01FA2:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:29, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Projekční míra} Projekční míra je zobrazení $(-\infty,\lambda)\mapsto P_\lambda$. Buď $\mu<\lambda$, položme $\Delta=[\mu,\lambd...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01FA2Gromadan 30. 9. 201513:24
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůGromadan 30. 9. 201513:40
Header editovatHlavičkový souborGromadan 30. 9. 201513:44 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodKubuondr 8. 6. 201808:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatFundamentální věty funkcionální analýzyKubuondr 1. 6. 201809:49 kapitola1.tex
Kapitola10 editovatHolomorfní vektorové funkceKubuondr 4. 6. 201819:19 kapitola2.tex
Kapitola2 editovatSpektrum uzavřeného operátoruKubuondr 2. 6. 201808:16 kapitola3.tex
Kapitola3 editovatSpektrální rozklad pro samosdružené omezené operátoryKubuondr 8. 6. 201808:13 kapitola4.tex
Kapitola8 editovatKompaktní operátoryGromadan 30. 9. 201513:35 kapitola5.tex
Kapitola9 editovatHilbert--Schmidtovy operátoryGromadan 30. 9. 201513:33 kapitola6.tex
Kapitola5 editovatNeomezené operátoryKubuondr 6. 2. 201909:05 kapitola7.tex
Kapitola6 editovatNormální operátoryAdmin 1. 8. 201000:30 kapitola8.tex
Kapitola7 editovatSamosdružené rozšíření symetrických operátorůKubuondr 8. 2. 201910:08 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
 
\section{Projekční míra}
 
Projekční míra je zobrazení $(-\infty,\lambda)\mapsto P_\lambda$.
Buď $\mu<\lambda$, položme
$\Delta=[\mu,\lambda)=(-\infty,\lambda)\sm(-\infty,\mu)\mapsto
P_\lambda-P_\mu$. $P(\Delta)=P_\lambda-P_\mu=P_\lambda(I-P_\mu)$ je OG
projektor. Protože $P_\mu\le P_\lambda$, je $\Ran P_\mu\subset\Ran
P_\lambda$ a $\Ran P_\lambda=\Ran P_\mu\oplus\Ran(P_\lambda-P_\mu)$.
 
Uvažujme rozdělení $\nu=\{\nu_0,\nu_1,\dots,\nu_n\}$, $\nu_0\le m$,
$\nu_n>M$, $\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_n$, $\Delta_i=[\nu_{i-1},\nu_i)$ pro
$i=1,\dots,n$. Zvolíme libovolně $\tilde\nu_i\in\Delta_i$, označíme
\[A_\nu=\sum_{i=1}^n\tilde\nu_i P(\Delta_i)\in\B(\H),\quad
A_\nu^*=A_\nu.\]
 
Dále platí $P(\Delta_i)P(\Delta_j)=\delta_{ij}P(\Delta_i)$, neboť pro
$i<j$ je $\nu_{i-1}<\nu_i\le\nu_{j-1}<\nu_j$ a
$(P_{\nu_i}-P_{\nu_{i-1}})(P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}})=
P_{\nu_i}-P_{\nu_i}-P_{\nu_{i-1}}+P_{\nu_{i-1}}=0$. Analogicky pro
$i>j$.
 
Zřejmě platí
\[\sum_{i=1}^n P(\delta_i)=I.\]
 
\begin{remark}
  Mějme $\{P_j\}_{j=1}^n$ množinu OG projektorů,
  $P_iP_j=\delta_{ij}P_i$, $\sum_{j=1}^n P_j=I$,
  $\{\lambda_j\}_{j=1}^n\subset\C$. Potom
  \[\norm{\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j}=\max_{1\le j\le
    n}\{\abs{\lambda_j}\}.\]
  \begin{proof}
    Označme $X=\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j$. Pak
    \[\begin{split}
      \norm{Xu}^2&=(Xu,Xu)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n
      \overline{\lambda_i}\lambda_j(P_iu,P_ju)=
      \sum_{i=1}^n\abs{\lambda_i}^2(u,P_iu)\le\\
      &\le\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\sum_{i=1}^n(u,P_iu)=
      \left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\norm{u}^2,
    \end{split}
    \]
    neboť $(P_iu,P_ju)=(u,P_iP_ju)=\delta_{ij}(u,P_iu)$. Označme
    $\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}=\abs{\lambda_{j_0}}$ a zvolme
    $u\in\Ran P_{j_0}$. Pak $Xu=\lambda_{j_0}u$ a proto
    $\norm{X}=\abs{\lambda_{j_0}}$.
  \end{proof}
\end{remark}
 
