01FA2:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 01:29, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Princip stejnoměrné omezenosti} \begin{theorem}[Baire] Nechť $X$ je úplný metrický prostor a $V_n\subset X$, $n\in\N$, jsou otev...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01FA2Gromadan 30. 9. 201514:24
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůGromadan 30. 9. 201514:40
Header editovatHlavičkový souborGromadan 30. 9. 201514:44 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodKubuondr 8. 6. 201809:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatFundamentální věty funkcionální analýzyKubuondr 1. 6. 201810:49 kapitola1.tex
Kapitola10 editovatHolomorfní vektorové funkceKubuondr 4. 6. 201820:19 kapitola2.tex
Kapitola2 editovatSpektrum uzavřeného operátoruKubuondr 2. 6. 201809:16 kapitola3.tex
Kapitola3 editovatSpektrální rozklad pro samosdružené omezené operátoryKubuondr 8. 6. 201809:13 kapitola4.tex
Kapitola8 editovatKompaktní operátoryGromadan 30. 9. 201514:35 kapitola5.tex
Kapitola9 editovatHilbert--Schmidtovy operátoryGromadan 30. 9. 201514:33 kapitola6.tex
Kapitola5 editovatNeomezené operátoryKubuondr 6. 2. 201910:05 kapitola7.tex
Kapitola6 editovatNormální operátoryAdmin 1. 8. 201001:30 kapitola8.tex
Kapitola7 editovatSamosdružené rozšíření symetrických operátorůKubuondr 8. 2. 201911:08 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Princip stejnoměrné omezenosti}
 
\begin{theorem}[Baire]
  Nechť $X$ je úplný metrický prostor a $V_n\subset X$, $n\in\N$, jsou
  otevřené množiny husté v~$X$. Potom $W=\bigcap_n V_n$ je množina hustá
  v~$X$.
  \begin{proof}
    Buď $A\subset X$ otevřená, $A\not=\emptyset$. Chceme ukázat, že
    $W\cap A\not=\emptyset$ tedy, že $W$ je hustá. Sestrojíme posloupnost koulí $B(x_n,r_n)$
    s~vlastnostmi:
    \begin{enumerate}
    \item $0<r_n<\frac1n$,
    \item $\uz{B(x_n,r_n)}\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$,
      $n=2,3,\dots$,
    \item $\uz{B(x_1,r_1)}\subset A\cap V_1$.
    \end{enumerate}
    Existenci takového systému koulí dokážeme indukcí:
    \begin{enumerate}
    \item $n=1$: Zvolme $r_1<1$; protože je $A\cap V_1$ otevřená a
      neprázdná, existuje $r_1$ a $x_1$ takové, že $\uz{B(x_1,r_1)}\subset A\cap
      V_1$.
    \item indukční krok $n-1\to n$: Předpokládejme, že
      $B(x_1,r_1),\dots,B(x_{n-1},r_{n-1})$ známe. Zvolme
      $r_n<\frac1n$. Víme, $B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$ je otevřená a
      neprázdná, takže existuje $r_n$ tak, že $\uz{B(x_n,r_n)}\subset
      B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$.
    \end{enumerate}
    Pro libovolné $n,m\in\N$, $n>m$ je $\uz{B(x_n,r_n)}\subset
    B(x_m,r_m)$ a pro jejich středy platí $\rho(x_n,x_m)<r_m<\frac1m$,
    takže
    \[\rho(x_n,x_m)<\frac1{\min(n,m)}\]
    pro každé $n,m\in\N$. Posloupnost $x_n$ je tedy cauchyovská a
    konverguje k~nějakému $x\in X$. Protože $x_k\in B(x_n,r_n)$ pro každé
    $k\ge n$, je $x\in\uz{B(x_n,r_n)}\subset V_n$ pro každé~$n$.
    Současně $x_k\in B(x_1,r_1)$ a $x\in\uz{B(x_1,r_1)}\subset
    A$. Tedy $x\in W\cap A$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
  Řekneme, že množina $Y$ je řídká, právě když $\vn{(\uz Y)}=\emptyset$.
\end{define}
 
\begin{dusl}
  Úplný metrický prostor nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých
  množin.
  \begin{proof}
    Předpokládejme, že $X=\bigcup_n X_n=\bigcup_n \uz{X_n}$, kde $X_n$
    jsou řídké. z de Morganových zákonů plyne, že $\bigcap_n(X\sm\uz{X_n})=\emptyset$.
    Protože $(X\sm\uz{X_n})$ jsou otevřené, podle Bairovy věty musí
    existovat $n$ takové, že $(X\sm\uz{X_n})$ není hustá, takže $X_n$
    není řídká, což je spor.
  \end{proof}
\end{dusl}
 
