01LAB2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: % \wikiskriptum{01LAB2})
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
% \wikiskriptum{01LAB2}
 
% \wikiskriptum{01LAB2}
 +
 +
\begin{document}
 +
 +
{\large {\bf Hodnost matice}}
 +
 +
Připomeňme nejprve, že nadále dodržujeme úmluvu z minulého
 +
semestru, že pokud neřekneme jinak, jsou vektorové prostory
 +
konečné dimenze. Pokud užijeme pro prostor označení např. ${\bf
 +
P}_n$, je tím implicitně řečeno, že prostor má dimenzi $n$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť $m,n\in {\bf N}$ a {\bf A} je matice typu $m\times n$,
 +
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
a_{11}\ a_{12}\ \ldots \ a_{1n}\\
 +
a_{21}\ a_{22}\ \ldots \ a_{2n}\\
 +
\ldots  \\
 +
a_{m1}\ a_{m2}\ \ldots \ a_{mn}
 +
\end{array}\right) $.
 +
 +
Označme
 +
${\cal E}_n=({\vec {\bf e}}^{(1)},{\vec {\bf e}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
e}}^{(n)})$
 +
standardní bázi v ${\bf C}^n$.\\
 +
{\bf Hodností matice} {\bf A} nazveme číslo $h({\bf
 +
A})=$dim$[{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
 +
e}}^{(n)}]_\lambda$\\
 +
tj.
 +
$h({\bf A})=$dim$\biggl [
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l@{}}
 +
a_{11}\\
 +
a_{21}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{m1}
 +
\end{array}
 +
\right),
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l@{}}
 +
a_{12}\\
 +
a_{22}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{m2}
 +
\end{array}
 +
\right),\cdots,
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l@{}}
 +
a_{1n}\\
 +
a_{2n}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\right)\biggl ]_\lambda=
 +
$dim$[
 +
{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) V definici jsme užili toho, že součin jakékoliv matice s $i$-tým
 +
vektorem standardní báze je roven $i$-tému sloupci matice, tj.
 +
${\bf A}{\vec {\bf e}}^{(i)}
 +
=\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l}
 +
a_{1i}\\
 +
a_{2i}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{mi}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}
 +
\right)$.\\
 +
2) Méně korektně bychom tedy mohli říci, že h({\bf A}) je
 +
maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice.
 +
 +
 +
 +
Následující věta nám dává odpověď na to, jak souvisejí pojmy {\bf
 +
hodnost matice} a {\bf hodnost zobrazení}.
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\bf Věta 31:}\\
 +
Nechť ${\bf P}_n$ a ${\bf Q}_m$ jsou vektorové prostory nad
 +
tělesem {\bf T} a
 +
${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$.
 +
Nechť
 +
${\cal X}$ je báze ${\bf P}_{n}$ a
 +
${\cal Y}$ je báze ${\bf Q}_{m}$.\\
 +
Potom platí
 +
$h({\cal A})=h(^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y})$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Označme
 +
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}),
 +
{\cal Y}=({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(m)})$.\\
 +
Víme, že\\
 +
$h({\cal A})=$dim${\cal A}({\bf P}_n)=$dim${\cal A}(
 +
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}]_\lambda)=
 +
$dim$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}]_\lambda.$
 +
Víme také, že zobrazení, které každému vektoru ${\vec {\bf v}}\in
 +
[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}]_\lambda$
 +
přiřadí $m$-tici jeho souřadnic v bázi ${\cal Y}$, tj. vektor\\ $({\vec {\bf
 +
v}})_{\cal Y}\in
 +
[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
 +
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda$,
 +
je izomorfizmus mezi prostory
 +
$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}]_\lambda$
 +
a
 +
$[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
 +
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda$,
 +
a proto mají oba prostory stejnou dimenzi (neboť jsou
 +
izomorfní).\\
 +
Vektory $({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(i)})_{\cal Y}$ pro $i\in{\hat n}$
 +
jsou ovšem sloupce matice
 +
$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$, a proto platí následující
 +
rovnosti\\
 +
$h({\cal A})=
 +
$dim$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}]_\lambda=\\=
 +
$dim$[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
 +
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda=
 +
h(^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y})$.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) {\bf Jak se spočte hodnost matice}
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
 +
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}\right) ${\bf ?}
 +
K tomu si stačí uvědomit, že hodnost je dimenze prostoru
 +
generovaného souborem
 +
$\Biggl(
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l}
 +
a_{11}\\
 +
a_{21}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{m1}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right),
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l}
 +
a_{12}\\
 +
a_{22}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{m2}
 +
JY2
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right),\cdots,
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{@{}l}
 +
a_{1n}\\
 +
a_{2n}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right)\Biggr)$.
 +
Stačí tedy z tohoto souboru generátorů vybrat bázi a zjistit,
 +
kolik má členů. K tomu stačí ekvivalentními úpravami řádků
 +
převést matici {\bf A} do horního stupňovitého tvaru a zjistit
 +
počet hlavních sloupců.\\
 +
2) Všimneme si, že z předchozí poznámky plyne, že ekvivalentními
 +
úpravami řádků se hodnost matice nemění.
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$,
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
 +
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}\right) $.
 +
 +
Označme
 +
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ matici typu $n\times m$,
 +
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}=
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{m1}\\
 +
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{m2}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
a_{1n}& a_{2n}& \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}\right) $.
 +
 +
Matice ${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ se nazývá {\bf matice transponovaná k
 +
matici} {\bf A}.
 +
 +
Bez důkazu uvedeme následující větu.
 +
 +
{\bf Věta 32:}\\
 +
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$.
 +
Pak $h({\bf A})=h({\bf A}\hspace{-1mm}^{\top})$.
 +
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice je roven
 +
maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice.
 +
 +
{\large {\bf Vztah matic a lineárních zobrazení}}
 +
 +
Zatím víme, že je-li dán vektorový prostor ${\bf P}_n$ nad {\bf
 +
C} s bází
 +
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
a vektorový prostor ${\bf Q}_m$ nad {\bf
 +
C} s bází
 +
${\cal Y}=({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(m)})$,
 +
je každému zobrazení ${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$
 +
přiřazena matice $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$
 +
typu $m\times n$, pro kterou platí
 +
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}=^{\cal X}\hspace{-7pt}{\cal A}^{\cal
 +
Y}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$,
 +
tj. je-li dáno zobrazení, báze definičního oboru a báze oboru
 +
hodnot, je tomuto zobrazení jednoznačně přiřazena komplexní
 +
matice, která umožňuje snadno spočítat souřadnice obrazu
 +
vektoru ${\vec {\bf x}}$.\\
 +
Snadno si rozmyslíme, že i naopak, je-li dána komplexní matice
 +
{\bf A}
 +
typu $m\times n$ a vektorové prostory (nad {\bf C}) dimenze $n$
 +
resp. $m$ s bázemi ${\cal X}$ resp. ${\cal Y}$, existuje právě jedno zobrazení
 +
${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$,
 +
které ji má za svou matici zobrazení, tj. platí
 +
{\bf A}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$.
 +
Je to zobrazení, které vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}_n$
 +
přiřadí vektor ${\cal A}{\vec {\bf x}}\in{\bf Q}_m$, pro který
 +
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$
 +
(tj. souřadnice vektoru ${\cal A}{\vec {\bf x}}$ se získají jako
 +
součin matice {\bf A} s maticí $({\vec {\bf x}})_{\cal X}$).\\
 +
Tomuto zobrazení budeme říkat {\bf zobrazení určené maticí A při
 +
bázích ${\cal X}, {\cal Y}$}.
 +
 +
Ukážeme, že takto definované zobrazení je lineární:\\
 +
(a) {\bf aditivita}\\
 +
Naše zobrazení přiřadí vektoru ${\vec {\bf x}}$
 +
vektor ${\cal A}{\vec {\bf x}}$, pro který
 +
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal
 +
X}$,\\
 +
vektoru ${\vec {\bf y}}$
 +
vektor ${\cal A}{\vec {\bf y}}$, pro který
 +
$({\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf y}})_{\cal
 +
X}$,\\
 +
a vektoru ${\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$
 +
vektor ${\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})$, pro který
 +
$({\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}))_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})_{\cal
 +
X}$.\\
 +
Z toho plyne, že platí\\
 +
$({\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}))_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})_{\cal
 +
X}=
 +
{\bf A}(({\vec {\bf x}})_{\cal X}+({\vec {\bf y}})_{\cal X})=
 +
{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}+{\bf A}({\vec {\bf y}})_{\cal
 +
X}=\\
 +
=({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}+({\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal
 +
Y}=
 +
({\cal A}{\vec {\bf x}}+{\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal
 +
Y}$,\\
 +
a tedy platí také
 +
${\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})={\cal A}{\vec {\bf x}}+{\cal A}{\vec {\bf
 +
y}}$.\\
 +
(b) {\bf homogenita} se dokáže analogicky.\\
 +
(c) {\bf jednoznačnost} zobrazení plyne z toho, že obrazy vektorů
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)}$
 +
jsou dány jednoznačně (věta 19).\\
 +
(d) {\bf vztah}
 +
{\bf A}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$
 +
plyne z toho, že pro $j$-tý sloupec matice {\bf A} platí\\
 +
${\bf A}_{\bullet j}={\bf A}{\vec {\bf e}}^{(j)}={\bf A}({\vec {\bf
 +
x}}^{(j)})_{\cal X}=({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(j)})_{\cal Y}.$\\
 +
Podobně, je-li dán vektorový prostor ${\bf P}_n$ nad {\bf C} a
 +
báze
 +
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$,
 +
existuje ke každé čtvercové matici řádu $n$ operátor ${\cal A}$
 +
tak, že $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}$={\bf A}. Tomuto
 +
operátoru budeme říkat {\bf operátor určený maticí A} při bázi
 +
${\cal X}$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Při prostorech nad tělesem {\bf R} zavedeme stejné pojmy pro
 +
reálné matice.
 +
 +
{\bf Úvaha:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $h({\bf A})=n$.
 +
Nechť ${\cal A}$ je operátor z ${\cal L}({\bf P}_n)$ určený maticí
 +
{\bf A} při bázi ${\cal X}$.
 +
Pak podle věty 31 je také $h({\cal A})=n$,\\ tj. dim${\cal A}({\bf
 +
P}_n)=n \Longrightarrow {\cal A}({\bf P}_n)={\bf P}_n$.\\
 +
${\cal A}$ je tedy epimorfní \quad
 +
$\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 23)}}}{\Longrightarrow}$ \quad
 +
${\cal A}$ je {\bf regulární} operátor.\\
 +
Máme tedy důvod zavést definici
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Čtvercová matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf regulární},
 +
platí-li $h({\bf A})=n$. V ostatních případech se nazývá {\bf
 +
singulární}.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Matice {\bf A} je regulární \quad $\Longleftrightarrow$ \quad zobrazení
 +
určené maticí {\bf A} je regulární operátor, resp. izomorfizmus.
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\bf Úvaha:}\\
 +
Nechť {\bf B} je matice typu $m\times n$, {\bf A} typu $p\times
 +
m$.\\
 +
\begin{tabular}{r} Jsou dány prostory ${\bf P}_n$ nad {\bf C} s
 +
bází ${\cal X},$\\
 +
${\bf Q}_m$ nad {\bf C} s bází ${\cal Y},$\\
 +
${\bf V}_p$ nad {\bf C} s bází ${\cal Z}.$
 +
\end{tabular}\\
 +
\begin{tabular}{r}
 +
Nechť
 +
${\cal B}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$ je zobrazení
 +
určené maticí {\bf B} při bázích ${\cal X},{\cal Y}$,\\
 +
${\cal A}\in{\cal L}({\bf Q}_{m},{\bf V}_{p})$ je zobrazení
 +
určené maticí {\bf A} při bázích ${\cal Y},{\cal Z}$.
 +
\end{tabular}\\
 +
Pak platí
 +
{\bf B}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal B}^{\cal Y}$,
 +
{\bf A}=$^{\cal Y}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Z}$, a tedy
 +
{\bf A}{\bf B}=$
 +
\,^{\cal Y}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Z}$$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal B}^{\cal Y}
 +
\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 30)}}}{=}\,
 +
^{\cal X}\hspace{-2pt}({\cal A}{\cal B})^{\cal Z}$.\\
 +
{\bf A}{\bf B} je tedy matice složeného zobrazení ${\cal A}{\cal
 +
B}$ v bázích ${\cal X},{\cal Z}$. Podle věty 27 víme, že
 +
$h({\cal A}{\cal B})\le$min$(h({\cal A}),h({\cal B}))$, a že když
 +
je ${\cal A}$ nebo ${\cal B}$ izomorfní nastávají rovnosti.\\
 +
Důsledkem těchto úvah je věta
 +
 +
{\bf Věta 33:}\\
 +
Nechť {\bf A} je matice typu $p\times m$ a {\bf B} matice typu
 +
$m\times n$. Potom\\
 +
1) $h({\bf A}{\bf B})\le$min$\{h({\bf A}),h({\bf B})\}$,\\
 +
2) je-li $p=m$ a {\bf A} regulární matice, je $h({\bf A}{\bf
 +
B})=h({\bf B})$,\\
 +
3) je-li $m=n$ a {\bf B} regulární matice, je $h({\bf A}{\bf
 +
B})=h({\bf A})$.
 +
 +
{\bf Úvaha:}\\
 +
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$, {\bf P}$_n$ vektorový
 +
prostor nad {\bf C} s bází
 +
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
a  ${\cal A}$ je operátor určený maticí {\bf A} při bázi ${\cal
 +
X}$ (tj. $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}$={\bf A}).\\
 +
Z předchozího víme, že ${\cal A}$ je regulární operátor, proto k
 +
němu existuje inverzní operátor ${\cal A}^{-1}$ a platí
 +
${\cal A}^{-1}({\cal A}{\vec {\bf x}})={\vec {\bf x}}$ pro každý
 +
vektor  ${\vec {\bf x}}\in${\bf P}$_n$.\\
 +
Označme ${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}$ matici operátoru ${\cal A}^{-1}$ v bázi
 +
${\cal X}$.\\ Dokážeme, že platí {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}.\\
 +
Pro každý vektor ${\vec {\bf x}}\in${\bf P}$_n$ platí \\
 +
$({\vec {\bf x}})_{\cal X}=({\cal A}^{-1}({\cal A}{\vec {\bf x}})
 +
)_{\cal X}\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 28)}}}{=}
 +
\,^{\cal X}({\cal A}^{-1})({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal X}
 +
\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 28)}}}{=}
 +
\,^{\cal X}({\cal A}^{-1})\,^{\cal X}\hspace{-3pt}{\cal A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}
 +
={\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$.
 +
Užijeme-li vztahu
 +
$({\vec {\bf x}})_{\cal X}=
 +
{\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$
 +
pro volbu ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf x}}^{(i)}$, kde $i\in{\hat
 +
n}$, dostaneme
 +
${\vec {\bf e}}^{(i)}=
 +
{\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(i)}$,
 +
což znamená, že $i$-tý sloupec matice ${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf
 +
A}$ je roven ${\vec {\bf e}}^{(i)}$, a tedy
 +
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}.\\
 +
Platí ovšem silnější tvrzení.
 +
 +
 +
{\bf Věta 34:}\\
 +
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$. Pak existuje právě
 +
jedna čtvercová matice {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ řádu $n$ tak,
 +
že platí\\
 +
\hspace*{20mm} {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf I}={\bf A}{\bf
 +
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{20mm}$(\star)$\\
 +
Tato matice se nazývá {\bf matice inverzní} k matici {\bf A}.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Existence
 +
matice {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ řádu $n$ s vlastností
 +
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf I}
 +
již byla dokázána.\\
 +
Podle věty 33 je $h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})=h({\bf I})=n$ a
 +
tedy {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ je regulární. Podle
 +
předcházející úvahy i k ní existuje matice {\bf B} tak, že
 +
{\bf B}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}.\\
 +
Platí {\bf B}={\bf B}{\bf I}={\bf B}{\bf
 +
A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}{\bf A}={\bf A}. Platí tedy také
 +
{\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}.\\
 +
Jednoznačnost inverzní matice dokážeme sporem.\\
 +
Nechť např. existuje matice {\bf C}$\neq${\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
 +
tak, že {\bf C}{\bf A}={\bf I}. Potom platí \\{\bf C}={\bf C}{\bf
 +
I}={\bf C}{\bf
 +
A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$.
 +
A to
 +
je spor.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Je zřejmé, že mluvit o inverzní matici {\bf
 +
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
 +
splňující vztahy $(\star)$ má smysl pouze pro regulární matice {\bf
 +
A}. Jinak taková matice nemůže existovat.\\
 +
Připusťme na chvíli, že matice {\bf A} by byla typu $m\times n$.
 +
Aby měly smysl součiny {\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
 +
a {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}
 +
je nutné, aby platilo, že {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ je typu
 +
$n\times m$ a z rovnosti\\
 +
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
 +
plyne $m=n$. Matice {\bf A} je tedy nutně čtvercová.\\
 +
Z $(\star)$ a z věty 33 plyne $n=h({\bf I})\le$min$\{h({\bf
 +
A}),h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})\}$, a tedy\\
 +
$h({\bf A})=h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})=n$, takže obě matice
 +
jsou regulární.
 +
 +
{\bf Věta 35:}\\
 +
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou regulární matice řádu $n$. Pak také
 +
matice {\bf A}{\bf B} je regulární a platí ({\bf A}{\bf
 +
B})$^{-1}={\bf B}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}\hspace{-1pt}^{-1}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Neboť $h({\bf A}{\bf B})\stackrel{{\mbox {\tiny (věta
 +
33)}}}{=}h({\bf A})=n$ je matice {\bf A}{\bf B} regulární. Z
 +
asociativního zákona plyne
 +
({\bf A}{\bf B})({\bf B}\hspace{-1pt}$^{-1}${\bf
 +
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$)={\bf I} a
 +
({\bf B}\hspace{-1pt}$^{-1}${\bf
 +
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$)({\bf A}{\bf B})={\bf I}.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Zřejmě platí {\bf I}$^{-1}$={\bf I} a pro každé číslo $\alpha\neq
 +
0$ platí $(\alpha{\bf A})\hspace{-1pt}^{-1}=\frac{1}{\alpha}{\bf
 +
A}\hspace{-3pt}^{-1}$.
 +
 +
{\bf Věta 36:}\\
 +
Nechť {\bf A} je matice typu $n\times m$ a {\bf B} matice typu
 +
$m\times p$. Pak ({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}$^{\top}={\bf
 +
B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf A}\hspace{-3pt}^{\top}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Označme
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1m}\\
 +
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2m}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
a_{n1}& a_{n2}& \ldots & a_{nm}
 +
\end{array}\right) $ a
 +
{\bf B}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
b_{11}& b_{12}& \ldots & b_{1p}\\
 +
b_{21}& b_{22}& \ldots & b_{2p}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
b_{m1}& b_{m2}& \ldots & b_{mp}
 +
\end{array}\right) $,\\
 +
a tedy
 +
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{\top}$=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{n1}\\
 +
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{n2}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
a_{1m}& a_{2m}& \ldots & a_{nm}
 +
\end{array}\right) $
 +
,
 +
{\bf B}\hspace{-2pt}$^{\top}$=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
b_{11}& b_{21}& \ldots & b_{m1}\\
 +
b_{12}& b_{22}& \ldots & b_{m2}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
b_{1p}& b_{2p}& \ldots & b_{mp}
 +
\end{array}\right) $.
 +
 +
Ukážeme, že matice
 +
({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}$^{\top}$
 +
a matice ${\bf B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf A}\hspace{-3pt}^{\top}$
 +
mají na místě $(i,j)$, $i\in{\hat p}$, $j\in{\hat n}$ stejné
 +
prvky.\\
 +
$[({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}^{\top}]_{ij}=[{\bf A}{\bf
 +
B}]_{ji}=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+\ldots+a_{jm}b_{mi}$.\\
 +
$[{\bf B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf
 +
A}\hspace{-3pt}^{\top}]_{ij}=b_{1i}a_{j1}+b_{2i}a_{j2}+\ldots+b_{mi}a_{jm}$.
 +
 +
{\large {\bf Řešení soustav lineárních algebraických rovnic}}
 +
 +
V tomto odstavci se zabýváme otázkou, kdy má soustava
 +
 +
\hspace*{10mm}
 +
$\begin{array}
 +
{l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l}
 +
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_{1}\\
 +
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_{2}\\
 +
\ldots&&&&&&&& \\
 +
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_{m}
 +
 +
\end{array}$
 +
\hspace{30mm} $(\star)$
 +
 +
řešení a jak vypadá množina všech řešení.\\
 +
Přitom předpokládáme, že jsou dostatečně známy pojmy {\bf matice
 +
soustavy}, {\bf rozšířená matice soustavy}, {\bf řešení
 +
soustavy}, {\bf sloupec pravých stran}, {\bf homogenní soustava}
 +
a dále fakt, že označíme-li\\
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{llll}
 +
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
 +
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
 +
\ldots&&&  \\
 +
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}\right) $,
 +
${\vec {\bf x}}=
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
x_{1}\\
 +
x_{2}\\
 +
\vdots  \\
 +
x_{n}
 +
\end{array}
 +
\right) $ a
 +
${\vec {\bf b}}=
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
b_{1}\\
 +
b_{2}\\
 +
\vdots  \\
 +
b_{m}
 +
\end{array}
 +
\right) $,\\
 +
můžeme pro soustavu $(\star)$ použít úsporného zápisu
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 +
 +
Vyčerpávající odpověď na zmíněné problémy dává následující věta
 +
 +
{\bf Věta 37:}(Frobeniova)\\
 +
(1) Soustava $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
 +
je řešitelná, právě když $h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf
 +
b}}))$.\\
 +
(2) Označme $h({\bf A})=h$.
 +
Označme ${\bf S}_0$ množinu všech řešení soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.
 +
Pak ${\bf S}_0\subset\subset {\bf C}^n$ a dim ${\bf S}_0=n-h$,
 +
tj.\\
 +
\hspace*{2mm} (a) pro $h=n$ je ${\bf S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$,\\
 +
\hspace*{2mm} (b) pro $h<n$ existuje $n-h$ lineárně nezávislých řešení
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n-h)}$
 +
a
 +
${\bf S}_0=[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n-h)}]_\lambda$.\\
 +
(3) Je-li $h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf b}}))=h$ a
 +
označíme-li {\bf S} množinu všech řešení soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$,
 +
je {\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$, kde jsme  ${\vec{\tilde {\bf
 +
x}}}$ označili nějaké pevné (tzv. partikulární) řešení soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
(1) Protože
 +
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda
 +
\subset\subset
 +
[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf
 +
b}}]_\lambda$\\
 +
vyplývá z věty 12, že\\
 +
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
 +
[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda
 +
\Longleftrightarrow
 +
h({\bf A})=h({\bf A},{\vec {\bf b}})$.\\
 +
Stačí tedy dokázat ekvivalenci:\\
 +
soustava
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
 +
je řešitelná $\Longleftrightarrow
 +
[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
 +
[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.\\
 +
To je ovšem snadné.\\
 +
Existuje-li totiž řešení
 +
${\vec {\bf x}}=
 +
\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
x_{1}\\
 +
x_{2}\\
 +
\vdots  \\
 +
x_{n}
 +
\end{array}\hspace{-5pt}
 +
\right) $
 +
soustavy $(\star)$, pak\\
 +
$x_1\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
a_{11}\\
 +
a_{21}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{m1}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right)+x_2
 +
\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
a_{12}\\
 +
a_{22}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{m2}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right)+
 +
\ldots+x_n
 +
\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
a_{1n}\\
 +
a_{2n}\\
 +
\vdots  \\
 +
a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right)=
 +
\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
b_{1}\\
 +
b_{2}\\
 +
\vdots  \\
 +
b_{m}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right) $,\\
 +
tj.
 +
${\vec {\bf b}}=
 +
x_1{\bf A}_{{\bullet}1}+
 +
x_2{\bf A}_{{\bullet}2}+\ldots+x_n{\bf A}_{{\bullet}n}$,
 +
tj.
 +
${\vec {\bf b}}\in [{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$,
 +
a tedy podle věty 2 je
 +
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
 +
[{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.\\
 +
Naopak, platí-li poslední rovnost, je
 +
${\vec {\bf b}}\in [{\bf A}_{{\bullet}1},
 +
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$,
 +
tj. existují čísla $x_1, x_2,\ldots,x_n$ tak, že
 +
${\vec {\bf b}}=
 +
x_1{\bf A}_{{\bullet}1}+
 +
x_2{\bf A}_{{\bullet}2}+\ldots+x_n{\bf A}_{{\bullet}n}$,
 +
a tedy vektor
 +
${\vec {\bf x}}=
 +
\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
x_{1}\\
 +
x_{2}\\
 +
\vdots  \\
 +
x_{n}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right) $
 +
řeší soustavu $(\star)$.
 +
 +
 +
(2) Označme ${\cal A}$ zobrazení z ${\cal L}({\bf C}^n,{\bf
 +
C}^m)$ určené maticí {\bf A} při standardních bázích, tj. takové,
 +
že {\bf A}=$^{{\cal E}_n}\hspace{-3pt}{\cal A}\hspace{-1pt}^{{\cal
 +
E}_m}$. Podle věty 31 je $h=h({\bf A})=h({\cal A})$.\\Platí
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}\Longleftrightarrow
 +
({\cal A}{\vec {\bf x}})_{{\cal E}_m}=^{{\cal E}_n}\hspace{-5pt}{\cal A}\hspace{-1pt}^{{\cal
 +
E}_m}({\vec {\bf x}})_{{\cal E}_n}={\vec {\bf o}}\Longleftrightarrow
 +
{\cal A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
 +
Řešením rovnice
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
 +
jsou tedy právě všechny vektory z jádra zobrazení ${\cal A}$, a
 +
proto dim\,{\bf S}$_0=d({\cal A})$. Podle druhé věty o dimenzi je
 +
tedy dim\,{\bf S}$_0=n-h$.
 +
 +
(3) Podle dokázané první části věty existuje nějaké řešení
 +
${\vec{\tilde {\bf x}}}$ splňující rovnici
 +
${\bf A}{\vec{\tilde {\bf x}}}={\vec {\bf b}}$, tj.
 +
${\cal A}{\vec{\tilde {\bf x}}}={\vec {\bf b}}$ a
 +
{\bf S} (tj. množina všech řešení soustavy
 +
${\bf A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$)
 +
je množina všech řešení rovnice
 +
${\cal A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$ (zdůvodnění je stejné
 +
jako v odstavci (2)). Podle věty 21 je
 +
{\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+ker{\cal A}=
 +
{\vec{\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$.
 +
 +
{\bf Důsledek 1:}\\
 +
Homogenní soustava
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
 +
má vždy řešení, neboť
 +
$h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf o}}))$.\\
 +
(O tom se ale můžeme snadno přesvědčit dosazením ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf
 +
o}}$.)\\
 +
{\bf Důsledek 2:}\\
 +
Soustava
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
 +
se čtvercovou maticí {\bf A} řádu $n$ má právě jedno řešení, právě
 +
když {\bf A} je regulární. Řešením je vektor
 +
${\vec {\bf x}}={\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
a) Nechť {\bf A} je regulární $\Rightarrow$ $h({\bf A})=n$ $\Rightarrow$
 +
$h({\bf A}\vert {\vec {\bf b}})=n$ (neboť větší být nemůže)
 +
$\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 37)}}}{\Longrightarrow}$
 +
existuje řešení a {\bf S}$_0=\{{\vec {\bf o}}\}$
 +
$\Rightarrow$ řešení je právě jedno.\\
 +
b) Nechť existuje právě jeden vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}$ tak,
 +
že  {\bf A}${\vec {\bf x}}^{(0)}={\vec {\bf b}}$. Podle věty 37
 +
je množina řešení {\bf S}=${\vec {\bf x}}^{(0)}+{\bf S}_0$, a tedy
 +
${\bf S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$, tj. dim\,{\bf S}$_0$=0. Protože\\
 +
dim\,{\bf S}$_0=n-h({\bf A})$, je $h({\bf A})=n$, tj. {\bf A} je
 +
regulární.\\
 +
Dosazením se můžeme přesvědčit, že řešením je vektor
 +
${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
 +
 +
{\bf Technika řešení soustavy lineárních algebraických rovnic}
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$\\
 +
(Gaussova eliminační metoda.)\\
 +
 +
Označme $n$ počet neznámých. Řešení soustavy nalezneme
 +
následujícím postupem:
 +
 +
1) Rozšířenou matici soustavy převedeme ekvivalentními úpravami
 +
řádků do horního stupňovitého tvaru.
 +
 +
2) Zjistíme hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice
 +
soustavy. Když se liší (tj. sloupec pravých stran je hlavní),
 +
není soustava řešitelná.
 +
 +
3) V případě, že
 +
$h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf b}}))$
 +
nalezneme $n-h$ lineárně nezávislých řešení
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n-h)}$
 +
homogenní soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
 +
To uděláme tak, že za $n-h$ neznámých odpovídajících vedlejším
 +
sloupcům dosadíme $(n-h)$-tice čísel tak, abychom si po dopočtení
 +
zbývajících neznámých vynutili lineární nezávislost výsledných
 +
vektorů. Doporučené volby jsou např.\\
 +
\centerline{
 +
$\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
1\\
 +
0\\
 +
\vdots \\
 +
0
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right) $,
 +
$\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
0\\
 +
1\\
 +
\vdots \\
 +
0
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right) $,
 +
$\ldots$,
 +
$\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
0\\
 +
0\\
 +
\vdots \\
 +
1
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right) $.}\\
 +
Je zřejmé, že pokud takto zvolíme složky řešení odpovídající
 +
vedlejším sloupcům a zbývající složky dopočteme, budou výsledná
 +
řešení soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
 +
lineárně nezávislá.
 +
 +
4) Najdeme partikulární řešení ${\vec{\tilde {\bf x}}}$
 +
soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 +
K tomu stačí zvolit složky odpovídající vedlejším sloupcům
 +
libovolně (připadá v úvahu\\ i volba
 +
$\left(\hspace{-5pt}
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
0\\
 +
0\\
 +
\vdots \\
 +
0
 +
\end{array}
 +
\hspace{-5pt}\right) $)
 +
a zbývající složky řešení dopočteme. Podle věty 37 je množina
 +
řešení
 +
{\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n-h)}]_\lambda$.\\
 +
Každý vektor tvaru\\
 +
\hspace*{15mm} ${\vec {\bf x}}={\vec{\tilde {\bf x}}}+t_1{\vec {\bf
 +
x}}^{(1)}+t_2{\vec {\bf x}}^{(2)}+\ldots+t_{n-h}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n-h)}, \hspace{25mm} (\star)$\\
 +
kde $t_i\in{\bf C}$ pro $i\in{\widehat {n-h}}$, je řešením soustavy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
 +
a naopak, je-li ${\vec {\bf x}}\in{\bf S}$, existují komplexní
 +
parametry $t_1,t_2,\ldots,t_{n-h}$ tak, že platí $(\star)$.\\
 +
Proto je zvykem říkat výrazu $(\star)$ {\bf obecné řešení
 +
soustavy}
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.\\
 +
Pokud jde o soustavu s reálnými koeficienty a zajímají nás jen
 +
reálná řešení, provádíme samozřejmě vše \uv{reálně}, tj. i parametry
 +
$t_1,t_2,\ldots,t_{n-h}$ volíme reálné.
 +
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Je-li počet neznámých roven hodnosti matice (což nastane
 +
např. když matice {\bf A} je regulární), jsou po převodu na horní
 +
stupňovitý tvar všechny sloupce hlavní, odpadá krok 3) a ${\bf
 +
S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$.
 +
 +
 +
{\large {\bf Výpočet součinu A\hspace{-3pt}$^{-1}$B}}\\
 +
{\bf Pomocná věta:}\\
 +
Nechť {\bf C} je matice typu $n\times p$,
 +
{\bf C}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
c_{11}\ c_{12}\ \ldots \ c_{1p}\\
 +
c_{21}\ c_{22}\ \ldots \ c_{2p}\\
 +
\ldots  \\
 +
c_{n1}\ c_{n2}\ \ldots \ c_{np}
 +
\end{array}\right) $.
 +
Provedeme-li ekvivalentní úpravu řádků matice {\bf C}, je
 +
výsledná matice rovna matici {\bf T}{\bf C}, kde {\bf T} je
 +
čtvercová matice řádu $n$, která z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$
 +
vznikla stejnou ekvivalentní úpravou.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Platnost je třeba dokázat pro všechny tři typy ekvivalentní
 +
úpravy.\\
 +
(a) Prohodíme-li $i$-tý a $j$-tý řádek matice {\bf I}, dostaneme
 +
matici {\bf T} tvaru\\ {\bf T}=
 +
$\left(\hspace{-8pt}
 +
\mbox{
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
 +
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}}
 +
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
 +
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
 +
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&&&1
 +
\end{tabular}}}
 +
\right) $
 +
\hspace{-6mm}
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}{c@{}}
 +
\\[6.9mm]
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek \\[-1mm]
 +
\\[2.4mm]
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek \\[-1mm]
 +
\\[-0.1mm]
 +
\\
 +
\\[-1mm]
 +
\\[-1mm]
 +
\end{tabular}}\\
 +
 +
Uvědomíme-li si, jak se násobí matice, je
 +
výsledek součinu {\bf T}{\bf C} zřejmý\\ z následujícího obrázku
 +
($i$-tý a $j$-tý řádek matice {\bf C} se prohodí)\\
 +
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{|@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
 +
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}|}
 +
\hline
 +
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&&&1\\
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
$\cdot$
 +
{\tiny
 +
\begin{tabular}{|c@{}|}
 +
\hline
 +
\hspace*{40mm}
 +
\\[3.1mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\hspace{18mm}\\[-1mm]
 +
\\[-1.6mm]
 +
\hline
 +
\\[3.7mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\hspace{22mm}\\[-1mm]
 +
\\[-1.6mm]
 +
\hline
 +
\\[3.3mm]
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
=
 +
\hspace{-30mm}{\Large {\bf C}}
 +
\hspace{25mm}
 +
{\tiny
 +
\begin{tabular}{|c@{}|}
 +
\hline
 +
\hspace*{40mm}
 +
\\[3.1mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$bývalý $j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\hspace{18mm}\\[-1mm]
 +
\\[-1.6mm]
 +
\hline
 +
\\[4mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$bývalý $i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\hspace{22mm}\\[-1mm]
 +
\\[-1.6mm]
 +
\hline
 +
\\[3.3mm]
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
 +
Sledujeme-li totiž, jak se mění při násobení maticí {\bf T}
 +
jednotlivé řádky matice {\bf C},
 +
zjistíme, že se změnily jen řádky obsazené textem.
 +
 +
(b) Násobíme-li $i$-tý řádek matice {\bf I} číslem $\alpha$, dostaneme
 +
matici {\bf T} tvaru\\[-10mm] {\bf T}=
 +
$\left(\hspace{-8pt}
 +
\mbox{
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
 +
c@{\,}}
 +
%{ccccccccccc}
 +
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&1&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&$\alpha$&&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&1&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&&&1\\
 +
\end{tabular}}}
 +
\right) $
 +
\hspace{-6mm}
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}{c}
 +
\\[18mm]
 +
...................$i$-tý řádek\\[22mm]
 +
\end{tabular}}
 +
 +
Výsledek součinu {\bf T}{\bf C} je opět patrný z obrázku
 +
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{|@{}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
 +
c@{\,}|}
 +
%{ccccccccccc}
 +
\hline
 +
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&1&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&$\alpha$&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&1&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&&&1\\
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
$\cdot$
 +
{\tiny
 +
\begin{tabular}{|c@{}|}
 +
\hline
 +
\hspace*{40mm}
 +
\\[6.5mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\\[-0.5mm]
 +
\hline
 +
\\[6.5mm]
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
=
 +
{\tiny
 +
\begin{tabular}{|c@{}|}
 +
\hline
 +
\hspace*{40mm}
 +
\\[6.5mm]
 +
\hline
 +
\hspace{-1.5mm}$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\alpha$-násobek
 +
bývalého $i$-tého řádku$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\\[-0.5mm]
 +
\hline
 +
\\[6.5mm]
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
 +
Opět se mění pouze řádek obsazený textem.
 +
 +
(c) Připočteme-li $i$-tý řádek matice {\bf I} k jejímu $j$-tému
 +
řádku, dostaneme matici {\bf T} tvaru
 +
 +
{\bf T}=
 +
$\left(\hspace{-8pt}
 +
\mbox{
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
 +
c@{\,}c@{\,}c@{\,}}
 +
%{ccccccccccc}
 +
1&&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&&&1\\
 +
\end{tabular}}}
 +
\right) $
 +
\hspace{-6mm}
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}{c}
 +
\\[.7mm]
 +
...................$i$-tý řádek\\[3mm]
 +
...................$j$-tý řádek\\[5.3mm]
 +
\end{tabular}}
 +
 +
Výsledek součinu {\bf T}{\bf C} je patrný z obrázku
 +
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{|@{\enspace}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
 +
c@{\,}c@{\,}c@{\enspace}|}
 +
%{ccccccccccc}
 +
\hline
 +
1&&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&1&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&&&1\\
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
$\cdot$
 +
{\tiny
 +
\begin{tabular}{|c@{}|}
 +
\hline
 +
\hspace*{40mm}
 +
\\[3.2mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\\[-0.5mm]
 +
\hline
 +
\\[1.8mm]
 +
\hline
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
 +
\\[-0.5mm]
 +
\hline
 +
\\[5.1mm]
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
=
 +
{\tiny
 +
\begin{tabular}{|c@{}|}
 +
\hline
 +
\hspace*{40mm}
 +
\\[9.7mm]
 +
\hline
 +
\hspace{-1.5mm}součet bývalého $i$-tého a $j$-tého řádku
 +
\\[-0.5mm]
 +
\hline
 +
\\[5.1mm]
 +
\hline
 +
\end{tabular}}
 +
 +
Mění se tedy pouze výsledný $j$-tý řádek.
 +
 +
Z této pomocné věty snadno získáme obecnější
 +
tvrzení.
 +
 +
{\bf Věta 38:}\\
 +
Nechť {\bf C} je matice typu $n\times p$. Provedeme-li konečný
 +
počet ekvivalentních úprav řádků matice {\bf C}, je výsledná
 +
matice rovna matici {\bf T}{\bf C}, kde {\bf T} je matice, která
 +
z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$ vznikla stejnými řádkovými
 +
úpravami (ve stejném pořadí).
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Z předcházející pomocné věty je zřejmé, že po $k$ ekvivalentních
 +
úpravách je výsledná matice rovna součinu ${\bf T}_k{\bf
 +
T}_{k-1}\cdots{\bf T}_2{\bf T}_1{\bf C}$, kde matice ${\bf T}_i$
 +
($i\in{\hat n}$) jsou matice, které z {\bf I} vznikly
 +
jednotlivými ekvivalentními úpravami. Označíme-li {\bf T}=${\bf T}_k{\bf
 +
T}_{k-1}\cdots{\bf T}_2{\bf T}_1$ je
 +
{\bf T}=${\bf T}_k{\bf T}_{k-1}\cdots{\bf T}_2{\bf T}_1${\bf I},
 +
což podle dokázané pomocné věty znamená, že matice
 +
{\bf T} vznikla z {\bf I} odpovídajícími ekvivalentními úpravami.
 +
Tím je věta dokázána.
 +
 +
{\bf Užití věty 38:}\\
 +
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$ a {\bf B} matice typu
 +
$n\times m$. Sestavme novou matici $({\bf A}\vert{\bf B})$ o $n$
 +
řádcích a $m$ sloupcích. Provádějme ekvivalentní úpravy řádků
 +
nové matice $({\bf A}\vert{\bf B})$ tak dlouho, až na místě
 +
původní matice {\bf A} vznikne jednotková matice {\bf I}. Původní
 +
matice {\bf B} se těmito úpravami samozřejmě také změní na
 +
matici, kterou označíme {\bf X} (ale zatím o ní nic nevíme). Platí
 +
 +
\hspace{30mm}$({\bf A}\vert{\bf B})\sim ({\bf I}\vert{\bf X})$
 +
 +
Podle dokázané pomocné věty existuje regulární matice {\bf T}
 +
taková, že {\bf I}={\bf T}{\bf A}, a protože {\bf X} vznikla z
 +
{\bf B} stejnými ekvivalentními úpravami je {\bf X}={\bf T}{\bf
 +
B}. Z toho plyne {\bf T}={\bf A}$^{-1}$, a tedy {\bf X}={\bf
 +
A}$^{-1}${\bf B}.
 +
 +
{\bf Příklady použití:}\\
 +
Je-li {\bf A} regulární matice řádu $n$, {\bf B} matice typu
 +
$n\times m$, {\bf I} jednotková matice řádu $n$ a ${\vec {\bf
 +
b}}$ vektor z {\bf C}$^n$, platí
 +
následující ekvivalence mezi maticemi:
 +
 +
$({\bf A}\vert{\bf B})\sim ({\bf I}\vert{\bf A}^{-1}{\bf
 +
B})$\qquad
 +
$({\bf A}\vert{\vec {\bf b}})\sim ({\bf I}\vert{\bf A}^{-1}{\vec
 +
{\bf b}})$\qquad
 +
$({\bf A}\vert{\bf I})\sim ({\bf I}\vert{\bf A}^{-1})$.
 +
 +
První ekvivalence užijeme k výpočtu součinu ${\bf A}^{-1}{\bf
 +
B}$, tj. řádky matice
 +
$({\bf A}\vert{\bf B})$ upravujeme tak dlouho, až na místě
 +
původní matice {\bf A} vznikne jednotková matice {\bf I}.
 +
Na místě matice {\bf B} vznikne  hledaný součin.\\
 +
Druhá ekvivalence se analogicky použije k řešení soustavy {\bf
 +
A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$, neboť řešení je vektor
 +
${\bf A}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
 +
Třetí ekvivalence slouží k výpočtu ${\bf A}^{-1}$.\\
 +
Pokud matice {\bf C} je typu $p\times n$ a chtěli bychom počítat
 +
součin {\bf C}{\bf A}$^{-1}$, stačí použít vztahu
 +
 +
$({\bf A}^{\top}\vert{\bf C}^{\top})\sim ({\bf I}\vert{({\bf
 +
A}^{\top})}^{-1}{\bf C}^{\top})=({\bf I}\vert{({\bf C}{\bf
 +
A}
 +
^{-1})}^{\top})$.
 +
 +
Tomuto postupu pro výpočet součinů tvaru ${\bf A}^{-1}{\bf B}$
 +
budeme říkat {\bf úplné eliminační schema}.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
V souvislosti s úplným eliminačním schematem vzniká otázka, zda
 +
lze každou regulární matici {\bf A} řádu $n$ převést ekvivalentními úpravami řádků
 +
na matici {\bf I}. To vždy lze.\\
 +
Víme, že matici {\bf A} jako každou jinou lze převést do horního
 +
stupňovitého tvaru. Protože je navíc regulární, jsou všechny
 +
sloupce hlavní, a tedy diagonální prvky nenulové. Budeme tedy
 +
pokračovat dále tak, že všechny řádky vydělíme diagonálními
 +
prvky, abychom na diagonále dostali jedničky. K matici {\bf I} se
 +
dostaneme v $n$ krocích.\\
 +
V prvním odečteme od prvních $n-1$ řádků takové násobky $n$-tého
 +
řádku, aby v nich byly v posledním sloupci nuly.\\
 +
V druhém kroku odečteme od prvních $n-2$ řádků takové násobky\\
 +
$(n-1)$-ního
 +
řádku, aby v nich byly v předposledním sloupci nuly. Upravený
 +
poslední sloupec se tím nepoškodí.\\
 +
V třetím kroku odečteme od prvních $n-3$ řádků takové násobky
 +
$(n-2)$-hého
 +
řádku, aby v nich byly v $(n-2)$-hém sloupci nuly.
 +
Poslední dva sloupce se opět nemění.\\
 +
Je zřejmé, že po $n$ takových krocích dostaneme matici
 +
jednotkovou.
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\Large {\bf Determinanty}}
 +
 +
Pojem {\bf determinant matice} je spojen výhradně se čtvercovými
 +
maticemi. Pomocným pojmem je pojem {\bf permutace} množiny ${\hat
 +
n}=\{1,2,\ldots,n\}$, který je dán následující definicí.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť $n\in {\bf N}$. Každé prosté zobrazení ${\hat n}$ na sebe
 +
budeme nazývat {\bf permutace množiny ${\hat n}$}. Množinu všech
 +
permutací množiny ${\hat n}$ označíme {\bf S}$_n$.
 +
 +
Pro označení permutací budeme užívat malá řecká písmena.
 +
Když $\pi\in{\bf S}_n$ nazveme čísla
 +
$\pi(1),\pi(2),\ldots,\pi(n)$ {\bf hodnoty permutace} a
 +
permutaci popíšeme buď vztahem
 +
$\pi=
 +
\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
1&2&\ldots&n\\
 +
\pi(1)&\pi(2)&\ldots&\pi(n)
 +
\end{array}
 +
\right)$
 +
nebo zapíšeme stejnou permutaci vztahem
 +
$\pi=(\pi(1),\pi(2),\ldots,\pi(n))$.\\
 +
První způsob zápisu je tabulka, ve které jsou v prvním řádku
 +
prvky množiny ${\hat n}$ a v druhém jejich obrazy v permutaci
 +
$\pi$. Předností tohoto zápisu je, že není vždy nutné, aby čísla v
 +
prvním řádku byla vždy srovnána vzestupně. Podstatné je, aby pod
 +
číslem byl jeho obraz. Při druhém způsobu zápisu je ovšem třeba
 +
dbát na pořadí.\\
 +
Permutace
 +
$\epsilon=
 +
\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
1&2&\ldots&n\\
 +
1&2&\ldots&n
 +
\end{array}
 +
\right)$
 +
se nazývá {\bf identická permutace}. Protože permutace $\pi$ je
 +
prosté zobrazení, existuje vždy {\bf inverzní permutace}
 +
$\pi^{-1}$ taková, že $\pi\pi^{-1}=\pi^{-1}\pi=\epsilon$.\\
 +
Je to permutace
 +
$\pi^{-1}=
 +
\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
\pi(1)&\pi(2)&\ldots&\pi(n)\\
 +
1&2&\ldots&n
 +
\end{array}
 +
\right)$.
 +
 +
{\bf  Definice:}\\
 +
Nechť $n\in{\bf N}$, $i,j\in{\hat n}$, $i\neq j$. Permutaci
 +
$\tau_{ij}\in{\bf S}_n$, kde\\
 +
$\tau_{ij}=\hspace{-1mm}
 +
\left(
 +
\begin{array}{@{}cccccccccccc@{}}
 +
1&2&\ldots&i-1&i&i+1&\ldots&j-1&j&j+1&\ldots&n\\
 +
1&2&\ldots&i-1&j&i+1&\ldots&j-1&i&j+1&\ldots&n
 +
\end{array}
 +
\right)$  pro $i<j$,\\
 +
nazýváme {\bf transpozicí} čísel $i,j$.
 +
 +
$\tau_{ij}$ je tedy permutace, která přehodí čísla $i$ a $j$ a
 +
tedy $\tau_{ij}\tau_{ij}=\epsilon$, tj.
 +
$\tau_{ij}={\tau_{ij}}^{-1}$.\\
 +
Zřejmě platí $\tau_{ij}=\tau_{ji}$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť $\pi\in{\bf S}_n$. Každou dvojici $(i,j), i\in{\hat n},
 +
j\in{\hat n}$, pro kterou $i<j$\\ a $\pi(i)>\pi(j)$ nazveme {\bf
 +
inverzí} v permutaci $\pi$. Číslo $(-1)^{I_{\pi}}$, kde
 +
$I_{\pi}$ je počet všech inverzí v $\pi$ nazveme znaménko
 +
(signum) permutace $\pi$. Značíme ho\\ sgn $\pi$. Je-li sgn $\pi$=+1,
 +
říkáme, že $\pi$ je {\bf sudá} permutace, jinak je {\bf lichá}.
 +
 +
Každou permutaci lze složit z transpozic, tj. platí věta:
 +
 +
{\bf Věta 39}: Nechť $\pi\in{\bf S}_n, \pi\neq \epsilon$. Potom
 +
existují transpozice $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_l\in{\bf S}_n$,
 +
takové, že $\pi=\tau_1\tau_2\cdots\tau_l$. Přitom platí sgn
 +
$\pi=(-1)^l$.
 +
 +
Větu uvádíme bez důkazu.
 +
 +
{\bf Důsledek 1:}\\
 +
Nechť $\pi_1,\pi_2\in{\bf S}_n$. Potom sgn\,$\pi_1\pi_2=$sgn\,$\pi_1\cdot$sgn\,$\pi_2$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť $\pi_1=\tau_1\tau_2\cdots\tau_k$ a
 +
$\pi_2={\tau_1}'{\tau_2}'\cdots{\tau_l}' \Longrightarrow$ \\
 +
sgn\,$(\pi_1\pi_2)=$sgn\,$(\tau_1\tau_2\cdots\tau_k{\tau_1}'{\tau_2}'\cdots{\tau_l}')=
 +
(-1)^{k+l}=(-1)^k(-1)^l=$sgn\,$\pi_1$sgn\,$\pi_2$.
 +
 +
{\bf Důsledek 2:}\\
 +
Transpozice je lichá permutace.
 +
 +
{\bf Důkaz:} Zřejmý.
 +
 +
{\bf Důsledek 3:}\\
 +
Nechť $\pi\in{\bf S}_n$. Pak sgn $\pi=$ sgn $\pi^{-1}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}
 +
1=sgn $\epsilon=$sgn $\pi\pi^{-1}=$sgn $\pi\cdot$sgn $\pi^{-1}$.
 +
 +
Závěrem připomeneme, že ze střední školy je známo, že počet
 +
permutací množiny ${\hat n}$ je $n!$
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\bf Definice a základní vlastnosti determinantů}
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$, {\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
 +
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
 +
\end{array}
 +
\right)$.\\
 +
{\bf Determinantem} matice {\bf A} nazveme číslo
 +
 +
det {\bf A}=
 +
$\begin{array}{|llll|}
 +
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
 +
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
 +
\end{array}
 +
=${\tiny $\sum\limits_{(k_1,\ldots ,k_n)\in{\bf
 +
S}_n}$}\hspace{-3mm}sgn $(k_1,\ldots
 +
,k_n)a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) Determinant je tedy suma všech součinů $n$-tic prvků matice {\bf
 +
A}, při kterých se zachovává pravidlo, že v součinu je z každého
 +
řádku a z každého sloupce {\bf právě jeden} prvek a součin je
 +
znásoben znaménkem odpovídající permutace.
 +
Je to permutace, která řádkovému indexu každého prvku v součinu
 +
přiřazuje jeho sloupcový index.
 +
To znamená, že platí také\\
 +
det {\bf A}=
 +
{\tiny $\sum\limits_{(k_1,\ldots ,k_n)\in{\bf
 +
S}_n}$}\hspace{-3mm}sgn $(k_1,\ldots
 +
,k_n)a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}$.
 +
 +
2) Sčítance tvaru sgn $(k_1,\ldots,k_n)a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$
 +
se nazývají {\bf členy determinantu}.\\
 +
3) Je zřejmé, že determinant má $n!$ členů.
 +
 +
{\large {\bf Determinanty speciálních typů matic}}
 +
 +
1) Nechť {\bf A}=$(a_{11})$, pak zřejmě det {\bf A}=sgn $
 +
\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c}${\scriptsize
 +
1}$\\[-1mm]${\scriptsize 1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)a_{11}=a_{11}$.
 +
 +
2) Nechť {\bf
 +
A}=$\biggl(\hspace{-1mm}
 +
\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\hspace{-1mm}\biggr)$.
 +
V úvahu přicházejí pouze 2 permutace,
 +
$\pi_1=
 +
\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{cc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 2}$\\[-1mm]${\scriptsize
 +
1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
 +
se znaménkem sgn $\pi_1=1$ a
 +
$\pi_2=
 +
\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{cc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 2}$\\[-1mm]${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
 +
se znaménkem sgn $\pi_2=-1$. Je tedy
 +
det {\bf A}=$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.
 +
 +
3) Nechť {\bf A}=$\Biggl(\hspace{-1mm}
 +
\begin{array}{lll}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
 +
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
 +
a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\hspace{-1mm}\Biggr)$.
 +
V úvahu přichází 6 permutací.\\ Permutace
 +
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
3}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$,
 +
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
 +
${\scriptsize 2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
 +
a
 +
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
 +
${\scriptsize 3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 2}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
 +
se znaménkem 1\\ a permutace
 +
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
 +
${\scriptsize 3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$,
 +
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$,
 +
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
 +
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
 +
${\scriptsize 2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
 +
1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
 +
se znaménkem -1.\\
 +
Je tedy\\
 +
det {\bf A}=$a_{11}a_{12}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}+
 +
a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Někdy se pro zapamatování vzorce pro výpočet determinantů matic 2. a 3.
 +
řádu užívá mnemotechnických pomůcek. Pro matice 2. řádu\\
 +
$
 +
\begin{array}{|lll|}a_{11}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{12}\\[-1.5mm]
 +
&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}
 +
\\[-1.5mm]
 +
a_{21}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{22}\end{array}=
 +
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.  Tím je naznačeno, že se násobí jen
 +
prvky matice spojené šipkami, přičemž má-li šipka směr
 +
$\searrow$,
 +
opatří se součin znaménkem +, má-li směr $\nearrow$, znaménko je
 +
-.\\
 +
Podobně pro výpočet determinantu matice 3. řádu se doporučuje pod
 +
matici opsat znovu 1. a 2. řádek a pospojovat prvky následujícím
 +
způsobem
 +
 +
$\begin{array}{|lllll|}
 +
a_{11}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{12}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{13}\\[-1.5mm]
 +
&\hspace{-4mm}\searrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
 +
a_{21}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{22}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{23}\\[-1.5mm]
 +
&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
 +
a_{31}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{32}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{33}\\[-1.5mm]
 +
\end{array}$
 +
=
 +
$\begin{array}{c}
 +
a_{11}a_{12}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\
 +
-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
 +
\end{array}$\\
 +
$\begin{array}{lllll}
