01FA2:Kapitola8
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 01:30, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Arzelova věta} \begin{define} Množina $S$ je tvořena stejně spojitými funkcemi, právě když \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 10:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 20:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 09:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 10:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 01:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 11:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Arzelova věta} \begin{define} Množina $S$ je tvořena stejně spojitými funkcemi, právě když \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall f\in S) (\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\epsilon).\] \end{define} \begin{theorem}[Arzela-Ascoli] Nechť $\Omega$ je kompaktní metrický prostor a $S\subset\c(\Omega)$. $S$ je kompaktní, právě když je omezená, uzavřená a je tvořena stejně spojitými funkcemi. \begin{proof} \begin{enumerate} \item ($\Rightarrow$) Buď $S$ kompaktní, potom protože je $\Omega$ kompaktní metrický prostor, tak je $S$ uzavřená a omezená. Zvolme $\epsilon>0$ libovolně pevně. Protože $S$ je v~metrickém prostoru, je i totálně omezená, tj. existuje konečná $\frac{\epsilon}{3}$-síť $\{f_1,\dots,f_m\}$, tj. pro každé $f\in S$ existuje $i$ tak, že $\norm{f-f_i}<\frac\epsilon3$. Protože funkcí $f_i$ je konečný počet a jsou spojité, existuje $\delta>0$ takové, že pro každé $i\in\hat m$ platí $\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f_i(x)-f_i(y)}<\frac{\epsilon}{3}$. Pokud je $\abs{x-y}<\delta$, můžeme dále odhadnout $\abs{f(x)-f(y)}$ shora: \[\begin{split} \abs{f(x)-f(y)}&=\abs{f(x)-f_i(x)+f_i(x)-f_i(y)+f_i(y)-f(y)}\le\\ &\le\abs{f(x)-f_i(x)}+\abs{f_i(x)-f_i(y)}+\abs{f_i(y)-f(y)}< \frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3=\epsilon. \end{split}\] Z~toho celkem plyne \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall f\in S) (\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\epsilon).\] \item ($\Leftarrow$) Protože $\c(\Omega)$ je úplný prostor, stačí k dokázání kompaktnosti ukázat, že každá posloupnost $f_k$ obsahuje cauchyovskou posloupnost. Z toho, že $\Omega$ kompaktní prostor plyne, že je separabilní, takže lze zvolit hustou spočetnou podmnožinu M. Z~omezenosti $S$ plyne existence $K$ takového, že pro každé $x\in\Omega$ a každé $f\in S$ je $\abs{f(x)}\le\norm{f}\le K$. Pro každé $x\in M$ je $f_k(x)$ omezená číselná posloupnost a můžeme z~ní vybrat konvergentní číselnou posloupnost $f_k^{(1)}(x_1)$. Dále postupujeme induktivně --- z~$f_k^{(p)}$ vybereme $f_k^{(p+1)}$ tak, aby $f_k^{(p+1)}(x_{p+1})$ konvergovala. Tímto způsobem získáme posloupnost posloupností $f_k^{(p)}$, přičemž $f_k^{(p)}(x_j)$ je konvergentní pro $1\le j\le p$. Posloupnost $f_k^{(k)}$ konverguje ve všech $x_j$. Položme $g_p=f_p^{(p)}$. Z~definice stejné spojitosti pro $\epsilon>0$ existuje \\$\delta>0$ tak, že pro $f\in S$ $\abs{x-y}<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\frac{\epsilon}3$. Protože $\Omega$ je kompaktní, existuje konečná $\frac{\delta}2$-síť $\{y_1,\dots,y_q\}$. Dále, protože $M$ je husté v $\Omega$ existuje konečná podmnožina $\{x_{i_1},\dots,x_{i_q}\}\subset M$, že $\abs{x_{i_j}-y_j}<\frac{\delta}2$ a \[(\forall z\in\Omega)(\exists j) \left(\abs{z-x_{i_j}}\le\abs{z-y_j}+\abs{y_j-x_{i_j}}< \delta\right).\] Tedy $\{x_{i_1},\dots,x_{i_q}\}$ je konečná $\delta$-síť. Buď $z\in\Omega$ libovolné. Potom existuje $j\in\hat q$ takové, že $\abs{z-z_j}<\delta$. Jelikož číselná posloupnost $g_p(x_{i_j})$ je cauchyovská pro každé $j\in\hat q$, a protože je $q$ konečné, pro dostatečně vysoká $p,r$ platí \[\begin{split} \abs{g_p(z)-g_r(z)}&=\abs{g_p(z)-g_p(x_{i_j})+g_p(x_{i_j})- g_r(x_{i_j})+g_r(x_{i_j})-g_r(z)}\le\\ &\le\abs{g_p(z)-g_p(x_{i_j})}+\abs{g_p(x_{i_j})-g_r(x_{i_j})}+ \abs{g_r(x_{i_j})-g_r(z)}<\\ &<\frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3+\frac{\epsilon}3=\epsilon. \qed \end{split}\] \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem}