $(\exists L>0)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y} \le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$,
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}
+
\item $f$ je stejnoměrně spojité, tj. $(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in \VEC X)(\norm{\vec x-\vec y}<\delta\implies\norm{f\vec x-f\vec y}<\epsilon)$.
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$.
+
\item $f$ je stejnoměrně spojité.
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Řádka 36: Řádka 39:
 
\item $2\implies 3$:
 
\item $2\implies 3$:
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že
 
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\vec X)
+
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)
 
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.
 
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.
Pro každý vektor $\vec x\in\vec X$ pak platí
+
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí
 
\[
 
\[
 
\norm{
 
\norm{
Řádka 58: Řádka 61:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 +
\begin{remark}
 +
Pro lineární zobrazení se termín \textbf{omezené} používá pro vlastnost definovanou výrokem výše, který nemá s metrickou omezeností nic společného. Nenulové lineární zobrazení nemůže být omezené v metrickém smyslu!
 +
\end{remark}
 +
 
 
\index{norma lineárního zobrazení}
 
\index{norma lineárního zobrazení}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom
+
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom definujeme {\bf normu zobrazení $f$} takto:
 
\[
 
\[
 
\norm{f}=\inf\{
 
\norm{f}=\inf\{
 
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})
 
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})
 
\}
 
\}
=\sup_{\vec x\in\vec X\sm\vec o}
+
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\left\lbrace\vec 0\right\rbrace}
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.
+
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}
 +
=\sup_{\norm{\vec x} = 1} \norm{f\vec x}.
 
\]
 
\]
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 +
\label{def_spojite_linearni_zobrazeni}
 
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem
 
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem
 
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních
 
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X\mapsto \VEC Y$ s~normou z~předchozí
+
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X \to \VEC Y$ s~normou z~předchozí
 
definice.
 
definice.
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 +
\index{diferencovatelnost v~bodě}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,
+
\label{diferencovatelnost}
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné
+
Buď $f: X \to Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,
 +
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je {\bf diferencovatelné}
 
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí
 
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí
 
\[
 
\[
 
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
 
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)
+
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}
\right)=\vec o.
+
\right)=\vec 0.
 
\]
 
\]
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
\index{diferencovatelnost v~bodě}
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item  
+
\item \label{poznamka_dif_v_bode}
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové
+
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existují
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,
+
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega: \H_{x_0} \to \VEC Y$ takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
+
 
\[
 
\[
f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
+
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o
+
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec 0
 
\]
 
\]
\item
+
\item \label{poznamkaderivace}
Derivace ve směru  
+
Derivace ve směru (tj. směrová derivace):
\[
+
\begin{align*}
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=
+
L\vec h &= \lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(
+
= \lim_{t\to 0}\frac1t\left(
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-
+
    f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}
+
    \omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}
\right)=
+
    \right) \\
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}
+
&= \lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}.
\] \label{poznamkaderivace}
+
\end{align*}
 +
Z předchozího vztahu plyne jednoznačnost zobrazení $L$.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\index{derivace zobrazení}
 
\index{derivace zobrazení}
\begin{define}
+
\begin{define}[Fréchet]
 
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
 
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
 
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
 
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\]
+
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s derivací parciální.
+
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!
+
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve fyzice platí následující  rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]
+
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu (viz MAA4).
 +
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q^i,t)$ ve~fyzice platí následující  rovnost (viz TEF2):
 +
\[\frac{\d H}{\d t}(p_i,q^i,t)\,\vec e=\frac{\pd H}{\pd t}(p_i,q^i,t),\]
 +
kde $\vec e$ značí vektor mající každou složku rovnu jedné. V této podobě dává matematický význam (na obou stranách je číslo), fyzici však zmiňují tuto rovnost bez $\vec e$.
 +
\item Existence derivace funkce je \emph{topologická} vlastnost --- nezávisí na normě, nýbrž jen na topologii indukované normou. Bez normy však pojem derivace nelze zavést. (Dokáže se snadno pomocí věty o ekvivalenci norem)
 +
\item Pro prostory dimenze $m$ a $n$ lze $L$, tj. $\frac{\d f}{\d x}(x_0)$ reprezentovat tzv. Jacobiho maticí $\JJ_f$:
 +
\[\JJ_f(x_0)=\left(
 +
\begin{matrix}
 +
\frac{\pd f^1}{\pd x^1}(x) & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n}(x) \\
 +
\vdots & & \vdots \\
 +
\frac{\pd f^m}{\pd x^1}(x) & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n}(x) \\
 +
\end{matrix}
 +
\right)_{x=x_0}\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.
 