\begin{theorem}[Banach-Steinhaus, princip stejnoměrné omezenosti]
  Nechť $X$ je Banachův prostor, $Y$ normovaný prostor a
  $\{A_\alpha\}_{\alpha\in\A}$ libovolný (i nespočetný) systém omezených lineárních
  zobrazení $X$ do $Y$. Pak nastane právě jeden ze dvou případů:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Existuje $M>0$ tak, že $\norm{A_\alpha}\le M$ pro každé
    $\alpha\in\A$.
  \item Existuje hustá podmnožina $G\subset X$ taková, že pro každé
    $x\in G$ je \[\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}=\infty.\]
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    Buď $\phi:X\mapsto [0,+\infty]$,
    $\phi(x):=\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}$. Vytvoříme systém
    množin $V_n:=\{x\in X|\phi(x)>n\}$.
 
    Dokážeme, že $V_n$ jsou otevřené, každý bod tam leží i s okolím: $x\in V_n\iff\phi(x)>n$ a
    existuje $\alpha$ takové, že $\norm{A_\alpha x}>n$. Díky tomu, že
    $A_\alpha$ je omezený a tedy spojitý, existuje okolí $U$ bodu $x$ tak,
    že $\norm{A_\alpha y}>n$ pro $y\in U$ a proto $\phi(y)>n$ pro
    $y\in U$ a tedy $U\subset V_n$. Množiny $V_n$ jsou proto otevřené.
 
    Dále mohou nastat následující dvě možnosti:
    \begin{enumerate}
    \item Existuje $n$ takové, že $V_n$ není hustá. Potom existuje
      $y\in X$ a $r>0$ tak, že $B(y,r)\cap V_n=\emptyset$. Dále pro
      každé $x\in B(y,r)=y+B_r$ je $\phi(x)\le n$ a tedy
      $\norm{A_\alpha x}\le n$ pro každé $\alpha\in\A$.
 
      Buď $z\in B_1$, rozepíšeme ho jako $z=\frac1r((y+rz)-y)$. Dále
      platí
      \[\norm{ A_\alpha} = \sup_{z\in B_1}\norm{A_\alpha z}\]
      \[\norm{A_\alpha z}=\norm{\frac1rA_\alpha((y+rz)-y)}\le
      \frac1r(\norm{A_\alpha(y+rz)}+\norm{A_\alpha y})\le
      \frac{2n}r=M.\]
      Tedy platí (i).
    \item Všechny $V_n$ jsou husté. Z~Bairovy věty poté plyne, že
      $G=\bigcap_n V_n$ je hustá a $x\in G\implies
      (\forall n)(x\in V_n)\implies
      (\forall n)(\phi(x)>n)\implies \phi(x)=+\infty$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
  Pokud pro každé $x\in X$ je $\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha
    x}<\infty$, pak $A_\alpha$ jsou stejnoměrně omezeny.
\end{dusl}
 
\begin{lemma}
  Buďte $\lambda\in\C$, $U,V\subset Y$. Potom 
  \begin{enumerate}[(1)]
  \item $\uz{\lambda U}=\lambda\uz{U}$,
  \item $\uz{U+V}\supset\uz{U}+\uz{V}$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}[(1)]
    \item Je-li $\lambda=0$, dostaneme buď $\{0\}=\{0\}$ nebo
      $\emptyset=\emptyset$. Pokud je $\lambda\not=0$, platí
      \[z\in\uz{\lambda U}\iff(\exists z_n\in\lambda U)(z_n\to z)\iff
      \frac1\lambda z_n\to\frac1\lambda z\in\uz{U}\iff z\in\lambda\uz{U}.\]
    \item Je-li $z\in \uz{U}+\uz{V}$, je $z=u+v$, kde $u\in\uz{U}$ a
      $v\in\uz{V}$ a existují $\{u_n\}\subset U$, $\{v_n\}\subset V$ tak, že
      $u_n\to u$ a $v_n\to v$. Dále $(u_n+v_n)\in (U+V)$ a tedy
      $u+v\in\uz{U+V}$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}[o otevřeném zobrazení]
  Buďte $X$ a $Y$ Banachovy prostory, $A:X\mapsto Y$ omezené lineární
  zobrazení a $\Ran A=Y$. Potom $A$ je otevřené zobrazení (zobrazuje
  otevřené množiny na otevřené).
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item     
    Nejprve dokážeme ekvivalenci tvrzení věty s~existencí $r>0$
      takového, že $A(B_1^X)\supset B_r^Y$. V druhé část z předpokladů věty dokážeme existenci
      $\delta$ tak, že $\uz{A(B_1^X)}\supset B_\delta^Y$. A nakonec dokážeme že $\forall \epsilon >0$ platí $\uz{A(B_{1+\epsilon}^X)}\supset B_\delta^Y$, z čehož už plyne pravdivost toho tvrzení ekvivalentního tvrzení věty. 
 