Označme $d_\nu=\max_{1\le j\le n}(\nu_j-\nu_{j-1})$. Buďte
$\nu=\{\nu_j\}_{j=0}^n$, $\sigma=\{\sigma_j\}_{j=0}^m$,
$\{\mu_k\}_{j=0}^p=\{\nu_j\}_{j=0}^n\cup\{\sigma_j\}_{j=0}^m$, $\mu$
uspořádáme tak, že $\mu_0<\mu_1<\dots<\mu_p$. Platí
$\mu_0=\min\{\nu_0,\sigma_0\}$, $\mu_p=\max\{\nu_n,\sigma_m\}$ a tedy
$\mu_0\le m$, $\mu_p>M$.
 
Uvažujme $\mu_k=\nu_{j-1}<\nu_j=\mu_l$. Zřejmě $l\ge k+1$ a
\[P([\nu_{j-1},\nu_j))=P([\mu_k,\mu_l))=
\sum_{i=1}^{l-k}P([\mu_{k+i-1},\mu_{k+i})).\]
Pro každé $i=1,\dots,p$ existuje $j$ takové, že
$[\mu_{i-1},\mu_i)\subset [\nu_{j-1},\nu_j)$. Položíme
$\tilde\mu_i:=\tilde\nu_j$. Dále platí
\[\tilde\nu_j P([\nu_{j-1},\nu_j))=\sum_{i=1}^{l-k}
\tilde\mu_{k+i}P([\mu_{k+i-1},\mu_{k+i})).\]
Vysčítáním přes všechny částečné intervaly $\nu$ dostaneme
\[A_\nu=\sum_{j=1}^n\tilde\nu_j P([\nu_{j-1},\nu_j))=
\sum_{i=1}^p\tilde\mu_i P([\mu_{i-1},\mu_i)).\]
To samé provedeme pro $\sigma$. Označme
$\Tilde{\Tilde\mu_i}:=\tilde\sigma_j$, kde
$[\mu_{i-1},\mu_i)\subset[\sigma_{j-1},\sigma_j)$
\[A_\sigma=\sum_{j=1}^m\tilde\sigma_j P([\sigma_{j-1},\sigma_j))=
\sum_{i=1}^p\Tilde{\Tilde\mu}_i P([\mu_{i-1},\mu_i)).\]
Z~toho plyne
\[\norm{A_\nu-A_\sigma}=
\norm{\sum_{i=1}^p(\tilde\mu_i-\Tilde{\Tilde\mu}_i)
  P([\mu_{i-1},\mu_i))}\le\max_{1\le i\le p}
\abs{\tilde\mu_i-\Tilde{\Tilde\mu}_i}.\]
Protože $[\mu_{i-1},\mu_i)\subset [\nu_{j-1},\nu_j)$,
$[\mu_{i-1},\mu_i)\subset[\sigma_{k-1},\sigma_k)$, je
$[\nu_{j-1},\nu_j)\cap[\sigma_{k-1},\sigma_k)\not=\emptyset$ a proto označme
$[\nu_{j-1},\nu_j)\cup[\sigma_{k-1},\sigma_k)=[a,b)$. Potom
$\abs{\tilde\mu_i-\Tilde{\Tilde\mu}}\le b-a\le
d_\nu+d_\sigma$. Dostáváme tak odhad
\[\norm{A_\nu-A_\sigma}\le d_\nu+d_\sigma.\]
 
\begin{dusl}
  Je-li $\nu^{(k)}=\{\nu_j^{(k)}\}_{j=0}^{n_k}$ taková posloupnost
  rozdělení, že $\lim_{k\to\infty}d_{\nu(k)}=0$, potom $A_{\nu^{(k)}}$
  je cauchyovská posloupnost v~$\B(\H)$ a tedy existuje
  $A=\lim_{k\to\infty}A_{\nu^{(k)}}$ v~$\B(\H)$, $A^*=A$. Navíc $A$
  nezávisí na volbě $\nu^{(k)}$.
  \begin{proof}
    Zvolme druhou posloupnost $\sigma^{(k)}$, že
    $\lim_{k\to\infty}d_{\sigma^{(k)}}=0$, potom $\lim
    A_{\nu^{(k)}}=\lim A_{\sigma^{(k)}}$. Zavedeme $\mu^{(k)}$:
    $\nu^{(1)},\sigma^{(1)},\nu^{(2)},\sigma^{(2)},\dots$,  Opět $\lim
    d_\mu^{(k)}=0$ a tedy $\lim A_{\mu^{(k)}}$ existuje a je stejná
    jako limity vybraných posloupností $A_{\sigma^{(k)}}$ a
    $A_{\nu^{(k)}}$.
  \end{proof}
\end{dusl}
 
