01MAA3:Kapitola11: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Doplnění drobností.)
m
 
(Není zobrazeno 22 mezilehlých verzí od 5 dalších uživatelů.)
Řádka 4: Řádka 4:
 
\index{afinní prostor}
 
\index{afinní prostor}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\vec X$ lineární prostor nad $T$. Buď
+
\label{affine}
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\vec X$ takové, že platí:
+
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
 +
definováno zobrazení $X\times X\to\VEC X$ takové, že platí:
 
\begin{enumerate}[(i)]
 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall x,y,z\in X\ \vec{xy}+\vec{yz}+\vec{zx}=\vec o$. (Schwartzova rovnost)
+
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pro každé pevné $x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vec{xy}$
+
\item $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $.
 +
\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$
 
bijekce.
 
bijekce.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Potom uspořádanou dvojici $(X,\vec X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
+
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
nad $T$}.
+
nad $T$}. Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}.
 +
 
 
\index{přidružený lineární prostor}
 
\index{přidružený lineární prostor}
 
\index{volný vektor}
 
\index{volný vektor}
Prvky (body) afinního prostoru se myslí prvky $X$. $\vec X$ se nazývá
+
$\VEC X$ nazýváme {\bf přidruženým lineárním prostorem} a jeho prvky se nazývají {\bf volné vektory}.
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné
+
vektory}.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
 
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vec{xy}=y-x=\vec h$.
+
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
 
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
 
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $y-x=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$
+
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}.
 
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
 
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec o=\vec{xx}+\vec{xx}+\vec{xx}=3\vec{xx}\implies x-x=\vec o\]
+
\[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\]
 
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
 
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec o=\vec{xy}+\vec{yx}+\vec{xx}=\vec{xy}+\vec{yx}\implies
+
\[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
\vec{xy}=-\vec{yx}\implies -(y-x)=x-y\]
+
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
 
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
 
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
 
\item
 
\item
Řádka 37: Řádka 39:
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
0 & =(x+\vec h)-x+(z-y)+x-(x+\vec h+\vec k)=
+
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=
\vec h+(z-y)+(-(\vec h+\vec k)) \\
+
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\
&=\vec h+(z-y)-\vec h-\vec k=(z-y)-\vec k,
+
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
 
tedy
 
tedy
 
\[
 
\[
(z-y)=\vec k,
+
\vec k=\vecc{z-y},
 
\]
 
\]
 
takže rovnost platí.
 
takže rovnost platí.
 +
\item Příkladem afinního prostoru je lineární varieta $W$ (Přidruženým vektorovým prostorem je její zaměření $\mathcal {Z}(W)$), resp. vektorový prostor (je jak nosnou množinou, tak přidruženým prostorem).
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 52: Řádka 55:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
 
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
eukleidovský, unitární atd., právě když to platí o~jeho přidruženém
+
eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém
 
lineárním prostoru.
 
lineárním prostoru.
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 59: Řádka 62:
 
\index{přidružené lineární zobrazení}
 
\index{přidružené lineární zobrazení}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
+
Zobrazení $a:X\to Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
zobrazení $L\in\L(\vec X,\vec Y)$ takové, že
+
lineární zobrazení $L$ z $\VEC X$ do $\VEC Y$ takové, že
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L(x-y)).\]
+
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]
 
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
 
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 67: Řádka 70:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Přidružené lineární zobrazení je jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). $$a(x)=a(0)+L(x-0)=q + L(\vec x)=k \vec x +q$$
+
\item Afinní zobrazení mezi normovanými afinními prostory je spojité právě tehdy, když je $L$ spojité, tj. $L\in \L(\VEC X,\VEC Y)$. (Věty \ref{Spojitost lin. zobr. kon. dom.} a \ref{Spojitost lin. zobr.} říkají, že to pro konečnou dimenzi platí vždy.) Zde je rozdíl oproti LA, kde se spojitost nezkoumala.
\item Normovaný a úplný afinní prostor se nazývá {\bf Banachův}.
+
\item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$.
\item Úplný afinní prostor se skalárním součinem se nazývá {\bf
+
Hilbertův}.
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
+
\label{derivace z telesa} 
 +
Buď $\phi:T \to X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
 