 +
&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
 +
a_{11}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{12}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{13}\\[-1.5mm]
 +
&\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\searrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
 +
a_{21}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{22}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{23}
 +
\end{array}$
 +
 +
Opět se násobí pouze prvky spojené čarami a o znaménku rozhoduje
 +
směr šipky.
 +
Tento způsob výpočtu je znám pod názvem Sarusovo pravidlo. Je
 +
ovšem třeba zdůraznit, že pro determinanty matic vyššího řádu
 +
obdobné pravidlo {\bf neplatí}.
 +
 +
4) {\bf Definice:}\\
 +
Matice {\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
 +
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
 +
\end{array}
 +
\right)$
 +
se nazývá {\bf dolní} resp. {\bf horní} trojúhelníková, platí-li
 +
$a_{ij}=0$ pro $i<j$ resp. pro $i>j$, kde $i,j\in{\hat n}$.
 +
 +
Platí tvrzení: Je-li {\bf A} horní (resp. dolní) trojúhelníková
 +
matice, je det {\bf A}=$a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
 +
\newpage
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť např. {\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
 +
0&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
0&0&\ldots&a_{nn}
 +
\end{array}
 +
\right)$.\\
 +
Členy determinantu, které neobsahují prvek $a_{11}$, jsou určitě
 +
rovny nule, neboť musí obsahovat jiný prvek prvního sloupce.\\
 +
Budeme se proto dále zabývat jen členy determinantu, které prvek
 +
$a_{11}$ obsahují.
 +
Jediný takový člen determinantu, který není
 +
nutně nulový, je roven součinu $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
 +
Kdyby totiž $a_{ii}$ byl první diagonální prvek, který ve
 +
zkoumaném
 +
členu determinantu chybí, musel by v tomto členu být místo něho jiný prvek z
 +
$i$-tého sloupce. Jeho řádkový index by ovšem musel být větší než
 +
$i$, protože náš člen obsahuje prvky
 +
$a_{11},a_{22},\cdots ,a_{i-1,i-1}$. Takový prvek je ovšem nutně
 +
nulový, a tedy i člen determinantu je nulový.\\
 +
Tím je tvrzení dokázáno.
 +
 +
{\bf Důsledky:}\\
 +
a) Determinant diagonální matice je roven součinu diagonálních
 +
prvků.\\
 +
b) det {\bf I}=1.
 +
 +
{\bf Věta 40:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Pak det {\bf A}=det ${\bf
 +
A}\hspace{-1mm}^{\top}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
det {\bf A} je suma sčítanců tvaru
 +
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
\hspace{-2mm}1&\hspace{-1mm}2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}n\hspace{-2mm}\\
 +
\hspace{-2mm}k_1&\hspace{-1mm}k_2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}k_n\hspace{-2mm}
 +
\end{array}
 +
\right)$}} $\hspace{-1mm}
 +
a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$.\\
 +
V det ${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$
 +
vystoupí každý součin $a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$ také (protože
 +
splňuje pravidlo, že z každého řádku a z každého sloupce je tam
 +
právě jeden prvek). Protože však každý prvek  $a_{ij}$ je v
 +
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ na místě s indexy (j,i), bude
 +
opatřen znaménkem
 +
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
 +
\begin{array}{cccc}
 +
\hspace{-2mm}k_1&\hspace{-1mm}k_2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}k_n\hspace{-2mm}\\
 +
\hspace{-2mm}1&\hspace{-1mm}2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}n\hspace{-2mm}
 +
\end{array}
 +
\right)$}}.
 +
Permutace, které zde vystupují, jsou ovšem vzájemně inverzní, a
 +
tedy znaménka jsou stejná.
 +
 +
{\bf Věta 41:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Potom:\\
 +
(a) Vznikne-li matice {\bf B} násobením některého sloupce (řádku)
 +
matice {\bf A} číslem $c$, je det {\bf B}= $c$det {\bf A}.\\
 +
(b) Je-li některý sloupec (řádek) matice {\bf A} nulový, je det
 +
{\bf A}= 0.\\
 +
(c) Má-li {\bf A} dva sloupce (řádky) stejné, je det {\bf A}=0.\\
 +
(d) Označíme-li {\bf A}=$\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
 +
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf p}},{\vec {\bf
 +
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$ \\
 +
a  {\bf B}=$\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
 +
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf q}},{\vec {\bf
 +
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$, \\
 +
pak
 +
det {\bf A}+ det  {\bf B}= det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
 +
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf p}}+{\vec {\bf q}},{\vec {\bf
 +
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$. \\
 +
Analogické tvrzení platí i pro řádky.\\
 +
(e) Připočteme-li k jednomu sloupci (řádku) matice {\bf A}
 +
lineární kombinaci jiných sloupců (řádků) této matice, determinant matice se
 +
nezmění.\\
 +
(f) Vznikne-li matice {\bf B} z matice {\bf A} přehozením dvou
 +
sloupců (řádků),\\ je det {\bf B} = -det {\bf A}.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Vzhledem k větě 40 je lhostejné, zda důkazy provádíme pro řádky
 +
nebo pro sloupce.\\
 +
(a) V každém členu determinantu je právě jeden prvek příslušného
 +
sloupce. Když byl sloupec násoben číslem $c$, je každý člen
 +
determinantu
 +
znásoben číslem $c$, a tedy lze toto číslo vytknout.\\
 +
(b) To, že je sloupec roven ${\vec {\bf o}}$, lze chápat tak, že
 +
nějaký původní sloupec byl násoben nulou, a podle (a) je tedy
 +
det {\bf A} =0.\\
 +
(c) Předpokládejme, že $i$-tý a $j$-tý řádek jsou stejné. Determinant
 +
obsahuje \\s každým členem\\
 +
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
 +
\begin{array}{cccccccc}
 +
\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}2&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-1mm}i&\hspace{-2mm}\ldots&
 +
\hspace{-2mm}j&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}n\hspace{-2mm}\\
 +
\hspace{-2mm}\pi(1)&\hspace{-2mm}\pi(2)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(i)&
 +
\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(j)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(n)\hspace{-2mm}
 +
\end{array}
 +
\right)$}} $\hspace{-1mm}
 +
a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{i\pi(i)}\cdots a_{j\pi(j)}\cdots
 +
a_{n\pi(n)}$\\
 +
také člen\\
 +
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
 +
\begin{array}{cccccccc}
 +
\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}2&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-1mm}i&\hspace{-2mm}\ldots&
 +
\hspace{-2mm}j&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}n\hspace{-2mm}\\
 +
\hspace{-2mm}\pi(1)&\hspace{-2mm}\pi(2)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(j)&
 +
\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(i)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(n)\hspace{-2mm}
 +
\end{array}
 +
\right)$}} $\hspace{-1mm}
 +
a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{i\pi(j)}\cdots a_{j\pi(i)}\cdots
 +
a_{n\pi(n)}$.\\
 +
Protože z našeho předpokladu vyplývá, že
 +
$a_{i\pi(i)}=a_{j\pi(i)}$ a $a_{j\pi(j)}=a_{i\pi(j)}$, liší se
 +
oba členy nejvýše znaménkem příslušné permutace. Protože ale druhá
 +
permutace vznikne z první složením s jedinou transpozicí
 +
$\tau_{ij}$, jsou znaménka permutací opačná a členy se zruší.
 +
Determinant se tedy rovná nule.\\
 +
(d) Označíme-li ${\bf a}^{(i)}_j$ $j$-tou složku vektoru
 +
${\vec {\bf a}}^{(i)}$ (tj. prvek na $j$-tém místě \\v $i$-tém sloupci
 +
matice) a analogicky pro vektory ${\vec {\bf p}}$ a ${\vec {\bf
 +
q}}$, platí\\
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
 +
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf p}}+{\vec {\bf q}},{\vec {\bf
 +
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$=      \\
 +
=$\sum\limits_{\pi\in{\bf S}_n}$\hspace{-1mm}sgn $\pi\enspace {\bf
 +
a}^{(1)}_{\pi(1)}{\bf a}^{(2)}_{\pi(2)}\cdots{\bf
 +
a}^{(i-1)}_{\pi(i-1)}({\bf p}_{\pi(i)}+{\bf q}_{\pi(i)}){\bf
 +
a}^{(i+1)}_{\pi(i+1)}\cdots{\bf a}^{(n)}_{\pi(n)}$=\\
 +
=$\sum\limits_{\pi\in{\bf S}_n}$\hspace{-1mm}sgn $\pi\enspace {\bf
 +
a}^{(1)}_{\pi(1)}\cdots{\bf p}_{\pi(i)}\cdots{\bf
 +
a}^{(n)}_{\pi(n)}+
 +
\sum\limits_{\pi\in{\bf S}_n}$\hspace{-1mm}sgn $\pi\enspace {\bf
 +
a}^{(1)}_{\pi(1)}\cdots{\bf q}_{\pi(i)}\cdots{\bf
 +
a}^{(n)}_{\pi(n)}$=\\=
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf p}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(n)}}\Bigr)$+
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf q}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(n)}}\Bigr)$.\\
 +
(e) Determinant má tvar
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},
 +
{\vec {\bf a}^{(i)}}+\sum\limits_{j\neq i}\gamma_j{\vec {\bf
 +
a}^{(j)}},{\vec {\bf
 +
a}^{(i+1)}}\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$,
 +
a je tedy podle (a) a (d) roven\\
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,
 +
{\vec {\bf a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)+
 +
\sum\limits_{j\neq i}\gamma_j$
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},
 +
{\vec {\bf a}^{(j)}},{\vec {\bf
 +
a}^{(i+1)}}\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$.
 +
Všechny determinanty za sumačním znaménkem jsou ovšem podle (c)
 +
rovny nule.\\
 +
(f) Označme sloupce matice {\bf A} postupně ${\vec {\bf a}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf a}}^{(n)}$. Prohození sloupců ${\vec {\bf
 +
a}}^{(i)}$ a ${\vec {\bf a}}^{(j)}$ v det {\bf A} lze docílit
 +
úpravami, které symbolicky vyznačím (sloupce, které se nemění,
 +
většinou nepíšu).\\
 +
det {\bf A}=
 +
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf a}}^{(n)}\Bigr)
 +
=\\
 +
\stackrel{
 +
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
 +
{\mbox{\tiny (e)}}\end{array}}}{=}
 +
{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}}^{(n)}\Bigr)
 +
=\\
 +
\stackrel{
 +
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
 +
{\mbox{\tiny (e)}}\end{array}}}{=}
 +
{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(j)}}-({\vec {\bf
 +
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}}),\ldots,{\vec {\bf
 +
a}}^{(n)}\Bigr)
 +
=\\
 +
={\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,-{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}}^{(n)}\Bigr)
 +
=\\
 +
\stackrel{
 +
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
 +
{\mbox{\tiny (a)}}\end{array}}}{=}
 +
-{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}}^{(n)}\Bigr)
 +
=\\
 +
\stackrel{
 +
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
 +
{\mbox{\tiny (d) a (c)}}\end{array}}}{=}
 +
-{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,
 +
{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf
 +
a}}^{(n)}\Bigr)$.
 +
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou čtvercové matice řádu $n$.
 +
Vznikla-li matice {\bf B} z matice {\bf A} ekvivalentní úpravou
 +
řádků, platí det {\bf B}=det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}, kde
 +
{\bf T} je matice, která z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$
 +
vznikla stejnou ekvivalentní úpravou řádků, tj. vznikla-li matice
 +
{\bf T} z matice {\bf I} ekvivalentní úpravou řádků, platí\\
 +
\centerline {det {\bf TA}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}}\\
 +
(neboť z pomocné věty na str. 10 víme, že {\bf B}={\bf T}{\bf
 +
A}).
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
(1) prohození $i$-tého a $j$-tého řádku:\\
 +
{\bf T}=
 +
$\left(\hspace{-8pt}
 +
\mbox{
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
 +
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}}
 +
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
 +
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
 +
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
 +
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
 +
&&&&&&&&&&&&&&&&1
 +
\end{tabular}}}
 +
\right) $
 +
\hspace{-6mm}
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}{c@{}}
 +
\\[6.9mm]
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek \\[-1mm]
 +
\\[2.4mm]
 +
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek \\[-1mm]
 +
\\[-0.1mm]
 +
\\
 +
\\[-1mm]
 +
\\[-1mm]
 +
\end{tabular}}\\
 +
 +
Protože det {\bf I}= 1, je podle tvrzení (f) det {\bf T}= -1, a tedy
 +
det {\bf B}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}.\\
 +
 +
(2) násobení $i$-tého řádku číslem $c\neq 0$:\\[-8mm]
 +
{\bf T}=
 +
$\left(\hspace{-8pt}
 +
\mbox{
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
 +
c@{\,}}
 +
%{ccccccccccc}
 +
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&1&&&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&$c$&&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&1&&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.7mm]
 +
&&&&&&&&&&1\\
 +
\end{tabular}}}
 +
\right) $
 +
\hspace{-6mm}
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}{c}
 +
\\[18mm]
 +
...................$i$-tý řádek\\[22mm]
 +
\end{tabular}}\\[-8mm]
 +
Podle tvrzení (a) je det {\bf T}=$c$, a tedy opět
 +
det {\bf B}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}.
 +
 +
(3) připočtení $i$-tého řádku k $j$-tému řádku:\\[2mm]
 +
{\bf T}=
 +
$\left(\hspace{-0pt}
 +
\mbox{
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}
 +
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
 +
c@{\,}c@{\,}c@{\,}}
 +
%{ccccccccccc}
 +
1&&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&$\cdot$&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&$\cdot$&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.8mm]
 +
&&&&&&&&&&&&1\\
 +
\end{tabular}}}
 +
\right) $
 +
\hspace{-6mm}
 +
{\scriptsize
 +
\begin{tabular}{c}
 +
\\[.7mm]
 +
...................$i$-tý řádek\\[3mm]
 +
...................$j$-tý řádek\\[5.3mm]
 +
\end{tabular}}\\[2mm]
 +
Podle tvrzení (e) je
 +
det {\bf T}= 1, a tedy
 +
det {\bf B}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\ Stejná tvrzení platí pochopitelně i pro
 +
sloupcové úpravy.
 +
 +
{\bf Věta 42:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice. Pak {\bf A} je regulární,
 +
právě když det {\bf A} $\neq$ 0.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Matici {\bf A} lze ekvivalentními úpravami řádků převést na
 +
matici {\bf B}, která je\\ v horním stupňovitém tvaru. Podle
 +
dokázaného důsledku se determinant matice {\bf A} po každé úpravě
 +
násobí číslem různým od nuly ( -1 při záměně řádků, $c$ při
 +
násobení řádku číslem $c$ a 1 při připočtení řádku k druhému).\\
 +
Je tedy det {\bf A} $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ det {\bf B} $\neq$
 +
0. Ale determinant matice {\bf B} je součin jejích diagonálních
 +
prvků (neboť je trojúhelníková), a je tedy nenulový, právě když všechny sloupce jsou hlavní,
 +
tj. když hodnost {\bf A} je $n$.
 +
 +
 +
{\bf Věta 43:}\\
 +
Nechť {\bf P} a {\bf Q} jsou čtvercové matice řádu $n$. Pak det
 +
{\bf P}{\bf Q} = det {\bf P} $\cdot$ det {\bf Q}.
 +
 +
 +
{\bf Důkaz}:\\
 +
1) Nechť {\bf P} je singulární $\Longleftrightarrow$ det {\bf P}
 +
= 0 a $h({\bf P})<n$.\\
 +
Podle věty 33 je $h({\bf P}{\bf Q})\leq h({\bf P})<n \Rightarrow {\bf
 +
P}{\bf Q}$ je singulární $\Rightarrow$ det {\bf P}{\bf Q}=0.\\
 +
2) Nechť {\bf P} je regulární. Pak existuje matice {\bf
 +
P}$^{-1}$,
 +
platí ${\bf P}{\bf P}^{-1}={\bf P}^{-1}{\bf P}={\bf I}$, a tedy
 +
platí {\bf P}=${({\bf P}^{-1})}^{-1}$. \\
 +
Platí tedy také {\bf P}{\bf Q}=${({\bf P}^{-1})}^{-1}{\bf Q}$.\\
 +
Spočítáme tento součin technikou pro výpočet
 +
součinů tvaru ${\bf A}^{-1}{\bf B}$ ze strany 10. To znamená, že
 +
budeme provádět ekvivalentní úpravy řádků matice $\Bigl( {\bf
 +
P}^{-1}\vert {\bf Q}\Bigr)$ až dostaneme matici
 +
$\Bigl( {\bf I}\vert {\bf P}{\bf Q}\Bigr)$.\\
 +
(Zde je nutné si uvědomit, že ať užijeme jakékoliv
 +
řádkové úpravy, které zajistí, že na místě matice ${\bf P}^{-1}$
 +
vznikne matice {\bf I}, vznikne na místě matice {\bf Q} matice
 +
{\bf P}{\bf Q}.)\\
 +
Protože při tomto procesu vznikla matice {\bf P}{\bf Q} z matice
 +
{\bf Q} ekvivalentními úpravami, platí podle důsledku ze strany
 +
21
 +
 +
\hspace{15mm} det {\bf P}{\bf Q} = det ${\bf T}_k  \cdot$  det ${\bf
 +
T}_{k-1}$
 +
$\cdots$ det ${\bf T}_1  \cdot$ det {\bf Q}, \hspace{15mm}($\star$)
 +
 +
kde ${\bf T}_i$ je matice, která odpovídá $i$-té úpravě (tj.
 +
vznikla z {\bf I} touto úpravou).\\
 +
Vztah $(\star$) platí pro každou matici řádu $n$, a tedy speciálně
 +
(při volbě {\bf Q}={\bf I}\\ a stejných úpravách) platí
 +
 +
\hspace{15mm} det {\bf P} = det ${\bf T}_k  \cdot$  det ${\bf
 +
T}_{k-1}$
 +
$\cdots$ det ${\bf T}_1  $.
 +
 +
Je tedy
 +
det {\bf P}{\bf Q} = det {\bf P} $\cdot$ det {\bf Q}.
 +
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
Nechť {\bf A} je regulární matice. Pak det ${\bf
 +
A}^{-1}=\frac{1}{{\rm det} {\bf A}}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Tvrzení je důsledkem vztahů 1 = det $({\bf A}^{-1}{\bf A})$ = det
 +
${\bf A}^{-1} \cdot$ det {\bf A}.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A}=$(a_{ij})$ je čtvercová matice řádu $n>1$. Nechť ${\bf
 +
A}^{(i,j)}$ je čtvercová matice řádu $n-1$, která z {\bf A} vznikla
 +
vyškrtnutím $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. Označme\\
 +
\centerline{${\bf D}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot {\rm det}\ {\bf
 +
A}^{(i,j)}$.}
 +
Číslo ${\bf D}_{ij}$ se nazývá {\bf algebraický doplněk} prvku
 +
$a_{ij}$.
 +
 +
 +
{\bf Věta 45:} (O rozvoji determinantu podle $i$-tého řádku,
 +
resp. $j$-tého sloupce)\\
 +
Nechť {\bf A}=$(a_{ij})$ je čtvercová matice řádu $n>1$ a ${\bf
 +
D}_{ij}$ jsou algebraické doplňky prvků $a_{ij}$ pro $i\in {\hat
 +
n}, j\in {\hat n}$.\\
 +
Potom pro $i\in {\hat n}$ platí\\
 +
\centerline{ det {\bf A} =$\sum \limits_{j=1}^{n}a_{ij}{\bf
 +
D}_{ij}$,\hspace{20mm}{\tiny (rozvoj podle $i$-tého řádku)}}\\
 +
resp. pro $j\in {\hat n}$ platí\\
 +
\centerline{ det {\bf A} =$\sum \limits_{i=1}^{n}a_{ij}{\bf
 +
D}_{ij}$.\hspace{20mm}{\tiny (rozvoj podle $j$-tého sloupce)}}
 +
 +
Tuto větu jsme uvedli bez důkazu.
 +
 +
{\bf Věta 46:}\\
 +
Nechť {\bf A}=$(a_{ij})$ je regulární čtvercová matice řádu $n>1$ a ${\bf
 +
D}_{ij}$ jsou algebraické doplňky prvků $a_{ij}$ pro $i\in {\hat
 +
n}, j\in {\hat n}$.\\
 +
Potom
 +
$ {\bf A}^{-1}=\frac{1}{{\rm det} {\bf A}}
 +
\left(
 +
\begin{array}{rrrr}
 +
{\bf D}_{11}&{\bf D}_{21}&\ldots&{\bf D}_{n1}\\
 +
{\bf D}_{12}&{\bf D}_{22}&\ldots&{\bf D}_{n2}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
{\bf D}_{1n}&{\bf D}_{2n}&\ldots&{\bf D}_{nn}\\
 +
\end{array}
 +
\right)$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Stačí dokázat, že {\bf A}${\bf A}^{-1}$={\bf I}. Zkoumejme tedy
 +
prvek na místě $(i,j)$ tohoto součinu. Kdyby vzorec uvedený ve
 +
větě platil, je (podle vzorce pro násobení matic)
 +
 +
$[{\bf A}{\bf A}^{-1}]_{ij}=\frac{1}{{\rm det} {\bf A}}[a_{i1}{\bf
 +
D}_{j1}+a_{i2}{\bf D}_{j2}+\ldots+a_{in}{\bf D}_{jn}]$.
 +
 +
Podle věty 45 je výraz v hranaté závorce pro $i=j$ roven det {\bf
 +
A} (výpočet rozvojem podle $i$-tého řádku), a tedy $[{\bf A}{\bf A}^{-1}]_{ii}=1$ pro $i\in {\hat n}$.\\
 +
Podle téže věty je výraz v hranaté závorce pro $i\neq j$ rozvoj
 +
podle $j$-tého řádku ovšem determinantu matice, která vznikne,
 +
když v matici {\bf A} nahradíme $j$-tý řádek znovu $i$-tým
 +
řádkem. Rozvoj v hranaté závorce je v tomto případě roven nule,
 +
protože jde o determinant matice se dvěma stejnými řádky.\\
 +
Tím je věta dokázána.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Matici ${\bf A}^{adj}=
 +
\left(
 +
\begin{array}{rrrr}
 +
{\bf D}_{11}&{\bf D}_{21}&\ldots&{\bf D}_{n1}\\
 +
{\bf D}_{12}&{\bf D}_{22}&\ldots&{\bf D}_{n2}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
{\bf D}_{1n}&{\bf D}_{2n}&\ldots&{\bf D}_{nn}\\
 +
\end{array}
 +
\right)$
 +
se říká matice {\bf adjungovaná}\\ k matici {\bf A}.
 +
 +
{\bf Věta 47:} (Cramerovo pravidlo)\\
 +
Nechť {\bf A} je regulární čtvercová matice řádu $n$ a
 +
${\vec {\bf b}}\in {\bf C}^n$.
 +
Označme ${\bf B}^{(i)}$ matici, která z matice {\bf A} vznikne
 +
při náhradě $i$-tého sloupce vektorem ${\vec {\bf b}}$. Nechť
 +
${\vec {\bf x}}=
 +
\left(\hspace{-1mm}
 +
\begin{array}{l} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\hspace{-1mm}\right)\in{\bf
 +
C}^n$ je řešení soustavy  {\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf
 +
b}}$.\\
 +
Potom pro $i\in {\hat n}$ platí $x_i=\frac{{\rm det}\ {\bf
 +
B}^{(i)}}{{\rm det}\ {\bf A}}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Víme, že ${\vec {\bf x}}={\bf A}^{-1}{\vec {\bf b}}$ a tedy ze
 +
vzorce pro výpočet inverzní matice ve větě 46 plyne\\
 +
$x_i=\frac{1}{{\rm det}\ {\bf A}}[{\bf D}_{1i}b_1+{\bf
 +
D}_{2i}b_2+\ldots+{\bf D}_{ni}b_n]$.\\
 +
Snadno uvážíme, že výraz v hranaté závorce je rozvoj determinantu
 +
matice, která z matice {\bf A} vznikla po nahrazení $i$-tého
 +
sloupce vektorem ${\vec {\bf b}}$, podle tohoto nového $i$-tého
 +
sloupce. Tím je věta dokázána.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Je třeba říci, že Cramerovo pravidlo i vzorec z věty 46 se hodí k
 +
výpočtům pouze u malých matic (jinak jsou to vzorce
 +
neekonomické kvůli velkému počtu aritmetických operací). V teorii
 +
mají ovšem velký význam.
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\Large {\bf Skalární součin a ortogonalita}}
 +
 +
{\bf Důležité upozornění:}\\
 +
V této kapitole budeme pod pojmem {\bf těleso} rozumět výhradně
 +
buď těleso všech komplexních čísel, nebo těleso všech reálných
 +
čísel. Důvodem pro toto omezení je skutečnost, že v obecném
 +
tělese {\bf nemusí} platit implikace\\
 +
\centerline {$\alpha\in{\bf T}\Longleftrightarrow
 +
\overline{\alpha}\in{\bf T}$.}
 +
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor nad tělesem {\bf T}. Kromě
 +
operací sčítání vektorů \\a násobení vektoru číslem, které jsou
 +
v každém vektorovém prostoru zavedeny, se studují i prostory s
 +
další operací, která se nazývá skalární součin a je dána
 +
následující definicí.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor nad tělesem {\bf T}. Zobrazení
 +
${\bf V}\times {\bf V}$ do {\bf T}, které každé dvojici vektorů ${\vec {\bf
 +
x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ z {\bf V} přiřadí číslo $({\vec {\bf
 +
x}},{\vec {\bf y}})\in{\bf T}$ se nazývá {\bf skalární součin},
 +
pokud splňuje následující čtyři vlastnosti:\\
 +
1) Pro každé dva vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ z {\bf V} je
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
 +
$\overline{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})}$.\\
 +
2) Pro každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$ je
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\ge 0$;
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=0\Longleftrightarrow
 +
{\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
 +
3) Pro každé tři vektory ${\vec {\bf x}}$, ${\vec {\bf y}}$ a ${\vec {\bf z}}$ z {\bf V}
 +
je $({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})$=
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})+({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
 +
z}})$.\\
 +
4) Pro každé dva vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ z {\bf V} a
 +
číslo $\alpha\in{\bf T}$ je
 +
$(\alpha{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
 +
$\alpha({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$.\\
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
0) Pro lib. ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$ je
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf o}})=
 +
({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=0$.\\
 +
\hspace*{5mm}
 +
(Neboť $({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=
 +
(0{\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=
 +
0({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=0$.)\\
 +
1) Pokud prostor {\bf V} je reálný, tj. {\bf T}={\bf R}, platí
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
 +
$({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})$.\\
 +
2) Z vlastností 1) a 4) plyne
 +
$({\vec {\bf x}},\alpha{\vec {\bf y}})$=
 +
${\overline\alpha}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$.\\
 +
\hspace*{3mm} Z vlastností 1) a 3) plyne
 +
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})$=
 +
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf x}})+({\vec {\bf z}},{\vec {\bf
 +
y}})$.\\
 +
3) {\bf Příklad skalárního součinu na prostoru C$^n$.}\\
 +
\hspace*{3mm} Nechť
 +
${\vec {\bf x}}=\hspace{-1mm}
 +
\left(\hspace{-1mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
 +
\hspace{-1mm}\in{\bf C}^n$ a
 +
${\vec {\bf y}}=\hspace{-1mm}
 +
\left(\hspace{-1mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\y_2\\\vdots\\y_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
 +
\hspace{-1mm}\in{\bf C}^n$.
 +
Definujeme tzv. {\bf standardní skalární součin} vztahem
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
 +
$\sum \limits_{i=1}^{n}x_i\overline {y_i}$.
 +
Obdobně definujeme na prostoru {\bf R}$^n$ {\bf standardní
 +
skalární součin} vztahem
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
 +
$\sum \limits_{i=1}^{n}x_iy_i$.\\
 +
4) Prostor {\bf R}$^n$ se standardním skalárním součinem nazýváme
 +
{\bf eukleidovský prostor} a analogicky
 +
prostor {\bf C}$^n$ se standardním skalárním součinem nazýváme
 +
{\bf unitární prostor}.\\
 +
Jsou to tedy prostory, na kterých jsou definovány {\bf tři}
 +
operace.\\
 +
5) Je-li {\bf V} vektorový prostor nad {\bf T} se skalárním
 +
součinem a ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$, nazýváme číslo
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=\sqrt{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}})}$ {\bf norma vektoru} ${\vec {\bf x}}$.\\
 +
Speciálně v prostoru {\bf R}$^n$ ( a někdy i v {\bf C}$^n$) se
 +
standardním skalárním součinem se číslo
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=\sqrt{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}})}$
 +
nazývá {\bf eukleidovská norma vektoru} ${\vec {\bf x}}$. Snadno