 
      \begin{enumerate}
      \item ($\Rightarrow$) zřejmé.
      \item ($\Leftarrow$) Buď $S$ otevřená neprázdná. Platí implikace
        $y\in A(S)\implies(\exists x\in~S)(y=Ax)\implies
        (\exists\rho>0)(x+B_\rho^X\subset S)\implies$ $
        y+A(B_\rho^X)\subset~A(S)$. Z~předpokladu a linearity plyne\\
        $B_{\rho r}^Y=\rho B_r^Y\subset\rho A(B_1^X)=A(B_\rho^X)$.
        Celkem tedy $y+B_{\rho r}^Y\subset A(S)$ a proto $A$ je
        otevřené zobrazení.
      \end{enumerate}
    \item Buď $X=\bigcup_{k=1}^\infty B_k^X$ a
      $Y=A(X)=\bigcup_{k=1}^\infty \uz{A(B_k^X)}$. Z~Bairovy věty
      vyplývá existence $k$ takového, že
      $\vn{\left(\uz{A(B_k^X)}\right)}\not=\emptyset$ a $\exists y$ a $\exists \rho>0$
      tak, že $y+B_\rho^Y\subset~A(B_k^X)$.
 
      Podle předchozího lemmatu je
      \[B_\rho^Y=\underbrace{-y}_{\subset A(B_k^X)}+
      \underbrace{(y+B_\rho^Y)}_{\subset A(B_k^X)}
      \subset\uz{A(B_k^X)}+\uz{A(B_k^X)}
      \subset\uz{A(B_k^X+B_k^X)}\subset \uz{A(B_{2k}^X)}.\]
      Pokud zvolíme $\delta=\frac{\rho}{2k}$, je
      $B_\delta^Y\subset\uz{A(B_1^X)}$.
    \item Buď $\epsilon>0$. Ukážeme, že $B_\delta^Y\subset
      A(B_{1+\epsilon}^X)$.Zvolíme libovolné $y \in B_\delta^Y$  a najdeme posloupnost $x_n\in X$ takovou, že
      \begin{enumerate}
      \item $\norm{x_1}<1$,
      \item $\norm{x_n}<\frac{\epsilon}{2^{n-1}}$ pro $n=2,3,\dots$,
      \item $\norm{y-Ax_1-\dots-Ax_n}<\frac1{2^n}\delta\epsilon$,
        $n=1,2,\dots$.
      \end{enumerate}
      \begin{enumerate}
      \item Protože  $y\in B_\delta^Y$, potom existuje
        $x_1\in X$ takové, že $x\in B_1$ ($\norm{x_1}<1$) a
        $\norm{y-Ax_1}<\frac12\delta\epsilon$.
      \item Nechť platí
        \[\norm{y-\sum_{k=1}^n Ax_k}<\frac1{2^n}\delta\epsilon.\]
        Potom
        \[\tilde{y}:=  \frac{2^n}\epsilon \left(y-\sum_{k=1}^n Ax_k\right)
        \in B_\delta^Y\]
        a tedy existuje $\tilde x$, $\norm{\tilde x}<1$ takové, že
        \[\norm{\tilde y-A\tilde x}<\frac12\delta\]
        a po vynásobení $\frac\epsilon{2^n}$
        \[\norm{y-\sum_{k=1}^n Ax_k-
          A\left(\frac\epsilon{2^n} \tilde x\right)}<
        \frac1{2^{n+1}}\delta\epsilon.\]
        Zvolíme tedy $x_{n+1}:=\frac\epsilon{2^n}\tilde x$. Také
        platí, že $\norm{x_{n+1}}\le\norm{\tilde x}
        \frac{\epsilon}{2^n}<\frac{\epsilon}{2^n}$.
      \end{enumerate}
      Protože $\sum_{n=1}^\infty\norm{x_n}$ konverguje a $X$ je b-prostor, konverguje i
      $\sum_{n=1}^\infty x_n=x$ a platí
      \[\norm{x}=\norm{\sum_{n=1}^\infty x_n}\le
      \sum_{n=1}^\infty\norm{x_n}<\sum_{n=2}^\infty
      \frac{\epsilon}{2^{n-1}} + 1 = 1+\epsilon,\]
      takže $x\in B_{1+\epsilon}^X$.
      Dále platí
      \[\norm{y-Ax}=\lim_{n\to\infty}
      \norm{y-A\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)}=0\]
      a tedy $y=Ax$. Z~toho plyne, že $B_\delta^Y\subset
      A(B_{1+\epsilon}^X)$ a zvolíme-li $R=\frac{\delta}{1+\epsilon}$,
      je $B_R^Y\subset A(B_1^X)$. To je ekvivalentní s~tvrzením
      věty.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}[věta o inverzním zobrazení]
  Jsou-li $X$, $Y$ Banachovy prostory a $A:X\mapsto Y$ vzájemně
  jednoznačné omezené lineární zobrazení. Potom $A^{-1}$ je omezené.
  \begin{proof}
    Označme $B:=A^{-1}$. Podle předchozí věty je $B^{-1}=A$ otevřené
    zobrazení a tedy $B$ je spojité, tudíž omezené.
  \end{proof}
\end{dusl}
 
