01MAA3:Kapitola10: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobné úpravy.)
(oprava značení, překlepů, definic, poznámek)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
\section{Úplné prostory}
 
\section{Úplné prostory}
+
 
\index{Cauchyovská posloupnost}
+
\index{cauchyovská posloupnost}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf
 
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf
 
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.
 
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)
+
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]
(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]
+
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je
+
\begin{enumerate}
omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
+
\item Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
 +
\item Pokud je posloupnost $\posl{x_n}$ cauchyovská a existuje vybraná posloupnost $\posl{x_{k_n}}$ konvergující k $x$, pak i $\posl{x_n}$ konverguje k $x$.
 +
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\index{úplný prostor}
 
\index{úplný prostor}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Řádka 21: Řádka 22:
 
cauchyovská posloupnost konverguje.
 
cauchyovská posloupnost konverguje.
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\setlength{\itemsep}{4pt}
 
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Úplnost je metrický pojem.
+
\item Úplný prostor je uzavřený vzhledem k operaci $x_n \to$. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
\item Úplnost si můžeme představit například tak, že při pohybu po lomené čáře, jejíž úseky se neustále zkracují, dojdeme do takového místa, jehož vzdálenost od počátečního bodu je dobře definovaná. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
+
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také.
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také. Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
+
\item Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
 
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
 
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
 
kompaktní metrický prostor je úplný}.
 
kompaktní metrický prostor je úplný}.
Řádka 33: Řádka 34:
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
\bigskip
+
 
 +
\begin{define}
 +
Podmnožinu $A$ metrického prostoru $(X,\rho)$ nazveme úplnou, pokud je úplná jako metrický podprostor.
 +
\end{define}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je
+
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je úplná.
úplná.
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z A, protože X je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v A, a tedy limita leží v uzávěru A. A je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
+
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z $A$, protože $X$ je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v $A$, a tedy limita leží v uzávěru $A$. $A$ je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
 
  
 +
\begin{theorem}
 
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
 
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s A je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z A, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo A. To je spor s tím, že A je úplná.
+
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s $A$ je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z $A$, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo $A$. To je spor s tím, že $A$ je úplná.
 
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\index{kontrahující zobrazení}
 
\index{kontrahující zobrazení}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Řádka 58: Řádka 60:
 
\end{define}
 
\end{define}
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.
+
Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
\index{hustá množina}
 
\index{hustá množina}
+
Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá
Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá
+
 
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.
 
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.
 
\index{separabilní prostor}
 
\index{separabilní prostor}
Prostor, který má hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.
+
Prostor, který má všude hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.
 
\index{řídká množina}
 
\index{řídká množina}
Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou v~$X$}, právě když $X\sm\uz{B}$
+
Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou}, právě když $X\sm\uz{B}$ je všude hustá.
je hustá v~$X$.
+
+
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{example}
 
\begin{example}
Například, je-li $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$ potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní.  
+
Je-li například $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$, potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní.
 
\end{example}
 
\end{example}
+
 
\bigskip
+
 
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
 
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
 
\index{Banachova věta o pevném bodě}
 
\index{Banachova věta o pevném bodě}
 
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
 
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.
+
bod, tj. existuje právě jedno takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že  
+
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že
 
\[
 
\[
 
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le
 
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le
Řádka 97: Řádka 95:
 
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje
 
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje
 
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.
 
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.
+
 
 
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem
 
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem
 
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.
 
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.
+
 
 
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:
 
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:
 
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy
 
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy
Řádka 106: Řádka 104:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické
 
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické
Řádka 113: Řádka 111:
 
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení
 
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení
 
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.
 
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.
+
 
 
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:
 
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:
 
\[
 
\[
Řádka 120: Řádka 118:
 
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak
 
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak
 
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.
 