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li  
 
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li  
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0))\in \vec X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji  
+
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0)) \in \VEC X,\]
 +
nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji  
 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
+
Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)
\item Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)
+
\end{enumerate}
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
Řádka 90: Řádka 91:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:
 
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:
$\vec v\in\vec X$, $\norm{\vec v}=1$.
+
$\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\index{derivace ve směru}
 
\index{derivace ve směru}
\begin{define}
+
\begin{define}[G\^ateaux]
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme
+
Buď $f: X \to Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme $\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$.
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf
+
Existuje-li $\phi'(0)$, tj.
má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec
+
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(f(x_0+t\vec v)-f(x_0)),\]
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
+
řekneme, že $f$ {\bf má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}
 +
Derivaci ve směru $\vec v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
\begin{remark}
 +
I derivace ve směru je vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{Y}$.
 +
\end{remark}
 
   
 
   
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Řádka 119: Řádka 124:
 
\phi(0)=1
 
\phi(0)=1
 
\]
 
\]
$\phi$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,
+
$f$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,
 
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.
 
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.
 
\end{example}
 
\end{example}
Řádka 125: Řádka 130:
 
\index{souřadný systém}
 
\index{souřadný systém}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $E$ prostor konečné dimenze. Pak n+1-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$ právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $E$.
+
Buď $E$ prostor dimenze $n \in \N$. Pak $(n+1)$-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$, právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $\vec{E}$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\index{parciální derivace}
 
\index{parciální derivace}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na
+
Buď $f: X \to Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ normální souřadný systém ($\forall i \in \hat n \; \norm{\vec e_i} = 1$) na $X$.
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
+
Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
$x_0$ {\bf parciální derivaci} podle $i$-té proměnné a značíme $f_i(x_0)$.
+
$x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 151: Řádka 156:
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 +
 
\begin{example}
 
\begin{example}
 
\item
 
\item
Řádka 183: Řádka 189:
 
   
 
   
 
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]
 
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f:X\mapsto \mathbb{R}$ definované na kouli
+
\label{blba o prirustku}
 +
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f: X \to \mathbb{R}$ definované na kouli
 
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný
 
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný
systém na $X$, nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální
+
systém na $X$, a nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální
 
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in
 
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in
 
B(x_0,r)$ tak, že
 
B(x_0,r)$ tak, že
Řádka 213: Řádka 220:
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
\uv {Vynechaná} proměná je nezávislá proměnná, tj. f je funkcí vynechané proměnné.
+
\uv {Vynechaná} proměnná je nezávislá proměnná, tj. $f$ je funkcí vynechané proměnné. Můžeme použít Lagrangeovu větu, protože $\norm{y_i-x_0} \leq \norm{x-x_0}$
 +
spolu s předpokladem existence parciálních derivací uvnitř $B(x_0,r)$ zajišťuje její předpoklady. (Využíváme toho, že v metrice indukované normou je koule konvexní.)
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
 +
\begin{remark}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ představuje standardní skalární součin; proto je třeba předpokládat Eukleidovský prostor. Abychom mohli zavést derivaci na obecnějších prostorech, je třeba pracovat s obecným skalárním součinem. K tomu nám v příští kapitole pomůže Rieszova věta a abstraktnější zavedení derivace.
 +
\item Využíváme reálnost funkce, věta neplatí pro komplexní funkce.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}

Aktuální verze z 23. 1. 2017, 12:43

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Afinní prostory}
 
\index{afinní prostor}
\begin{define}
\label{affine}
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
definováno zobrazení $X\times X\to\VEC X$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $.
\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$
bijekce.
\end{enumerate}
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
nad $T$}. Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}. 
 
