01FA2:Kapitola9
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 01:31, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Hilbert-Schmidtovy operátory} \begin{define} $A\in\B(\H)$ je Hilbert-Schmidtův operátor, právě když existuje ON báze $\{x_n\}$ v...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 10:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 20:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 09:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 10:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 01:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 11:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Hilbert-Schmidtovy operátory} \begin{define} $A\in\B(\H)$ je Hilbert-Schmidtův operátor, právě když existuje ON báze $\{x_n\}$ v~$\H$ taková, že $\sum_n\norm{Ax_n}^2<\infty$. \end{define} \begin{lemma} Je-li $A\in\B(\H)$ a $\{x_n\}$ a $\{y_k\}$ jsou ON báze v~$\H$, potom $\sum_n\norm{Ax_n}^2=\sum_k\norm{Ay_k}^2$. \begin{proof} \[\begin{split} \sum_n\norm{A x_n}^2&=\sum_n(A x_n,Ax_n)= \sum_n\sum_k(Ax_n,y_k)(y_k,Ax_n)=\\ &=\sum_n\sum_k\abs{(Ax_n,y_k)}^2= \sum_k\sum_n\abs{(x_n,A^*y_k)}^2= \sum_k\norm{A^* y_k}^2. \end{split}\] \end{proof} \end{lemma} \begin{dusl} Hilbert-Schmidtova norma \[\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}=\norm{A}_2\] nezávisí na volbě ON báze. Navíc $\norm{A}_2=\norm{A^*}_2$. \end{dusl} \begin{define} Prostor Hilbert-Schmidtových operátorů značíme $\I_2\subset\B(\H)$, pro $A,B\in\I_2$ definujeme \[(A,B)_2=\sum_n(Ax_n,Bx_n),\] kde $\{x_n\}$ je ON báze. \end{define} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item $\I_2$ je vektorový prostor, \item Pro každé $A,B\in\I_2$ je $(A,B)\in\C$ a nezávisí na volbě $\{x_n\}$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Buďte $A,B\in\I_2$. Pak \[\sum_n\norm{(A+B)x_n}^2\le\sum_n(\norm{Ax_n}+\norm{Bx_n})^2\le 2\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2+\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)<\infty.\] \item Platí odhad \[\begin{split} \sum_n(Ax_n,Bx_n)&\le\sum_n\abs{(Ax_n,Bx_n)}\le \sum_n\norm{Ax_n}\norm{Bx_n}\le\\ &\le\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2} \left(\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)^{1/2}<\infty. \end{split}\] Dále platí rovnost \[\begin{split} (A,B)_2&=\sum_n(Ax_n,Bx_n)= \sum_n\sum_k(Ax_n,y_k)(y_k,Bx_n)=\\ &=\sum_k\sum_n(B^*y_k,x_n)(x_n,A^*y_k)= \sum_k(B^*y_k,A^*y_k)=(B^*,A^*)_2. \end{split} \] Konvergence sum plyne ze Schwarzovy nerovnosti: \[\begin{split} \sum_n\sum_k\abs{(Ax_n,y_k)}\abs{(y_k,Bx_n)}&\le \left(\sum_n\sum_k\abs{(Ax_n,y_k)}^2\right)^{1/2}\\ &\quad\cdot\left(\sum_n\sum_k\abs{(y_k,Bx_n)}^2\right)^{1/2}. \end{split}\] Z~polarizační formule a předchozí věty plyne rovnost \[ \sum_k(B^*y_k,A^*y_k)=\sum_k(Ay_k,By_k).\qed \] \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem}