01FA2:Kapitola9

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:31, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Hilbert-Schmidtovy operátory} \begin{define} $A\in\B(\H)$ je Hilbert-Schmidtův operátor, právě když existuje ON báze $\{x_n\}$ v...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01FA2Gromadan 30. 9. 201513:24
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůGromadan 30. 9. 201513:40
Header editovatHlavičkový souborGromadan 30. 9. 201513:44 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodKubuondr 8. 6. 201808:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatFundamentální věty funkcionální analýzyKubuondr 1. 6. 201809:49 kapitola1.tex
Kapitola10 editovatHolomorfní vektorové funkceKubuondr 4. 6. 201819:19 kapitola2.tex
Kapitola2 editovatSpektrum uzavřeného operátoruKubuondr 2. 6. 201808:16 kapitola3.tex
Kapitola3 editovatSpektrální rozklad pro samosdružené omezené operátoryKubuondr 8. 6. 201808:13 kapitola4.tex
Kapitola8 editovatKompaktní operátoryGromadan 30. 9. 201513:35 kapitola5.tex
Kapitola9 editovatHilbert--Schmidtovy operátoryGromadan 30. 9. 201513:33 kapitola6.tex
Kapitola5 editovatNeomezené operátoryKubuondr 6. 2. 201909:05 kapitola7.tex
Kapitola6 editovatNormální operátoryAdmin 1. 8. 201000:30 kapitola8.tex
Kapitola7 editovatSamosdružené rozšíření symetrických operátorůKubuondr 8. 2. 201910:08 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Hilbert-Schmidtovy operátory}
 
\begin{define}
  $A\in\B(\H)$ je Hilbert-Schmidtův operátor, právě když existuje ON
  báze $\{x_n\}$ v~$\H$ taková, že $\sum_n\norm{Ax_n}^2<\infty$.
\end{define}
 
\begin{lemma}
  Je-li $A\in\B(\H)$ a $\{x_n\}$ a $\{y_k\}$ jsou ON báze v~$\H$,
  potom $\sum_n\norm{Ax_n}^2=\sum_k\norm{Ay_k}^2$.
  \begin{proof}
    \[\begin{split}
      \sum_n\norm{A x_n}^2&=\sum_n(A x_n,Ax_n)=
      \sum_n\sum_k(Ax_n,y_k)(y_k,Ax_n)=\\
      &=\sum_n\sum_k\abs{(Ax_n,y_k)}^2=
      \sum_k\sum_n\abs{(x_n,A^*y_k)}^2=
      \sum_k\norm{A^* y_k}^2.
    \end{split}\]
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{dusl}
  Hilbert-Schmidtova norma
  \[\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}=\norm{A}_2\]
  nezávisí na volbě ON báze. Navíc $\norm{A}_2=\norm{A^*}_2$.
\end{dusl}
 
\begin{define}
  Prostor Hilbert-Schmidtových operátorů značíme $\I_2\subset\B(\H)$,
  pro $A,B\in\I_2$ definujeme
  \[(A,B)_2=\sum_n(Ax_n,Bx_n),\]
  kde $\{x_n\}$ je ON báze.
\end{define}
 
\begin{theorem}
  \begin{enumerate}
  \item $\I_2$ je vektorový prostor,
  \item Pro každé $A,B\in\I_2$ je $(A,B)\in\C$ a nezávisí na volbě
    $\{x_n\}$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Buďte $A,B\in\I_2$. Pak
      \[\sum_n\norm{(A+B)x_n}^2\le\sum_n(\norm{Ax_n}+\norm{Bx_n})^2\le
      2\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2+\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)<\infty.\]
      \item Platí odhad
        \[\begin{split}
          \sum_n(Ax_n,Bx_n)&\le\sum_n\abs{(Ax_n,Bx_n)}\le
          \sum_n\norm{Ax_n}\norm{Bx_n}\le\\
          &\le\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}
          \left(\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)^{1/2}<\infty.
          \end{split}\]
        Dále platí rovnost
        \[\begin{split}
          (A,B)_2&=\sum_n(Ax_n,Bx_n)=
          \sum_n\sum_k(Ax_n,y_k)(y_k,Bx_n)=\\
          &=\sum_k\sum_n(B^*y_k,x_n)(x_n,A^*y_k)=
          \sum_k(B^*y_k,A^*y_k)=(B^*,A^*)_2.
          \end{split}
        \]
        Konvergence sum plyne ze Schwarzovy nerovnosti:
        \[\begin{split}
          \sum_n\sum_k\abs{(Ax_n,y_k)}\abs{(y_k,Bx_n)}&\le
          \left(\sum_n\sum_k\abs{(Ax_n,y_k)}^2\right)^{1/2}\\
          &\quad\cdot\left(\sum_n\sum_k\abs{(y_k,Bx_n)}^2\right)^{1/2}.
        \end{split}\]
        Z~polarizační formule a předchozí věty plyne rovnost
        \[
        \sum_k(B^*y_k,A^*y_k)=\sum_k(Ay_k,By_k).\qed
        \]
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}