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.
+
 
 
Sestrojme pak $i$ posloupností:
 
Sestrojme pak $i$ posloupností:
 
\[
 
\[
Řádka 135: Řádka 133:
 
k~$x$.
 
k~$x$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
+
 
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
 
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
 
\end{remark}
 
\end{remark}
  
\begin{define}Lineární prostory klasifikujeme následovně:
+
\begin{define}
 
+
Lineární prostory klasifikujeme následovně:
Normovaný lineární prostor, který je úplný v metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
+
\begin{itemize}
+
\item Normovaný lineární prostor, který je úplný vzhledem k metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
Banachův prostor se skalárním součinem, který indukuje příslušnou normu, se nazývá {\bf Hilbertův}.
+
\item Pre-Hilbertův prostor, který úplný vzhledem k metrice indukované skalárním součinem, se nazývá {\bf Hilbertův}.
 +
\end{itemize}
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
 +
\begin{remark}
 +
Hilbertův prostor je Banachův.
 +
\end{remark}

Verze z 8. 9. 2015, 17:08

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Úplné prostory}
 
\index{cauchyovská posloupnost}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
\item Pokud je posloupnost $\posl{x_n}$ cauchyovská a existuje vybraná posloupnost $\posl{x_{k_n}}$ konvergující k $x$, pak i $\posl{x_n}$ konverguje k $x$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{úplný prostor}
\begin{define}
\label{uplnost}
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá
cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Úplný prostor je uzavřený vzhledem k operaci $x_n \to$. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také.
\item Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
kompaktní metrický prostor je úplný}.
\item Prostor, jehož uzavřené koule jsou kompaktní, je úplný.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Podmnožinu $A$ metrického prostoru $(X,\rho)$ nazveme úplnou, pokud je úplná jako metrický podprostor.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je úplná.
\begin{proof}
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z $A$, protože $X$ je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v $A$, a tedy limita leží v uzávěru $A$. $A$ je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s $A$ je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z $A$, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo $A$. To je spor s tím, že $A$ je úplná.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{kontrahující zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},
právě když
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]
\end{define}
\begin{remark}
Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.
\end{remark}
 
\begin{define}
\index{hustá množina}
Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.
\index{separabilní prostor}
Prostor, který má všude hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.
\index{řídká množina}
Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou}, právě když $X\sm\uz{B}$ je všude hustá.
\end{define}
 
\begin{example}
Je-li například $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$, potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní.
\end{example}
 
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
\index{Banachova věta o pevném bodě}
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje právě jedno takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.
\begin{proof}
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že
\[
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le
k\rho(x_m,x_{m-1})\le k^m\rho(x_1,x_0)=k^m\rho(f(x_0),x_0)
\]
což můžeme použít v cauchyovské podmínce
\[
\rho(x_{n+p},x_n)\le\sum_{i=1}^p\rho(x_{n+i-1},x_{n+i})\le
\sum_{i=1}^p k^{n+i-1}\rho(x_1,x_0)\le
\frac{k^n}{1-k}\rho(x_1,x_0)<\epsilon
\]
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.
 
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.
 
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy
$\rho(x,x')\le k\rho(x,x')<\rho(x,x')$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické
matematice. V~praxi často nelze zajistit, aby zobrazení $f$ bylo
kontrahující, přesto ale posloupnost postupných aproximací
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.
 
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:
\[
f_i(f(x))=f_{i+1}(x)=f(f_i(x))=f(x),
\]
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.
 
Sestrojme pak $i$ posloupností:
\[
\begin{array}{ccccc}
	     1       &          2           &          3           &        &           i            \\ \hline
	    x_0      &      x_1=f(x_0)      &     x_2=f_2(x_0)     & \cdots &  x_{i-1}=f_{i-1}(x_0)  \\
	x_i=f_i(x_0) & x_{i+1}=f_{i+1}(x_0) & x_{i+2}=f_{i+2}(x_0) & \cdots & x_{2i-1}=f_{2i-1}(x_0) \\
	   \vdots    &        \vdots        &        \vdots        &        &         \vdots
\end{array}
\]
Všechny posloupnosti jsou posloupnostmi aproximací $i$-té iterace pro
různé počáteční body. Všechny konvergují k~$x$ a podle věty o~pokrytí
celá posloupnost postupných aproximací pro zobrazení $f$ konverguje
k~$x$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
\end{remark}
 
\begin{define}
Lineární prostory klasifikujeme následovně:
\begin{itemize}
\item Normovaný lineární prostor, který je úplný vzhledem k metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
\item Pre-Hilbertův prostor, který úplný vzhledem k metrice indukované skalárním součinem, se nazývá {\bf Hilbertův}.
\end{itemize}
\end{define}
 
\begin{remark}
Hilbertův prostor je Banachův.
\end{remark}