\begin{theorem}
  \label{rozklad1}
  Ke každému $A\in\B(\H)$, $A^*=A$, existuje právě jeden rozklad identity
  $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ takový, že $A=\int\lambda\,\d
  P_\lambda$. Navíc pro každé $C\in\B(\H)$ platí
  $CA=AC\iff\forall\lambda\ CP_\lambda=P_\lambda C$.
  \begin{proof}
    Z~předchozích lemmat víme, že pro $A=A^*$ existuje právě jeden
    projektor $E_+(A)$: $AE_+(A)\ge 0$, $A(I-E_+(A))\le 0$, $\Ker
    A\subset\Ran E_+(A)$.
 
    Pro každé $\lambda$ položme $P_\lambda=I-E_+(A-\lambda)$, kde
    $E_+[A-\lambda]$ je projektor $E_+$ odpovídající operátoru
    $A-\lambda$. Ukážeme, že $P_\lambda$ je rozklad jedničky:
    \begin{enumerate}
    \item Položme $\lambda\le m_A=\inf_{\norm{x}=1}(x,Ax)$. Pro každé
      $x\not=0$ je $\lambda(x,x)<m_A(x,x)\le(x,Ax)$ a tedy
      $0\le(x,(A-\lambda)x)$. Proto $A-\lambda=\abs{A-\lambda}$, $\Ker
      (A-\lambda-\abs{A-\lambda})=\H$, $\Ran E_+[A-\lambda]=\H$ a
      $E_+[A-\lambda]=I\implies P_\lambda=0$.
    \item Buď $\lambda>M_A$. Potom pro $x\not=0$ je
      $\lambda(x,x)>M_A(x,x)\ge(x,Ax)$ a
      $0\ge(x,(A-\lambda)x)$. Předpokládejme, že
      $0\not=x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom by $(x,\lambda x)=(x,Ax)\le
      M_A(x,x)$ a $\lambda(x,x)>M_A(x,x)\ge(x,Ax)=(x,\lambda
      x)=\lambda(x,x)$, což je spor. Tedy
      $\Ker(A-\lambda)=\{0\}$. Nulový operátor splňuje všechny
      požadavky kladené na $E_+$ a z~jednoznačnosti
      $E_+[A-\lambda]=0$.
    \item Buď $\lambda<\mu$. Ukážeme, že $P_\lambda P_\mu=P_\lambda\iff
      0=P_\lambda(I-P_\mu)$. Z~vlastností projektoru $E_+$ a
      nezápornosti (libovolného) projektoru plyne
      \[\underbrace{P_\lambda}_{\ge 0}
      \underbrace{(I-P_\mu)(A-\mu)}_{\ge 0}\ge 0,
      \quad
      \underbrace{(A-\lambda)P_\lambda}_{\le 0}
      \underbrace{(I-P_\mu)}_{\ge 0}\le 0.
      \]
      Spojením obou nerovností dostaneme
      \[\mu P_\lambda(I-P_\mu)\le AP_\lambda(I-P_\mu)\le
      \lambda P_\lambda(I-P_\mu).\]
      Pro každé $x$ tak platí
      \[\mu(x,P_\lambda(I-P_\mu)x)\le\lambda(x,P_\lambda(I-P_\mu)x)\]
      a protože $\lambda<\mu$, je
      \[0\le\underbrace{(\lambda-\mu)}_{<0}
      \underbrace{(x,P_\lambda(I-P_\mu)x)}_{\ge 0}.\]
      Z~toho plyne, že pro každé $x$ je
      \[0=(x,P_\lambda(I-P_\mu)x)=(x,P_\lambda^2(I-P_\mu)^2x)=
      \norm{P_\lambda(I-P_\mu)x}^2\]
      a tedy $P_\lambda(I-P_\mu)=0$.
    \item Buď $\lambda<\mu$,
      $P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda=P_\mu(I-P_\lambda)$.
Z~monotonie podle lemmatu \ref{slim} plyne existence
      $\slim_{\lambda\to\mu-}P_\lambda=P_{\mu-0}$, označme
      $P_0=P_\mu-P_{\mu-0}=\slim_{\lambda\to\mu-}P([\lambda,\mu))$.
 