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že
 
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.
+
pro $x$ jdoucí k $x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve
+
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve směru. Platí, že
směru. Platí, že
+
 
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
 
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
 
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]
 
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]
Řádka 144: Řádka 165:
 
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]
 
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace
+
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky \ref{diferencovatelnost}.\ref{poznamkaderivace} platí
 
\[
 
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v
+
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v.
 
\]
 
\]
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
\begin{remark}
 +
Z této věty plyne, že při zvolení $e_1=1$ je definice derivace \ref{diferencovatelnost} pro $X=T$, kde $T$ je těleso, ekvivalentní s \ref{derivace z telesa}.
 +
\end{remark}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$
+
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X \to Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$
 
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak
 
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak
 
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
 
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak
+
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak
\[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\vec o.\]
+
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec 0.\]
 
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
 
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
 
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
 
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{theorem} \label{1210}
 
\begin{theorem} \label{1210}
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom
+
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom platí:
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,
 
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,
 
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,
 
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,
\item  
+
\item
 
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]
 
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Řádka 174: Řádka 198:
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\item
 
\item
\begin{multline*}
+
\[
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\
+
\begin{split}
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}
+
&\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\
\end{multline*}
+
&=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}
 +
\end{split}
 +
\]
 
\item
 
\item
 
\[
 
\[
Řádka 193: Řádka 219:
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
\item  
+
\item
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
Řádka 216: Řádka 242:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 +
\begin{remark}
 +
Předchozí věta platí i pro zobrazení do lineárního normovaného prostoru. (Ten potřebujeme kvůli sčítání)
 +
\end{remark}
 +
\begin{remark}[Rieszova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.
 +
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.
 +
\end{remark}
 +
 
 
\index{gradient}
 
\index{gradient}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
+
Buď $X$ afinní \textit{eukleidovský prostor}, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty $(\exists_1 \vec k) (\forall \vec h) (f'(x_0)\vec h=\la \vec k,\vec h \ra $) nazýváme {\bf gradientem}
+
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Rieszovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
 
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
 
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
 
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $f'(x_0)\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, \\ tj.  $\COVEC{f'(x_0)}\vec{e_i}$ značí skalární součin.
+
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj.  parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.
 
\item
 
\item
 
\[
 
\[
Řádka 236: Řádka 269:
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
+
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\
+
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\
 
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
 
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
 
\norm{\grad f(x_0)}
 
\norm{\grad f(x_0)}
Řádka 244: Řádka 277:
 
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
 
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
 
\[
 
\[
|f_v(x_0)|=|f'(x_0)\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
+
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
 
\]
 
\]
 
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
 
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\begin{theorem} \label{1212}
 
\begin{theorem} \label{1212}
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto
+
Buď $f: X \to Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi: \tau \mapsto f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=\covecc{f'(x_0+t\vec h)}\vec h$
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
\[
 
\[
Řádka 273: Řádka 305:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.
+
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi: \vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
+
 
\begin{theorem}[o přírůstku]
+
\begin{theorem}[o přírůstku funkce] \label{oprirustkufunkce}
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na
+
Buď $f: X \to \R$ spojitá na $\left[x_0,x\right]$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelná na $(x_0,x)$.
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že
+
Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že $f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.
$f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$.
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty
+
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak $\varphi: \R \to \R$ a podle Lagrangeovy věty
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde
+
o~přírůstku funkce existuje $\xi\in(0,1)$ takové, že platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$. Potom
$\xi\in(0,1)$. Potom
+
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=
\[f(x)-f(x_0)=f'(x_0+\xi\vec h)\vec h=
+
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]
f'(x_0+\xi(x-x_0))(x-x_0)=f'(y)(x-x_0).\]
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.
+
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme komplexní funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}
 
