01FA2:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 01:29, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrum uzavřeného operátoru} \begin{theorem}[Hilbertova identita] Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neo...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01FA2Gromadan 30. 9. 201514:24
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůGromadan 30. 9. 201514:40
Header editovatHlavičkový souborGromadan 30. 9. 201514:44 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodKubuondr 8. 6. 201809:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatFundamentální věty funkcionální analýzyKubuondr 1. 6. 201810:49 kapitola1.tex
Kapitola10 editovatHolomorfní vektorové funkceKubuondr 4. 6. 201820:19 kapitola2.tex
Kapitola2 editovatSpektrum uzavřeného operátoruKubuondr 2. 6. 201809:16 kapitola3.tex
Kapitola3 editovatSpektrální rozklad pro samosdružené omezené operátoryKubuondr 8. 6. 201809:13 kapitola4.tex
Kapitola8 editovatKompaktní operátoryGromadan 30. 9. 201514:35 kapitola5.tex
Kapitola9 editovatHilbert--Schmidtovy operátoryGromadan 30. 9. 201514:33 kapitola6.tex
Kapitola5 editovatNeomezené operátoryKubuondr 6. 2. 201910:05 kapitola7.tex
Kapitola6 editovatNormální operátoryAdmin 1. 8. 201001:30 kapitola8.tex
Kapitola7 editovatSamosdružené rozšíření symetrických operátorůKubuondr 8. 2. 201911:08 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
 
\section{Spektrum uzavřeného operátoru}
 
\begin{theorem}[Hilbertova identita]
  Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neomezený) operátor, platí
  \[(R_\lambda-R_\mu)=(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu.\]
  kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$.
  \begin{proof}
  $\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda)^{-1}  $.
 
    Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. Chceme dokázat $\forall x \in X$
    rovnost
    \[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?=
    (A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\]
    Ta ale platí, protože
    \[\%=((A-\mu)-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=
    x+(-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=x.\]
 
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
  Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují.
\end{dusl}
 
\begin{remark}
  Pro $\abs{\lambda-\mu}<\frac1{\norm{R_\lambda}}$ je
  \[\norm{R_\mu}=\norm{\sum_{n=0}^\infty(\lambda-\mu)^nR_\lambda^{n+1}}\le
  \sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda-\mu}^n\norm{R_\lambda}^{n+1}=
  \frac{\norm{R_\lambda}}{1-\abs{\lambda-\mu}\norm{R_\lambda}}.\]
  Z~Hilbertovy identity potom plyne
  \[\norm{R_\lambda-R_\mu}=\abs{\lambda-\mu}\norm{R_\lambda R_\mu}
  \le\abs{\lambda-\mu}\frac{\norm{R_\lambda}^2}
  {1-\abs{\lambda-\mu}\norm{R_\lambda}}.\]
  a zobrazení $R:\rho(A)\mapsto\B(X)$ je proto spojité. Dále platí
  \[\norm{\frac{R_\lambda-R_\mu}{\lambda-\mu}-R_\lambda^2}=
  \norm{R_\lambda R_\mu-R_\lambda^2}\le
  \norm{R_\lambda}\norm{R_\mu-R_\lambda}\]
  a tedy
  \[\lim_{\lambda\to\mu}\frac1{\lambda-\mu}(R_\lambda-R_\mu)=R_\lambda^2.\]
  Zobrazení $R_\lambda$ má  derivaci a je tedy holomorfní 
  \[\frac{\d}{\d\lambda}R_\lambda=R_\lambda^2\]
  $\Rightarrow$ analytická operátorová funkce na $\rho(A)$.
 
  Pro $R_\lambda$ platí obdobná tvrzení jako pro analytické komplexní
  funkce. Buď $F:D\mapsto Y$ analytické zobrazení. Potom pro každé
  $x_0\in D$ existuje okolí $r>0$, $B(x_0,r)\subset D$ a na něm je
  \[F(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n(x_0)(x-x_0)^n.\]
 
  Buď $\gamma$ uzavřená jednoduchá křivka v~$D$. Potom $\oint_\gamma
  F(z)\,\d z$ se definuje jako limita částečných součtů (v~Riemannově
  smyslu).
 
