01MAA3:Kapitola11: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Notace lineárních prostorů.)
m (Drobná úprava notace kovektorů a vektorů.)
Řádka 7: Řádka 7:
 
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:
 
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:
 
\begin{enumerate}[(i)]
 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall x,y,z\in X\ \vec{xy}+\vec{yz}+\vec{zx}=\vec o$. (Schwartzova rovnost)
+
\item $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec o\right) $. (Schwartzova rovnost)
 
\item Pro každé pevné $x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vec{xy}$
 
\item Pro každé pevné $x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vec{xy}$
 
bijekce.
 
bijekce.
Řádka 23: Řádka 23:
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
 
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vec{xy}=y-x=\vec h$.
+
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však na vás si uvědomit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
 
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
 
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $y-x=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$
+
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$
 
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
 
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec o=\vec{xx}+\vec{xx}+\vec{xx}=3\vec{xx}\implies x-x=\vec o\]
+
\[\vec o=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec o\]
 
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
 
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec o=\vec{xy}+\vec{yx}+\vec{xx}=\vec{xy}+\vec{yx}\implies
+
\[\vec o=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
\vec{xy}=-\vec{yx}\implies -(y-x)=x-y\]
+
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
 
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
 
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
 
\item
 
\item
Řádka 37: Řádka 37:
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
0 & =(x+\vec h)-x+(z-y)+x-(x+\vec h+\vec k)=
+
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=
\vec h+(z-y)+(-(\vec h+\vec k)) \\
+
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\
&=\vec h+(z-y)-\vec h-\vec k=(z-y)-\vec k,
+
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
 
tedy
 
tedy
 
\[
 
\[
(z-y)=\vec k,
+
\vec k=\vecc{z-y},
 
\]
 
\]
 
takže rovnost platí.
 
takže rovnost platí.
Řádka 61: Řádka 61:
 
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
 
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
 
zobrazení $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že
 
zobrazení $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L(x-y)).\]
+
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]
 
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
 
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 67: Řádka 67:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Přidružené lineární zobrazení je jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). $$a(x)=a(0)+L(x-0)=q + L(\vec x)=k \vec x +q$$
+
\item Přidružené lineární zobrazení je jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). $$a(x)=a(0)+L\vecc{(x-0)}=q + L(\vec x)=k \vec x +q$$
 
\item Normovaný a úplný afinní prostor se nazývá {\bf Banachův}.
 
\item Normovaný a úplný afinní prostor se nazývá {\bf Banachův}.
 
\item Úplný afinní prostor se skalárním součinem se nazývá {\bf
 
\item Úplný afinní prostor se skalárním součinem se nazývá {\bf
Řádka 77: Řádka 77:
 
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
 
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
 
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li  
 
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li  
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0))\in \VEC X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji  
+
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}\vecc{(\phi(t)-\phi(t_0))}\in \VEC X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji  
 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 216: Řádka 216:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
\begin{remark}
 +
Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ připomíná skalární součin.
 +
\end{remark}

Verze z 22. 9. 2013, 12:54

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Afinní prostory}
 
\index{afinní prostor}
\begin{define}
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\left( \forall x,y,z\in X\right)  \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec o\right) $. (Schwartzova rovnost)
\item Pro každé pevné $x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vec{xy}$
bijekce.
\end{enumerate}
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
nad $T$}.
\index{přidružený lineární prostor}
\index{volný vektor}
Prvky (body) afinního prostoru se myslí prvky $X$. $\VEC X$ se nazývá
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné
vektory}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však na vás si uvědomit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec o=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec o\]
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec o=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
\item
\[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k=
\underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\]
\[
\begin{split}
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,
\end{split}
\]
tedy
\[
\vec k=\vecc{z-y},
\]
takže rovnost platí.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
eukleidovský, unitární atd., právě když to platí o~jeho přidruženém
lineárním prostoru.
\end{define}
 
\index{afinní zobrazení}
\index{přidružené lineární zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
zobrazení $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Přidružené lineární zobrazení je jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). $$a(x)=a(0)+L\vecc{(x-0)}=q + L(\vec x)=k \vec x +q$$
\item Normovaný a úplný afinní prostor se nazývá {\bf Banachův}.
\item Úplný afinní prostor se skalárním součinem se nazývá {\bf
Hilbertův}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li 
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}\vecc{(\phi(t)-\phi(t_0))}\in \VEC X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji 
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{směr}
\begin{define}
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:
$\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$.
\end{define}
 
\index{derivace ve směru}
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf
má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{example}
\[f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
\[
\vec v=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\\sin\vartheta\end{pmatrix}\quad\vartheta\in\left( -\pi,\pi\right] 
\]
\[
\phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))=
f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)=
\sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=1
\]
$\phi$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.
\end{example}
 
\index{souřadný systém}
\begin{define}
Buď $E$ prostor konečné dimenze. Pak n+1-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$ právě když $\0 \in  E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $E$.
\end{define}
 
\index{parciální derivace}
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
$x_0$ {\bf parciální derivaci} podle $i$-té proměnné a značíme $f_i(x_0)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
\[\frac{\pd}{\pd w}\left(
\frac{\pd f}{\pd v}
\right)(x_0)=
\left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0)
=f_{\vec v\vec w}(x_0)
\]
\item
\[
f_i(x_0) \equiv  \frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)
\] 
\item Vránovo značení parciálních derivací $f_{\vec{v}}$ popř. $f_i$ je přejato z matematické fyziky (viz TEF2) a je v souladu s tím, že derivace je kovariantní tenzor (indexy dole).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
\item
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě
$(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při
volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace
v~$(0,0)$ ale existují:
\[
\phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta}
{\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=0
\]
\[
\phi'(0)=\lim_{t\to 0}
\frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}=
\begin{cases}
0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\
\displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak}
\end{cases}
\]
\end{example}
 
 
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f:X\mapsto \mathbb{R}$ definované na kouli
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný
systém na $X$, nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in
B(x_0,r)$ tak, že
\[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\]
kde
\[
x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)
\]
\begin{proof}
Nejdříve předpokládejme \[
\begin{split}
y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\
y_0&=x_0\\
y_n&=x\\
\end{split}
\]
pak
\[
\begin{split}
f(x)-f(x_0) & =
f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\
& =\sum_{i=1}^n\left(
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)-
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\
&=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i}
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i).
\end{split}
\]
\uv {Vynechaná} proměná je nezávislá proměnná, tj. f je funkcí vynechané proměnné.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ připomíná skalární součin.
\end{remark}