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na
+
Buď $f: X \to Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že
+
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ takové, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $\norm{f'(y)} \leq c$. Potom platí, že
 
\[
 
\[
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|
+
\norm{f(x)-f(x_0)} \leq c \norm{x-x_0}
 
\]
 
\]
\begin{proof}
 
\end{proof}
 
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
+
 
+
+
+
+
+
 
\begin{theorem} \label{1215}
 
\begin{theorem} \label{1215}
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
+
Buď $f: X \to Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$ pro každé $x\in
+
oblasti $A\subset X$ a nechť $f'(x)=\covec 0$ (nulový kovektor) pro každé $x\in
A$. Potom $f(x)=konst.$
+
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A|f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
+
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
 
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
 
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
 
\begin{enumerate}[a)]
 
\begin{enumerate}[a)]
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď
 
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.
+
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|=0$, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.
 
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.
 
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Řádka 327: Řádka 351:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}
 
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \setminus \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$
+
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud je $f$ definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a platí
 +
\[
 +
(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0))=t^\alpha f(x)).
 +
\]
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
+
 
\begin{theorem}
+
\begin{theorem}[Eulerova, o homogenní funkci]
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \setminus \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \setminus \{ x_0 \}$:
+
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, když pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$ platí:
 
\[
 
\[
f'(x)(x-x_0)=\alpha f(x)
+
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)
 
\]
 
\]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
\begin{enumerate}[a)]
 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 ; +\infty)$ do $\R$ předpisem  
+
\item $( \Rightarrow )$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi: (0, +\infty) \to \R$ předpisem
 
\[
 
\[
 
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).
 
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).
 
\]
 
\]
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí  
+
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= f'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí
\[
+
\[
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).
+
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).
\]
+
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost
+
\[
+
f'(x)(x - x_0) = \alpha f(x).
+
 
\]
 
\]
+
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazení $t = 1$ rovnost
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí
+
 
\[
 
\[
f'(y)(y - x_0) = \alpha f(y).
+
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).
 
\]
 
\]
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení
+
 
 +
\item $( \Leftarrow )$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí
 
\[
 
\[
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0)).
+
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).
 
\]
 
\]
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 ; +\infty)$ platí  
+
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení
 +
\[
 +
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).
 +
\]
 +
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t(x-x_0)) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0) = \\
+
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha + 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\
  & = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t(x-x_0))t(x-x_0) - \alpha f(x_0+t(x-x_0)) \right) = 0
+
  & = \frac{1}{t^{\alpha + 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 ; +\infty)$ a platí
+
Poslední rovnost platí, protože $\vecc{y-x_0}=t\vecc{(x-x_0)}$. Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 , +\infty)$ a platí
 
\[
 
\[
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0))=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
+
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
 
\]
 
\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
+
 
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na
+
Buď $f: X \to Y$, $\dim X < \infty$, $x_0 \in \vn{(\df f)}$ a nechť $f$ má na $\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom $f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom
+
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y =\R$.
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.
+
Buď $B(x_0,r)$. Pak podle \ref{blba o prirustku} existují body $x_1,\dots,x_n$,
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]
+
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,
+
 
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:
 
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:
 
\[
 
\[
Řádka 400: Řádka 425:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$
 
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$
 
  $\exists f'$  $\Rightarrow$  $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$
 
  $\exists f'$  $\Rightarrow$  $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 +
\label{spojita_diferencovatelnost}
 
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.
 