\begin{define}
  Grafem operátoru $A$ nazýváme množinu
  \[\Gamma(A)=\{[x,Ax]|x\in\Dom A\}.\]
\end{define}
 
\begin{define}
  Operátor $A$ je uzavřený, právě když
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Gamma(A)$ je uzavřený, tj.
  \item pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ platí
    \[x_n\to x\wedge Ax_n\to y\implies x\in\Dom A\wedge A~x = y.\]
  \end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
  Nechť $A$ je uzavřený a $A^{-1}$ existuje. Potom $A^{-1}$ je
  uzavřený.
\end{remark}
 
\begin{define}
  Operátor $A:X\mapsto Y$ je uzavíratelný (má uzávěr), právě když
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item existuje uzavřený operátor $B$ takový, že $B\supset A$, tj.
    $\Dom B \supset\Dom A $ a $Bx=Ax$ pro každé $x\in\Dom A$,
    tj. $\Gamma(B)\supset\Gamma(A)$. Nebo
  \item $\uz{\Gamma(A)}$ je grafem nějakého lineárního operátoru.
  \end{enumerate}
  Jestliže $A$ je uzavíratelný, pak existuje jeho nejmenší uzavřené
  rozšíření.
\end{define}
 
\begin{theorem}[o uzavřeném grafu]
  Nechť $T:X\mapsto Y$ je uzavřený lineární operátor, $X,Y$ jsou
  Banachovy prostory. Potom jestliže $\Dom A=X$, pak $A$ je omezený
  $(A\in\B(X,Y))$.
  \begin{proof}
  Podle předpokladů je $\Gamma(T)$ uzavřený podprostor v $X\oplus Y$, takže $\Gamma(T)$ je B-prostor s normou
  $$\norm{[x,y]}_{\oplus} = \norm{x}_X+\norm{y}_Y$$
  Zobrazení $S_1: \Gamma(T) \mapsto X$, $S_1([x,Tx]) = x$ je vzájemně 
  jednoznačná spojité zobrazení prostorů  $\Gamma(T)$ a $X$, tudíž podle věty o inverzním zobrazení je $S_1^{-1}$ spojité. 
  Podobně zavedeme spojité zobrazení $S_2: \Gamma(T) \mapsto X$, $S_2([x,Tx]) = Tx$. Složené zobrazení $S_2\circ S_1^{-1}$ je definováno na celém $X$ a $\forall x \in X$ platí $S_2( S_1^{-1}x) = Tx$ proto $T = S_2\circ S_1^{-1}$. Protože složení dvou spojitých zobrazení je spojité, je i $T$ spojité. 
 
 
 
 
 
 
%     Platí, že $\Dom A\cong\{[x,Ax]|x\in\Dom A\}$. Definujme
%     zobrazení $T:x\in\Dom A\mapsto [x,Ax]\in\Gamma(A)$. Na $X$
%     definujeme další normu $\norm{x}':=\norm{Tx}_{X\times
%       Y}=\norm{x}_X+\norm{Tx}_Y$. Operátor $A$ je uzavřený, právě když
%     $(\Dom A,\norm{\cdot}')$ je Banachův prostor.
% 
%     Definujme dále $\pi_X:[x,y]\mapsto x$. Platí, že
%     \[\norm{\pi_X[x,y]}=\norm{x}\le\norm{x}+\norm{y}=\norm{[x,y]}.\]
%     Zúžení $\pi_X\restriction\Gamma(A):\Gamma(A)\mapsto X$ je
%     omezená bijekce a $(\pi_X\restriction\Gamma(A))^{-1}=T$. Z~toho
%     plyne, že $\Gamma(A)=\uz{\Gamma(A)}$ je Banachův prostor a $T$ je
%     omezené.
%     
%     Dále stejným způsobem zkonstruujeme zobrazení
%     $\pi_Y:\Gamma(A)\mapsto Y$ a analogicky se dokáže, že
%     $\pi_YT:X\mapsto Y$ je omezené. Zřejmě je $\pi_Y
%     Tx=\pi_Y[x,Ax]=Ax$. Proto $A\in\B(X,Y)$.
  \end{proof}
\end{theorem}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola1&oldid=3104“