      Obdobně jako výše se ukáže nerovnost $\lambda P(\Delta)\le
      AP(\Delta)\le\mu P(\Delta)$. Limitním přechodem dostáváme
      $\mu P_0\le AP_0\le\mu P_0\implies (A-\mu)P_0=0\iff \Ran
      P_0\subset\Ker(A-\mu)\subset\Ran E_+[A-\mu]=\Ran(I-P_\mu)$.
Z~toho dále plyne $P_0\le I-P_\mu\iff P_0(I-P_\mu)=P_0\iff
      P_0P_\mu=0$. Současně $P([\lambda,\mu))P_\mu=
      (P_\mu-P_\lambda)P_\mu=P_\mu-P_\lambda=P([\lambda,\mu))$.
      Po provedení limity $P_0P_\mu=P_0$. Celkem $P_0=0$, takže
      $P_\lambda$ je spojitá zleva.
    \item Zbývá dokázat rovnost
      \[A=\int\lambda\,\d P_\lambda=\lim
      A_\nu=\lim\sum\tilde\nu_iP(\Delta_i^\nu).\]
      Opět jako předtím ukážeme $\nu_{i-1}P(\Delta_i^\nu)\le
      AP(\Delta_i^\nu)\le\nu_i P(\Delta_i^\nu)$. Platí
      \[A-A_\nu=\sum_i AP(\Delta_i^\nu)-
      \sum_i\tilde\nu_i P(\Delta_i^\nu)\le
      \sum_i(\nu_i-\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le
      \sum_i d_\nu P(\Delta_i^\nu)=d_\nu I.\]
      Podobně se to odhadne zdola: $A-A_\nu\ge-d_\nu I$. Celkem pro
      každé $x$ platí
      \[-d_\nu(x,x)\le(x,(A-A_\nu)x)\le d_\nu(x,x)\]
      a pro $x\not=0$
      \[\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]
      Protože $A-A_\nu$ je samosdružený, je
      \[\norm{A-A_\nu}=\sup_{x\not=0}
      \frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]
      Je-li $\lim d_{\nu^{(k)}}=0$, potom $\lim A_{\nu^{(k)}}=A$
v~$\B(\H)$ a proto $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$.
    \item Komutativnost: Je-li $CP_\lambda=P_\lambda C$, pak i
      $CP(\Delta_i^\nu)=P(\Delta_i^\nu)C$ a $CA_\nu=A_\nu C$,
      po provedení limity $CA=AC$. 
 
      Je-li $CA=AC$, pak $C(A-\lambda)=(A-\lambda)C$, z~lemmatu pak
      plyne $CE_+[A-\lambda]=E_+[A-\lambda]C$, $CP_\lambda=P_\lambda
      C$.
    \item Jednoznačnost $P_\lambda$ dokážeme později.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{lemma}
  Buď $A\in\B(\H)$ normální. Potom $\norm{A}=r_\sigma(A)$.
  \begin{proof}
    Platí
    \[\begin{split}
      \norm{Ax}^2&=(Ax,Ax)=(x,A^*Ax)\le\norm{x}\norm{A^*Ax}=\\
      &=\norm{x}\sqrt{(A^*Ax,A^*Ax)}=\norm{x}\sqrt{(A^2x,A^2x)}=
      \norm{x}\norm{A^2x},
    \end{split}\]
    dále postupujeme jako v~důkazu věty \ref{norma_herm}.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
Buď $A=A^*\in\B(\H)$, $p$ polynom. Umíme spočítat $p(A)$. Buď
$f\in\c([m_A,M_A])$. Protože $A=A^*$, je $p(A)$ normální a platí
\[\begin{split}
  \norm{p(A)}&=r_\sigma(p(A))=\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in\sigma(p(A))\}=
  \sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in p(\sigma(A))\}=\\
  &=\sup\{\abs{p(\sigma)}|\xi\in\sigma(A)\}\le
  \sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in[m_A,M_A]\}=\norm{p}_\infty.
\end{split}\]
Z~Weierstrasse plyne, že pro $f\in\c([m_A,M_A])$ existuje posloupnost
polynomů $p_n$ taková, že $\lim\norm{f-p_n}=0$. Posloupnost $p_n$ je
cauchyovská v~$\c([m_A,M_A])$ a z~nerovnosti
$\norm{p_n(A)-p_m(A)}\le\norm{p_n-p_m}_\infty$ plyne, že i $p_n(A)$ je
cauchyovská v~$\B(\H)$, tudíž existuje $\lim p_n(A)$ v~$\B(\H)$.
 