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Řádka 411: Řádka 438:
 
\begin{split}
 
\begin{split}
 
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\
 
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\|  
+
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\|
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
+
 
 
\index{$\c{1}$ třída}
 
\index{$\c{1}$ třída}
\begin{define}
+
\begin{define}[třídy hladkosti]
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,
+
Buď $A = \vn{A}$, $A \subset \df f$. Řekneme, že $f$ je {\bf třídy}:
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné
+
\begin{enumerate}[(I)]
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé
+
\item $\c{0}$ na $A$ (značíme $f \in \c{0}(A)$), je-li $f$ spojitá na $A$;
$i\in\widehat{\dim X}$
+
\item $\c{1}$ na $A$ (značíme $f \in \c{1}(A)$), pokud v každém bodě $x_0 \in A$ existuje $f'(x_0)$ a zobrazení $f': x_0 \mapsto f'(x_0)$ je třídy $\c{0}$, tj. $f$ je {\bf spojitě diferencovatelná} na $A$.
 +
\end{enumerate}
 +
Pokud se explicitně neuvede množina $A$, na které daný výrok platí, míní se obvykle maximální možná, tj. $\df f$. V tomto případě klasifikace zahrnuje předpoklad $\df f = \vn{(\df f)}$!
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
\begin{theorem}
+
\begin{remark}
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$
+
Z věty \ref{spojita_diferencovatelnost} plyne, že v~prostoru konečné dimenze $n$ je $f \in \c 1$, právě když $f_i \in \c 0$ pro každé $i\in \hat n.$
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě
+
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}[derivace složeného zobrazení]
 +
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f: X \to Y$
 +
diferencovatelné v~$x_0$, $g: D \to \df f$ diferencovatelné v~bodě
 
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí
 
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí
 
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.
 
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\[
+
\begin{align*}
\begin{split}
+
&   \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{F(t)-F(t_0) - f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}_Y = \\
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}
+
&=   \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{f(g(t))-f(g(t_0)) - f'(x_0)(g(t)-g(t_0)) + f'(x_0)(g(t)-g(t_0) - g'(t_0)(t-t_0))}_Y = \\
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\
+
&\frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{\omega(g(t))\norm{g(t)-g(t_0)}_X + f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0}_D)}_Y = \\
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}
+
&=  \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{\omega(g(t))\norm{g'(t_0)(t-t_0) + \mu(t)\norm{t-t_0}_D}_X + f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0}_D)}_Y \le \\
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+
+
&\le \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \left( \norm{\omega(g(t))}_Y \left( \norm{g'(t_0)}_{\L(D,X)} \norm{t-t_0}_D + \norm{\mu(t)}_X \norm{t-t_0}_D \right) + \right. \\
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\
+
                                                                        & \left. + \norm{f'(x_0)}_{\L(X,Y)} \norm{\mu(t)}_X \norm{t-t_0}_D \right) \\
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}
+
&\norm{\omega(g(t))}_Y \left( \norm{g'(t_0)}_{\L(\VEC D,\VEC X)} + \norm{\mu(t)}_X \right) + \norm{f'(x_0)}_{\L(\VEC X,\VEC Y)} \norm{\mu(t)}_X
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\
+
\end{align*}
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}
+
Dále stačí využít toho, že $\lim_{t \to t_0} \omega(g(t)) = 0$ a $\lim_{t \to t_0} \mu(t) = 0$. Indexy u norem vyznačují prostor s příslušnou normou.
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+
+
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\
+
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}
+
\end{split}
+
\]
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
Řádka 457: Řádka 485:
 
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=
 
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=
 
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)
 
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)
\]
 
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty.
 
\[
 
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)
 
 
\]
 
\]
 
\[
 
\[
Řádka 487: Řádka 511:
 
\]
 
\]
  
Značíme takto
+
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto Jacobiho matice regulární a můžeme pracovat s jejich determinanty, tzv. Jakobiány:
 +
\[
 +
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)
 +
\]
 +
Značíme buď $\J_F = \det F'$, $\J_F(t_0) = \J_f(x_0) \J_g(t_0)$, nebo \uv{klasicky}:
 
\[
 
\[
 
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=
 
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=
 
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot
 
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot
 
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}
 
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}
\],
+
\]
kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát
+
\[
+
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)
+
\].
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}