 +
si rozmyslíme, že v {\bf R}$^1$,{\bf R}$^2$ a {\bf R}$^3$ má
 +
eukleidovská norma význam velikosti vektoru.\\
 +
Snadno prověříme, že
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=0\Longleftrightarrow{\vec {\bf x}}={\vec {\bf
 +
o}}$  a $\Vert\alpha{\vec {\bf
 +
x}}\Vert=\mid\hspace{-1mm}\alpha\hspace{-1mm}\mid\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert$.
 +
 +
{\bf Věta 48:}(Schwarzova (Cauchyova) nerovnost)\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor  se skalárním
 +
součinem nad tělesem {\bf T}. Pak pro každé dva vektory ${\vec
 +
{\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in {\bf V}$ platí\\
 +
\centerline{$\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})\vert\le\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
 +
y}}\Vert$.}
 +
Rovnost nastává, právě když vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec
 +
{\bf y}}$ jsou lineárně závislé.\\
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Pokud ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$, je nerovnost zřejmá.\\
 +
Omezíme se tedy na případ ${\vec {\bf x}}\neq{\vec {\bf o}}$.
 +
Zavedeme vektor ${\vec {\bf z}}$ vztahem
 +
${\vec {\bf z}}=\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
 +
x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}$.
 +
Platí vztahy
 +
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf y}})=\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
 +
x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}^2\Vert}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})
 +
=\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert^2}$\\
 +
a
 +
$\Vert{\vec {\bf z}}\Vert^2=\left(
 +
\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}
 +
,\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}
 +
\right)=
 +
\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})\overline{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
 +
x}})}}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^4}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=
 +
\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert^2}$.\\
 +
Z prvního vztahu je zřejmé, že součin $({\vec {\bf z}},{\vec {\bf
 +
y}})$ je reálný, a tedy následující výrazy si jsou rovny\\
 +
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf y}})=({\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})=
 +
\Vert{\vec {\bf z}}\Vert^2=
 +
\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert^2}$.\\
 +
Z toho plyne\\
 +
$0\le({\vec {\bf z}}-{\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}}-{\vec {\bf y}})=
 +
\Vert{\vec {\bf z}}\Vert^2-({\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})-
 +
({\vec {\bf z}},{\vec {\bf y}})+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2=
 +
-\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert^2}+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2$.\hspace{10mm}($\star$)\\
 +
Nerovnost
 +
$\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})\vert\le\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
 +
y}}\Vert$
 +
tedy platí.\\
 +
Vyšetříme, kdy nastane rovnost.\\
 +
Jsou-li vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ lineárně
 +
závislé, je jeden z nich násobkem druhého. Nechť např.
 +
${\vec {\bf x}}=\alpha{\vec {\bf y}}$.
 +
Pak $\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert=
 +
\vert(\alpha{\vec {\bf y}},{\vec {\bf y}})\vert=
 +
\vert\alpha\vert\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2=
 +
\Vert{\alpha\vec {\bf y}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf y}}\Vert=
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.
 +
Je-li naopak
 +
$\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})\vert=\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
 +
y}}\Vert$,
 +
pak je buď ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$, a tedy
 +
vektory ${\vec {\bf x}}$, ${\vec {\bf y}}$ jsou lineárně
 +
závislé, nebo ${\vec {\bf x}}\ne{\vec {\bf o}}$ a výraz na pravé
 +
straně vztahu $(\star)$ je roven nule. Z toho ovšem plyne
 +
$\Vert{\vec {\bf z}}-{\vec {\bf y}}\Vert$=0, z toho
 +
${\vec {\bf y}}={\vec {\bf z}}=\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
 +
x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}$, a tudíž
 +
vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ jsou lineárně
 +
závislé.
 +
 +
{\bf Věta 49:}(Trojúhelníková nerovnost)\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor  se skalárním
 +
součinem nad tělesem {\bf T}. Pak pro každé dva vektory ${\vec
 +
{\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in {\bf V}$ platí\\
 +
\centerline {$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert\le\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.}
 +
Rovnost nastává, právě když existuje číslo $\alpha\in${\bf T},
 +
$\alpha\ge 0$ tak, že buď ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$,
 +
nebo ${\vec {\bf x}}=\alpha{\vec {\bf y}}$.\\
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Platí následující vztahy\\
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert^2=
 +
({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})=
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2{\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})+
 +
\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2\le\\
 +
\le\hspace{-1mm}
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2\sqrt{{\sl Re}^2({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})+{\sl Im}^2({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})}+
 +
\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})\vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2\le\hspace{12mm}(\star)\\
 +
\stackrel{
 +
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny (Schwarzova}} \\[-3mm]
 +
{\mbox{\tiny nerovnost)}}\end{array}}}{\le}
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
 +
y}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2
 +
=(\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert)^2$.
 +
 +
Nerovnost tedy platí.
 +
 +
Předpokládejme, že platí rovnost
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert=\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.
 +
Pak se všechny nerovnosti ve vztazích $(\star)$ mění na rovnosti
 +
a z toho plyne:\\
 +
(a) $\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert=\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
 +
y}}\Vert$,\\
 +
(b) ${\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})\vert \Longrightarrow {\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})\ge 0, {\sl Im}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=0$,\\
 +
\hspace*{5mm} a tudíž
 +
${\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})$.
 +
 +
Z (a) a Schwarzovy nerovnosti plyne, že
 +
vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ jsou lineárně
 +
závislé, tj. existuje $\alpha\in{\bf T}$, že
 +
buď ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$,
 +
nebo ${\vec {\bf x}}=\alpha{\vec {\bf y}}$. Zbývá dokázat,
 +
že existuje takové {\bf nezáporné} $\alpha$. V případě, že oba vektory
 +
jsou nulové, je to zřejmé. Nechť např. ${\vec {\bf x}}\ne{\vec
 +
{\bf o}}$ a ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$. Z (b) plyne
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\ge 0$, tj.\\
 +
$({\vec {\bf x}},\alpha{\vec {\bf x}})={\overline \alpha}\Vert{\vec {\bf
 +
x}}\Vert^2\ge 0 \Longrightarrow {\overline \alpha}\ge 0
 +
\Longrightarrow \alpha\ge 0$.
 +
 +
Naopak, je-li ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$ a $\alpha\ge
 +
0$, platí
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert=
 +
\Vert{\vec {\bf x}}+\alpha{\vec {\bf x}}\Vert=
 +
\vert1+\alpha\vert\cdot\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=
 +
(1+\alpha)\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\alpha\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\Vert\alpha{\vec {\bf x}}\Vert=
 +
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.
 +
 +
S pojmem skalárního součinu úzce souvisí další důležitý pojem.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor  se skalárním
 +
součinem nad tělesem {\bf T}. Řekneme, že dva vektory ${\vec
 +
{\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in {\bf V}$ jsou {\bf ortogonální}
 +
(kolmé), jestliže $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=0$. Užíváme
 +
označení ${\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf y}}$.\\
 +
Řekneme, že soubor vektorů
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
je {\bf ortogonální} (OG), právě když ${\vec {\bf x}}^{(i)}\perp{\vec {\bf
 +
x}}^{(j)}$ pro všechna $i,j\in{\hat n}$, kde $i\ne j$.\\
 +
Splňuje-li tento soubor navíc podmínku
 +
$\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert=1$ pro všechna $i\in{\hat n}$,
 +
říkáme, že je {\bf ortonormální} (ON) (tj. platí
 +
$({\vec {\bf x}}^{(i)},{\vec {\bf x}}^{(j)})=\delta_{ij}$ pro
 +
všechna $i,j\in{\hat n}$).
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Všimneme si, že zatímco vektory ortonormálního souboru jsou nutně
 +
nenulové, u ortogonálního souboru to tak být nemusí.
 +
 +
{\bf Příklad:}\\
 +
Standardní báze prostoru {\bf C}$^n$ (resp. {\bf R}$^n$) se
 +
standardním skalárním součinem je ortonormální soubor.
 +
 +
{\bf Věta 50:}\\
 +
Ortogonální soubor nenulových vektorů je lineárně nezávislý.\\
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
Ortonormální soubor je lineárně nezávislý.\\
 +
{\bf Důkaz:}(Sporem)\\
 +
Nechť
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
je lineárně závislý soubor a ${\vec {\bf x}}^{(i)}\ne{\vec {\bf
 +
o}}$ pro $i\in{\hat n}$. Existuje tedy $n$-tice čísel
 +
$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ a index $i_0$ tak, že
 +
$\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}=
 +
{\vec {\bf o}}$\\ a $\alpha_{i_0}\ne 0$.\\
 +
Platí tedy i rovnost
 +
$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)},{\vec
 +
{\bf x}}^{(i_0)}\right)=
 +
({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}}^{(i_0)})\Rightarrow
 +
\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i({\vec {\bf x}}^{(i)},{\vec {\bf x}}^{(i_0)})=
 +
0\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow
 +
\alpha_{i_0}\Vert{\vec {\bf x}}^{(i_0)}\Vert^2=
 +
0 {\mbox {\tiny (neboť soubor je ortogonální)}}
 +
\Rightarrow \alpha_{i_0}=0$
 +
{\tiny (neboť ${\vec {\bf x}}^{(i_0)}\ne{\vec {\bf o}})$}.\\
 +
A to je hledaný spor.
 +
 +
{\bf Věta 51:}\\
 +
Nechť
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
je lineárně nezávislý soubor vektorů z vektorového prostoru {\bf
 +
V} se skalárním součinem. Potom existuje ortonormální soubor
 +
vektorů
 +
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(n)})$
 +
tak, že pro každé $r\in{\hat n}$ platí\\  \hspace*{20mm}
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(r)}]_\lambda=
 +
[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(r)}]_\lambda$.\\
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Pokud se nám podaří takový soubor
 +
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(n)})$
 +
najít, říkáme, že jsme soubor
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
{\bf ortonormalizovali}.\\
 +
{\bf Důsledek:}\\Nenulový vektorový prostor konečné dimenze má
 +
ortonormální bázi.\\
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Důkaz provedeme tak, že vysvětlíme rekurzivním způsobem postup,
 +
kterým se ortonormální soubor s uvedenými vlastnostmi získá.
 +
Postup je znám pod jménem {\bf Gram-Schmidtův ortogonalizační
 +
proces}.\\
 +
Nejprve zvolíme ${\vec {\bf y}^{(1)}}=\frac{1}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}^{(1)}}\Vert}{\vec {\bf x}^{(1)}}$.\\
 +
\newpage
 +
Jasně platí:\hspace{10mm}
 +
(a) $[{\vec {\bf y}^{(1)}}]_\lambda=[{\vec {\bf
 +
x}^{(1)}}]_\lambda$,\\
 +
\hspace*{31mm}(b) $\Vert{\vec {\bf y}^{(1)}}\Vert$=1.\\
 +
Druhý vektor konstruovaného souboru najdu následujícím
 +
způsobem:\\
 +
Nejprve najdu pomocný vektor ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}$
 +
tak, aby platilo:\\
 +
\hspace*{40mm}
 +
(a) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}\perp{\vec {\bf y}}^{(1)}$,\\
 +
\hspace*{41mm}(b) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}\in[{\vec {\bf
 +
x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)}]_\lambda$.\\
 +
Hledám ho ve tvaru ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}={\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}-\alpha_1{\vec {\bf y}}^{(1)}$, a tím si zajistím
 +
vlastnost (b).\\
 +
Protože chci, aby platilo i (a), musí být splněno\\
 +
$({\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}},{\vec {\bf
 +
y}}^{(1)})=0\Rightarrow 0=({\vec {\bf x}}^{(2)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(1)})-\alpha_1\Vert{\vec {\bf y}}^{(1)}\Vert^2\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow
 +
\alpha_1=({\vec {\bf x}}^{(2)},{\vec {\bf y}}^{(1)})$
 +
{\tiny (neboť $\Vert{\vec {\bf y}}^{(1)}\Vert=1)$}$\Rightarrow {\vec {\tilde {\bf
 +
y}}^{(2)}}={\vec {\bf x}}^{(2)}-({\vec {\bf x}}^{(2)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(1)}){\vec {\bf y}}^{(1)}.$\\
 +
Položíme-li
 +
${\vec {\bf y}^{(2)}}=\frac{1}{\Vert {\vec {\tilde {\bf
 +
y}}}^{(2)}\Vert} {\vec {\tilde {\bf y}}}^{(2)}$,
 +
má tento vektor vlastnosti (a) i (b) a navíc je
 +
$\Vert{\vec {\bf y}^{(2)}}\Vert$=1. Soubor
 +
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)})$ je ortonormální, a
 +
tudíž lineárně nezávislý,\\
 +
${\vec {\bf y}}^{(1)}\in[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)}]_\lambda$
 +
, ${\vec {\bf y}}^{(2)}\in[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}]_\lambda$,
 +
a proto $[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)}]_\lambda=
 +
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)}]_\lambda$.
 +
 +
Předpokládejme nyní, že se nám podařilo ortonormalizovat vektory
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(l)}$, tj. najít vektory
 +
${\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(l)}$ tak, že $({\vec {\bf y}}^{(i)}, {\vec {\bf
 +
y}}^{(j)})=\delta_{ij}$ pro $i,j\in{\hat l}$ \\a
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(r)}]_\lambda=[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf y}}^{(r)}]_\lambda$ pro $r\in{\hat
 +
l}$.
 +
Nejprve najdu pomocný vektor ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}$
 +
tak, aby platilo:\\
 +
\hspace*{40mm}
 +
(a) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}\perp{\vec {\bf y}}^{(k)}$
 +
pro $k\in{\hat l}$,\\
 +
\hspace*{41mm}(b) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}\in[{\vec {\bf
 +
x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(l+1)}]_\lambda$.\\
 +
Hledám ho ve tvaru ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}={\vec {\bf
 +
x}}^{(l+1)}-\sum \limits_{i=1}^{l}\alpha_i{\vec {\bf y}}^{(i)}$,
 +
a tím si zajistím vlastnost (b), neboť
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(l)}]_\lambda=[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf y}}^{(l)}]_\lambda$.\\
 +
Protože chci, aby platilo i (a), musí pro $k\in{\hat l}$ být
 +
splněno\\
 +
$({\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}},{\vec {\bf
 +
y}}^{(k)})=0\Rightarrow
 +
({\vec {\bf
 +
x}}^{(l+1)}-\sum \limits_{i=1}^{l}\alpha_i{\vec {\bf y}}^{(i)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(k)})=0\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow
 +
({\vec {\bf x}}^{(l+1)},{\vec {\bf y}}^{(k)})-
 +
\sum \limits_{i=1}^{l}\alpha_i({\vec {\bf y}}^{(i)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(k)})=0\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow \alpha_k=({\vec {\bf x}}^{(l+1)},{\vec {\bf y}}^{(k)})$
 +
pro $k\in{\hat l}$
 +
{\tiny (neboť $({\vec {\bf y}}^{(i)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(j)})=\delta_{ij}$ pro
 +
$i,j\in{\hat l}$)}$\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow {\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}={\vec {\bf x}}^{(l+1)}-
 +
\sum \limits_{i=1}^{l}({\vec {\bf x}}^{(l+1)},{\vec {\bf y}}^{(i)}){\vec {\bf y}}^{(i)}.$\\
 +
Položíme-li
 +
${\vec {\bf y}^{(l+1)}}=\frac{1}{\Vert {\vec {\tilde {\bf
 +
y}}}^{(l+1)}\Vert} {\vec {\tilde {\bf y}}}^{(l+1)}$,
 +
má tento vektor vlastnosti (a) i (b) a navíc je
 +
$\Vert{\vec {\bf y}^{(l+1)}}\Vert$=1. Soubor
 +
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
y}}^{(l+1)})$ je ortonormální, a
 +
tudíž lineárně nezávislý,
 +
${\vec {\bf y}}^{(k)}\in[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(l+1)}]_\lambda$ pro $k\in
 +
\widehat{l+1}$, a proto\\
 +
$[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec
 +
{\bf y}}^{(l+1)}]_\lambda=
 +
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(l+1)}]_\lambda$.
 +
 +
{\bf Věta 52:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
 +
tělesem {\bf T}\\ a ${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)})$ je jeho ortonormální
 +
báze. Nechť ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$. Potom ${\vec {\bf
 +
x}}=\sum\limits_{i=1}^{n}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)}){\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}$.\\
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Víme, že lze psát
 +
${\vec {\bf x}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}$, neboť ${\cal X}$ je báze {\bf V}.
 +
Pro $i\in{\hat n}$ platí\\
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}}^{(i)})=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k({\vec {\bf x}}^{(k)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(i)})=\alpha_i\cdot 1=\alpha_i.$\\
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Součiny $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})$  jsou tedy
 +
souřadnice vektoru ${\vec {\bf x}}$ vzhledem k ortonormální bázi.
 +
Nechť nyní
 +
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)})$
 +
je pouze ortogonální báze {\bf V}. Potom soubor
 +
$(\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(1)}\Vert}{\vec {\bf x}}^{(1)},\frac{1}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}\Vert}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,\frac{1}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\Vert}{\vec {\bf x}}^{(n)})$
 +
je ortonormální báze. Víme, že souřadnice vektoru ${\vec {\bf
 +
x}}$ vzhledem k této ortonormální bázi jsou
 +
$({\vec {\bf x}},\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert}{\vec
 +
{\bf x}}^{(i)})$.
 +
Platí proto
 +
${\vec {\bf x}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert}{\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}$. Souřadnice vzhledem k ortogonální bázi ${\cal X}$
 +
tedy jsou $\frac{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})}{\Vert{\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}\Vert^2}$, $i\in{\hat n}$.
 +
 +
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem a ${\bf
 +
P}\subset\subset{\bf V}$. Množinu\\
 +
\centerline {${\bf P}^{\perp}=\{\vec {\bf y}\in{\bf V}\vert{\vec
 +
{\bf y}}\perp{\vec {\bf x}}\hspace{3mm} \forall{\vec {\bf x}}\in{\bf P}\}$}
 +
nazýváme {\bf ortogonální doplněk} podprostoru {\bf P} ve {\bf
 +
V}.
 +
 +
{\bf Věta 53:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
 +
tělesem {\bf T} a ${\bf
 +
P}\subset\subset{\bf V}$ (dim {\bf V}$<\infty$). Pak také ${\bf
 +
P}^{\perp}\subset\subset{\bf V}$ a platí\\
 +
\centerline {(a) {\bf V}={\bf P}$\oplus{\bf P}^{\perp}$,}\\
 +
\centerline {(b) ${({\bf P}^{\perp})}^{\perp}={\bf P}.$}
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Abychom dokázali, že {\bf P}$^{\perp}\subset\subset{\bf V}$, stačí
 +
dokázat uzavřenost vůči operacím.\\
 +
Nechť tedy ${\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}}\in{\bf
 +
P}^{\perp}\Rightarrow{\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf z}}$\quad a
 +
\quad${\vec {\bf y}}\perp{\vec {\bf z}}\quad  \forall {\vec {\bf z}}\in{\bf P}
 +
\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow ({\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})=0$ a $({\vec {\bf
 +
y}},{\vec {\bf z}})=0 \quad\forall {\vec {\bf z}}\in{\bf P}\Rightarrow ({\vec {\bf
 +
x}}+{\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})=0 \quad \forall{\vec {\bf
 +
z}}\in{\bf P}\Rightarrow\\
 +
\Rightarrow {\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\perp{\vec {\bf z}}
 +
\quad\forall{\vec {\bf z}}\in{\bf P}\Rightarrow{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\in{\bf
 +
P}^{\perp}$.\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}^{\perp}$ a $\alpha\in{\bf T} \Rightarrow{\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf z}}\quad
 +
\forall {\vec {\bf z}}\in{\bf P}
 +
\Rightarrow ({\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})=0 \quad\forall {\vec {\bf z}}\in{\bf
 +
P}\Rightarrow\\ \Rightarrow
 +
(\alpha{\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})=0 \quad \forall{\vec {\bf
 +
z}}\in{\bf P}\Rightarrow \alpha{\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf z}}
 +
\quad\forall{\vec {\bf z}}\in{\bf P}\Rightarrow\alpha{\vec {\bf x}}\in{\bf P}^{\perp}$.
 +
 +
(a) Nejprve dokážeme, že {\bf V}={\bf P}$+{\bf P}^{\perp}$.\\
 +
Pro ${\bf P}=\{{\vec {\bf o}}\}$ je to zřejmé, neboť v tom případě
 +
je ${\bf P}^{\perp}={\bf V}$.\\
 +
Je-li ${\bf P}=[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\lambda$ s ortonormální bází
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)})$, je každý vektor ${\vec {\bf v}}\in{\bf V}$ roven součtu
 +
${\vec {\bf v}}={\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$, kde
 +
${\vec {\bf x}}=\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf v}},{\vec {\bf
 +
x}}^{(j)}){\vec {\bf
 +
x}}^{(j)}$\\ a ${\vec {\bf y}}={\vec {\bf
 +
v}}-\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf v}},{\vec {\bf
 +
x}}^{(j)}){\vec {\bf x}}^{(j)}$.
 +
Vektor ${\vec {\bf x}}$ leží zřejmě v {\bf P}. \\
 +
Snadno se přesvědčíme, že pro $i\in{\hat k}$ platí
 +
$({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}}^{(i)})=0$. Každý vektor ${\vec {\bf
 +
z}}\in$~${\bf P}$ je
 +
lineární kombinací souboru
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)})$,
 +
a tedy i pro něj platí\\ $({\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})=$~$0.$
 +
Vektor ${\vec {\bf
 +
y}}$ tedy leží v ${\bf P}^{\perp}$.\\
 +
Abychom dokázali, že
 +
{\bf V}={\bf P}$\oplus{\bf P}^{\perp}$, zbývá dokázat
 +
${\bf P}\cap{\bf P}^{\perp}=\{{\vec {\bf o}}\}$. Nechť tedy
 +
${\vec {\bf x}}\in{\bf P}\cap{\bf P}^{\perp}$.
 +
Neboť ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}^{\perp}$, musí být jeho
 +
součin s každým vektorem z {\bf P} roven nule, a tedy
 +
speciálně musí být $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=0$. Z toho
 +
plyne ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.
 +
 +
(b) Jednoduchým důsledkem definice je inkluze $({{\bf
 +
P}^{\perp}})^{\perp}\supset{\bf P}$, neboť vektory z~{\bf P} jsou
 +
kolmé na všechny vektory z ${\bf P}^{\perp}$.\\
 +
Dokážeme ještě inkluzi
 +
$({{\bf P}^{\perp}})^{\perp}\subset{\bf P}$.\\ Nechť ${\vec {\bf
 +
x}}\in({{\bf P}^{\perp}})^{\perp}$. Neboť také ${\vec {\bf
 +
x}}\in{\bf V}$, je podle (a)
 +
${\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}+{\vec {\bf b}}$, kde ${\vec {\bf
 +
a}}\in{\bf P}$\\  a ${\vec {\bf b}}\in{\bf P}^{\perp}$.\\
 +
Platí
 +
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf b}})=
 +
({\vec {\bf a}},{\vec {\bf b}})+({\vec {\bf b}},{\vec {\bf b}})$.
 +
Platí $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf b}})=0$, neboť ${\vec {\bf
 +
x}}\in({{\bf P}^{\perp}})^{\perp}$
 +
a ${\vec {\bf b}}\in{\bf P}^{\perp}$. Platí
 +
$({\vec {\bf a}},{\vec {\bf b}})=0$, neboť ${\vec {\bf
 +
a}}\in{\bf P}$
 +
a ${\vec {\bf b}}\in{\bf P}^{\perp}$.\\ Je tedy
 +
$({\vec {\bf b}},{\vec {\bf b}})=0\Rightarrow{\vec {\bf b}}={\vec
 +
{\bf o}}\Rightarrow{\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}\Rightarrow
 +
{\vec {\bf x}}\in{\bf P}$.
 +
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
 +
tělesem {\bf T} a ${\bf
 +
P}\subset\subset{\bf V}$ (dim {\bf V}$<\infty$).
 +
Každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$ lze psát jednoznačně ve
 +
tvaru\\
 +
\centerline {
 +
${\vec {\bf x}}={\vec {\bf x}}_{\bf P}+{\vec {\bf x}}_{{\bf
 +
P}^{\perp}}$,}
 +
kde ${\vec {\bf x}}_{\bf P}\in{\bf P}$ a
 +
${\vec {\bf x}}_{{\bf P}^{\perp}}\in{\bf P}^{\perp}$.\\
 +
Vektor ${\vec {\bf x}}_{\bf P}$ se nazývá {\bf ortogonální
 +
průmět} ${\vec {\bf x}}$ do podprostoru {\bf P}.
 +
 +
{\bf Konstrukce} (ortogonálního průmětu):\\
 +
Z důkazu věty 53 je zřejmé, že je-li dána ortonormální báze
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)})$ podprostoru {\bf P}, platí\\
 +
${\vec {\bf x}}_{\bf P}=\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}}^{(j)}){\vec {\bf x}}^{(j)}$ a
 +
${\vec {\bf x}}_{{\bf P}^{\perp}}={\vec {\bf
 +
x}}-\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}}^{(j)}){\vec {\bf x}}^{(j)}$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
 +
tělesem {\bf T},\\  ${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)})$ je ortonormální
 +
soubor ve {\bf V} a ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$. Potom
 +
číslo $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})$ se
 +
nazývá {\bf $i$-tý Fourierův koeficient} vektoru ${\vec {\bf x}}$
 +
vzhledem k souboru $({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)})$.\\
 +
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Z předcházející konstrukce je zřejmé, že
 +
Fourierovy koeficienty jsou souřadnice ortogonálního průmětu
 +
vektoru ${\vec {\bf x}}$ do podprostoru {\bf P} v
 +
ortonormální bázi tohoto podprostoru.
 +
 +
 +
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\Large {\bf Vlastní čísla a vlastní vektory matic}}
 +
 +
Poznamenejme nejprve, že pokud neřekneme jinak, jsou matice v
 +
této kapitole komplexní a vektory jsou vektory z prostoru ${\bf
 +
C}^n$.\mbox{ Dále poznamenejme, že}\\ v této kapitole pod pojmem
 +
\uv{skalární součin} míníme vždy standardní skalární součin.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Číslo $\lambda\in{\bf