  Buď $\phi\in Y^*$. Potom $f:=\phi\circ F$ je analytická komplexní
  funkce:
  \[f(x)=\phi(F(x))=\phi\left(\sum_{n=0}^\infty
    A_n(x_0)(x-x_0)^n\right)=
  \sum_{n=0}^\infty\phi(A_n(x_0))(x-x_0)^n.\]
 
  Pro každý $\phi\in Y^*$ z Cauchyovy věty platí
  \[\phi\left(\oint_\gamma F(z)\,\d z\right)=
  \phi\left(\lim\sum_iF(z_i)\delta_i\right)=
  \lim\sum_i\phi(F(z_i))\delta_i=\int_\gamma f(z)\,\d z=0\]
  a v~důsledku Hahn-Banacha $Y^*$ odděluje body v $Y$ a tedy je $\oint_\gamma F(z)\,\d z=0$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Liouville]
  Funkce $F:\C\mapsto Y$ analytická na $\C$ a omezená je konstantní.
  \begin{proof}
    Pro každou $\phi\in Y^*$ je funkce $\phi\circ F$ analytická a
    omezená a proto $\phi\circ F$ je v~důsledku Liouvillovy věty pro
    komplexní funkce konstantní. Platí tedy
    \[0=\frac{\d}{\d z}\phi(F(z))=
    \phi\left(\frac{\d F(z)}{\d z}\right).\]
    V~důsledku Hahn-Banachova teorému je
    \[\frac{\d F(z)}{\d z}=0\]
    a proto $F(z)=\konst$
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
  Nechť $X$ je Banachův prostor nad $\C$, $A\in\B(X)$. Potom
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $X$
    na $X$.
  \item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$.
  \item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je
    \[R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n.\]
  \item $\sigma(A)\not=\emptyset$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Přímo z~definice.
    \item Vyplývá z~(iii).
    \item Protože $\frac1{\abs{\lambda}}\norm{A}<1$, je
      \[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\]
      Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde
      R_\lambda(A-\lambda)=I$ a proto $\tilde
      R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$.
    \item Sporem: $\sigma(A)=\emptyset\implies\rho(A)=\C\implies$ $R_\lambda$
      je analytická na $\C$. Pro $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je
      \[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n.\]
      Protože
      \[\norm{R_\lambda}\le\lim_{r\to\infty}\frac1{\abs{\lambda}(1-\abs{\lambda}\norm{A})}=0,\]
      je $R_\lambda$ omezená, z~Liouvilla plyne, že je konstantní a
      protože $\lim_{r\to\infty}\norm{R_\lambda}=0$, je
      $R_\lambda=0$ pro každé $\lambda\in\C$. To je spor.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{dusl}
 
\begin{remark}
  Buď $A\in\B(X)$. Označme
  $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in\sigma(A)\}$. Pokud je\\
  $\abs{\lambda}>\norm{A}$, je $\lambda\in\rho(A)$ a proto
  $r_\sigma(A)\le\norm{A}$.
 