Aktuální verze z 7. 10. 2017, 17:50

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Totální derivace}
 
\begin{theorem}
\label{Spojitost lin. zobr. kon. dom.}
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom je $f$ spojité.
\begin{proof}
\[
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}
=\norm{\vec x-\vec y}K.
\]
Jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost, můžeme tedy zvolit libovolnou z ekvivalentních norem).
Z~uvedeného vztahu již okamžitě vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$\dim\VEC X<\infty$ je podstatné, tj. pro nekonečnou dimenzi věta neplatí. Protipříklad: Nechť $\mathcal P_{[0,1]}$ je prostor reálných polynomů definovaných na $[0,1]$, na němž zavedeme normu:
\[\norm{x}=\max_{t \in [0,1]}\abs{x(t)}\]
Jako lineární zobrazení vezmeme derivaci (známou z MAA1, máme funkci jedné proměnné). Pro posloupnost definovanou jako $p_n(x)=x^n$ platí, že $\norm{p_n}=1$, ale $\norm{p'_n}=n \norm{p_n}$,
takže derivace není omezená a tudíž nemůže být spojitá.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{Spojitost lin. zobr.}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $f$ je spojité, tj. $(\forall x \in \VEC X)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall y \in \VEC X)(\norm{\vec x-\vec y}<\delta\implies\norm{f\vec x-f\vec y}<\epsilon)$,
\item $f$ je spojité v~$\vec 0$, tj. $(\forall a \in \VEC X)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\norm{\vec a}<\delta\implies\norm{f\vec a}<\epsilon)$,
\item $f$ je omezené, tj. $(\exists k>0)(\forall\vec x\in\VEC X) (\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$,
\vspace{3pt}
\item $f$ je lipschitzovské, tj. $(\exists L>0)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y} \le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$,
\item $f$ je stejnoměrně spojité, tj. $(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in \VEC X)(\norm{\vec x-\vec y}<\delta\implies\norm{f\vec x-f\vec y}<\epsilon)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $1\implies 2$: zřejmé.
\item $2\implies 3$:
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí
\[
\norm{
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)
}\le 1,
\]
s~využitím linearity pak dostáváme
\[
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.
\]
\item $3\implies 4$:
\[
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.
\]
\item $4\implies 5$: zřejmé.
\item $5\implies 1$: zřejmé.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Pro lineární zobrazení se termín \textbf{omezené} používá pro vlastnost definovanou výrokem výše, který nemá s metrickou omezeností nic společného. Nenulové lineární zobrazení nemůže být omezené v metrickém smyslu!
\end{remark}
 
\index{norma lineárního zobrazení}
\begin{define}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom definujeme {\bf normu zobrazení $f$} takto:
\[
\norm{f}=\inf\{
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})
\}
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\left\lbrace\vec 0\right\rbrace}
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}
=\sup_{\norm{\vec x} = 1} \norm{f\vec x}.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
\label{def_spojite_linearni_zobrazeni}
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X \to \VEC Y$ s~normou z~předchozí
definice.
\end{define}
 