\index{přidružený lineární prostor}
\index{volný vektor}
$\VEC X$ nazýváme {\bf přidruženým lineárním prostorem} a jeho prvky se nazývají {\bf volné vektory}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}.
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\]
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
\item
\[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k=
\underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\]
\[
\begin{split}
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,
\end{split}
\]
tedy
\[
\vec k=\vecc{z-y},
\]
takže rovnost platí.
\item Příkladem afinního prostoru je lineární varieta $W$ (Přidruženým vektorovým prostorem je její zaměření $\mathcal {Z}(W)$), resp. vektorový prostor (je jak nosnou množinou, tak přidruženým prostorem).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém
lineárním prostoru.
\end{define}
 
\index{afinní zobrazení}
\index{přidružené lineární zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $a:X\to Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
lineární zobrazení $L$ z $\VEC X$ do $\VEC Y$ takové, že
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Afinní zobrazení mezi normovanými afinními prostory je spojité právě tehdy, když je $L$ spojité, tj. $L\in \L(\VEC X,\VEC Y)$. (Věty \ref{Spojitost lin. zobr. kon. dom.} a \ref{Spojitost lin. zobr.} říkají, že to pro konečnou dimenzi platí vždy.) Zde je rozdíl oproti LA, kde se spojitost nezkoumala.
\item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
\label{derivace z telesa}  
Buď $\phi:T \to X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li 
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0)) \in \VEC X,\]
nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
\end{define}
 
\begin{remark}
Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)
\end{remark}
 
\index{směr}
\begin{define}
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:
$\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$.
\end{define}
 
\index{derivace ve směru}
\begin{define}[G\^ateaux] 
Buď $f: X \to Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme $\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$.
Existuje-li $\phi'(0)$, tj. 
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(f(x_0+t\vec v)-f(x_0)),\]
 řekneme, že $f$ {\bf má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}
Derivaci ve směru $\vec v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
\end{define}
\begin{remark}
I derivace ve směru je vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{Y}$.
\end{remark}
 
\begin{example}
\[f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
\[
\vec v=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\\sin\vartheta\end{pmatrix}\quad\vartheta\in\left( -\pi,\pi\right] 
\]
\[
\phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))=
f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)=
\sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=1
\]
$f$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.
\end{example}
 
\index{souřadný systém}
\begin{define}
Buď $E$ prostor dimenze $n \in \N$. Pak $(n+1)$-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$, právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $\vec{E}$.
\end{define}
 
\index{parciální derivace}
\begin{define}
Buď $f: X \to Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ normální souřadný systém ($\forall i \in \hat n \; \norm{\vec e_i} = 1$) na $X$.
Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
$x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
\[\frac{\pd}{\pd w}\left(
\frac{\pd f}{\pd v}
\right)(x_0)=
\left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0)
=f_{\vec v\vec w}(x_0)
\]
\item
\[
f_i(x_0) \equiv  \frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)
\] 
\item Vránovo značení parciálních derivací $f_{\vec{v}}$ popř. $f_i$ je přejato z matematické fyziky (viz TEF2) a je v souladu s tím, že derivace je kovariantní tenzor (indexy dole).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{example}
\item
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě
$(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při
volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace
v~$(0,0)$ ale existují:
\[
\phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta}
{\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=0
\]
\[
\phi'(0)=\lim_{t\to 0}
\frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}=
\begin{cases}
0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\
\displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak}
\end{cases}
\]
\end{example}
 
 
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]
\label{blba o prirustku}
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f: X \to \mathbb{R}$ definované na kouli
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný
systém na $X$, a nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in
B(x_0,r)$ tak, že
\[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\]
kde
\[
x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)
\]
\begin{proof}
Nejdříve předpokládejme \[
\begin{split}
y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\
y_0&=x_0\\
y_n&=x\\
\end{split}
\]
pak
\[
\begin{split}
f(x)-f(x_0) & =
f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\
& =\sum_{i=1}^n\left(
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)-
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\
&=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i}
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i).
\end{split}
\]
\uv {Vynechaná} proměnná je nezávislá proměnná, tj. $f$ je funkcí vynechané proměnné. Můžeme použít Lagrangeovu větu, protože $\norm{y_i-x_0} \leq \norm{x-x_0}$
spolu s předpokladem existence parciálních derivací uvnitř $B(x_0,r)$ zajišťuje její předpoklady. (Využíváme toho, že v metrice indukované normou je koule konvexní.)
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ představuje standardní skalární součin; proto je třeba předpokládat Eukleidovský prostor. Abychom mohli zavést derivaci na obecnějších prostorech, je třeba pracovat s obecným skalárním součinem. K tomu nám v příští kapitole pomůže Rieszova věta a abstraktnější zavedení derivace.
\item Využíváme reálnost funkce, věta neplatí pro komplexní funkce.
\end{enumerate}
\end{remark}