Tato limita nezávisí na volbě $p_n$. Pokud $q_n\to f$
v~$\c([m_A,M_A])$, položíme $r_n$: $p_1,q_1,p_2,q_2,\dots$ a $r_n\to f$
v~$\c([m_A,M_A])$ a podle věty o~vybraných posloupnostech $\lim
p_n(A)=\lim q_n(A)=\lim r_n(A)$.
 
Pokládáme $f(A)=\lim p_n(A)\in\B(H)$. Protože
$p_n(A)p_n(A)^*=p_n(A)^*p_n(A)$, je i $f(A)f(A)^*=f(A)^*f(A)$ a tedy
$f(A)$ je normální. Je-li $f$ reálná, lze i $p_n$ volit reálné a
$p_n(A)^*=p_n(A)$ a tudíž i $f(A)^*=f(A)$. Je-li $f$ komplexní, je
$\overline{p_n}(A)=p_n(A)^*$ a $\overline f(A)=f(A)^*$. Pro normu
$f(A)$ platí odhad
\[\norm{f(A)}=\lim_{n\to\infty}\norm{p_n(A)}\le
\lim_{n\to\infty}\norm{p_n}_\infty=\norm{f}_\infty.\]
 
\begin{define}
  Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky, $P_\lambda\equiv 0$ pro
  $\lambda\le m$, $P_\lambda\equiv I$ pro $\lambda>M$. Je-li
  $f\in\c([m,M])$, pak
  \[
  \int f(\lambda)\,\d P_\lambda=\lim_{d(\nu)\to 0}\sum f(\tilde\nu_i)
  P(\delta_i^\nu)\in\B(\H).
  \]
  Korektnost definice, tj. existence a jednoznačnost limity se ověří
  podobně jako u~$\int\lambda\,\d P_\lambda$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
  Je-li $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$, potom $f(A)=\int f(\lambda)\,\d
  P_\lambda$.
  \begin{proof}
    Položme nejprve $f(\lambda)=\lambda^n$, $n\in\Z_+$. Potom
    \[\int\lambda^n\,\d P_\lambda=
    \lim_{d(\nu)\to 0}\sum_i\tilde\nu_i^n P(\Delta_i^\nu)=
    \lim_{d(\nu)\to 0}\left(\sum_i\tilde\nu_i
      P(\Delta_i^\nu)\right)^n=
    \left(\int\lambda\,\d P_\lambda\right)^n=A^n,\]
    neboť při umocňování smíšené členy vypadnou díky tomu, že
    $P(\Delta_i^\nu)P(\Delta_j^\nu)=\delta_{ij}P(\Delta_i^\nu)$. Díky
    aditivitě pak tvrzení platí pro libovolný polynom.
 
    Normu integrálu lze odhadnout jako
    \[\norm{\int f(\lambda)\,\d P_\lambda}=\lim_{d(\nu)\to 0}
    \norm{\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)}
    \le\lim_{d(\nu)\to 0}\max_i\abs{f(\tilde\nu_i)}\le
    \norm{f}_\infty.\]
    Důsledkem odhadu je následující tvrzení: Jestliže $f_n\to f$
v~$\c([m,M])$, potom $\lim\int f_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int
    f(\lambda)\,\d P_\lambda$.
 