\index{diferencovatelnost v~bodě}
\begin{define}
\label{diferencovatelnost}
Buď $f: X \to Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je {\bf diferencovatelné}
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}
\right)=\vec 0.
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item \label{poznamka_dif_v_bode}
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existují
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega: \H_{x_0} \to \VEC Y$ takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
\[
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec 0
\]
\item \label{poznamkaderivace}
Derivace ve směru (tj. směrová derivace):
\begin{align*}
L\vec h &= \lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)
= \lim_{t\to 0}\frac1t\left(
    f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-
    \omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}
    \right) \\
&= \lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}.
\end{align*}
Z předchozího vztahu plyne jednoznačnost zobrazení $L$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{derivace zobrazení}
\begin{define}[Fréchet]
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu (viz MAA4).
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q^i,t)$ ve~fyzice platí následující  rovnost (viz TEF2):
\[\frac{\d H}{\d t}(p_i,q^i,t)\,\vec e=\frac{\pd H}{\pd t}(p_i,q^i,t),\]
kde $\vec e$ značí vektor mající každou složku rovnu jedné. V této podobě dává matematický význam (na obou stranách je číslo), fyzici však zmiňují tuto rovnost bez $\vec e$.
\item Existence derivace funkce je \emph{topologická} vlastnost --- nezávisí na normě, nýbrž jen na topologii indukované normou. Bez normy však pojem derivace nelze zavést. (Dokáže se snadno pomocí věty o ekvivalenci norem)
\item Pro prostory dimenze $m$ a $n$ lze $L$, tj. $\frac{\d f}{\d x}(x_0)$ reprezentovat tzv. Jacobiho maticí $\JJ_f$:
\[\JJ_f(x_0)=\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd f^1}{\pd x^1}(x) & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n}(x) \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd f^m}{\pd x^1}(x) & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n}(x) \\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.
\begin{proof}
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že
pro $x$ jdoucí k $x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve směru. Platí, že
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]
\[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_i f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]
\begin{proof}
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky \ref{diferencovatelnost}.\ref{poznamkaderivace} platí
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Z této věty plyne, že při zvolení $e_1=1$ je definice derivace \ref{diferencovatelnost} pro $X=T$, kde $T$ je těleso, ekvivalentní s \ref{derivace z telesa}.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X \to Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
\begin{proof}
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec 0.\]
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem} \label{1210}
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,
\item
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(I)]
\item
\[
\begin{split}
&\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\
&=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}
\end{split}
\]
\item
\[
\begin{split}
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}
\end{split}
\]
\item
\[
\begin{split}
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\
\end{split}
\]
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to
zřejmé).
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Předchozí věta platí i pro zobrazení do lineárního normovaného prostoru. (Ten potřebujeme kvůli sčítání)
\end{remark}
\begin{remark}[Rieszova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.
\end{remark}
 
\index{gradient}
\begin{define}
Buď $X$ afinní \textit{eukleidovský prostor}, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Rieszovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
\end{define}
 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj.  parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.
\item
\[
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}
\]
\[
\begin{split}
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\norm{\grad f(x_0)}
\end{split}
\]
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
\[
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
\]
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem} \label{1212}
Buď $f: X \to Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi: \tau \mapsto f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=\covecc{f'(x_0+t\vec h)}\vec h$
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}
\right) & =
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}
\right)=\\
& = \lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)
}{\tau}
\right)+\\
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi: \vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}[o přírůstku funkce] \label{oprirustkufunkce}
Buď $f: X \to \R$ spojitá na $\left[x_0,x\right]$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelná na $(x_0,x)$.
Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že $f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.
\begin{proof}
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak $\varphi: \R \to \R$ a podle Lagrangeovy věty
o~přírůstku funkce existuje $\xi\in(0,1)$ takové, že platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$. Potom
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme komplexní funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}
Buď $f: X \to Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ takové, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $\norm{f'(y)} \leq c$. Potom platí, že
\[
\norm{f(x)-f(x_0)} \leq c \norm{x-x_0}
\]
\end{theorem}
 
 
\begin{theorem} \label{1215}
Buď $f: X \to Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
oblasti $A\subset X$ a nechť $f'(x)=\covec 0$ (nulový kovektor) pro každé $x\in
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$
\begin{proof}
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
\begin{enumerate}[a)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|=0$, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.
\end{enumerate}
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}
\begin{define}
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud je $f$ definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a platí
\[
(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0))=t^\alpha f(x)).
\]
\end{define}
 
 
\begin{theorem}[Eulerova, o homogenní funkci]
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, když pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$ platí:
\[
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $( \Rightarrow )$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi: (0, +\infty) \to \R$ předpisem
\[
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).
\]
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= f'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí
\[
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).
\]
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazení $t = 1$ rovnost
\[
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).
\]
 
