01MAA3:Kapitola11: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobná úprava notace kovektorů a vektorů.)
m (Drobné úpravy.)
Řádka 4: Řádka 4:
 
\index{afinní prostor}
 
\index{afinní prostor}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 +
\label{affine}
 
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
 
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
 
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:
 
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:
 
\begin{enumerate}[(i)]
 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec o\right) $. (Schwartzova rovnost)
+
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pro každé pevné $x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vec{xy}$
+
\item Schwartzova rovnost: $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $.
 +
\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$
 
bijekce.
 
bijekce.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 +
 +
 
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
 
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
 
nad $T$}.
 
nad $T$}.
 
\index{přidružený lineární prostor}
 
\index{přidružený lineární prostor}
 
\index{volný vektor}
 
\index{volný vektor}
Prvky (body) afinního prostoru se myslí prvky $X$. $\VEC X$ se nazývá
+
Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}.  
 +
 
 +
$\VEC X$ nazýváme
 
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné
 
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné
 
vektory}.
 
vektory}.
Řádka 22: Řádka 28:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
 
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však na vás si uvědomit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
+
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
 
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
 
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$
+
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}.
 
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
 
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec o=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec o\]
+
\[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\]
 
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
 
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec o=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
+
\[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
 
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
 
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
 
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
 
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
Řádka 52: Řádka 59:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
 
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
eukleidovský, unitární atd., právě když to platí o~jeho přidruženém
+
eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém
 
lineárním prostoru.
 
lineárním prostoru.
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 67: Řádka 74:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Přidružené lineární zobrazení je jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). $$a(x)=a(0)+L\vecc{(x-0)}=q + L(\vec x)=k \vec x +q$$
+
\item Přidružené lineární zobrazení je definované tak, aby připomínalo tvar lineární funkce:
\item Normovaný a úplný afinní prostor se nazývá {\bf Banachův}.
+
%jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány).  
\item Úplný afinní prostor se skalárním součinem se nazývá {\bf
+
\[a(x)=a(0)+L\vecc{(x-0)}=q + L\vec x=q+k \vec x\]
Hilbertův}.
+
Snadno lze vyčíst posunutí $q$ a směrnici $k$. Ukážeme si, že zobrazení $L$ skutečně bude mít význam směrnice (tj. derivace).
 +
\item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 94: Řádka 102:
 
   
 
   
 
\index{derivace ve směru}
 
\index{derivace ve směru}
\begin{define}
+
\begin{define}[G\^ateaux]
 
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme
 
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme
 
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf
 
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf
má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec
+
směrovou derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec
 
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
 
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 132: Řádka 140:
 
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na
 
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na
 
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
 
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
$x_0$ {\bf parciální derivaci} podle $i$-té proměnné a značíme $f_i(x_0)$.
+
$x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 217: Řádka 225:
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ připomíná skalární součin.
+
Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ připomíná skalární součin. To je odrazový můstek k příští kapitole.
 
\end{remark}
 
\end{remark}

Verze z 24. 1. 2014, 12:55

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Afinní prostory}
 
\index{afinní prostor}
\begin{define}
\label{affine}
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item  Schwartzova rovnost: $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $.
\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$
bijekce.
\end{enumerate}
 
 
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
nad $T$}.
\index{přidružený lineární prostor}
\index{volný vektor}
Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}. 
 
$\VEC X$ nazýváme
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné
vektory}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}.
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\]
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
\item
\[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k=
\underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\]
\[
\begin{split}
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,
\end{split}
\]
tedy
\[
\vec k=\vecc{z-y},
\]
takže rovnost platí.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém
lineárním prostoru.
\end{define}
 
\index{afinní zobrazení}
\index{přidružené lineární zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
zobrazení $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Přidružené lineární zobrazení je definované tak, aby připomínalo tvar lineární funkce:
%jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). 
\[a(x)=a(0)+L\vecc{(x-0)}=q + L\vec x=q+k \vec x\]
Snadno lze vyčíst posunutí $q$ a směrnici $k$. Ukážeme si, že zobrazení $L$ skutečně bude mít význam směrnice (tj. derivace).
\item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li 
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}\vecc{(\phi(t)-\phi(t_0))}\in \VEC X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{směr}
\begin{define}
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:
$\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$.
\end{define}
 
\index{derivace ve směru}
\begin{define}[G\^ateaux] 
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf
má směrovou derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{example}
\[f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
\[
\vec v=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\\sin\vartheta\end{pmatrix}\quad\vartheta\in\left( -\pi,\pi\right] 
\]
\[
\phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))=
f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)=
\sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=1
\]
$\phi$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.
\end{example}
 
\index{souřadný systém}
\begin{define}
Buď $E$ prostor konečné dimenze. Pak n+1-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$ právě když $\0 \in  E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $E$.
\end{define}
 
\index{parciální derivace}
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
$x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
\[\frac{\pd}{\pd w}\left(
\frac{\pd f}{\pd v}
\right)(x_0)=
\left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0)
=f_{\vec v\vec w}(x_0)
\]
\item
\[
f_i(x_0) \equiv  \frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)
\] 
\item Vránovo značení parciálních derivací $f_{\vec{v}}$ popř. $f_i$ je přejato z matematické fyziky (viz TEF2) a je v souladu s tím, že derivace je kovariantní tenzor (indexy dole).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
\item
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě
$(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při
volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace
v~$(0,0)$ ale existují:
\[
\phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta}
{\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=0
\]
\[
\phi'(0)=\lim_{t\to 0}
\frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}=
\begin{cases}
0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\
\displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak}
\end{cases}
\]
\end{example}
 
 
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f:X\mapsto \mathbb{R}$ definované na kouli
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný
systém na $X$, nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in
B(x_0,r)$ tak, že
\[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\]
kde
\[
x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)
\]
\begin{proof}
Nejdříve předpokládejme \[
\begin{split}
y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\
y_0&=x_0\\
y_n&=x\\
\end{split}
\]
pak
\[
\begin{split}
f(x)-f(x_0) & =
f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\
& =\sum_{i=1}^n\left(
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)-
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\
&=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i}
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i).
\end{split}
\]
\uv {Vynechaná} proměná je nezávislá proměnná, tj. f je funkcí vynechané proměnné.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ připomíná skalární součin. To je odrazový můstek k příští kapitole.
\end{remark}