    Zvolíme posloupnost polynomů $p_n\to f$ v~$\c([m_A,M_A])$, potom
    \[f(A)=\lim p_n(A)=\lim\int p_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int
    f(\lambda)\,\d P_\lambda.\qed\]
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Buďte $f,g\in\c([m,M])$ reálné, $f(t)<g(t)$ pro každé
  $t\in[m,M]$. Potom
  \[\int f(\lambda)\,\d P_\lambda\le\int g(\lambda)\,\d P_\lambda.\]
  \begin{proof}
    Pro každé $\nu$ platí
    \[\sum_{i}f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le
    \sum_{i}g(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu).\qed\]
    \noqed
  \end{proof}
\end{remark}
 
\begin{proof}[Důkaz jednoznačnosti rozkladu jedničky (věta \ref{rozklad1})]
  Buď $A=A^*\in\B(\H)$. Nechť $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je
  rozklad jedničky takový, že $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Zvolíme
  posloupnost funkcí $f_n\in\c(\R)$, $0\le f_n\le 1$ ($\lambda_0$ je
  libovolné pevné):
  \[
  f_n(\lambda)=
  \begin{cases}
    1& \lambda\le\lambda_0-\frac1n\\
    0& \lambda\ge\lambda_0\\
    \text{lineární}& \lambda\in[\lambda-\frac1n,\lambda_0].
  \end{cases}
  \]
  Ukážeme, že $P_{\lambda_0-\frac1n}\le f_n(A)=\int f_n(\lambda)\,\d
  P_\lambda\le P_{\lambda_0}$: Zvolíme posloupnost rozdělení
  $\nu^{(k)}$, $\lambda_0$ a $\lambda_0-\frac1n$ je dělicí bod pro
  každé $k$, $d(\nu^{(k)})\to 0$. Potom ($\lambda_0=\nu_{i(k)}$)
  \[\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=
  \sum_{i\le i(k)}f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le
  \sum_{i\le i(k)}P(\Delta_i^\nu)=P((-\infty,\nu_{i(k)}))=
  P_{\lambda_0},\]
  neboť pro $i>i(k)$ je
  $\tilde\nu_i\in\Delta_i^\nu\subset[\lambda_0,+\infty)$ a
  $f(\tilde\nu_i)=0$. Obdobně se odhadne $\ge P_{\lambda_0-\frac1n}$.
  Provedením limity z monotonie dostaneme rovnost
  \[P_{\lambda_0}=\slim_{n\to\infty}f_n(A).\]
  Pravá strana nezávisí na rozkladu jedničky, takže rozklad
  $P_\lambda$ je jednoznačný.
\end{proof}
 
\begin{remark}
  \begin{enumerate}
  \item Buďte $f,g\in\c([m,M])$. Potom $f(A)g(A)=(fg)(A)$.
    \begin{proof}
      Zvolme $p_n\to f$, $q_n\to g$ posloupnosti polynomů, potom
      $p_nq_n\to fg$. Dále je
      \[(fg)(A)=\lim (p_nq_n)(A)=\lim p_n(A)q_n(A)=f(A)g(A).\qed\]
      \noqed
    \end{proof}
  \item Nechť $P_\lambda$ je konstantní na $[a,b]$, $f\in\c$, $\supp
    f\subset[a,b]$. Potom $\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=0$.
    \begin{proof}
      Můžeme požadovat, aby $a,b$ byly dělicí body. Potom buď
      $\Delta_i^\nu\subset[a,b)$ a
      $P(\Delta_i^\nu)=P_{\nu_i}-P_{\nu_{i-1}}=0$ nebo
      $\Delta_i^\nu\subset[a,b)=\emptyset$ a
      $f(\tilde\nu_i)=0$. Proto
      \[\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=0\]
      pro každé takové $\nu$.
    \end{proof}
  \item Buď $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Pak
    \[(x,Ax)=\lim (x,A_\nu x)=
    \lim\sum_i\tilde\nu_i(x,P(\Delta_i^\nu)x)=
    \int\lambda\,\d(x,P_\lambda x),\]
    což je Riemann-Stieltjesův integrál s~distribuční funkcí
    $F(\lambda)=(x,P_\lambda x)$ a mírou $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$, a
    platí $F(x)=0$ pro $\lambda < m$, $F(x)=\norm{x}^2$ pro
    $\lambda>M$. Stejně tak je
    \[(x,f(A)x)=\int f(\lambda)\,\d(x,P_\lambda x)\]
    a
    \[\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)=\int\lambda^2\,\d(x,P_\lambda x).\]
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky a $A=\int\lambda\,\d
  P_\lambda$. Potom
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, právě když $P_\lambda$ je
    konstantní na nějakém okolí $\lambda$.
  \item $\lambda\in\sigma_P(A)$, právě když $P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda\not=0$.
  \end{enumerate}
  Navíc $P_0$ je ortogonální projektor na $\Ker(A-\lambda)$.
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item (i) $\Leftarrow$: Položme $f=x-\lambda$,
      \[g(x)=
      \begin{cases}
        \frac1{x-\lambda}&\abs{x-\lambda}\ge\epsilon\\
        \text{lineární}&\abs{x-\lambda}\le\epsilon.
      \end{cases}
      \]
      Zvolíme $\epsilon>0$ tak, aby $P_\lambda$ byla konstantní na
      $[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$. Zřejmě $f(A)=A-\lambda$,
      dále je $f(x)g(x)-1\in\c(\R)$,
      $\supp(fg-1)\subset[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$, podle
      předchozích poznámek je tedy $(fg-1)(A)=0$ a
      $(A-\lambda)g(A)-I=f(A)g(A)-I=0$, $(A-\lambda)g(A)=I$,protože je $g$ omezené, 
      $g(A)=(A-\lambda)^{-1}\in\B(\H)$ a tedy $\lambda\in\rho(A)$.
    \item (i) $\Rightarrow$: Nechť $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, podle Weylova
      kritéria existuje $M>0$ tak, že $\norm{(A-\lambda)x}\ge
      M\norm{x}$ pro každé $x$. Zvolme $\Delta=[\lambda-\frac
      M2,\lambda+\frac M2)$. Stejně jako v~důkazu věty \ref{rozklad1}
      ukážeme nerovnost
      \[\left(\lambda-\frac M2\right)P(\Delta)\le P(\Delta)A\le
      \left(\lambda+\frac M2\right)P(\Delta).\]
      Tu lze přepsat ve tvaru
      \[-\frac M2 P(\Delta)\le(A-\lambda)P(\Delta)\le
      \frac M2 P(\Delta).\]
      Pokud $P(\Delta)\not=0$, je $\norm{P(\Delta)}=1$ a musí platit
      \[\norm{(A-\lambda)P(\Delta)}=
      \sup_{\norm{x}=1}\abs{(x,(A-\lambda)P(\Delta)x)}\le
      \sup_{\norm{x}=1}\frac M2\abs{(x,P(\Delta)x)}=\frac M2.\]
      Potom ale pro $x\in\Ran P(\Delta)$ platí
      \[\frac M2\norm{x}\ge\norm{(A-\lambda)P(\Delta)x}=
      \norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x},\]
      což je spor.
    \item (ii) Stačí dokázat, že $\Ker(A-\lambda) = \Ran P_0$
 