\item $( \Leftarrow )$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí
\[
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).
\]
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení
\[
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).
\]
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí
\[
\begin{split}
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha + 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\
		  & = \frac{1}{t^{\alpha + 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0
\end{split}
\]
Poslední rovnost platí, protože $\vecc{y-x_0}=t\vecc{(x-x_0)}$. Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu  $(0 , +\infty)$ a platí
\[
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
\begin{theorem}
Buď $f: X \to Y$, $\dim X < \infty$, $x_0 \in \vn{(\df f)}$ a nechť $f$ má na $\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom $f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y =\R$.
Buď $B(x_0,r)$. Pak podle \ref{blba o prirustku} existují body $x_1,\dots,x_n$,
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:
\[
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)
\]
Potom
\[
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}
=0.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$
 $\exists f'$  $\Rightarrow$   $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{spojita_diferencovatelnost}
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\|
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
\index{$\c{1}$ třída}
\begin{define}[třídy hladkosti]
Buď $A = \vn{A}$, $A \subset \df f$. Řekneme, že $f$ je {\bf třídy}:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\c{0}$ na $A$ (značíme $f \in \c{0}(A)$), je-li $f$ spojitá na $A$;
\item $\c{1}$ na $A$ (značíme $f \in \c{1}(A)$), pokud v každém bodě $x_0 \in A$ existuje $f'(x_0)$ a zobrazení $f': x_0 \mapsto f'(x_0)$ je třídy $\c{0}$, tj. $f$ je {\bf spojitě diferencovatelná} na $A$.
\end{enumerate}
Pokud se explicitně neuvede množina $A$, na které daný výrok platí, míní se obvykle maximální možná, tj. $\df f$. V tomto případě klasifikace zahrnuje předpoklad $\df f = \vn{(\df f)}$!
\end{define}
 
\begin{remark}
Z věty \ref{spojita_diferencovatelnost} plyne, že v~prostoru konečné dimenze $n$ je $f \in \c 1$, právě když $f_i \in \c 0$ pro každé $i\in \hat n.$
\end{remark}
 
\begin{theorem}[derivace složeného zobrazení]
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f: X \to Y$
diferencovatelné v~$x_0$, $g: D \to \df f$ diferencovatelné v~bodě
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.
\begin{proof}
\begin{align*}
&    \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{F(t)-F(t_0) - f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}_Y = \\
&=   \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{f(g(t))-f(g(t_0)) - f'(x_0)(g(t)-g(t_0)) + f'(x_0)(g(t)-g(t_0) - g'(t_0)(t-t_0))}_Y = \\
&=   \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{\omega(g(t))\norm{g(t)-g(t_0)}_X + f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0}_D)}_Y = \\
&=   \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{\omega(g(t))\norm{g'(t_0)(t-t_0) + \mu(t)\norm{t-t_0}_D}_X + f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0}_D)}_Y \le \\
&\le \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \left( \norm{\omega(g(t))}_Y \left( \norm{g'(t_0)}_{\L(D,X)} \norm{t-t_0}_D + \norm{\mu(t)}_X \norm{t-t_0}_D \right) + \right. \\
                                                                        & \left. + \norm{f'(x_0)}_{\L(X,Y)} \norm{\mu(t)}_X \norm{t-t_0}_D \right) \\
&=   \norm{\omega(g(t))}_Y \left( \norm{g'(t_0)}_{\L(\VEC D,\VEC X)} + \norm{\mu(t)}_X \right) + \norm{f'(x_0)}_{\L(\VEC X,\VEC Y)} \norm{\mu(t)}_X
\end{align*}
Dále stačí využít toho, že $\lim_{t \to t_0} \omega(g(t)) = 0$ a $\lim_{t \to t_0} \mu(t) = 0$. Indexy u norem vyznačují prostor s příslušnou normou.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice.
\[
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)
\]
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)_{t=t_0}
\]
 
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto Jacobiho matice regulární a můžeme pracovat s jejich determinanty, tzv. Jakobiány:
\[
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)
\]
Značíme buď $\J_F = \det F'$, $\J_F(t_0) = \J_f(x_0) \J_g(t_0)$, nebo \uv{klasicky}:
\[
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}
\]
\end{enumerate}
\end{remark}