 +
C}$ nazveme {\bf vlastním číslem} matice {\bf A}, jestliže
 +
existuje vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf C}^n,\, {\vec {\bf
 +
x}}\ne{\vec {\bf o}}$ tak, že ${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec
 +
{\bf x}}$. Každý takový vektor ${\vec {\bf x}}$ nazveme {\bf
 +
vlastní vektor} matice {\bf A} příslušný k vlastnímu číslu
 +
$\lambda$.\\
 +
Množinu všech vlastních čísel matice {\bf A} značíme $\sigma({\bf
 +
A})$ a nazýváme {\bf spektrum matice} {\bf A}.
 +
 +
{\bf Věta a definice 54:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $\lambda$ její
 +
vlastní číslo. Množina všech vlastních vektorů příslušných
 +
vlastnímu číslu $\lambda$ tvoří (po přidání nulového vektoru)
 +
podprostor v ${\bf C}^n$. Dimenzi tohoto podprostoru značíme
 +
$\nu_g(\lambda)$ a nazýváme {\bf geometrická násobnost vlastního
 +
čísla $\lambda$}.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Geometrická násobnost vlastního čísla je tedy rovna počtu
 +
lineárně nezávislých vlastních vektorů, které k němu příslušejí.
 +
 +
{\bf Důkaz:}(toho, že jde o podprostor)\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ jsou vlastní vektory
 +
příslušné $\lambda.\Rightarrow\\\Rightarrow
 +
{\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}$ a
 +
${\bf A}{\vec {\bf y}}=\lambda{\vec {\bf y}} \Rightarrow
 +
{\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})={\bf A}{\vec {\bf x}}+{\bf A}{\vec {\bf y}}=\lambda{\vec {\bf
 +
x}}+\lambda{\vec {\bf y}}=\lambda({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf
 +
y}})$.\\
 +
Tedy i ${\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$ je vlastní vektor
 +
příslušný $\lambda$.\\
 +
Stejně, je-li $\alpha\in{\bf C}$, platí
 +
${\bf A}(\alpha{\vec {\bf x}})=\alpha{\bf A}{\vec {\bf x}}=\alpha\lambda{\vec {\bf
 +
x}}=\lambda(\alpha{\vec {\bf x}})$.
 +
 +
Každý vlastní vektor ${\vec {\bf x}}$ příslušný $\lambda$
 +
splňuje\\
 +
\centerline{${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}\Longleftrightarrow
 +
({\bf A}-\lambda{\bf I}){\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}},$}
 +
tj. je netriviálním řešením homogenní soustavy s maticí $({\bf A}-\lambda{\bf
 +
I})$.
 +
Ve Frobeniově větě se říká, že dim\,${\bf S}_0=n-h$, a tedy
 +
netriviální řešení této homogenní soustavy existuje, právě když
 +
$n>h$, a tedy (podle věty 42) právě když\\
 +
\centerline {det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=0.\qquad
 +
\qquad(\star)$}
 +
Tedy každé vlastní číslo matice {\bf A} je kořenem této
 +
rovnice.\\
 +
Naopak, je-li $\lambda$ kořenem $(\star)$, je matice {\bf
 +
A}-$\lambda${\bf I} singulární, tj. $h<n$, a tedy existuje
 +
nenulový vektor ${\vec {\bf x}}$ tak, že $({\bf A}-\lambda{\bf
 +
I}){\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$, tj. existuje vlastní vektor
 +
příslušný $\lambda$.
 +
 +
{\bf Věta a definice 55:}\\
 +
Číslo $\lambda\in{\bf C}$ je vlastním číslem čtvercové matice
 +
{\bf A}, právě když je kořenem rovnice\\
 +
\centerline {det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=0$.}
 +
Tato rovnice se nazývá {\bf charakteristická rovnice matice A} a
 +
její levá strana se nazývá {\bf charakteristický polynom matice
 +
A}. Značíme ho $p_{\bf A}(\lambda)$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
$p_{\bf A}(\lambda)=$det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=$
 +
$\begin{array}{|cccc|}
 +
a_{11}-\lambda&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
 +
a_{21}&a_{22}-\lambda&\ldots&a_{2n}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}-\lambda
 +
\end{array}$ je skutečně polynom stupně $n$, neboť každý člen
 +
determinantu je polynom v $\lambda$.
 +
 +
Ze všech členů má nejvyšší
 +
stupeň součin\\
 +
\centerline
 +
{$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda)$}
 +
a $p_{\bf A}(\lambda)$ má tedy tvar\\
 +
\centerline
 +
{$p_{\bf
 +
A}(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+\ldots+b_{n-1}\lambda+b_n$.}
 +
Snadno zjistíme hodnotu absolutního členu $b_n$. Pro každé
 +
$\lambda\in{\bf C}$ platí\\
 +
\centerline{
 +
det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=
 +
(-1)^n\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+\ldots+b_{n-1}\lambda+b_n$,}
 +
a tedy speciálně při volbě $\lambda=0$ dostaneme $b_n=$det\,{\bf
 +
A}.\\
 +
Polynom $p_{\bf A}(\lambda)$ je polynom $n$-tého stupně, a má tedy
 +
(počítáno s násobností) $n$ komplexních kořenů
 +
$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$. Jak víme z přípravného
 +
kurzu, lze ho psát ve tvaru\\
 +
$p_{\bf
 +
A}(\lambda)=(-1)^n(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)
 +
=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)$,
 +
neboť koeficient u $\lambda^n$ je $(-1)^n$.\\
 +
Z toho plyne $p_{\bf A}(0)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$.
 +
Protože také platí $p_{\bf A}(0)=$det\,{\bf A}, dostali jsme důležitý
 +
vztah\\
 +
\centerline {det\,${\bf A}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$.}
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Je-li {\bf A} trojúhelníková matice, např.
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
 +
0&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
 +
\vdots&&&\\
 +
0&0&\ldots&a_{nn}
 +
\end{array}
 +
\right)$,\\
 +
je det\,$({\bf A}-\lambda{\bf
 +
I})=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_{ii}-\lambda)$, a tudíž jsou jejími
 +
vlastními čísly diagonální prvky $a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}$.
 +
Stejné tvrzení platí speciálně pro diagonální matice.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice a $\lambda$ její vlastní číslo.
 +
{\bf Algebraickou násobností vlastního čísla} $\lambda$ nazveme
 +
jeho násobnost jakožto kořene charakteristického polynomu $p_{\bf
 +
A}(\lambda)$. Algebraickou násobnost vlastního čísla $\lambda$
 +
značíme $\nu_a(\lambda)$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Algebraická násobnost kořene polynomu byla definována v
 +
přípravném kurzu.
 +
 +
{\bf Věta 56:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $\lambda_0$ její vlastní číslo.
 +
Pak\\
 +
\centerline {$\nu_g(\lambda_0)\le\nu_a(\lambda_0)$.}
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Označme $\nu_g(\lambda_0)=k. \Longrightarrow$ Existuje $k$ lineárně
 +
nezávislých vlastních vektorů ${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)}$ příslušných k $\lambda_0$.
 +
Doplníme tento $k$-členný soubor na bázi
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(k+1)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)})$ prostoru {\bf C}$^n$.\\
 +
Označme {\bf X} matici, která má za své sloupečky vektory této
 +
báze, což můžeme symbolicky zapsat
 +
{\bf X}=$\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)$.\\
 +
Matice {\bf X} je regulární, proto existuje matice {\bf X}$^{-1}$
 +
a platí ${\bf X}^{-1}{\bf X}={\bf I}.$\\
 +
Poslední vztah lze symbolicky zapsat\\
 +
{\bf X}$^{-1}\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)$=$\biggl({\vec {\bf e}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
e}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf e}}^{(n)}\biggr)$. Z toho je zřejmé,
 +
že pro $i\in{\hat n}$ platí\\
 +
\centerline {${\bf X}^{-1}{\vec {\bf x}}^{(i)}={\vec {\bf
 +
e}}^{(i)}$\hspace{15mm}$(\star)$.}
 +
(Stačí si uvědomit, že násobit matici zleva maticí, kterou
 +
označíme např. {\bf P}, je totéž jako násobit jednotlivé sloupce
 +
této matice maticí {\bf P}.)\\
 +
V podobném symbolickém zápisu platí\\
 +
{\bf A}{\bf X}=$\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)},{\bf Y}\biggr)=\biggl(\lambda_0{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,\lambda_0{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)},{\bf Y}\biggr)$,\\ kde jsme označili
 +
${\bf Y}=\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(k+1)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)${\tiny ({\bf Y} je matice o $n$ řádcích a $n-k$
 +
sloupcích)}.\\
 +
Z tohoto vztahu a z $(\star)$ plyne\\
 +
${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=\biggl(\lambda_0{\bf X}^{-1}{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,\lambda_0{\bf X}^{-1}{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)},{\bf X}^{-1}{\bf Y}\biggr)=
 +
\biggl(\lambda_0{\vec {\bf e}}^{(1)},\ldots,\lambda_0{\vec {\bf
 +
e}}^{(k)},{\bf X}^{-1}{\bf Y}\biggr)$.\\
 +
Rozepíšeme-li matici ${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}$ po prvcích, je
 +
tedy tvaru
 +
 +
${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=
 +
\left(
 +
\begin{array}{rrrrlll}
 +
\lambda_0&0&&0&c_{1,k+1}&\ldots&c_{1n}\\
 +
0&\lambda_0&&0&c_{2,k+1}&\ldots&c_{2n}\\
 +
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
 +
0&0&&\lambda_0&c_{k,k+1}&\ldots&c_{kn}\\
 +
0&0&&0&c_{k+1,k+1}&\ldots&c_{k+1,n}\\
 +
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
 +
0&0&&0&c_{n,k+1}&\ldots&c_{nn}
 +
\end{array}\right)\hspace{15mm}(\star\star)$.
 +
 +
Platí\\ det\,(${\bf A}-\lambda{\bf I})$=det\,$[{\bf X}({\bf X}^{-1}{\bf
 +
A}{\bf X}-\lambda{\bf I}){\bf X}^{-1}]$=det\,{\bf X}$\cdot$det$({\bf
 +
X}^{-1}{\bf A}{\bf X}-\lambda{\bf I})\cdot$det\,{\bf X}$^{-1}$=\\
 +
=det$({\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}-\lambda{\bf I})$.
 +
 +
V posledním kroku jsme využili vztahu
 +
det\,{\bf X}$\cdot$det\,${\bf X}^{-1}=$det\,{\bf I}=1.\\
 +
Charakteristický polynom $p_{\bf A}(\lambda)$ je tedy roven
 +
determinantu matice, kterou dostaneme, když v matici v
 +
$(\star\star)$ odečteme od prvků na diagonálních místech
 +
$\lambda$. Použijeme-li na výpočet tohoto determinantu postupně
 +
větu o rozvoji podle 1., 2. až $k$-tého sloupce, zjistíme, že
 +
platí
 +
 +
\centerline{$p_{\bf A}(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k\cdot$det\,$({\bf
 +
C}-\lambda {\bf I})$,}
 +
kde jsme označili
 +
 +
${\bf C}=
 +
\left(\begin{array}{lll}
 +
c_{k+1,k+1}&\ldots&c_{k+1,n}\\
 +
\vdots&&\vdots\\
 +
c_{n,k+1}&\ldots&c_{nn}\end{array}
 +
\right)$.
 +
 +
Číslo $\lambda_0$ je tedy alespoň $k$-násobným kořenem  $p_{\bf
 +
A}(\lambda)$, tj. platí $k\le\nu_a(\lambda_0)$.
 +
 +
{\bf Věta 57:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a
 +
$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ jsou její vzájemně různá vlastní
 +
čísla. Nechť pro $i\in{\hat k}$ je ${\vec {\bf x}}^{(i)}$ vlastní
 +
vektor příslušný k vlastnímu číslu $\lambda_i$. Potom
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)})$ je lineárně nezávislý soubor.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Pro $k=1$ je tvrzení jasné.\\
 +
Nechť $k\ge2$. Důkaz provedeme sporem. Nechť soubor
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)})$
 +
je lineárně závislý. Podle věty 4 existuje index $l\in{\hat k}$
 +
takový, že
 +
${\vec {\bf x}}^{(l)}=\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i{\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}$ \\a soubor
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(l-1)})$  je lineárně nezávislý. Z předpokladů věty plyne,
 +
že nemůže platit $\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_{l-1}=0$.\\
 +
Platí jednak
 +
${\bf A}{\vec {\bf x}}^{(l)}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i{\bf A}{\vec {\bf x}}^{(i)}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i\lambda_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$
 +
a na druhé straně\\
 +
${\bf A}{\vec {\bf x}}^{(l)}=\lambda_l{\vec {\bf x}}^{(l)}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i\lambda_l{\vec {\bf x}}^{(i)}$.
 +
 +
Platí proto
 +
$\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i(\lambda_i-\lambda_l){\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}={\vec {\bf o}}$.
 +
Lineární kombinace na levé straně je netriviální, neboť
 +
$\lambda_l\ne\lambda_i$ pro $i\in{\widehat {l-1}}$. Máme tedy spor,
 +
neboť soubor
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(l-1)})$  je lineárně nezávislý.
 +
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
V {\bf C}$^n$ existuje báze složená pouze z vlastních vektorů
 +
matice {\bf A}, právě když pro všechna vlastní čísla $\lambda$ matice {\bf
 +
A} platí $\nu_a(\lambda)=\nu_g(\lambda)$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ jsou všechna
 +
vzájemně různá vlastní čísla matice {\bf A}. Označme
 +
$n_i=\nu_g(\lambda_i)$.\\
 +
Označme\\
 +
$\left.
 +
\begin{array}{l}
 +
{{\vec {\bf x}}_1}^{(1)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(1)},\ldots,{{\vec {\bf
 +
x}}_{n_1}}^{(1)} \mbox{ lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné
 +
k }
 +
\lambda_1,\\
 +
{{\vec {\bf x}}_1}^{(2)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(2)},\ldots,{{\vec {\bf
 +
x}}_{n_2}}^{(2)} \mbox{ lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné
 +
k }
 +
\lambda_2,\\
 +
\ldots,\\
 +
{{\vec {\bf x}}_1}^{(k)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(k)},\ldots,{{\vec {\bf
 +
x}}_{n_k}}^{(k)} \mbox{ lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné
 +
k }
 +
\lambda_k.
 +
\end{array}
 +
\right\} \hspace{3mm}(\star)$\\
 +
Dokážeme, že všechny tyto vektory tvoří dohromady lineárně
 +
nezávislý soubor.\\
 +
Jejich lineární kombinace má totiž tvar\\
 +
$\sum\limits_{i=1}^{n_1}{\alpha_i}^{(1)}{{\vec {\bf x}}_i}^{(1)}+
 +
\sum\limits_{i=1}^{n_2}{\alpha_i}^{(2)}{{\vec {\bf x}}_i}^{(2)}+
 +
\ldots+
 +
\sum\limits_{i=1}^{n_k}{\alpha_i}^{(k)}{{\vec {\bf
 +
x}}_i}^{(k)}={\vec {\bf o}}$.
 +
Pro $l\in{\hat k}$ platí, že
 +
$\sum\limits_{i=1}^{n_l}{\alpha_i}^{(l)}{{\vec {\bf
 +
x}}_i}^{(l)}$
 +
je buď vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu $\lambda_l$, nebo
 +
je to vektor nulový. Vlastní vektor to ovšem být nemůže, protože
 +
bychom se dostali do sporu s větou 57.\\
 +
Proto je
 +
$\sum\limits_{i=1}^{n_l}{\alpha_i}^{(l)}{{\vec {\bf
 +
x}}_i}^{(l)}={\vec {\bf o}}$
 +
pro $l\in{\hat k}$. Protože vektory
 +
${{\vec {\bf x}}_1}^{(l)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(l)},\ldots,{{\vec {\bf
 +
x}}_{n_l}}^{(l)}$ jsou lineárně nezávislé,
 +
je
 +
${\alpha_1}^{(l)}={\alpha_2}^{(l)}=\ldots={\alpha_{n_l}}^{(l)}=0$
 +
pro $l\in{\hat k}$.\\
 +
Vektory vyjmenované ve $(\star)$ jsou tedy lineárně nezávislé, a přitom
 +
kterýkoliv jiný vlastní vektor je už jejich lineární kombinací.\\
 +
Bázi {\bf C}$^n$ tvoří právě tehdy, když jejich celkový počet je
 +
$n$, tj. když\\
 +
\centerline {$n_1+n_2+\cdots+n_k=n$.}
 +
Protože platí
 +
$n=\nu_a(\lambda_1)+\nu_a(\lambda_2)+\cdots+\nu_a(\lambda_k)$, je to právě tehdy, když\\
 +
\centerline
 +
{$(\nu_a(\lambda_1)-n_1)+(\nu_a(\lambda_2)-n_2)+\cdots+(\nu_a(\lambda_k)-n_k)=0$.}
 +
Podle věty 56 jsou výrazy v kulatých závorkách nezáporná čísla, a
 +
proto rovnost nastane, právě když
 +
$\nu_a(\lambda_l)=n_l$ pro $l\in{\hat k}$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou dvě čtvercové matice stejného řádu
 +
$n$. Říkáme, že matice {\bf A} je {\bf podobná} matici {\bf B},
 +
existuje-li regulární matice {\bf X} tak, že ${\bf A}={\bf
 +
X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$.\\
 +
(Říkáme, že {\bf A} vznikla z {\bf B} podobnostní transformací).
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Snadno si rozmyslíme, že platí:\\
 +
(1) Je-li matice {\bf A} podobná matici {\bf B}, je také
 +
matice {\bf B} podobná matici {\bf A}.\\
 +
(Neboť z ${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$ $\Rightarrow$
 +
${\bf B}={\bf X}{\bf A}{\bf X}^{-1}=({{\bf X}^{-1}})^{-1}{\bf A}{\bf
 +
X}^{-1}$.)\\
 +
(2) Je-li matice {\bf A} podobná matici {\bf B} a
 +
matice {\bf B} podobná matici {\bf C}, je
 +
matice {\bf A} podobná matici {\bf C}.\\
 +
$\Bigl($Neboť z ${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$ a
 +
${\bf B}={\bf Y}^{-1}{\bf C}{\bf Y}$
 +
$\Rightarrow$
 +
${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf Y}^{-1}{\bf C}{\bf Y}{\bf X}=({\bf
 +
Y}{\bf X})^{-1}{\bf C}({\bf Y}{\bf X}$).$\Bigr)$\\
 +
 +
{\bf Věta 58:}\\
 +
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou dvě čtvercové matice vzájemně
 +
podobné. Pak mají stejné charakteristické polynomy, tj.
 +
$p_{\bf A}(\lambda)=p_{\bf B}(\lambda)$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť ${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$. Pak\\
 +
$p_{\bf A}(\lambda)=$det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})$=
 +
det\,$({\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}-\lambda{\bf X}^{-1}{\bf X})$=
 +
det\,$[{\bf X}^{-1}({\bf B}-\lambda{\bf I}){\bf X}]$=\\
 +
=det\,${\bf X}^{-1}\cdot$det\,$({\bf B}-\lambda{\bf
 +
I})\cdot$det\,${\bf X}$=
 +
det\,$({\bf B}-\lambda{\bf I})$=$p_{\bf B}(\lambda)$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Z právě dokázané věty plyne, že podobné matice mají stejná
 +
vlastní čísla\\ a algebraické násobnosti u jednotlivých vlastních
 +
čísel se rovnají.\\ Uvědomíme-li si, že
 +
za předpokladu
 +
${\bf A}={\bf X}^{\-1}{\bf B}{\bf X}$ platí ekvivalence\\
 +
${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}\Leftrightarrow
 +
{\bf B}({\bf X}{\vec {\bf x}})=\lambda({\bf X}{\vec {\bf x}})$,
 +
zjistíme, že se rovnají také geometrické násobnosti.
 +
 +
Vzniká otázka jaký je nejjednodušší tvar, do kterého lze matici
 +
podobnostními transformacemi převést. Pokusíme se alespoň
 +
naznačit odpověď. Nejraději bychom byli, kdyby šlo každou matici
 +
takto převést na matici diagonální. To ovšem obecně {\bf není
 +
pravda}.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Říkáme, že {\bf A} je
 +
{\bf diagonalizovatelná}, jestliže je podobná diagonální matici,
 +
tj. když existuje regulární matice {\bf X} řádu $n$ a čísla
 +
$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ tak, že\\
 +
\centerline {${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.}
 +
 +
{\bf Věta 59:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Pak {\bf A} je
 +
diagonalizovatelná, právě když existuje báze {\bf C}$^n$ složená
 +
z vlastních vektorů matice {\bf A}.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
a) Nechť
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$ je báze {\bf C}$^n$, přičemž ${\vec {\bf x}}^{(i)}$ je
 +
vlastní vektor matice {\bf A} příslušný vlastnímu číslu pro
 +
$\lambda_i$ pro $i\in{\hat n}$, tj. {\bf A}${\vec {\bf
 +
x}}^{(i)}=\lambda_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$.
 +
Označme {\bf X} matici, která má za své sloupečky vektory ${\vec
 +
{\bf x}}^{(i)}$, tj.\\
 +
{\bf X}=$\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)$.\\
 +
Matice {\bf X} je regulární, a tedy existuje inverzní matice {\bf
 +
X}$^{-1}$. Zřejmě platí\\
 +
{\bf A}{\bf X}=$\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)$=
 +
$\biggl(\lambda_1{\vec {\bf x}}^{(1)},\lambda_2{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,\lambda_n{\vec {\bf x}}^{(n)}\biggr)$=\\=
 +
{\bf X}$
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
$.\\
 +
b) Nechť naopak existuje matice
 +
$
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
$
 +
a regulární matice {\bf X} tak, že platí\\
 +
${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
\Longleftrightarrow
 +
{\bf A}{\bf X}={\bf X}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
$.\\
 +
Označíme-li sloupce matice {\bf X} postupně
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}$, tj.\\
 +
{\bf X}=$\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)$, můžeme poslední rovnost rozepsat po sloupcích\\
 +
$\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)}\biggr)$=
 +
$\biggl(\lambda_1{\vec {\bf x}}^{(1)},\lambda_2{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)},\ldots,\lambda_n{\vec {\bf x}}^{(n)}\biggr)$,\\
 +
a tedy
 +
{\bf A}${\vec {\bf x}}^{(i)}=\lambda_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$ pro
 +
$i\in{\hat n}$. Matice {\bf X} je regulární, tedy soubor\\
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(n)})$
 +
je lineárně nezávislý, a proto tvoří bázi {\bf C}$^n$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Protože víme, že báze {\bf C}$^n$ sestavená z vlastních vektorů
 +
matice {\bf A} existuje právě tehdy, když pro každé vlastní číslo
 +
$\lambda$ matice {\bf A} platí\\
 +
\centerline {\underline{$\nu_a(\lambda)=\nu_g(\lambda)$},}
 +
je to i podmínka pro to, aby matice {\bf A} byla
 +
diagonalizovatelná.
 +
 +
Zavedeme nyní řadu pojmů spojených s pojmem matice.
 +
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$,\\
 +
{\bf A}=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
a_{11}\ a_{12}\ \ldots \quad a_{1n}\\
 +
a_{21}\ a_{22}\ \ldots \quad a_{2n}\\
 +
\ldots  \\
 +
a_{m1}\ a_{m2}\ \ldots \ a_{mn}
 +
\end{array}\right) $.\\
 +
Již jsme si zavedli pojem matice {\bf transponované}. Maticí
 +
{\bf komplexně sdruženou} s maticí {\bf A} nazveme matici\\
 +
$\overline{\bf A}$=
 +
$\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
\overline{a}_{11}\ \overline{a}_{12}\ \ldots \quad \overline{a}_{1n}\\
 +
\overline{a}_{21}\ \overline{a}_{22}\ \ldots \quad \overline{a}_{2n}\\
 +
\ldots  \\
 +
\overline{a}_{m1}\ \overline{a}_{m2}\ \ldots \ \overline{a}_{mn}
 +
\end{array}\right) $.\\
 +
Podobně maticí {\bf hermitovsky sdruženou}(konjugovanou) s maticí
 +
{\bf A} nazveme matici\\
 +
${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\overline{{\bf A}}^{\top}=
 +
\left(
 +
\begin{array}
 +
{l}
 +
\overline{a}_{11}\ \overline{a}_{21}\ \ldots \ \overline{a}_{m1}\\
 +
\overline{a}_{12}\ \overline{a}_{22}\ \ldots \ \overline{a}_{m2}\\
 +
\ldots  \\
 +
\overline{a}_{1n}\ \overline{a}_{2n}\ \ldots \ \overline{a}_{mn}
 +
\end{array}\right) $.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) Místo označení ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ se někdy užívá označení ${\bf
 +
A}^{\ast}$.\\
 +
2) Snadno si rozmyslíme (resp. už víme), že platí\\
 +
$({\bf A}+{\bf B})^{\top}={\bf A}^{\top}+{\bf B}^{\top},
 +
({{\bf A}^{\top}})^{\top}={\bf A}, ({\bf A}{\bf B})^{\top}={\bf
 +
B}^{\top}{\bf A}^{\top}, (\alpha{\bf A})^{\top}=\alpha{\bf
 +
A}^{\top}$,\\
 +
$\overline{{\bf A}+{\bf B}}=\overline{{\bf A}}+\overline{{\bf B}},
 +
\overline{\overline{{\bf A}}}={\bf A}, \overline{{\bf A}{\bf
 +
B}}=\overline{{\bf A}}\cdot\overline{{\bf B}}, \overline{\alpha{\bf
 +
A}}=\overline{\alpha}\overline{{\bf A}}$,\\
 +
$({\bf A}+{\bf B})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}+{\bf
 +
B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}},
 +
({{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}, ({\bf A}{\bf
 +
B})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf
 +
B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}, (\alpha{\bf
 +
A})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\overline{\alpha}{\bf
 +
A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Potom\\
 +
a) {\bf A} je {\bf symetrická}, je-li {\bf reálná} a ${\bf A}={\bf
 +
A}^{\top}$ (tj. $a_{ij}=a_{ji}$ pro $i,j\in{\hat n})$,\\
 +
b) {\bf A} je {\bf hermitovská}, je-li ${\bf A}={\bf
 +
A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ (tj. $a_{ij}=\overline{a}_{ji}$ pro $i,j\in{\hat n})$,\\
 +
c) {\bf A} je {\bf ortogonální}, je-li {\bf reálná} a ${\bf
 +
A}{\bf A}^{\top}={\bf
 +
I}$ (tj. řádky jsou ortonormální\\ v ${\bf R}^{n})$,\\
 +
d) {\bf A} je {\bf unitární}, ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf
 +
I}$ (tj. řádky jsou ortonormální v {\bf C}$^n$),\\
 +
e) {\bf A} je {\bf normální}, je-li ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
A}$.
 +
 +
{\bf Věta 60:}\\
 +
a) {\bf I} je unitární, resp. ortogonální matice.\\
 +
b) Jsou-li {\bf A} a {\bf B} unitární (resp. ortogonální) matice
 +
stejného řádu, je {\bf A}{\bf B} také unitární (resp.
 +
ortogonální) matice.\\
 +
c) Je-li {\bf A} unitární matice, je $\vert $det$\,{\bf
 +
A}\vert=1$
 +
(resp. je-li {\bf A} ortogonální, je buď det$\,{\bf A}=+1$, nebo
 +
det$\,{\bf A}=-1$).\\
 +
d) Je-li {\bf A} unitární (resp. ortogonální) matice, je {\bf
 +
A}$^{-1}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
a) Je zřejmé z definice.\\
 +
b) Platí ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$,
 +
${\bf B}{\bf B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I} \Longrightarrow$
 +
$({\bf A}{\bf B})({\bf A}{\bf B})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=
 +
{\bf A}{\bf B}{\bf B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$.\\
 +
c) Zřejmě det\,${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\overline{\mbox{det\,}{\bf A}}$,
 +
a tedy\\ 1=det\,{\bf I}=det(${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}})$=
 +
det\,{\bf A}$\cdot\overline{\mbox{det\,}{\bf
 +
A}}=\vert\mbox{det\,}{\bf A}\vert^2$.\\
 +
d) Je zřejmé z definice inverzní matice.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) Matice hermitovské (resp. symetrické) a matice unitární (resp.
 +
ortogonální) jsou normální.\\
 +
2) Ze vztahu  ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$ je zřejmé, že
 +
řádky unitární (resp. ortogonální) matice tvoří při standardním
 +
skalárním součinu ortonormální soubor v {\bf C}$^n$ (resp.\\ v {\bf
 +
R}$^n$). Protože platí i ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}={\bf I}$, mají
 +
stejnou vlastnost i sloupce unitární (resp. ortogonální) matice.
 +
 +
Již víme, že ne každá čtvercová matice je podobná diagonální
 +
matici. Z následující věty, kterou uvedeme bez důkazu, plyne,
 +
že platí alespoň to, že každá
 +
čtvercová matice je podobná trojúhelníkové matici.
 +
 +
{\bf Věta 61:}\\
 +
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Pak existuje unitární
 +
matice řádu $n$ tak, že\\
 +
\centerline { {\bf A}={\bf U}$^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}${\bf R}{\bf U},}
 +
kde {\bf R} je horní (resp. dolní) trojúhelníková matice.
 +
 +
{\bf Poznámka:} Uvědomíme si, že platí {\bf U}$^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf
 +
U}^{-1}$, a tedy jde o podobnostní transformaci.
 +
 +
Při pátrání po dalších vlastnostech speciálních typů matic nám
 +
bude užitečné následující lemma.
 +
 +
{\bf Lemma:}\\
 +
Horní, resp. dolní trojúhelníková matice je normální, právě když