  Operátorová funkce $R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}$ je analytická na
  $\{\lambda|\abs{\lambda}>r_\sigma(A)\}$ a proto $R_\lambda$ má
  Laurentův rozvoj. Víme, že pro $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je
  \begin{equation}
    \label{laur_res}R_\lambda=
    -\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n
  \end{equation}
  Z~jednoznačnosti Laurentova rozvoje pak plyne, že \eqref{laur_res}
  platí pro $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$.
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  Buď $A\in\B(X)$. Potom
  \[r_\sigma(A)=\limsup_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}=\tilde r.\]
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Je-li $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$, řada \eqref{laur_res}
      konverguje.
    \item Je-li $\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$, řada \eqref{laur_res}
      nekonverguje: Dokážeme to sporem, kdyby existovalo $\lambda_0$,
      $\abs{\lambda_0}<r_\sigma(A)$ a \eqref{laur_res} konvergovala,
      potom
      \[\exists C \ge 0 \text{ že }\forall n\in N \qquad \norm{\frac{ A^n}{\lambda_0^{n+1}}}\le C\]
      a pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}$ je
      \[\norm{\frac1{\lambda^{n+1}} A^n}=
      \abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1}
      \norm{\frac1{\lambda_0^{n+1}}A^n}\le
      C\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1}\] 
      a \eqref{laur_res} pro každé takové $\lambda$ konverguje a je to
      rezolventa, tedy
      $\{\lambda|\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}\}\subset\rho(A)$, což
      je spor.
    \item Dokážeme, že $\tilde r$ splňuje totéž. Je-li
      $\abs{\lambda}>\tilde r$, pak \eqref{laur_res} konverguje:
      Existuje $a$ tak, že $\abs{\lambda}>a>\tilde r$. Z~vlastnosti
      $\limsup$ existuje $n_0$ tak, že $a>\norm{A^n}^{1/n}$ $\forall
      n\ge n_0$ a
      \[
      \norm{\frac1{\lambda^n}A^n}<\left(\frac{a}{\abs{\lambda}}\right)^n \]
      a řada nutně konverguje.
    \item Je-li $\abs{\lambda}<\tilde r$, existuje nekonečně mnoho $n$
      tak, že $\abs{\lambda}<\norm{A^n}^{1/n}$ a proto
      \[1<\norm{\frac1{\lambda^n}A^n}.\]
      není tedy splněna ani nutná podmínka konvergence a řada diverguje. \qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}
  Nechť $X$ je Banachův prostor, $A\in\B(X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom
  $p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$.
  \begin{proof}
    Buď $\lambda\in\C$, $p(z)-\lambda=a_n(z-\xi_1)\cdots(z-\xi_n)$, kde
    $\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ jsou kořeny $p(z)-\lambda$ včetně
    násobností. Analogicky platí
    $p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$.
 
    Zobrazení $p(A)-\lambda:X\mapsto X$ je bijekce, právě když pro
    každé $n$ je $A-\xi_n:X\mapsto X$ bijekce:
    \begin{enumerate}
    \item $(\Leftarrow)$ Složením bijekcí vznikne bijekce.
    \item $(\Rightarrow)$ Je-l i řád polynomu  nebo jedna, je to triviální. 
 
  Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není
      prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i
      \[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1})
      (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)=0.\]
      a proto $p(A)-\lambda$ není prosté.
 
      Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=X$, potom
      \[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1})
      (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=X.\]
    \end{enumerate}
    Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda:X\mapsto
    X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce
    $\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists
    z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť $A\in\B(X)$. Potom
  \[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\]
  \begin{proof}
    Víme: $r_\sigma=\limsup\norm{A^n}^{1/n}$. Zvolme $p(z)=z^n$, potom
    $\sigma(A^n)=\{\lambda^n|\lambda\in\sigma(A)\}$,
    $r_\sigma(A^n)=r_\sigma(A)^n$. Proto platí
    $r_\sigma(A)=r_\sigma(A^n)^{1/n}\le\norm{A^n}^{1/n}$ pro každé
    $n$. Konečně
    \[\limsup\norm{A^n}^{1/n} = r_\sigma(A)\le\liminf\norm{A^n}^{1/n}\]
    a proto $\liminf=\limsup=\lim$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Hahn-Banach]
  Buď $X$ normovaný, $V\pp X$ a $\phi$ spojitý funkcionál na
  $V$. Potom existuje spojitý funkcionál $\tilde\phi$ na $X$ takový,
  že
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\tilde\phi\restriction V=\phi$,
  \item $\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    Nechť $x_0\not\in V$, $V'=V+\R x_0\ni v+\lambda x_0$, kde $v\in
    V$, $\lambda\in\R$. Definujeme $\phi'(v+\lambda
    x_0)=\phi(v)+\lambda c$. Hledáme $c$ tak, aby
    $\norm{\phi'}=\norm{\phi}$. Pro každé $c$ bude zřejmě platit
    $\norm{\phi'}\ge\norm{\phi}$. Chceme, aby platilo i
    $\norm{\phi'}\le\norm{\phi}$, tj. pro každé $\lambda$ je
    $\abs{\phi'(v+\lambda x_0)}\le\norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}$. To
    lze rozepsat jako dvě nerovnosti
    \[\begin{split}
      \phi(v)+\lambda c=\phi'(v+\lambda x_0)&\le
      \norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}\\
      -\phi(v)-\lambda c=-\phi'(v+\lambda x_0)&\le
      \norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}.
    \end{split}\]
    Pro $\lambda=0$ to platí. Je-li $\lambda\not=0$, můžeme nerovnost
    přepsat jako
    \[\abs{\lambda}\abs{\phi'\left(\frac1\lambda v+x_0\right)}\le
    \abs{\lambda}\norm{\phi}\norm{\frac1\lambda v+x_0}.\]
    Položme $w:=\frac1\lambda v$. Pro každé $w\in V$ pak musí platit
    \[\abs{\phi'(w+x_0)}\le\norm{\phi}\norm{w+x_0},\]
    tj.
    \[\phi(w)+c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\wedge
    -\phi(w)-c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\]
    a
    \[-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0}\le c
    \le\norm{\phi}\norm{w+x_0}-\phi(w).\]
    Stačí nalézt $c\in\R$ tak, že tato nerovnost platí pro každé $w\in
    V$. Takové $c$ existuje, pokud
    \[\sup_{w\in V}(-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0})\le\inf_{w\in V}
    (-\phi(w)+\norm{\phi}\norm{w+x_0}).\]
    To je dále ekvivalentní s~platností nerovnosti
    \[-\phi(w_1)-\norm{\phi}\norm{w_1+x_0}\le
    -\phi(w_2)+\norm{\phi}\norm{w_2+x_0},\]
    tj.
    \[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0})\]
    pro každé $w_1,w_2\in V$. To je splněno, neboť
    \[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}\norm{w_2-w_1}\le
    \norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0}).\]
 