    \begin{enumerate}
     \item[$\supset:$]
 
    Buď $\mu>\lambda$, $P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda$,
      \[P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda=\slim_{\mu\to\lambda+}P([\lambda,\mu)).\]
      Opět
      \[\lambda P([\lambda,\mu))\le AP([\lambda,\mu))\le
      \mu P([\lambda,\mu)).\]
      Limitním přechodem $\mu\to\lambda+$ dostáváme $\lambda P_0\le
      AP_0\le\lambda P_0\implies (A-\lambda)P_0=0$, což je
      ekvivalentní s~inkluzí $\Ran P_0\subset\Ker(A-\lambda)$.
 
      \item[$\subset:$] Buď $x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom
      \[0=\norm{(A-\lambda)x}^2 =(x,(A-\lambda)^2 x)=\int(\mu-\lambda)^2\,\d(x,P_\mu x),\]
      z~čehož plyne nulovost míry $(-\infty,\lambda)$ a
      $(\lambda,+\infty)$. Proto zobrazení $\mu\mapsto(x,P_\mu x)$ je
      konstantní pro $\mu<\lambda$ a $\mu>\lambda$. Z definice rozkladu jednotky proto musí být 
      nutně $\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=0$ pro $\mu<\lambda$ a
      $\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=\norm{x}^2$ pro $\mu>\lambda$. 
 
      Z~toho plyne, že
      \[P_\mu x=
      \begin{cases}
        0&\mu<\lambda\\
        x&\mu>\lambda.
      \end{cases}
      \]
      Protože $P_\lambda$ je spojité zleva, je $P_\lambda x=0$ a
      \[P_0 x=\lim_{\mu\to\lambda+}(P_\mu-P_\lambda)x=
      \lim_{\mu\to\lambda+}x=x.\]
      Tedy $x\in\Ran P_0$ a $\Ker(A-\lambda)\subset\Ran P_0$.
 
      Celkem $\Ker(A-\lambda)=\Ran P_0$ a z~toho také plyne tvrzení
      (ii).\qed
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola4&oldid=3108“