 +
je diagonální.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
($\Leftarrow$) Zřejmě platí, že když je trojúhelníková matice diagonální, je
 +
normální.\\
 +
($\Rightarrow$) Budeme tedy předpokládat, že {\bf A} je např. horní trojúhelníková
 +
matice\\ a platí {\bf A}{\bf A}$^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}${\bf
 +
A}, a
 +
dokážeme, že její mimodiagonální prvky jsou rovny nule. Nechť\\
 +
{\bf A}=
 +
$\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-1mm}a_{12}&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}a_{1n}\\[-1mm]
 +
&\hspace{-1mm}a_{22}&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}a_{2n}\\[-1mm]
 +
&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}\ddots&\hspace{-1mm}\vdots\\[-1mm]
 +
&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}a_{nn}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$, a tedy
 +
${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\overline{a}_{11}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}\\[-1mm]
 +
\overline{a}_{12}&\hspace{-1mm}\overline{a}_{22}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-1mm}\vdots&\hspace{-1mm}\ddots&\hspace{-1mm}\\[-1mm]
 +
\overline{a}_{1n}&\hspace{-1mm}\overline{a}_{2n}&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}\overline{a}_{nn}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.\\
 +
Matematickou indukcí dokážeme, že v $i$-tém řádku matice může být
 +
nenulový prvek pouze na diagonálním místě (tj. na $i$-tém
 +
místě).\\
 +
a) $i=1$\\
 +
Porovnáním prvků na místě (1,1) v maticích ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
$ a ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}$ (tj. prvků v prvním řádku a prvním
 +
sloupci matic) dostaneme rovnost\\
 +
$a_{11}\overline{a}_{11}+a_{12}\overline{a}_{12}+\cdots+a_{1n}\overline{a}_{1n}=
 +
\overline{a}_{11}a_{11} \Longleftrightarrow
 +
\vert a_{12}\vert^2+\cdots+\vert a_{1n}\vert^2=0
 +
\Longleftrightarrow\\ \Longleftrightarrow
 +
a_{12}=a_{13}=\cdots=a_{1n}=0$.
 +
 +
b) Předpokládejme, že tvrzení platí pro prvních $i-1$ řádků,
 +
tj.\\
 +
$a_{j,j+1}=a_{j,j+2}=\cdots=a_{j,n}=0$ pro $j\in{\widehat
 +
{i-1}}$.\\
 +
Porovnáním prvků na místě $(i,i)$ v maticích ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
$ a ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}$ (tj. prvků v $i$-tém řádku a
 +
$i$-tém sloupci matic) dostaneme rovnost\\
 +
$a_{ii}\overline{a}_{ii}+a_{i,i+1}\overline{a}_{i,i+1}+\cdots+a_{in}\overline{a}_{i
 +
n}=
 +
\overline{a}_{ii}a_{ii} \Longleftrightarrow
 +
\vert a_{i,i+1}\vert^2+\cdots+\vert a_{in}\vert^2=0
 +
\Longleftrightarrow\\ \Longleftrightarrow
 +
a_{i,i+1}=a_{i,i+2}=\cdots=a_{in}=0$.
 +
 +
{\bf Věta 62:}\\
 +
Nechť {\bf A} je normální matice řádu $n$. Pak existuje unitární
 +
matice {\bf U} řádu $n$ tak, že \\
 +
\centerline {${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}$,}
 +
kde {\bf D} je diagonální matice.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Podle věty 61 existuje unitární matice {\bf U} a trojúhelníková
 +
matice {\bf R} tak, že
 +
${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf R}{\bf U}$.
 +
Pokud se nám podaří dokázat, že platí
 +
${\bf R}{\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf R}$,
 +
bude podle dokázaného lemmatu matice {\bf R} diagonální, a věta
 +
tedy platí.\\
 +
Zřejmě je
 +
${\bf R}={\bf U}{\bf A}{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ a
 +
${\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$.\\ Z toho
 +
vyplývá (vzhledem k tomu, že ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=
 +
{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}$)\\
 +
${\bf R}{\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\hspace{-1mm}
 +
{\bf U}{\bf A}{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
=\hspace{-1mm}{\bf U}{\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\hspace{-1mm}
 +
{\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}{\bf
 +
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\hspace{-1mm}
 +
{\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf U}{\bf A}{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
=\hspace{-1mm}{\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
R}$.
 +
 +
{\bf Důsledek:}\\
 +
Je-li {\bf A} normální matice, platí pro každé její vlastní
 +
číslo
 +
$\lambda$ rovnost
 +
 +
\centerline{ $\nu_g(\lambda)=\nu _a(\lambda)$.}
 +
 +
{\bf Věta 63:}\\
 +
1) Je-li {\bf A} hermitovská (symetrická) matice, jsou všechna
 +
její vlastní čísla reálná.\\
 +
2) Je-li {\bf A} unitární (ortogonální) matice a $\lambda$ její
 +
vlastní číslo, je $\vert\lambda\vert=1$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
1) {\bf A} je hermitovská, tudíž normální, proto podle věty 62
 +
existuje unitární matice {\bf U} a matice {\bf D}
 +
$=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$ tak, že ${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
D}{\bf U}$. Matice {\bf A} a {\bf D} jsou tedy podobné, a proto
 +
čísla $\lambda_1,
 +
\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ jsou všechna vlastní čísla matice
 +
{\bf A} (každé tolikrát, kolik je jeho algebraická násobnost).
 +
Platí ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
{\overline{\bf D}}{\bf U}$.
 +
Z ${\bf A}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ plyne
 +
${\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}=
 +
{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\overline{\bf D}}{\bf U}
 +
\Longrightarrow{\bf D}={\overline{\bf D}}$, a tedy po prvcích
 +
$\lambda_i={\overline{\lambda}}_i$ pro $i\in{\hat n}$.
 +
 +
2) {\bf A} je unitární, tudíž normální, proto podle věty 62
 +
existuje opět unitární matice {\bf U} a diagonální matice {\bf D}
 +
tak, že ${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
D}{\bf U}$.
 +
Platí ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
{\overline{\bf D}}{\bf U}$.
 +
Z ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$ plyne
 +
${\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}
 +
{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\overline{\bf D}}{\bf
 +
U}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}
 +
{\overline{\bf D}}{\bf U}={\bf I}
 +
\Longrightarrow{\bf D}{\overline{\bf D}}={\bf I}$, a tedy po prvcích
 +
$\lambda_i{\overline{\lambda}}_i=1$, tj. $\vert\lambda_i\vert=1$ pro $i\in{\hat n}$.
 +
 +
{\bf Věta 64:}\\
 +
Nechť {\bf A} je hermitovská matice. Pak vektory odpovídající
 +
různým vlastním číslům jsou (při standardním skalárním součinu)
 +
ortogonální.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť $\lambda_1\ne\lambda_2$, ${\bf A}{\vec {\bf
 +
x}}=\lambda_1{\vec {\bf x}}$ a
 +
${\bf A}{\vec {\bf y}}=\lambda_2{\vec {\bf y}}$. Znásobíme-li
 +
první vztah skalárně vektorem ${\vec {\bf y}}$  a druhý vektorem
 +
${\vec {\bf x}}$, dostaneme vztahy\\
 +
\centerline{
 +
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\lambda_1({\vec {\bf
 +
x}},{\vec {\bf y}})$
 +
a $({\bf A}{\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})=\lambda_2({\vec {\bf
 +
y}},{\vec {\bf x}}).\hspace{10mm}(\star)$}
 +
V dalších úvahách použijeme toho, že každý vektor z ${\bf C}^n$
 +
lze, když to potřebujeme, pokládat za matici o jediném sloupci.
 +
Pro každé dva vektory ${\vec {\bf u}}$ a ${\vec {\bf v}}$ z ${\bf
 +
C}^n$ platí tedy rovnost $({\vec {\bf u}},{\vec {\bf v}})=
 +
{\vec {\bf v}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\vec {\bf u}}$
 +
(v tom smyslu, že na levé straně je standardní skalární součin,
 +
tj. číslo, a napravo součin matic, tj. matice o jediném prvku).
 +
Říkáme tomu maticový přepis skalárního  součinu.\\
 +
Platí tedy následující rovnosti\\
 +
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=
 +
{\vec {\bf y}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}{\vec {\bf x}}
 +
={\vec {\bf y}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\vec {\bf x}}
 +
=({\bf A}{\vec {\bf y}})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
{\vec {\bf x}}=
 +
({\vec {\bf x}},{\bf A}{\vec {\bf y}})=\overline{({\bf A}{\vec {\bf
 +
y}},{\vec {\bf x}})}$.
 +
Z rovnosti prvního a posledního výrazu vyplývá (vzhledem k tomu,
 +
že platí $(\star)$ a že vlastní čísla {\bf A} jsou reálná)\\
 +
$\lambda_1({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\lambda_2\overline{({\vec {\bf
 +
y}},{\vec {\bf x}})}=\lambda_2({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})
 +
\Longrightarrow(\lambda_1-\lambda_2)({\vec {\bf
 +
x}},{\vec {\bf y}})=0$, a tedy platí $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
y}})=0$, neboť $\lambda_1\ne\lambda_2$.
 +
 +
Pro reálné symetrické matice zavádíme důležitý pojem.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je reálná symetrická matice řádu $n$. Zobrazení
 +
$F({\vec {\bf x}})$, které každému vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf
 +
R}^n$ přiřadí reálné číslo $F({\vec {\bf x}})=
 +
({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})$, se nazývá {\bf
 +
kvadratická forma} a matice {\bf A} se nazývá {\bf matice} této
 +
{\bf kvadratické formy}.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) Ještě jednou připomeneme, že skalární součin užitý v definici je
 +
standardní skalární součin.\\
 +
Označíme-li složky vektoru ${\vec {\bf x}}$ písmeny $x_1, x_2,
 +
\ldots, x_n$, lze kvadratickou formu chápat jako funkci $n$ proměnných
 +
$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Platí
 +
 +
$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$=$F({\vec {\bf x}})=({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}})=$
 +
 +
$=
 +
\begin{array}{l}
 +
\enspace(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)x_1+\\
 +
+(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)x_2+\\
 +
+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+\\
 +
+(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)x_n
 +
\end{array}=
 +
\begin{array}{l}
 +
\quad a_{11}{x_1}^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n+\\
 +
+a_{21}x_2x_1+a_{22}{x_2}^2+\cdots+a_{2n}x_2x_n+\\
 +
+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+\\
 +
+(a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}{x_n}^2.
 +
\end{array}$
 +
 +
Kvadratická forma je tedy polynom v $n$ proměnných, jehož
 +
charakteristickým rysem je, že každý sčítanec má stupeň 2.
 +
 +
2) Všimneme si, že pro $i,j\in{\hat n}$ a $i\ne j$ je
 +
$a_{ij}x_ix_j=a_{ji}x_jx_i$. To nám pomůže při úloze hledat
 +
matici zadané kvadratické formy.\\
 +
Např. forma ve dvou proměnných
 +
$F(x_1,x_2)={x_1}^2-4x_1x_2+2{x_2}^2$ má matici
 +
$\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{rr}
 +
1&\hspace{-1mm}-2\\-2&\hspace{-1mm}2
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$,
 +
neboť
 +
$F(x_1,x_2)=
 +
\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{rr}
 +
x_1&\hspace{-2mm}x_2
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
 +
\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{rr}
 +
1&\hspace{-1mm}-2\\-2&\hspace{-1mm}2
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
 +
\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{r}
 +
x_1\\x_2
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$.\\
 +
(Matice kvadratické formy je totiž vždy {\bf symetrická}.)
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
a) Symetrická matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně
 +
definitní}, je-li\\ $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})>0$ pro
 +
každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf R}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
 +
{\bf o}}$.\\
 +
b) Je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})<0$ pro
 +
každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf R}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
 +
{\bf o}}$
 +
nazývá se matice {\bf A} {\bf negativně definitní}.\\
 +
c) Symetrická matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně}
 +
(resp. {\bf negativně)
 +
semidefinitní}, je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\ge 0$
 +
(resp. $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\le 0$) pro
 +
každý vektor\\ ${\vec {\bf x}}\in{\bf R}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
 +
{\bf o}}$ a existuje vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}\ne{\vec {\bf
 +
o}}$, že $({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf x}}^{(0)})=0$.\\
 +
d) Kvadratická forma se nazývá {\bf pozitivně (negativně) definitní
 +
(semidefinitní)}, má-li její matice tuto vlastnost.\\
 +
Kvadratická forma, která nemá žádnou z těchto vlastností, se
 +
nazývá {\bf indefinitní}.
 +
 +
Je-li matice {\bf A} {\bf hermitovská} (tj. obecně komplexní),
 +
zavádějí se analogické pojmy.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť {\bf A} je hermitovská matice řádu $n$. Zobrazení
 +
$F({\vec {\bf x}})$, které každému vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf
 +
C}^n$ přiřadí $F({\vec {\bf x}})=
 +
({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})$, se nazývá {\bf
 +
hermitovská
 +
(kvadratická) forma} a matice {\bf A} se nazývá {\bf matice} této
 +
{\bf hermitovské formy}.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) {\bf Pozor !} Asistent Pytlíček ve svém skriptu užívá označení
 +
hermitovská  forma pro jiný pojem.\\
 +
2) Jasně $F({\vec {\bf x}})=\sum\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_i\bar
 +
x_j$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
a) Hermitovská matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně
 +
(negativně) definitní}, je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})>0$
 +
($({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})<0$) pro
 +
každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf C}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
 +
{\bf o}}$.\\
 +
b) Hermitovská matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně}
 +
(resp. {\bf negativně)
 +
semidefinitní}, je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\ge 0$
 +
(resp. $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\le 0$) pro
 +
každý vektor\\ ${\vec {\bf x}}\in{\bf C}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
 +
{\bf o}}$ a existuje vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}\ne{\vec {\bf
 +
o}}$, že $({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf x}}^{(0)})=0$.\\
 +
c) Hermitovská forma se nazývá {\bf pozitivně (negativně) definitní
 +
(semidefinitní)}, má-li její matice tuto vlastnost.\\
 +
d) Hermitovská forma, která nemá žádnou z těchto vlastností, se
 +
nazývá {\bf indefinitní}.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Užitečné je uvědomit si, že matice {\bf A} je negativně
 +
definitní (semidefinitní), právě když matice {\bf -A}
 +
je pozitivně definitní (semidefinitní).
 +
 +
V následujících dvou větách vyslovíme důležitá kriteria pro
 +
testování toho, zda matice {\bf A} je definitní.
 +
 +
{\bf Věta 65:}\\
 +
Nechť {\bf A} je hermitovská (symetrická) matice. Pak {\bf A} je
 +
pozitivně definitní (resp. semidefinitní), právě když jsou všechna její
 +
vlastní čísla kladná (resp. nezáporná a alespoň jedno vlastní
 +
číslo rovné nule).
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
($\Rightarrow$) Nechť {\bf A} je pozitivně definitní. Nechť $\lambda$ je její
 +
vlastní číslo a ${\vec {\bf x}}\ne{\vec {\bf o}}$ odpovídající
 +
vlastní vektor. Platí\\
 +
${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}\Rightarrow
 +
({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=(\lambda{\vec {\bf
 +
x}},{\vec {\bf x}})=\lambda({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}})\Rightarrow\lambda=\frac{({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf
 +
x}})}{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})}>0$.\\
 +
($\Leftarrow$) Nechť $\lambda_1, \lambda_2, \ldots,  \lambda_n$ jsou všechna
 +
všechna vlastní čísla hermitovské (a tedy normální) matice {\bf A}. Podle
 +
věty 62 existuje unitární matice {\bf U} tak, že\\
 +
${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf
 +
U}$, přičemž\\
 +
\centerline {${\bf D}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-3mm}\lambda_2&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\ddots&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.}\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}\ne{\vec {\bf o}}$. V dalších úvahách budeme
 +
užívat maticového přepisu skalárního součinu. Platí\\
 +
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})={\vec {\bf x}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
 +
H}}}{\bf A}{\vec {\bf x}}=
 +
{\vec {\bf x}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
 +
{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}{\vec
 +
{\bf x}}=({\bf U}{\vec {\bf x}})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
 +
H}}}{\bf D}{\bf U}{\vec {\bf x}}$.\\
 +
Označme ${\bf U}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf y}}=
 +
\hspace{-1mm}
 +
\left(\hspace{-1mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$.
 +
Protože {\bf U} je regulární matice, je ${\vec {\bf y}}$ také nenulový
 +
vektor. Dosadíme-li za {\bf D} a ${\bf U}{\vec {\bf x}}$ jejich
 +
prvky, dostaneme
 +
 +
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=
 +
(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_n)\hspace{-1mm}
 +
\left(\hspace{-2.5mm}\begin{array}{llll}
 +
\lambda_1&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-3mm}\lambda_2&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\ddots&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\lambda_n
 +
\end{array}\hspace{-2.5mm}\right)\hspace{-1mm}
 +
\hspace{-1mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)=
 +
(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_n)\hspace{-1mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
\lambda_1 y_1\\[-1mm]\lambda_2 y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]\lambda_n
 +
y_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)=\\
 +
=\lambda_1\vert y_1\vert^2+\lambda_2\vert
 +
y_2\vert^2+\cdots+\lambda_n\vert y_n\vert^2>0.$
 +
 +
Poslední nerovnost je důsledkem skutečnosti, že $\lambda_i>0$ a $y_i\ge
 +
0$ pro $i\in{\hat n}$ a neplatí $y_1=y_2=\cdots=y_n=0$.
 +
 +
V případě důkazu pro semidefinitní matice se pouze všechny ostré
 +
nerovnosti změní na neostré. Fakt, že u semidefinitní matice musí
 +
existovat vlastní číslo nula, plyne z toho, že kdyby všechna
 +
vlastní čísla byla kladná, je matice pozitivně definitní.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\ Analogická věta platí pro negativně definitní
 +
(resp. semidefinitní) matice.
 +
 +
{\bf Věta 66:}( Sylvestrovo kriterium )\\
 +
Hermitovská (resp. symetrická) matice
 +
${\bf A}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1n}\\[-2mm]
 +
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2n}\\[-2mm]
 +
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
a_{n1}&\hspace{-3mm}a_{n2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{nn}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
je pozitivně definitní,
 +
právě když
 +
$a_{11}>0,\enspace
 +
\begin{array}{|ll|}
 +
\hspace{-1mm}a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}\hspace{-1mm}\\[-2mm]
 +
\hspace{-1mm}a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}\hspace{-1mm}
 +
\end{array}>0, $\enspace$\ldots$\enspace,\enspace det\,${\bf A}>0$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
($\Rightarrow$) Nechť {\bf A} je pozitivně definitní. Ukážeme, že pak pro
 +
$k\in{\hat n}$ jsou matice
 +
$\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1k}\\[-2mm]
 +
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2k}\\[-2mm]
 +
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
a_{k1}&\hspace{-3mm}a_{k2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{kk}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
pozitivně definitní.\\
 +
Nechť tedy
 +
$\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_k
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
je nenulový vektor. Potom\\
 +
$(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_k)\hspace{-1.5mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1k}\\[-2mm]
 +
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2k}\\[-2mm]
 +
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
a_{k1}&\hspace{-3mm}a_{k2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{kk}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_k
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$=
 +
$(\bar y_1\ldots\bar y_k0\cdots0\hspace{-0.5mm})\hspace{-1.5mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1n}\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2n}\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n1}&\hspace{-2mm}a_{n2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-1mm}a_{nn}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_k\\[-1mm]0\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]0
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-1.5mm}>\hspace{-1.5mm}0$.\\
 +
Víme, že vlastní čísla pozitivně definitních matic jsou kladná a
 +
že determinant každé čtvercové matice je roven součinu vlastních
 +
čísel.\\
 +
Platí tedy
 +
$a_{11}>0,\enspace
 +
\begin{array}{|ll|}
 +
\hspace{-1mm}a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}\hspace{-1mm}\\[-2mm]
 +
\hspace{-1mm}a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}\hspace{-1mm}
 +
\end{array}>0, $\enspace$\ldots$\enspace,\enspace det\,${\bf
 +
A}>0$.
 +
 +
($\Leftarrow$) Označme ${\bf A}_k=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1k}\\[-2mm]
 +
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2k}\\[-2mm]
 +
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
 +
a_{k1}&\hspace{-3mm}a_{k2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{kk}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$ a předpokládejme det\,${\bf A}_k>0$
 +
pro $k\in{\hat n}$. Matematickou indukcí podle $n$ dokážeme, že
 +
${\bf A}_n$ je pozitivně definitní.
 +
Pro $n=1$ je tvrzení zřejmé.
 +
Z indukčního předpokladu
 +
plyne, že matice ${\bf A}_{n-1}$ je pozitivně definitní.\\
 +
Označme $d_n=\frac{\mbox{det\,}{\bf A}_n}{\mbox{det\,}{\bf
 +
A}_{n-1}}$ a označme ${\vec {\bf z}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
z_1\\[-1mm]z_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]z_{n-1}\\[-1mm]z_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
vektor, který řeší soustavu
 +
${\bf A}_n{\vec {\bf z}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
0\\[-1mm]0\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]0\\[-1mm]d_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$.
 +
Z Cramerova pravidla plyne $z_n=1$, a tudíž  platí vztahy
 +
 +
$\begin{array}{l}
 +
a_{in}=-a_{i1}z_1-a_{i2}z_2-\cdots-a_{i,n-1}z_{n-1} \mbox{\qquad pro }
 +
i\in{\widehat{n-1}},\\
 +
a_{nn}=d_n-a_{n1}z_1-a_{n2}z_2-\cdots-a_{n,n-1}z_{n-1},
 +
\end{array}$
 +
 +
a tedy také (neboť $a_{ij}=\bar a_{ji}$)
 +
 +
$\begin{array}{l}
 +
a_{ni}=-a_{1i}\bar z_1-a_{2i}\bar z_2-\cdots-a_{n-1,i}\bar z_{n-1}
 +
\mbox{\qquad pro }
 +
i\in{\widehat{n-1}},\\
 +
a_{nn}=d_n-a_{1n}\bar z_1-a_{2n}\bar z_2-\cdots-a_{n-1,n}\bar
 +
z_{n-1}.
 +
\end{array}$
 +
 +
Označme dále
 +
${\bf R}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}-z_1\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}-z_2\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}&\hspace{2mm}\vdots\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}-z_{n-1}\\
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{2mm}1\\\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
a
 +
${\bf D}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n-1,1}&\hspace{-2mm}a_{n-1,2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n-1,n-1}&\hspace{-1mm}0\\[-1mm]
 +
0&\hspace{-2mm}0&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}0&\hspace{-1mm}d_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.
 +
 +
Přezkoumáme, že platí vztah
 +
${\bf A}_n={\bf R}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf R}$.
 +
Skutečně
 +
 +
$
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{ccccc}
 +
1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}\\
 +
-\bar z_1&\hspace{-3mm}-\bar
 +
z_2&\hspace{-3mm}\cdots&\hspace{-3mm}-\bar
 +
z_{n-1}&\hspace{-3mm}1\\\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n-1,1}&\hspace{-2mm}a_{n-1,2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n-1,n-1}&\hspace{-1mm}0\\[-1mm]
 +
0&\hspace{-2mm}0&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}0&\hspace{-1mm}d_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}-z_1\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}-z_2\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}&\hspace{2mm}\vdots\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}-z_{n-1}\\
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{2mm}1\\\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
=$
 +
 +
\hspace*{-10mm}
 +
$\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n-1,1}&\hspace{-2mm}a_{n-1,2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n-1,n-1}&\hspace{-1mm}0\\[-1mm]
 +
a_{n1}&\hspace{-2mm}a_{n2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n,n-1}&\hspace{-1mm}d_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}-z_1\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}-z_2\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}&\hspace{2mm}\vdots\\[-2mm]
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}-z_{n-1}\\
 +
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{2mm}1\\\end{array}\hspace{-2mm}\right)
 +
=\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1,n-1}&\hspace{-2mm}a_{1n}\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2,n-1}&\hspace{-2mm}a_{2n}\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n-1,1}&\hspace{-2mm}a_{n-1,2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n-1,n-1}&\hspace{-1mm}a_{n-1,n}\\[-1mm]
 +
a_{n1}&\hspace{-2mm}a_{n2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n,n-1}&\hspace{-1mm}a_{nn}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-0.5mm}