    Definujeme množinu
    \[M=\{(W,\psi)|V\pp W\pp X,\ \psi\in W^*\text{ tak, že }
    \psi\restriction V=\phi,\ \norm{\psi}=\norm{\phi}\}.\]
    Na $M$ definujeme uspořádání
    \[(W_1,\psi_1)\le(W_2,\psi_2)\iff W_1\pp W_2\wedge
    \psi_2\restriction W_1=\psi_1.\]
    Buď $M'\subset M$ úplně uspořádaná. Její horní závorou je prvek
    $(U,\eta)$ takový, že $U=\bigcup_{(W,\psi)\in M'}W$ a pro $x\in U$
    pokládáme $\eta(x)=\psi(x)$ (existuje nějaký prvek $(W,\psi)\in
    M'$, kde $x\in W$).
 
    Definice $\eta$ je korektní, neboť pro $(W,\psi)$, $(W',\psi')\in
    M'$ je pro $x\in W\cap W'$ $\psi(x)=\psi'(x)$. Prvek $(U,\eta)$ je
    horní závorou $M'$. Ze Zornova lemmatu pak plyne existence
    maximálního prvku $(\tilde V,\tilde\phi)$ v~$M$ takového, že $V\pp
    \tilde V\pp X$, $\tilde\phi\restriction V=\phi$,
    $\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$.
 
    Platí, že $\tilde V=X$: Kdyby $\tilde V\not=X$, pak by existovalo
    $x_0\not\in\tilde V$ a mohli bychom $\tilde\phi$ rozšířit na
    $\Tilde{\Tilde\phi}\in(\tilde V+\R x_0)^*$ tak, aby platilo
    $\norm{\Tilde{\Tilde\phi}}=\norm{\tilde\phi}$. Potom $(\tilde V+\R
    x_0,\Tilde{\Tilde\phi})\in M$ není $\le(\tilde V,\phi)$, což je
    spor.
 
    Zobecnění na komplexní těleso: Buď $X$ nad $\C$, $V\pp X$,
    $\phi\in V^*$. Označme $X_\R$ prostor $X$ nad $\R$, $V_\R\pp X_\R$.
 
