01FA2:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:30, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Arzelova věta} \begin{define} Množina $S$ je tvořena stejně spojitými funkcemi, právě když \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01FA2Gromadan 30. 9. 201513:24
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůGromadan 30. 9. 201513:40
Header editovatHlavičkový souborGromadan 30. 9. 201513:44 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodKubuondr 8. 6. 201808:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatFundamentální věty funkcionální analýzyKubuondr 1. 6. 201809:49 kapitola1.tex
Kapitola10 editovatHolomorfní vektorové funkceKubuondr 4. 6. 201819:19 kapitola2.tex
Kapitola2 editovatSpektrum uzavřeného operátoruKubuondr 2. 6. 201808:16 kapitola3.tex
Kapitola3 editovatSpektrální rozklad pro samosdružené omezené operátoryKubuondr 8. 6. 201808:13 kapitola4.tex
Kapitola8 editovatKompaktní operátoryGromadan 30. 9. 201513:35 kapitola5.tex
Kapitola9 editovatHilbert--Schmidtovy operátoryGromadan 30. 9. 201513:33 kapitola6.tex
Kapitola5 editovatNeomezené operátoryKubuondr 6. 2. 201909:05 kapitola7.tex
Kapitola6 editovatNormální operátoryAdmin 1. 8. 201000:30 kapitola8.tex
Kapitola7 editovatSamosdružené rozšíření symetrických operátorůKubuondr 8. 2. 201910:08 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Arzelova věta}
 
\begin{define}
  Množina $S$ je tvořena stejně spojitými funkcemi, právě když
  \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall f\in S)
  (\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\epsilon).\]
\end{define}
 
\begin{theorem}[Arzela-Ascoli]
  Nechť $\Omega$ je kompaktní metrický prostor a $S\subset\c(\Omega)$. $S$
  je kompaktní, právě když je omezená, uzavřená a je tvořena stejně
  spojitými funkcemi.
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item ($\Rightarrow$) Buď $S$ kompaktní, potom protože je $\Omega$ kompaktní metrický prostor, tak je $S$ uzavřená a
      omezená. Zvolme $\epsilon>0$ libovolně pevně. Protože $S$ je
      v~metrickém prostoru, je i totálně omezená, tj. existuje konečná
      $\frac{\epsilon}{3}$-síť $\{f_1,\dots,f_m\}$, tj. pro každé
      $f\in S$ existuje $i$ tak, že $\norm{f-f_i}<\frac\epsilon3$.
      Protože funkcí $f_i$ je konečný počet a jsou spojité, existuje $\delta>0$
      takové, že pro každé $i\in\hat m$ platí
      $\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f_i(x)-f_i(y)}<\frac{\epsilon}{3}$.
      Pokud je $\abs{x-y}<\delta$, můžeme dále odhadnout
      $\abs{f(x)-f(y)}$ shora:
      \[\begin{split}
        \abs{f(x)-f(y)}&=\abs{f(x)-f_i(x)+f_i(x)-f_i(y)+f_i(y)-f(y)}\le\\
        &\le\abs{f(x)-f_i(x)}+\abs{f_i(x)-f_i(y)}+\abs{f_i(y)-f(y)}<
        \frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3=\epsilon.
      \end{split}\]
      Z~toho celkem plyne
      \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall f\in S)
      (\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\epsilon).\]
    \item ($\Leftarrow$) Protože $\c(\Omega)$ je úplný prostor, stačí k dokázání kompaktnosti
      ukázat, že každá posloupnost $f_k$ obsahuje cauchyovskou
      posloupnost. Z toho, že $\Omega$ kompaktní prostor plyne, že je separabilní, takže lze zvolit
      hustou spočetnou podmnožinu M. Z~omezenosti $S$ plyne existence
      $K$ takového, že pro každé $x\in\Omega$ a každé $f\in S$ je
      $\abs{f(x)}\le\norm{f}\le K$. Pro každé $x\in M$ je $f_k(x)$
      omezená číselná posloupnost a můžeme z~ní vybrat konvergentní číselnou
      posloupnost $f_k^{(1)}(x_1)$. Dále postupujeme induktivně ---
      z~$f_k^{(p)}$ vybereme $f_k^{(p+1)}$ tak, aby
      $f_k^{(p+1)}(x_{p+1})$ konvergovala.
 
      Tímto způsobem získáme posloupnost posloupností $f_k^{(p)}$,
      přičemž $f_k^{(p)}(x_j)$ je konvergentní pro $1\le j\le
      p$. Posloupnost $f_k^{(k)}$ konverguje ve všech $x_j$.
 
      Položme $g_p=f_p^{(p)}$. Z~definice stejné spojitosti pro
      $\epsilon>0$ existuje \\$\delta>0$ tak, že pro $f\in S$
      $\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\frac{\epsilon}3$.
      Protože $\Omega$ je kompaktní, existuje konečná
      $\frac{\delta}2$-síť $\{y_1,\dots,y_q\}$. Dále, protože $M$ je husté v $\Omega$
      existuje konečná podmnožina $\{x_{i_1},\dots,x_{i_q}\}\subset M$,
       že $\abs{x_{i_j}-y_j}<\frac{\delta}2$ a
      \[(\forall z\in\Omega)(\exists j)
      \left(\abs{z-x_{i_j}}\le\abs{z-y_j}+\abs{y_j-x_{i_j}}<
        \delta\right).\] 
      Tedy $\{x_{i_1},\dots,x_{i_q}\}$ je konečná $\delta$-síť. Buď
      $z\in\Omega$ libovolné. Potom existuje $j\in\hat q$ takové, že
      $\abs{z-z_j}<\delta$.  Jelikož číselná posloupnost $g_p(x_{i_j})$ je cauchyovská pro
      každé $j\in\hat q$, a protože je $q$ konečné,  pro dostatečně vysoká $p,r$ platí
      \[\begin{split}
        \abs{g_p(z)-g_r(z)}&=\abs{g_p(z)-g_p(x_{i_j})+g_p(x_{i_j})-
          g_r(x_{i_j})+g_r(x_{i_j})-g_r(z)}\le\\
        &\le\abs{g_p(z)-g_p(x_{i_j})}+\abs{g_p(x_{i_j})-g_r(x_{i_j})}+
        \abs{g_r(x_{i_j})-g_r(z)}<\\
        &<\frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3=\epsilon.
        \qed
      \end{split}\]
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}