 +
.$
 +
\newpage
 +
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}$ je libovolný nenulový vektor. Označme
 +
${\vec {\bf y}}={\bf R}{\vec {\bf x}}$. Protože matice {\bf R} je
 +
regulární, je také vektor ${\vec {\bf y}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_{n-1}\\[-1mm]y_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
nenulový. Označme ještě\\
 +
${\vec {\bf y}}^{(n-1)}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_{n-1}
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$.
 +
 +
Platí vztahy\\
 +
$({\bf A}_n{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})={\vec {\bf x}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
 +
H}}}{\bf A}_n{\vec {\bf x}}={\vec {\bf x}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
 +
H}}}{\bf R}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
 +
D}{\bf R}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf y}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
 +
H}}}{\bf D}{\vec {\bf y}}=$
 +
 +
$=(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_{n-1}\bar y_n)\hspace{-1.5mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{lllll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2,n-1}&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n-1,1}&\hspace{-2mm}a_{n-1,2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n-1,n-1}&\hspace{-1mm}0\\[-1mm]
 +
0&\hspace{-2mm}0&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}0&\hspace{-1mm}d_n
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_{n-1}\\[-1mm]y_n
 +
\hspace{-1mm}
 +
\end{array}\hspace{-3mm}\right)=$
 +
 +
$=(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_{n-1})\hspace{-1.5mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
 +
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{1,n-1}\\[-1mm]
 +
a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{2,n-1}\\[-1mm]
 +
\vdots&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-1mm]
 +
a_{n-1,1}&\hspace{-2mm}a_{n-1,2}&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}a_{n-1,n-1}\\[-1mm]
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{l}
 +
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_{n-1}
 +
\end{array}\hspace{-2.5mm}\right)+
 +
\bar y_nd_ny_n=$
 +
 +
$=({\bf A}_{n-1}{\vec {\bf y}}^{(n-1)},{\vec {\bf
 +
y}}^{(n-1)})+d_n\vert y_n\vert^2>0.$
 +
 +
Oba poslední sčítance jsou nezáporné, protože matice ${\bf
 +
A}_{n-1}$
 +
je z indukčního předpokladu pozitivně definitní a číslo $d_n$ je
 +
kladné. Ostrá nerovnost vyplývá z toho, že když je ${\vec {\bf y}}$
 +
nenulový vektor, je $y_n\ne 0$ nebo ${\vec {\bf
 +
y}}^{(n-1)}\ne{\vec {\bf o}}$.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) Analogická věta pro pozitivně semidefinitní matice {\bf
 +
neplatí}, např. matice
 +
${\bf A}=
 +
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{rrr}
 +
1&\hspace{-2mm}0&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
0&\hspace{-2mm}0&\hspace{-2mm}0\\[-1mm]
 +
0&\hspace{-2mm}0&\hspace{-2mm}-1
 +
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
 +
má požadované subdeterminanty nezáporné, ale pozitivně
 +
semidefinitní není.\\
 +
2) Snadno si rozmyslíme, že je-li {\bf A} pozitivně  definitní matice
 +
řádu $n$, je zobrazení ${\bf C}^n\times{\bf C}^n$ do ${\bf C}$,
 +
které vektorům ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ přiřadí číslo
 +
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$, skalární součin.
 +
 +
\newpage
 +
 +
{\Large {\bf Lineární geometrie.}}
 +
 +
V této kapitole se budeme výhradně pohybovat v prostoru {\bf
 +
R}$^n$ se standardním skalárním součinem, tj. v {\bf eukleidovském
 +
prostoru}. Prvky {\bf R}$^n$ budeme nazývat {\bf body}, pokud je
 +
chápeme jako geometrické objekty, nebo {\bf vektory}, pokud je
 +
chápeme jako prvky vektorového prostoru {\bf R}$^n$.\\
 +
V podstatě budeme v této kapitole pouze zobecňovat v {\bf R}$^n$ pojmy a
 +
poznatky, které jsou nám známé ze střední školy.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in{\bf R}^n$. {\bf
 +
Spojnicí} bodů ${\vec {\bf x}}, {\vec {\bf y}}$ nazveme množinu\\
 +
$\{{\vec {\bf x}}+\lambda({\vec {\bf y}}-{\vec {\bf
 +
x}})\enspace\vert\enspace\lambda\in{\bf R}\}=
 +
\{(1-\lambda){\vec {\bf x}}+\lambda{\vec {\bf
 +
y}}\enspace\vert\enspace\lambda\in{\bf
 +
R}\}=\\=\{\alpha{\vec {\bf x}}+\beta{\vec {\bf
 +
y}}\enspace\vert\enspace\alpha\in{\bf R}, \beta\in{\bf R}, \alpha+\beta=1\}$.\\
 +
Množinu
 +
$\{\alpha{\vec {\bf x}}+\beta{\vec {\bf
 +
y}}\enspace\vert\enspace\alpha\in{\bf R}, \beta\in{\bf R}, \alpha+\beta=1,
 +
\alpha\ge 0, \beta\ge 0\}$ nazveme {\bf úsečkou} spojující body
 +
${\vec {\bf x}}, {\vec {\bf y}}$.
 +
 +
Snadno si rozmyslíme, že v případě prostoru {\bf R}$^3$ je
 +
spojnice totožná s přímkou procházející body
 +
${\vec {\bf x}}, {\vec {\bf y}}$ a pojem úsečka je totožný s
 +
pojmem zavedeným na střední škole. Pojmy zobecníme následující
 +
definicí.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}$ jsou body z ${\bf R}^n$. {\bf Afinním obalem} těchto
 +
bodů nazveme množinu\\
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\alpha=
 +
\{\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}\enspace\vert\enspace\alpha_i\in{\bf R},
 +
i\in{\hat k}, \sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i=1\}$.\\
 +
{\bf Konvexním obalem} těchto
 +
bodů nazveme množinu\\
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\kappa=
 +
\{\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}\enspace\vert\enspace\alpha_i\in{\bf R},
 +
\alpha_i\ge 0,
 +
i\in{\hat k}, \sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i=1\}$.\\
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Kombinace
 +
$\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$ při splnění
 +
podmínky $\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i=1$ se někdy nazývá {\bf
 +
afinní kombinace} souboru
 +
$({\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)})$
 +
a podobně tatáž kombinace při splnění podmínky
 +
$\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i=1,
 +
\alpha_i\ge 0, i\in{\hat k}$ se nazývá {\bf konvexní kombinace}.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Množinu {\bf W}$\subset{\bf R}^n$ nazveme {\bf lineární varietou}
 +
v {\bf R}$^n$, jestliže\\
 +
(1) ${\bf W}\ne\emptyset$,\\
 +
(2) a platí-li implikace: ${\vec {\bf x}}\in{\bf W}, {\vec {\bf y}}\in{\bf
 +
W}\enspace\Rightarrow\enspace$ spojnice ${\vec {\bf x}}$, ${\vec {\bf
 +
y}}$ leží ve {\bf W}.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Množinu {\bf K}$\subset{\bf R}^n$ nazveme {\bf konvexní množinou}
 +
v {\bf R}$^n$, jestliže\\
 +
(1) ${\bf K}\ne\emptyset$,\\
 +
(2) a platí-li implikace: ${\vec {\bf x}}\in{\bf K}, {\vec {\bf y}}\in{\bf
 +
K}\enspace\Rightarrow\enspace$ úsečka spojující ${\vec {\bf x}}$
 +
a ${\vec {\bf y}}$ leží v {\bf K}.
 +
 +
{\bf Příklady v R$^3$:}\\
 +
1) Lineární variety jsou: bod, přímka, rovina, celý prostor {\bf
 +
R}$^3$.\\
 +
2) Konvexní množiny jsou bod, úsečka, trojúhelník, čtverec, kruh,
 +
krychle, koule,
 +
ale ne např. následující množina.\\
 +
\begin{picture}(60,40)(-100,0)
 +
\put(20,0){\line(1,1){40}}
 +
\put(20,0){\line(-1,2){20}}
 +
\put(20,20){\line(2,1){40}}
 +
\put(20,20){\line(-1,1){20}}
 +
\end{picture}
 +
\hspace{30mm}
 +
 +
{\bf Věta 67:}\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}\in{\bf R}^n$.
 +
Pak: \\
 +
(1) (a) {\bf W}=
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\alpha$
 +
je lineární varieta, \\
 +
\hspace*{6mm}(b) ${\vec {\bf x}}^{(i)}\in{\bf W}$ pro $i\in{\hat
 +
k}$.\\
 +
(2) (a) {\bf K}=
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\kappa$ je konvexní množina,\\
 +
\hspace*{6mm}(b) ${\vec {\bf x}}^{(i)}\in{\bf K}$ pro $i\in{\hat
 +
k}$.\\
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
(1a) Nechť
 +
${\vec {\bf x}}\in{\bf W}\Longrightarrow
 +
{\vec {\bf x}}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)},
 +
\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i=1,\\
 +
\hspace*{19mm} {\vec {\bf y}}\in{\bf W}
 +
\Longrightarrow{\vec {\bf y}}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{k}\beta_i{\vec {\bf x}}^{(i)},
 +
\sum\limits_{i=1}^{k}\beta_i=1$.\\
 +
Nechť $\alpha+\beta=1$. Potom
 +
$\alpha{\vec {\bf x}}+\beta{\vec {\bf y}}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{k}(\alpha\alpha_i+\beta\beta_i){\vec {\bf x}}^{(i)}$.
 +
\\Platí
 +
$\sum\limits_{i=1}^{k}(\alpha\alpha_i+\beta\beta_i)=
 +
\alpha\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i+\beta\sum\limits_{i=1}^{k}\beta_i=
 +
1$.
 +
Proto
 +
$\alpha{\vec {\bf x}}+\beta{\vec {\bf y}}\in{\bf W}$.
 +
 +
(1b) ${\vec {\bf x}}^{(i)}=0{\vec {\bf x}}^{(1)}+0{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}+\cdots+1{\vec {\bf x}}^{(i)}+0{\vec {\bf
 +
x}}^{(i+1)}+\cdots+0{\vec {\bf x}}^{(k)}$.
 +
 +
Důkaz tvrzení (2a) a (2b) je analogický, jen je třeba
 +
sledovat, že $\alpha\ge 0$, $\beta\ge 0$ a pro $i\in{\hat k}$ je
 +
$\alpha_i\ge 0$, $\beta_i\ge 0$.
 +
 +
{\bf Poznámky:}\\
 +
1) Je zřejmé, že
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\alpha$
 +
je nejmenší lineární varieta, která obsahuje vektory
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}$ v tom smyslu, že každá varieta, která tyto vektory
 +
obsahuje, ji má za svou podmnožinu.\\
 +
Obdobná poznámka platí pro
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, \ldots, {\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\kappa$ a konvexní množiny.\\
 +
2) Všimneme si, že afinní obal vektorů ${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}, {\vec {\bf x}}^{(3)}$ v {\bf R}$^3$ je v obecném případě rovina a konvexní
 +
obal trojúhelník s vrcholy
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf x}}^{(2)}, {\vec {\bf
 +
x}}^{(3)}$.
 +
 +
{\bf Věta 68:}\\
 +
Nechť ${\bf P}\subset\subset{\bf R}^n$ a ${\vec {\bf a}}\in{\bf
 +
R}^n$. Pak množina ${\vec {\bf a}}+{\bf P}$ je lineární varieta.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Množina ${\vec {\bf a}}+{\bf P}$ je jistě neprázdná, protože
 +
obsahuje bod ${\vec {\bf a}}$. Nechť ${\vec {\bf x}}\in{\vec {\bf a}}+{\bf
 +
P}$, ${\vec {\bf y}}\in{\vec {\bf a}}+{\bf P}$. Pak
 +
${\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}+{\vec {\bf x}}^{(1)}$,
 +
${\vec {\bf y}}={\vec {\bf a}}+{\vec {\bf y}}^{(1)}$, kde
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf y}}^{(1)}\in{\bf P}$.\\
 +
Nechť $\alpha+\beta=1 \Rightarrow \alpha{\vec {\bf x}}+
 +
\beta{\vec {\bf y}}=\alpha({\vec {\bf a}}+{\vec {\bf x}}^{(1)})+
 +
\beta({\vec {\bf a}}+{\vec {\bf y}}^{(1)})=\\=
 +
(\alpha+\beta){\vec {\bf a}}+\alpha{\vec {\bf x}}^{(1)}+\beta{\vec {\bf
 +
y}}^{(1)}={\vec {\bf a}}+\alpha{\vec {\bf x}}^{(1)}+\beta{\vec {\bf
 +
y}}^{(1)}\in{\vec {\bf a}}+{\bf P}$,\\ neboť
 +
$\alpha{\vec {\bf x}}^{(1)}+\beta{\vec {\bf y}}^{(1)}\in{\bf P}$.
 +
 +
{\bf Příklad:}\\
 +
Množina řešení soustavy lineárních algebraických rovnic o $n$
 +
neznámých \\s reálnou maticí je lineární varieta (neboť je tvaru
 +
${\vec {\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$.)
 +
 +
{\bf Věta 69:}\\
 +
Nechť {\bf W} je lineární varieta v {\bf R}$^n$. Pak existuje
 +
právě jeden podprostor ${\cal Z}({\bf W})\subset\subset{\bf R}^n$
 +
tak, že pro libovolný bod ${\vec {\bf a}}\in{\bf W}$ platí
 +
${\bf W}={\vec {\bf a}}+{\cal Z}({\bf W})$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť ${\vec {\bf a}}\in{\bf W}$.\\
 +
(a) Najdeme podprostor ${\cal Z}({\bf W})$ tak, že
 +
${\bf W}={\vec {\bf a}}+{\cal Z}({\bf W})$.
 +
Platí\\
 +
${\bf W}={\vec {\bf o}}+{\bf W}={\vec {\bf a}}+(-{\vec {\bf
 +
a}})+{\bf W}$. Stačí dokázat, že množina
 +
${\cal Z}({\bf W})=(-{\vec {\bf a}})+{\bf W}$ je podprostor v
 +
${\bf R}^n$.\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}\in(-{\vec {\bf a}})+{\bf
 +
W}$, ${\vec {\bf y}}\in(-{\vec {\bf a}})+{\bf W}$. Pak
 +
${\vec {\bf x}}=(-{\vec {\bf a}})+{\vec {\bf x}}^{(1)}$,
 +
${\vec {\bf y}}=(-{\vec {\bf a}})+{\vec {\bf y}}^{(1)}$, kde
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)}, {\vec {\bf y}}^{(1)}\in{\bf W}$.\\
 +
Pak ${\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}=(-{\vec {\bf a}})+
 +
[(-1){\vec {\bf a}}+2(\frac{1}{2}{\vec {\bf x}}^{(1)}+
 +
\frac{1}{2}{\vec {\bf y}}^{(1)})]\in(-{\vec {\bf a}})+{\bf W}$,
 +
neboť $(\frac{1}{2}{\vec {\bf x}}^{(1)}+\frac{1}{2}{\vec {\bf
 +
y}}^{(1)})$ je bod z {\bf W}, a tudíž také
 +
$[(-1){\vec {\bf a}}+2(\frac{1}{2}{\vec {\bf x}}^{(1)}+
 +
\frac{1}{2}{\vec {\bf y}}^{(1)})]$
 +
je bod z {\bf W}.
 +
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}\in(-{\vec {\bf a}})+{\bf
 +
W}$, tj.
 +
${\vec {\bf x}}=(-{\vec {\bf a}})+{\vec {\bf x}}^{(1)}$, kde
 +
${\vec {\bf x}}^{(1)}\in{\bf W}$, a $\alpha\in{\bf R}$.
 +
Potom\\
 +
$\alpha{\vec {\bf x}}=-\alpha{\vec {\bf a}}+\alpha{\vec {\bf
 +
x}}^{(1)}=(-{\vec {\bf a}})+[(1-\alpha){\vec {\bf a}}+\alpha{\vec {\bf
 +
x}}^{(1)}]\in(-{\vec {\bf a}})+{\bf W}$,
 +
neboť \\$[(1-\alpha){\vec {\bf a}}+\alpha{\vec {\bf x}}^{(1)}]$
 +
je bod z {\bf W}.
 +
 +
(b) Dokážeme, že podprostor ${\cal Z}({\bf W})=(-{\vec {\bf a}})+{\bf W}$
 +
je jediný podprostor ${\bf R}^n$\\ s vlastností, že
 +
${\bf W}={\vec {\bf a}}+{\cal Z}({\bf W})$.\\
 +
Nechť podprostor ${\bf P}\subset\subset{\bf R}^n$, ${\bf P}\ne{\cal Z}({\bf
 +
W})$,
 +
má také vlastnost ${\bf W}={\vec {\bf a}}+{\bf P}$.\\
 +
Platí ${\cal Z}({\bf W})=(-{\vec {\bf a}})+{\bf W}=(-{\vec {\bf
 +
a}})+({\vec {\bf a}}+{\bf P})=(-{\vec {\bf a}}+{\vec {\bf a}})+{\bf
 +
P}={\vec {\bf o}}+{\bf P}={\bf P}$\\ a to je spor.
 +
 +
(c) Dokážeme, že pro kterýkoliv bod ${\vec {\bf b}}\in{\bf W}$ je
 +
${\bf W}={\vec {\bf b}}+{\cal Z}({\bf W})$.\\
 +
Jasně platí ${\vec {\bf b}}-{\vec {\bf a}}\in(-{\vec {\bf a}})+{\bf
 +
W}={\cal Z}({\bf W})$.
 +
Platí tedy\\
 +
${\vec {\bf b}}+{\cal Z}({\bf W})={\vec {\bf a}}+({\vec {\bf b}}-{\vec {\bf
 +
a}})+{\cal Z}({\bf W})={\vec {\bf a}}+{\cal Z}({\bf W})={\bf W}$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Podprostor ${\cal Z}({\bf W})\subset\subset{\bf R}^n$ z věty 69
 +
se nazývá {\bf zaměření lineární variety W}. Jeho dimenze se
 +
nazývá {\bf dimenze W}. \\
 +
Varieta dimenze 0 se nazývá {\bf bod}.\\
 +
Varieta dimenze 1 se nazývá {\bf přímka}.\\
 +
Varieta dimenze 2 se nazývá {\bf rovina}.\\
 +
Varieta dimenze $n-1$ se nazývá {\bf nadrovina}.\\
 +
Každý nenulový vektor ze ${\cal Z}({\bf W})$  se nazývá {\bf
 +
směrový vektor} variety {\bf W}.\\
 +
Každý nenulový vektor ze ${\cal Z}({\bf W})^{\perp}$  se nazývá {\bf
 +
normálový vektor} variety {\bf W}.
 +
 +
{\large {\bf Popis lineární variety W$\subset {\bf R}^n$}:}
 +
 +
Nechť dim\,{\bf W}=$k$. Jedna možnost jak varietu popsat, je psát
 +
ji ve tvaru\\ ${\bf W}={\vec {\bf a}}+{\cal Z}({\bf W})$. Uvedeme
 +
další možnosti.
 +
 +
(a) Nechť ${\vec {\bf a}}\in{\bf W}$ a $({\vec {\bf a}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf a}}^{(k)})$ je báze ${\cal Z}({\bf
 +
W})$, tj. ${\cal Z}({\bf W})=[{\vec {\bf a}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf a}}^{(k)}]_\lambda$.\\
 +
${\vec {\bf x}}\in{\bf W}\quad\Longleftrightarrow\quad
 +
{\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}+\sum\limits_{i=1}^{k}t_i{\vec {\bf
 +
a}}^{(i)}$,\quad kde $t_i\in{\bf R}$ pro $i\in{\hat k}$.\\
 +
Poslední rovnici říkáme {\bf směrová rovnice variety}.\\
 +
Pokud označíme
 +
${\vec {\bf x}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{c}
 +
x_1\\[-1.5mm]x_2\\[-1.5mm]\vdots\\[-1.5mm]x_n
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right)$
 +
,
 +
${\vec {\bf a}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{c}
 +
a_1\\[-1.5mm]a_2\\[-1.5mm]\vdots\\[-1.5mm]a_n
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right)$
 +
a
 +
${\vec {\bf a}}^{(i)}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{c}
 +
a_1^{(i)}\\[-1mm]a_2^{(i)}\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]a_n^{(i)}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right)$
 +
pro $i\in{\hat k}$, můžeme směrovou rovnici rozepsat po složkách a
 +
získáme tzv. {\bf parametrické rovnice variety W}\\
 +
\hspace*{20mm}
 +
$\begin{array}{c}
 +
x_1=a_1+\sum\limits_{i=1}^{k}t_i a_1^{(i)}\\[-1mm]
 +
x_2=a_2+\sum\limits_{i=1}^{k}t_i a_2^{(i)}\\[-1mm]
 +
\vdots\\[-1mm]
 +
x_n=a_n+\sum\limits_{i=1}^{k}t_i a_n^{(i)}\\[-1mm]
 +
\end{array}$,
 +
\quad $t_i\in{\bf R}$ pro $i\in{\hat k}$.
 +
 +
(b) Nechť  $({\vec {\bf w}}^{(1)},{\vec {\bf
 +
w}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf w}}^{(n-k)})$ je báze ${\cal Z}({\bf
 +
W})^{\perp}$. Pro $i\in{\widehat {n-k}}$ označme $c_i=({\vec {\bf
 +
w}}^{(i)},{\vec {\bf a}})$.\\
 +
Potom
 +
${\vec {\bf x}}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{c}
 +
x_1\\[-1mm]x_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]x_n
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right)
 +
\in{\bf W}\Longleftrightarrow
 +
{\vec {\bf x}}\in{\vec {\bf a}}+{\cal Z}({\bf W})
 +
\Longleftrightarrow
 +
{\vec {\bf x}}-{\vec {\bf a}}\in{\cal Z}({\bf W})
 +
\Longleftrightarrow
 +
({\vec {\bf w}}^{(i)},{\vec {\bf x}}-{\vec {\bf a}})=0$ pro
 +
$i\in{\widehat {n-k}}
 +
\Longleftrightarrow
 +
({\vec {\bf w}}^{(i)},{\vec {\bf x}})=c_i$ pro $i\in{\widehat
 +
{n-k}}$.\\
 +
Pokud označíme
 +
${\vec {\bf w}}^{(i)}=
 +
\left(\hspace{-2mm}
 +
\begin{array}{c}
 +
w_1^{(i)}\\[-1mm]w_2^{(i)}\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]w_n^{(i)}
 +
\end{array}
 +
\hspace{-2mm}\right)$
 +
pro $i\in{\widehat {n-k}}$, můžeme poslední rovnice rozepsat po
 +
složkách a dostaneme
 +
 +
\hspace*{20mm}
 +
$\begin{array}{crcrccl}
 +
w_1^{(1)}x_1&\hspace{-3mm}+\hspace{-3mm}&w_2^{(1)}x_2&\hspace{-3mm}+\cdots+\hspace{-3mm}&w_n^{(1)}x_n&\hspace{-3mm}=\hspace{-3mm}&c_1\\[-0.5mm]
 +
w_1^{(2)}x_1&\hspace{-3mm}+\hspace{-3mm}&w_2^{(2)}x_2&\hspace{-3mm}+\cdots+\hspace{-3mm}&w_n^{(2)}x_n&\hspace{-3mm}=\hspace{-3mm}&c_2\\[-0.5mm]
 +
&\hspace*{-3mm}&&&&\hspace{-3mm}\vdots\hspace{-3mm}&\\[-0.5mm]
 +
w_1^{(n-k)}x_1&\hspace{-3mm}+\hspace{-3mm}&w_2^{(n-k)}x_2&\hspace{-3mm}
 +
\hspace{-3mm}+\cdots+\hspace{-3mm}&w_n^{(n-k)}x_n&\hspace{-3mm}=\hspace{-3mm}&c_{n-k}
 +
\end{array}$.
 +
 +
Těmto rovnicím říkáme {\bf normálové} (neparametrické) {\bf rovnice
 +
variety}.
 +
 +
(c)
 +
Nechť ${\bf W}=[{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,{\vec {\bf
 +
x}}^{(k)}]_\alpha$. Víme, že {\bf W} je lineární varieta.
 +
Dokážeme, že její zaměření je ${\cal Z}({\bf W})=[{\vec {\bf x}}^{(1)}-{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}-{\vec {\bf x}}^{(0)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)}-{\vec {\bf
 +
x}}^{(0)}]_\lambda$.\\
 +
Z důkazu věty 69 víme, že ${\cal Z}({\bf W})=(-{\vec {\bf
 +
x}}^{(0)})+{\bf W}$.\\
 +
Je tedy
 +
$[{\vec {\bf x}}^{(1)}-{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}-{\vec {\bf x}}^{(0)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)}-{\vec {\bf
 +
x}}^{(0)}]_\lambda\subset{\cal Z}({\bf W})$.\\
 +
Dokážeme opačnou inkluzi.\\ Nechť
 +
${\vec {\bf x}}\in(-{\vec {\bf x}}^{(0)})+{\bf W}\Rightarrow{\vec {\bf
 +
x}}={\vec {\bf v}}-{\vec {\bf x}}^{(0)}$, kde  ${\vec {\bf
 +
v}}\in{\bf W}\Rightarrow{\vec {\bf v}}=\alpha_0{\vec {\bf
 +
x}}^{(0)}+\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$,
 +
přičemž $\alpha_0+\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i=1$.\\ Je tedy
 +
${\vec {\bf x}}={\vec {\bf v}}-{\vec {\bf x}}^{(0)}=
 +
\alpha_0{\vec {\bf x}}^{(0)}+\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}
 +
-(\alpha_0+\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i){\vec {\bf x}}^{(0)}=
 +
\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i({\vec {\bf x}}^{(i)}-{\vec {\bf
 +
x}}^{(0)})$.
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť ${\bf W}_1, {\bf W}_2$ jsou lineární variety v ${\bf R}^n$,
 +
${\bf W}_1\ne{\bf W}_2$. Říkáme, že ${\bf W}_1,{\bf W}_2$ jsou:\\
 +
(a) {\bf rovnoběžné} $\Longleftrightarrow {\cal Z}({\bf
 +
W}_1)\subset{\cal Z}({\bf W}_2)$ nebo
 +
${\cal Z}({\bf W}_2)\subset{\cal Z}({\bf W}_1)$,\\
 +
(b) {\bf mimoběžné} $\Longleftrightarrow$ nejsou rovnoběžné a
 +
${\bf W}_1\cap{\bf W}_2=\emptyset$,\\
 +
(c) {\bf různoběžné}
 +
$\Longleftrightarrow$ nejsou rovnoběžné a
 +
${\bf W}_1\cap{\bf W}_2\ne\emptyset$.
 +
 +
{\bf Věta 70:}\\
 +
Průnik lineárních variet v {\bf R}$^n$ je buď prázdná množina,
 +
nebo lineární varieta.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Důkaz stačí provést pouze pro dvě variety ${\bf W}_1,{\bf
 +
W}_2$.\\
 +
Nechť ${\bf W}_1\cap{\bf W}_2\ne\emptyset$, označme ${\bf W}={\bf W}_1\cap{\bf
 +
W}_2$.\\
 +
Pro ${\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}}\in{\bf W}$ ukážeme, že také
 +
spojnice ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ leží ve {\bf W}.\\
 +
$\left.\begin{array}{c}
 +
\mbox{Neboť\,\,} {\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}}\in{\bf
 +
W_1}\Rightarrow\mbox{spojnice je ve\,} {\bf W}_1\\
 +
\mbox{neboť\,\,} {\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}}\in{\bf
 +
W_2}\Rightarrow\mbox{spojnice je ve\,} {\bf W}_2
 +
\end{array}\right\}
 +
\Longrightarrow\mbox{spojnice je ve\,} {\bf W}.$
 +
 +
{\large {\bf Vzdálenost lineárních variet.}}
 +
 +
(a) {\bf Pojem vzdálenosti množin v R$^n$.}
 +
 +
{\bf Definice:}\\
 +
Nechť ${\bf M}_1,{\bf M}_2\subset{\bf R}^n$. Číslo
 +
inf\,$\{\Vert{\vec {\bf x}}-{\vec {\bf y}}\Vert \enspace\vert\enspace {\vec {\bf
 +
x}}\in {\bf M}_1, {\vec {\bf y}}\in {\bf M}_2\}$ nazýváme {\bf
 +
vzdálenost množin M$_1$, M$_2$} a značíme ho $\rho({\bf M}_1,{\bf
 +
M}_2)$.\\
 +
Vzdálenost bodu ${\vec {\bf a}}$ od množiny {\bf M} značíme
 +
$\rho({\vec {\bf a}},{\bf M})$ (místo $\rho(\{{\vec {\bf a}}\},{\bf
 +
M})\enspace)$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Z definice plyne, že vzdáleností bodů  ${\vec {\bf x}}, {\vec {\bf
 +
y}}$ nazýváme číslo  $\rho({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\Vert{\vec {\bf
 +
x}}-{\vec {\bf y}}\Vert$.
 +
 +
(b) {\bf Vzdálenost bodu od podprostoru.}\\
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Snadno si rozmyslíme, že každý podprostor {\bf P} v ${\bf R}^n$ je
 +
varieta (neboť ho lze psát ve tvaru ${\vec {\bf o}}+{\bf P})$) a
 +
že varieta je podprostor, právě když obsahuje ${\vec {\bf o}}$,
 +
tj. když \uv{prochází počátkem}. Takovou varietu {\bf W} lze totiž
 +
podle věty 69 psát ve tvaru ${\vec {\bf o}}+{\cal Z}({\bf
 +
W})$.
 +
 +
{\bf Věta 71:}\\
 +
Nechť ${\bf P}\subset\subset{\bf R}^n$, ${\vec {\bf a}}\in{\bf
 +
R}^n$. Nechť ${\vec {\bf a}}={\vec {\bf a}}^{(1)}+{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}$, kde ${\vec {\bf a}}^{(1)}\in{\bf P}, {\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}\in{\bf P}^{\perp}$. Pak $\rho({\vec {\bf a}},{\bf
 +
P})=\Vert{\vec {\bf a}}^{(2)}\Vert$.
 +
 +
{\bf Důkaz:}\\
 +
Nechť ${\vec {\bf x}}$ je libovolný bod z {\bf P}. Potom
 +
$\Vert {\vec {\bf a}}-{\vec {\bf x}}\Vert^2=\Vert{\vec {\bf
 +
a}}^{(1)}+{\vec {\bf a}}^{(2)}-{\vec {\bf x}}\Vert^2=\\=
 +
(({\vec {\bf a}}^{(1)}-{\vec {\bf x}})+{\vec {\bf a}}^{(2)},
 +
({\vec {\bf a}}^{(1)}-{\vec {\bf x}})+{\vec {\bf a}}^{(2)})
 +
\hspace{-8mm}\stackrel{
 +
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny (neboť $({\vec {\bf
 +
a}}^{(1)}\hspace{-.6mm}-{\vec {\bf
 +
x}})\hspace{-0.4mm}\in\hspace{-.3mm}{\bf P}$}} \\[-1.5mm]
 +
{\mbox{\tiny a ${\vec {\bf a}}^{(2)}\hspace{-0.4mm}\in{\bf
 +
P}^{\perp}$)}}\end{array}}}{=}\hspace{-8mm}
 +
\Vert{\vec {\bf a}}^{(1)}-{\vec {\bf x}}\Vert^2+
 +
\Vert{\vec {\bf a}}^{(2)}\Vert^2\ge\Vert{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}\Vert^2$.
 +
\newpage
 +
Pro ${\vec {\bf x}}$ z {\bf P} je tedy
 +
$\Vert {\vec {\bf a}}-{\vec {\bf x}}\Vert\ge\Vert{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}\Vert$.
 +
Jelikož při volbě  ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}^{(1)}$ je
 +
 +
$\Vert {\vec {\bf a}}-{\vec {\bf x}}\Vert=\Vert{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}\Vert$, je
 +
$\rho({\vec {\bf a}},{\bf P})=\inf\limits_{{\vec {\bf x}}\in{\bf
 +
P}}\Vert {\vec {\bf a}}-{\vec {\bf x}}\Vert=\Vert{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}\Vert$.
 +
 +
{\bf Poznámka:}\\
 +
Z následujícího obrázku je zřejmé, že vzorec pro výpočet
 +
vzdálenosti bodu od podprostoru je v případě {\bf R}$^2$
 +
v souhlase s definicí vzdálenosti bodu s průvodičem ${\vec {\bf a}}$
 +
od přímky {\bf P} procházející počátkem.
 +
 +
 +
\begin{picture}(70,50)(10,40)
 +
\put(40,25){\line(1,0){140}}
 +
\put(75,-10){\line(0,1){100}}
 +
\put(51,19){\line(4,1){145}}
 +
\thicklines
 +
\put(75,25){\vector(4,1){60}}
 +
\thicklines
 +
\put(135,40){\vector(-1,4){9}}
 +
\thicklines
 +
\put(75,25){\vector(1,1){50}}
 +
\put(95,55){{\scriptsize $\phantom{\vec {\bf a}}$}}
 +
\put(95,55){{\scriptsize ${\vec {\bf a}}$}}
 +
\put(110,27){{\scriptsize ${\vec {\bf a}}^{(1)}$}}
 +
\put(135,55){{\scriptsize ${\vec {\bf a}}^{(2)}$}}
 +
\put(180,57){{\scriptsize ${\bf P}$}}
 +
\end{picture}
 +
 +
\vspace*{18mm}
 +
(c) {\bf Vzdálenost dvou variet.}
 +
 +
{\bf Věta 72:}\\
 +
Nechť ${\bf W}_1, {\bf W}_2$ jsou dvě variety v ${\bf R}^n$,
 +
${\bf W}_1={\vec {\bf a}}^{(1)}+{\cal Z}({\bf W}_1)$,\\
 +
${\bf W}_2={\vec {\bf a}}^{(2)}+{\cal Z}({\bf W}_2)$.
 +
Potom
 +
$\rho({\bf W}_1,{\bf W}_2)=
 +
\rho\Bigl({\vec {\bf a}}^{(1)}-{\vec {\bf a}}^{(2)},{\cal Z}({\bf
 +
W}_1)+{\cal Z}({\bf W}_2)\Bigr)$.
 +
 +
{\bf Důkaz}:\\
 +
$\rho({\bf W}_1,{\bf W}_2)=
 +
$inf\,$\Bigl\{\Vert{\vec {\bf x}}-{\vec {\bf y}}\Vert
 +
\enspace\vert\enspace
 +
{\vec {\bf x}}\in{\bf W}_1, {\vec {\bf y}}\in{\bf W}_2\Bigr\}
 +
=\\
 +
=$inf\,$\Bigl\{\Vert{\vec {\bf a}}^{(1)}+{\vec {\bf x}}^{(1)}-{\vec {\bf
 +
a}}^{(2)}-{\vec {\bf x}}^{(2)}\Vert\enspace\vert\enspace
 +
{\vec {\bf x}}^{(1)}\in{\cal Z}({\bf W}_1), {\vec {\bf
 +
x}}^{(2)}\in{\cal Z}({\bf W}_2)\Bigr\}=\\=
 +
$inf\,$\Bigl\{\Vert{\vec {\bf a}}^{(1)}-{\vec {\bf a}}^{(2)}+{\vec {\bf
 +
p}}\Vert\enspace\vert\enspace
 +
{\vec {\bf p}}\in{\cal Z}({\bf W}_1)+{\cal Z}({\bf
 +
W}_2)\Bigr\}=\\=
 +
\rho\Bigl({\vec {\bf a}}^{(1)}-{\vec {\bf a}}^{(2)}, {\cal Z}({\bf W}_1)+{\cal Z}({\bf
 +
W}_2)\Bigr)$.
 +
 +
 +
\end{document}