    Definujeme funkcionál
    $\eta=\Re\phi\in V_\R^*$,
    $\abs{\eta(x)}=\abs{\Re\phi(x)}\le\abs{\phi(x)}$,
    \[\norm{\eta}=\sup_{x\not=0}\frac{\abs{\eta(x)}}{\norm{x}}
    \le\sup_{x\not=0}\frac{\abs{\phi(x)}}{\norm{x}}=\norm{\phi}.\]
    Pro libovolné $x\in X$ existuje $\lambda\in\C$, $\abs{\lambda}=1$
    tak, že $\phi(\lambda x)=\lambda\phi(x)\in\R$. Potom $\eta(\lambda
    x)=\Re\phi(\lambda x)=\Re\lambda\phi(x)=\lambda\phi(x)$,
    \[\norm{\eta}\norm{x}=\norm{\eta}\abs{\lambda}\norm{x}=\norm{\eta}\norm{\lambda
      x}\ge\abs{\eta(\lambda x)}=\abs{\phi(x)}\] a
    \[\norm{\phi}=\sup_{x\not=0}\frac{\abs{\phi(x)}}{\norm{x}}
    \le\norm{\eta}.\]
    Celkem tedy $\norm{\phi}=\norm{\eta}$. Dále platí
    \[\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Im\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Re(-\im\phi(x))=
    \eta(x)-\im\eta(\im x).\]
    K~funkcionálu $\eta$ na $V_\R$ existuje $\tilde\eta$ na $X_\R$,
    $\norm{\tilde\eta}=\norm{\eta}$, $\eta=\tilde\eta\restriction
    V_\R$. Položíme $\tilde\phi(x)=\tilde\eta(x)-\im\tilde\eta(\im x)$,
    pak $\norm{\tilde\phi}=\norm{\tilde\eta}=\norm{\eta}=\norm{\phi}$
    a $\tilde\phi\restriction V=\phi$.
  \end{proof}
\end{theorem}
\begin{lemma}
  Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$
 
 \begin{proof}
 
  $x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H (x,Ay) = 0 \Leftrightarrow  \forall y\in \H (A*x,y) = 0 $\\
  $\Leftrightarrow x\in \Ker A^*$
 \end{proof}
 
\end{lemma}
 
\begin{theorem}[Weylovo kritérium]
  Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že
    $\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$.
  \item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$,
    $\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item 
      \begin{enumerate}
      \item ($\Rightarrow$) Buď $\lambda\in\rho(A)$. Potom pro
        $x\in\H$ je
        \[\norm{x}=\norm{(A-\lambda)^{-1}(A-\lambda)x}\le
        \norm{(A-\lambda)^{-1}}\norm{(A-\lambda)x}.\]
        Když položíme
        \[M=\frac{1}{\norm{(A-\lambda)^{-1}}}<+\infty,\]
        je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$ pro každé $x$.
      \item ($\Leftarrow$) Je-li $(A-\lambda)x=0$, potom $M\norm{x}=0$
        a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté. Existuje proto
        $(A-\lambda)^{-1}$,
        $\Dom(A-\lambda)^{-1}=\Ran(A-\lambda)$. Protože $A$ je
        normální, je
        $\Ker(A-\lambda)=\Ker(A^*-\overline{\lambda})$. Dále je
        $\Ran(A-\lambda)^\perp=\uz{\Ran(A-\lambda)^\perp}=
        \Ker(A^*-\overline{\lambda})$,
        $\uz{\Ran(A-\lambda)}\oplus
        \underbrace{\Ker(A^*-\overline{\lambda})}_{\{0\}}=\H$,
        a proto $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\H$.
	Kdyby $\Ran(A-\lambda)=\H$, potom by omezenost plynula z věty o inverzním zobrazení.
        Dokážeme, že $\uz{\Ran(A-\lambda)}\subset\Ran(A-\lambda)$:
        Je-li $y\in\uz{\Ran(A-\lambda)}$, potom existuje
        $\{y_n=(A-\lambda)x_n\}\subset\Ran(A-\lambda)$, $y_n\to
        y$ a
        \[\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\]
        Z~BC pak plyne existence $\lim x_n=x$. Protože
        $(A-\lambda)\in\B(\H)$, je \\$(A-\lambda)x=y$ a tedy
        $y\in\Ran(A-\lambda)$.
      \end{enumerate}
    \item Bezprostřední důsledek obměny (i).\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{tvrzeni}
  Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$.
  \begin{proof}
    Buď $\lambda\in\C$, $\lambda=\mu+\im\nu$, $\mu,\nu \in yR$. Protože $A=A^*$, je
    $((A-\mu)x,\nu x)=\nu(Ax,x)-\mu\nu(x,x)\in\R$ a dále
    \[\begin{split}
      \norm{(A-\lambda)x}^2&=
      (\underbrace{(A-\mu-\im\nu)x}_{(A-\mu)x-\im\nu x},(A-\mu-\im\nu)x)=\\
      &=\norm{(A-\mu)x}^2+\abs{\nu}^2\norm{x}^2\ge
      \abs{\nu}^2\norm{x}^2,
    \end{split}\]
    takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé
    $x$ a tedy $\lambda\not\in\R\implies\lambda\in\rho(A)$.
  \end{proof}
\end{tvrzeni}
 
\begin{remark}
  Na prostoru samosdružených operátorů lze zavést uspořádání
  \[A\le B\iff (x,Ax)\le(x,Bx)\ \forall x.\]
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$.
  \begin{proof}
    Označme $(x,y)_A=(x,Ay)$. Platí $(y,x)_A=\overline{(x,y)_A}$,
    $(x,x)\ge0$, takže pro $(\cdot,\cdot)$ platí Schwarzova nerovnost:
    \[\abs{(x,y)_A}^2\le(x,x)_A(y,y)_A\]
    pro každé $x,y$ a tedy i
    \[\abs{(x,Ay)}^2\le(x,Ax)(y,Ay).\]
    Když položíme $y=Ax$, máme
    \[\begin{split}
      \norm{Ax}^4&=\abs{(Ax,Ax)}^2=\abs{(x,A^2x)}^2\le
      (x,Ax)(Ax,A^2x)\le\\
      &\le(x,Ax)\norm{Ax}\underbrace{\norm{A^2x}}_{\norm{A}\norm{Ax}}
      \le(x,Ax)\norm{Ax}^2\norm{A}.
    \end{split}\]
    Buď $\norm{Ax}=0\iff Ax=0$, potom $0=\norm{Ax}^2=\norm{A}(x,Ax)$,
    nebo $\norm{Ax}\not=0$ a pak $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{define}
  Pro $A=A^*$ označíme
  \[M_A=\sup_{\norm{x}=1}(x,Ax),\quad m_A=\inf_{\norm{x}=1}(x,Ax).\]
\end{define}
 
\begin{theorem}
  Nechť $A\in\B(\H)$, $A=A^*$. Potom
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$,
  \item $m_A,M_A\in\sigma(A)$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Ukážeme, že $\lambda>M_A\implies\lambda\in\rho(A)$.
Z~definice $M_A$ plyne $(x,Ax)\le M_A\norm{x}^2$ pro každé $x$ a
      tedy pro $\lambda>M_A$ je
      \[(\lambda-M_A)\norm{x}^2\le\lambda(x,x)-(x,Ax)=(x,(\lambda-A)x)\le
      \norm{x}\norm{(A-\lambda)x}\]
      pro každé $x$. Po vydělení $\norm{x}$ z~Weylova kritéria plyne,
      že $\lambda\in\rho(A)$.
    \item Buď $x_n\in\H$, $\norm{x_n}=1$,
      $M_A=\lim_{n\to\infty}(x_n,Ax_n)$. Potom \\$(x_n,(M_A-A)x_n)\to 0$
      a \[\norm{(M_A-A)x_n}^2\le\norm{M_A-A}(x_n,(M_A-A)x_n).\]
      Z~Weylova kritéria pak vyplývá $M_A\in\sigma(A)$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  \label{norma_herm}
  Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom
  \[\norm{A}=r_\sigma(A)=\sup_{\norm{x}=1}\abs{(x,Ax)}=
  \max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}.\]
  \begin{proof}
    Z~předchozí věty plyne, že
    $r_\sigma(A)=\max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}$ a víme, že
    $r_\sigma(A)=\lim\norm{A^n}^{1/n}$.
 
    Pro $x\not=0$ plyne ze Schwarzovy nerovnosti
    $\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)\le\norm{x}\norm{A^2x}$.
    \[\frac{\norm{Ax}^2}{\norm{x}^2}\le
    \frac{\norm{A^2x}}{\norm{x}}.\]
    Z~toho plyne, že $\norm{A}^2\le\norm{A^2}$, současně ale pro každý
    operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže
    $\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na
    $\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$:
    Pro $n=0$ to platí a
    \[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2=
    \left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\]
    Konečně
    \[r_\sigma=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{n}}^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{2^n}}^{2^{-n}}=
    \lim_{n\to\infty}\norm{A}=\norm{A}.\qed\]
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola2&oldid=3106“