Verze z 1. 11. 2010, 18:53

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01LAB2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01LAB2Karel.brinda 1. 11. 201018:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázků
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 1. 11. 201018:54 header.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{01LAB2}
 
\begin{document}
 
{\large {\bf Hodnost matice}}
 
Připomeňme nejprve, že nadále dodržujeme úmluvu z minulého
semestru, že pokud neřekneme jinak, jsou vektorové prostory
konečné dimenze. Pokud užijeme pro prostor označení např. ${\bf
P}_n$, je tím implicitně řečeno, že prostor má dimenzi $n$.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť $m,n\in {\bf N}$ a {\bf A} je matice typu $m\times n$,
 
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{l}
a_{11}\ a_{12}\ \ldots \ a_{1n}\\
a_{21}\ a_{22}\ \ldots \ a_{2n}\\
\ldots  \\
a_{m1}\ a_{m2}\ \ldots \ a_{mn}
\end{array}\right) $.
 
Označme
${\cal E}_n=({\vec {\bf e}}^{(1)},{\vec {\bf e}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
e}}^{(n)})$
standardní bázi v ${\bf C}^n$.\\
{\bf Hodností matice} {\bf A} nazveme číslo $h({\bf
A})=$dim$[{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
e}}^{(n)}]_\lambda$\\
tj.
$h({\bf A})=$dim$\biggl [
\left(
\begin{array}
{@{}l@{}}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots  \\
a_{m1}
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}
{@{}l@{}}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots  \\
a_{m2}
\end{array}
\right),\cdots,
\left(
\begin{array}
{@{}l@{}}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots  \\
a_{mn}
\end{array}
\right)\biggl ]_\lambda=
$dim$[
{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) V definici jsme užili toho, že součin jakékoliv matice s $i$-tým
vektorem standardní báze je roven $i$-tému sloupci matice, tj.
${\bf A}{\vec {\bf e}}^{(i)}
=\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{1i}\\
a_{2i}\\
\vdots  \\
a_{mi}
\end{array}
\hspace{-2mm}
\right)$.\\
2) Méně korektně bychom tedy mohli říci, že h({\bf A}) je
maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice.
 
 
 
Následující věta nám dává odpověď na to, jak souvisejí pojmy {\bf
hodnost matice} a {\bf hodnost zobrazení}.
 
\newpage
 
{\bf Věta 31:}\\
Nechť ${\bf P}_n$ a ${\bf Q}_m$ jsou vektorové prostory nad
tělesem {\bf T} a
${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$.
Nechť
${\cal X}$ je báze ${\bf P}_{n}$ a
${\cal Y}$ je báze ${\bf Q}_{m}$.\\
Potom platí
$h({\cal A})=h(^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y})$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Označme
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}),
{\cal Y}=({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(m)})$.\\
Víme, že\\
$h({\cal A})=$dim${\cal A}({\bf P}_n)=$dim${\cal A}(
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda)=
$dim$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda.$
Víme také, že zobrazení, které každému vektoru ${\vec {\bf v}}\in
[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda$
přiřadí $m$-tici jeho souřadnic v bázi ${\cal Y}$, tj. vektor\\ $({\vec {\bf
v}})_{\cal Y}\in
[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda$,
je izomorfizmus mezi prostory
$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda$
a
$[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda$,
a proto mají oba prostory stejnou dimenzi (neboť jsou
izomorfní).\\
Vektory $({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(i)})_{\cal Y}$ pro $i\in{\hat n}$
jsou ovšem sloupce matice
$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$, a proto platí následující
rovnosti\\
$h({\cal A})=
$dim$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda=\\=
$dim$[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda=
h(^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y})$.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) {\bf Jak se spočte hodnost matice}
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&&&  \\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) ${\bf ?}
K tomu si stačí uvědomit, že hodnost je dimenze prostoru
generovaného souborem
$\Biggl(
\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots  \\
a_{m1}
\end{array}
\hspace{-2mm}\right),
\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots  \\
a_{m2}
JY2
\end{array}
\hspace{-2mm}\right),\cdots,
\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots  \\
a_{mn}
\end{array}
\hspace{-2mm}\right)\Biggr)$.
Stačí tedy z tohoto souboru generátorů vybrat bázi a zjistit,
kolik má členů. K tomu stačí ekvivalentními úpravami řádků
převést matici {\bf A} do horního stupňovitého tvaru a zjistit
počet hlavních sloupců.\\
2) Všimneme si, že z předchozí poznámky plyne, že ekvivalentními
úpravami řádků se hodnost matice nemění.
 
\newpage
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$,
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&&&  \\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) $.
 
Označme
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ matici typu $n\times m$,
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}=
\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{m1}\\
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{m2}\\
\ldots&&&  \\
a_{1n}& a_{2n}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) $.
 
Matice ${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ se nazývá {\bf matice transponovaná k
matici} {\bf A}.
 
Bez důkazu uvedeme následující větu.
 
{\bf Věta 32:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$.
Pak $h({\bf A})=h({\bf A}\hspace{-1mm}^{\top})$.
 
{\bf Důsledek:}\\
Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice je roven
maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice.
 
{\large {\bf Vztah matic a lineárních zobrazení}}
 
Zatím víme, že je-li dán vektorový prostor ${\bf P}_n$ nad {\bf
C} s bází
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
a vektorový prostor ${\bf Q}_m$ nad {\bf
C} s bází
${\cal Y}=({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(m)})$,
je každému zobrazení ${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$
přiřazena matice $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$
typu $m\times n$, pro kterou platí
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}=^{\cal X}\hspace{-7pt}{\cal A}^{\cal
Y}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$,
tj. je-li dáno zobrazení, báze definičního oboru a báze oboru
hodnot, je tomuto zobrazení jednoznačně přiřazena komplexní
matice, která umožňuje snadno spočítat souřadnice obrazu
vektoru ${\vec {\bf x}}$.\\
Snadno si rozmyslíme, že i naopak, je-li dána komplexní matice
{\bf A}
typu $m\times n$ a vektorové prostory (nad {\bf C}) dimenze $n$
resp. $m$ s bázemi ${\cal X}$ resp. ${\cal Y}$, existuje právě jedno zobrazení
${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$,
které ji má za svou matici zobrazení, tj. platí
{\bf A}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$.
Je to zobrazení, které vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}_n$
přiřadí vektor ${\cal A}{\vec {\bf x}}\in{\bf Q}_m$, pro který
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$
(tj. souřadnice vektoru ${\cal A}{\vec {\bf x}}$ se získají jako
součin matice {\bf A} s maticí $({\vec {\bf x}})_{\cal X}$).\\
Tomuto zobrazení budeme říkat {\bf zobrazení určené maticí A při
bázích ${\cal X}, {\cal Y}$}.
 
Ukážeme, že takto definované zobrazení je lineární:\\
(a) {\bf aditivita}\\
Naše zobrazení přiřadí vektoru ${\vec {\bf x}}$
vektor ${\cal A}{\vec {\bf x}}$, pro který
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal
X}$,\\
vektoru ${\vec {\bf y}}$
vektor ${\cal A}{\vec {\bf y}}$, pro který
$({\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf y}})_{\cal
X}$,\\
a vektoru ${\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$
vektor ${\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})$, pro který
$({\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}))_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})_{\cal
X}$.\\
Z toho plyne, že platí\\
$({\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}))_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})_{\cal
X}=
{\bf A}(({\vec {\bf x}})_{\cal X}+({\vec {\bf y}})_{\cal X})=
{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}+{\bf A}({\vec {\bf y}})_{\cal
X}=\\
=({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}+({\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal
Y}=
({\cal A}{\vec {\bf x}}+{\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal
Y}$,\\
a tedy platí také
${\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})={\cal A}{\vec {\bf x}}+{\cal A}{\vec {\bf
y}}$.\\
(b) {\bf homogenita} se dokáže analogicky.\\
(c) {\bf jednoznačnost} zobrazení plyne z toho, že obrazy vektorů
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)}$
jsou dány jednoznačně (věta 19).\\
(d) {\bf vztah}
{\bf A}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$
plyne z toho, že pro $j$-tý sloupec matice {\bf A} platí\\
${\bf A}_{\bullet j}={\bf A}{\vec {\bf e}}^{(j)}={\bf A}({\vec {\bf
x}}^{(j)})_{\cal X}=({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(j)})_{\cal Y}.$\\
Podobně, je-li dán vektorový prostor ${\bf P}_n$ nad {\bf C} a
báze
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$,
existuje ke každé čtvercové matici řádu $n$ operátor ${\cal A}$
tak, že $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}$={\bf A}. Tomuto
operátoru budeme říkat {\bf operátor určený maticí A} při bázi
${\cal X}$.
 
{\bf Poznámka:}\\
Při prostorech nad tělesem {\bf R} zavedeme stejné pojmy pro
reálné matice.
 
{\bf Úvaha:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $h({\bf A})=n$.
Nechť ${\cal A}$ je operátor z ${\cal L}({\bf P}_n)$ určený maticí
{\bf A} při bázi ${\cal X}$.
Pak podle věty 31 je také $h({\cal A})=n$,\\ tj. dim${\cal A}({\bf
P}_n)=n \Longrightarrow {\cal A}({\bf P}_n)={\bf P}_n$.\\
${\cal A}$ je tedy epimorfní \quad
$\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 23)}}}{\Longrightarrow}$ \quad
${\cal A}$ je {\bf regulární} operátor.\\
Máme tedy důvod zavést definici
 
{\bf Definice:}\\
Čtvercová matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf regulární},
platí-li $h({\bf A})=n$. V ostatních případech se nazývá {\bf
singulární}.
 
{\bf Poznámka:}\\
Matice {\bf A} je regulární \quad $\Longleftrightarrow$ \quad zobrazení
určené maticí {\bf A} je regulární operátor, resp. izomorfizmus.
 
\newpage
 
{\bf Úvaha:}\\
Nechť {\bf B} je matice typu $m\times n$, {\bf A} typu $p\times
m$.\\
\begin{tabular}{r} Jsou dány prostory ${\bf P}_n$ nad {\bf C} s
bází ${\cal X},$\\
${\bf Q}_m$ nad {\bf C} s bází ${\cal Y},$\\
${\bf V}_p$ nad {\bf C} s bází ${\cal Z}.$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{r}
Nechť
${\cal B}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$ je zobrazení
určené maticí {\bf B} při bázích ${\cal X},{\cal Y}$,\\
${\cal A}\in{\cal L}({\bf Q}_{m},{\bf V}_{p})$ je zobrazení
určené maticí {\bf A} při bázích ${\cal Y},{\cal Z}$.
\end{tabular}\\
Pak platí
{\bf B}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal B}^{\cal Y}$,
{\bf A}=$^{\cal Y}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Z}$, a tedy
{\bf A}{\bf B}=$
\,^{\cal Y}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Z}$$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal B}^{\cal Y}
\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 30)}}}{=}\,
^{\cal X}\hspace{-2pt}({\cal A}{\cal B})^{\cal Z}$.\\
{\bf A}{\bf B} je tedy matice složeného zobrazení ${\cal A}{\cal
B}$ v bázích ${\cal X},{\cal Z}$. Podle věty 27 víme, že
$h({\cal A}{\cal B})\le$min$(h({\cal A}),h({\cal B}))$, a že když
je ${\cal A}$ nebo ${\cal B}$ izomorfní nastávají rovnosti.\\
Důsledkem těchto úvah je věta
 
{\bf Věta 33:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $p\times m$ a {\bf B} matice typu
$m\times n$. Potom\\
1) $h({\bf A}{\bf B})\le$min$\{h({\bf A}),h({\bf B})\}$,\\
2) je-li $p=m$ a {\bf A} regulární matice, je $h({\bf A}{\bf
B})=h({\bf B})$,\\
3) je-li $m=n$ a {\bf B} regulární matice, je $h({\bf A}{\bf
B})=h({\bf A})$.
 
{\bf Úvaha:}\\
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$, {\bf P}$_n$ vektorový
prostor nad {\bf C} s bází
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
a  ${\cal A}$ je operátor určený maticí {\bf A} při bázi ${\cal
X}$ (tj. $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}$={\bf A}).\\
Z předchozího víme, že ${\cal A}$ je regulární operátor, proto k
němu existuje inverzní operátor ${\cal A}^{-1}$ a platí
${\cal A}^{-1}({\cal A}{\vec {\bf x}})={\vec {\bf x}}$ pro každý
vektor  ${\vec {\bf x}}\in${\bf P}$_n$.\\
Označme ${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}$ matici operátoru ${\cal A}^{-1}$ v bázi
${\cal X}$.\\ Dokážeme, že platí {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}.\\
Pro každý vektor ${\vec {\bf x}}\in${\bf P}$_n$ platí \\
$({\vec {\bf x}})_{\cal X}=({\cal A}^{-1}({\cal A}{\vec {\bf x}})
)_{\cal X}\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 28)}}}{=}
\,^{\cal X}({\cal A}^{-1})({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal X}
\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 28)}}}{=}
\,^{\cal X}({\cal A}^{-1})\,^{\cal X}\hspace{-3pt}{\cal A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}
={\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$.
Užijeme-li vztahu
$({\vec {\bf x}})_{\cal X}=
{\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$
pro volbu ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf x}}^{(i)}$, kde $i\in{\hat
n}$, dostaneme
${\vec {\bf e}}^{(i)}=
{\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(i)}$,
což znamená, že $i$-tý sloupec matice ${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf
A}$ je roven ${\vec {\bf e}}^{(i)}$, a tedy
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}.\\
Platí ovšem silnější tvrzení.
 
 
{\bf Věta 34:}\\
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$. Pak existuje právě
jedna čtvercová matice {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ řádu $n$ tak,
že platí\\
\hspace*{20mm} {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf I}={\bf A}{\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{20mm}$(\star)$\\
Tato matice se nazývá {\bf matice inverzní} k matici {\bf A}.
 
{\bf Důkaz:}\\
Existence
matice {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ řádu $n$ s vlastností
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf I}
již byla dokázána.\\
Podle věty 33 je $h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})=h({\bf I})=n$ a
tedy {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ je regulární. Podle
předcházející úvahy i k ní existuje matice {\bf B} tak, že
{\bf B}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}.\\
Platí {\bf B}={\bf B}{\bf I}={\bf B}{\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}{\bf A}={\bf A}. Platí tedy také
{\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}.\\
Jednoznačnost inverzní matice dokážeme sporem.\\
Nechť např. existuje matice {\bf C}$\neq${\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
tak, že {\bf C}{\bf A}={\bf I}. Potom platí \\{\bf C}={\bf C}{\bf
I}={\bf C}{\bf
A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$.
A to
je spor.
 
{\bf Poznámka:}\\
Je zřejmé, že mluvit o inverzní matici {\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
splňující vztahy $(\star)$ má smysl pouze pro regulární matice {\bf
A}. Jinak taková matice nemůže existovat.\\
Připusťme na chvíli, že matice {\bf A} by byla typu $m\times n$.
Aby měly smysl součiny {\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
a {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}
je nutné, aby platilo, že {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ je typu
$n\times m$ a z rovnosti\\
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
plyne $m=n$. Matice {\bf A} je tedy nutně čtvercová.\\
Z $(\star)$ a z věty 33 plyne $n=h({\bf I})\le$min$\{h({\bf
A}),h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})\}$, a tedy\\
$h({\bf A})=h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})=n$, takže obě matice
jsou regulární.
 
{\bf Věta 35:}\\
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou regulární matice řádu $n$. Pak také
matice {\bf A}{\bf B} je regulární a platí ({\bf A}{\bf
B})$^{-1}={\bf B}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}\hspace{-1pt}^{-1}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Neboť $h({\bf A}{\bf B})\stackrel{{\mbox {\tiny (věta
33)}}}{=}h({\bf A})=n$ je matice {\bf A}{\bf B} regulární. Z
asociativního zákona plyne
({\bf A}{\bf B})({\bf B}\hspace{-1pt}$^{-1}${\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$)={\bf I} a
({\bf B}\hspace{-1pt}$^{-1}${\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$)({\bf A}{\bf B})={\bf I}.
 
{\bf Poznámka:}\\
Zřejmě platí {\bf I}$^{-1}$={\bf I} a pro každé číslo $\alpha\neq
0$ platí $(\alpha{\bf A})\hspace{-1pt}^{-1}=\frac{1}{\alpha}{\bf
A}\hspace{-3pt}^{-1}$.
 
{\bf Věta 36:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $n\times m$ a {\bf B} matice typu
$m\times p$. Pak ({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}$^{\top}={\bf
B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf A}\hspace{-3pt}^{\top}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Označme
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1m}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2m}\\
\ldots&&&  \\
a_{n1}& a_{n2}& \ldots & a_{nm}
\end{array}\right) $ a
{\bf B}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
b_{11}& b_{12}& \ldots & b_{1p}\\
b_{21}& b_{22}& \ldots & b_{2p}\\
\ldots&&&  \\
b_{m1}& b_{m2}& \ldots & b_{mp}
\end{array}\right) $,\\
a tedy
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{\top}$=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{n1}\\
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{n2}\\
\ldots&&&  \\
a_{1m}& a_{2m}& \ldots & a_{nm}
\end{array}\right) $
,
{\bf B}\hspace{-2pt}$^{\top}$=
$\left(
\begin{array}
{llll}
b_{11}& b_{21}& \ldots & b_{m1}\\
b_{12}& b_{22}& \ldots & b_{m2}\\
\ldots&&&  \\
b_{1p}& b_{2p}& \ldots & b_{mp}
\end{array}\right) $.
 
Ukážeme, že matice
({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}$^{\top}$
a matice ${\bf B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf A}\hspace{-3pt}^{\top}$
mají na místě $(i,j)$, $i\in{\hat p}$, $j\in{\hat n}$ stejné
prvky.\\
$[({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}^{\top}]_{ij}=[{\bf A}{\bf
B}]_{ji}=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+\ldots+a_{jm}b_{mi}$.\\
$[{\bf B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf
A}\hspace{-3pt}^{\top}]_{ij}=b_{1i}a_{j1}+b_{2i}a_{j2}+\ldots+b_{mi}a_{jm}$.
 
{\large {\bf Řešení soustav lineárních algebraických rovnic}}
 
V tomto odstavci se zabýváme otázkou, kdy má soustava
 
\hspace*{10mm}
$\begin{array}
{l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_{1}\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_{2}\\
\ldots&&&&&&&& \\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_{m}
 
\end{array}$
\hspace{30mm} $(\star)$
 
řešení a jak vypadá množina všech řešení.\\
Přitom předpokládáme, že jsou dostatečně známy pojmy {\bf matice
soustavy}, {\bf rozšířená matice soustavy}, {\bf řešení
soustavy}, {\bf sloupec pravých stran}, {\bf homogenní soustava}
a dále fakt, že označíme-li\\
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&&&  \\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) $,
${\vec {\bf x}}=
\left(
\begin{array}
{l}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots  \\
x_{n}
\end{array}
\right) $ a
${\vec {\bf b}}=
\left(
\begin{array}
{l}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots  \\
b_{m}
\end{array}
\right) $,\\
můžeme pro soustavu $(\star)$ použít úsporného zápisu
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 
Vyčerpávající odpověď na zmíněné problémy dává následující věta
 
{\bf Věta 37:}(Frobeniova)\\
(1) Soustava $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
je řešitelná, právě když $h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf
b}}))$.\\
(2) Označme $h({\bf A})=h$.
Označme ${\bf S}_0$ množinu všech řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.
Pak ${\bf S}_0\subset\subset {\bf C}^n$ a dim ${\bf S}_0=n-h$,
tj.\\
\hspace*{2mm} (a) pro $h=n$ je ${\bf S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$,\\
\hspace*{2mm} (b) pro $h<n$ existuje $n-h$ lineárně nezávislých řešení
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}$
a
${\bf S}_0=[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}]_\lambda$.\\
(3) Je-li $h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf b}}))=h$ a
označíme-li {\bf S} množinu všech řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$,
je {\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$, kde jsme  ${\vec{\tilde {\bf
x}}}$ označili nějaké pevné (tzv. partikulární) řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
(1) Protože
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda
\subset\subset
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf
b}}]_\lambda$\\
vyplývá z věty 12, že\\
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda
\Longleftrightarrow
h({\bf A})=h({\bf A},{\vec {\bf b}})$.\\
Stačí tedy dokázat ekvivalenci:\\
soustava
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
je řešitelná $\Longleftrightarrow
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.\\
To je ovšem snadné.\\
Existuje-li totiž řešení
${\vec {\bf x}}=
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots  \\
x_{n}
\end{array}\hspace{-5pt}
\right) $
soustavy $(\star)$, pak\\
$x_1\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots  \\
a_{m1}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right)+x_2
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots  \\
a_{m2}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right)+
\ldots+x_n
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots  \\
a_{mn}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right)=
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots  \\
b_{m}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $,\\
tj.
${\vec {\bf b}}=
x_1{\bf A}_{{\bullet}1}+
x_2{\bf A}_{{\bullet}2}+\ldots+x_n{\bf A}_{{\bullet}n}$,
tj.
${\vec {\bf b}}\in [{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$,
a tedy podle věty 2 je
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.\\
Naopak, platí-li poslední rovnost, je
${\vec {\bf b}}\in [{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$,
tj. existují čísla $x_1, x_2,\ldots,x_n$ tak, že
${\vec {\bf b}}=
x_1{\bf A}_{{\bullet}1}+
x_2{\bf A}_{{\bullet}2}+\ldots+x_n{\bf A}_{{\bullet}n}$,
a tedy vektor
${\vec {\bf x}}=
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots  \\
x_{n}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $
řeší soustavu $(\star)$.
 
 
(2) Označme ${\cal A}$ zobrazení z ${\cal L}({\bf C}^n,{\bf
C}^m)$ určené maticí {\bf A} při standardních bázích, tj. takové,
že {\bf A}=$^{{\cal E}_n}\hspace{-3pt}{\cal A}\hspace{-1pt}^{{\cal
E}_m}$. Podle věty 31 je $h=h({\bf A})=h({\cal A})$.\\Platí
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}\Longleftrightarrow
({\cal A}{\vec {\bf x}})_{{\cal E}_m}=^{{\cal E}_n}\hspace{-5pt}{\cal A}\hspace{-1pt}^{{\cal
E}_m}({\vec {\bf x}})_{{\cal E}_n}={\vec {\bf o}}\Longleftrightarrow
{\cal A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
Řešením rovnice
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
jsou tedy právě všechny vektory z jádra zobrazení ${\cal A}$, a
proto dim\,{\bf S}$_0=d({\cal A})$. Podle druhé věty o dimenzi je
tedy dim\,{\bf S}$_0=n-h$.
 
(3) Podle dokázané první části věty existuje nějaké řešení
${\vec{\tilde {\bf x}}}$ splňující rovnici
${\bf A}{\vec{\tilde {\bf x}}}={\vec {\bf b}}$, tj.
${\cal A}{\vec{\tilde {\bf x}}}={\vec {\bf b}}$ a
{\bf S} (tj. množina všech řešení soustavy
${\bf A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$)
je množina všech řešení rovnice
${\cal A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$ (zdůvodnění je stejné
jako v odstavci (2)). Podle věty 21 je
{\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+ker{\cal A}=
{\vec{\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$.
 
{\bf Důsledek 1:}\\
Homogenní soustava
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
má vždy řešení, neboť
$h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf o}}))$.\\
(O tom se ale můžeme snadno přesvědčit dosazením ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf
o}}$.)\\
{\bf Důsledek 2:}\\
Soustava
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
se čtvercovou maticí {\bf A} řádu $n$ má právě jedno řešení, právě
když {\bf A} je regulární. Řešením je vektor
${\vec {\bf x}}={\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
{\bf Důkaz:}\\
a) Nechť {\bf A} je regulární $\Rightarrow$ $h({\bf A})=n$ $\Rightarrow$
$h({\bf A}\vert {\vec {\bf b}})=n$ (neboť větší být nemůže)
$\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 37)}}}{\Longrightarrow}$
existuje řešení a {\bf S}$_0=\{{\vec {\bf o}}\}$
$\Rightarrow$ řešení je právě jedno.\\
b) Nechť existuje právě jeden vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}$ tak,
že  {\bf A}${\vec {\bf x}}^{(0)}={\vec {\bf b}}$. Podle věty 37
je množina řešení {\bf S}=${\vec {\bf x}}^{(0)}+{\bf S}_0$, a tedy
${\bf S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$, tj. dim\,{\bf S}$_0$=0. Protože\\
dim\,{\bf S}$_0=n-h({\bf A})$, je $h({\bf A})=n$, tj. {\bf A} je
regulární.\\
Dosazením se můžeme přesvědčit, že řešením je vektor
${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
 
{\bf Technika řešení soustavy lineárních algebraických rovnic}
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$\\
(Gaussova eliminační metoda.)\\
 
Označme $n$ počet neznámých. Řešení soustavy nalezneme
následujícím postupem:
 
1) Rozšířenou matici soustavy převedeme ekvivalentními úpravami
řádků do horního stupňovitého tvaru.
 
2) Zjistíme hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice
soustavy. Když se liší (tj. sloupec pravých stran je hlavní),
není soustava řešitelná.
 
3) V případě, že
$h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf b}}))$
nalezneme $n-h$ lineárně nezávislých řešení
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}$
homogenní soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
To uděláme tak, že za $n-h$ neznámých odpovídajících vedlejším
sloupcům dosadíme $(n-h)$-tice čísel tak, abychom si po dopočtení
zbývajících neznámých vynutili lineární nezávislost výsledných
vektorů. Doporučené volby jsou např.\\
\centerline{
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
1\\
0\\
\vdots \\
0
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $,
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
0\\
1\\
\vdots \\
0
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $,
$\ldots$,
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
0\\
0\\
\vdots \\
1
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $.}\\
Je zřejmé, že pokud takto zvolíme složky řešení odpovídající
vedlejším sloupcům a zbývající složky dopočteme, budou výsledná
řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
lineárně nezávislá.
 
4) Najdeme partikulární řešení ${\vec{\tilde {\bf x}}}$
soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
K tomu stačí zvolit složky odpovídající vedlejším sloupcům
libovolně (připadá v úvahu\\ i volba
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
0\\
0\\
\vdots \\
0
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $)
a zbývající složky řešení dopočteme. Podle věty 37 je množina
řešení
{\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}]_\lambda$.\\
Každý vektor tvaru\\
\hspace*{15mm} ${\vec {\bf x}}={\vec{\tilde {\bf x}}}+t_1{\vec {\bf
x}}^{(1)}+t_2{\vec {\bf x}}^{(2)}+\ldots+t_{n-h}{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}, \hspace{25mm} (\star)$\\
kde $t_i\in{\bf C}$ pro $i\in{\widehat {n-h}}$, je řešením soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
a naopak, je-li ${\vec {\bf x}}\in{\bf S}$, existují komplexní
parametry $t_1,t_2,\ldots,t_{n-h}$ tak, že platí $(\star)$.\\
Proto je zvykem říkat výrazu $(\star)$ {\bf obecné řešení
soustavy}
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.\\
Pokud jde o soustavu s reálnými koeficienty a zajímají nás jen
reálná řešení, provádíme samozřejmě vše \uv{reálně}, tj. i parametry
$t_1,t_2,\ldots,t_{n-h}$ volíme reálné.
 
 
{\bf Poznámka:}\\
Je-li počet neznámých roven hodnosti matice (což nastane
např. když matice {\bf A} je regulární), jsou po převodu na horní
stupňovitý tvar všechny sloupce hlavní, odpadá krok 3) a ${\bf
S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$.
 
 
{\large {\bf Výpočet součinu A\hspace{-3pt}$^{-1}$B}}\\
{\bf Pomocná věta:}\\
Nechť {\bf C} je matice typu $n\times p$,
{\bf C}=
$\left(
\begin{array}
{l}
c_{11}\ c_{12}\ \ldots \ c_{1p}\\
c_{21}\ c_{22}\ \ldots \ c_{2p}\\
\ldots  \\
c_{n1}\ c_{n2}\ \ldots \ c_{np}
\end{array}\right) $.
Provedeme-li ekvivalentní úpravu řádků matice {\bf C}, je
výsledná matice rovna matici {\bf T}{\bf C}, kde {\bf T} je
čtvercová matice řádu $n$, která z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$
vznikla stejnou ekvivalentní úpravou.
 
{\bf Důkaz:}\\
Platnost je třeba dokázat pro všechny tři typy ekvivalentní
úpravy.\\
(a) Prohodíme-li $i$-tý a $j$-tý řádek matice {\bf I}, dostaneme
matici {\bf T} tvaru\\ {\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}}
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&&1
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c@{}}
\\[6.9mm]
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek \\[-1mm]
\\[2.4mm]
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek \\[-1mm]
\\[-0.1mm]
\\
\\[-1mm]
\\[-1mm]
\end{tabular}}\\
 
Uvědomíme-li si, jak se násobí matice, je
výsledek součinu {\bf T}{\bf C} zřejmý\\ z následujícího obrázku
($i$-tý a $j$-tý řádek matice {\bf C} se prohodí)\\
 
{\scriptsize
\begin{tabular}
{|@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}|}
\hline
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&&&&&\\[-1mm]
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&&&&&\\[-1mm]
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&&1\\
\hline
\end{tabular}}
$\cdot$
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[3.1mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{18mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[3.7mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{22mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[3.3mm]
\hline
\end{tabular}}
=
\hspace{-30mm}{\Large {\bf C}}
\hspace{25mm}
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[3.1mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$bývalý $j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{18mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[4mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$bývalý $i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{22mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[3.3mm]
\hline
\end{tabular}}
 
Sledujeme-li totiž, jak se mění při násobení maticí {\bf T}
jednotlivé řádky matice {\bf C},
zjistíme, že se změnily jen řádky obsazené textem.
 
(b) Násobíme-li $i$-tý řádek matice {\bf I} číslem $\alpha$, dostaneme
matici {\bf T} tvaru\\[-10mm] {\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}}
%{ccccccccccc}
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&