Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Hilbert--Schmidtovy operátory}
V celé kapitole budeme předpokládat, že $\H$ je separabilní Hilbertův prostor nad $\C$.
\begin{define}
$A\in\B(\H)$ je Hilbert--Schmidtův operátor, právě když existuje ON báze $\{x_n\}$ v~$\H$ taková, že $\sum_n\norm{Ax_n}^2<\infty$.
\end{define}
\begin{lemma}
Je-li $A\in\B(\H)$ a $\{x_n\}$ a $\{y_k\}$ jsou ON báze v~$\H$,
potom $\sum_n\norm{Ax_n}^2=\sum_k\norm{A^*y_k}^2$.
\begin{proof}
\[\begin{split}
\sum_n\norm{A x_n}^2&=\sum_n\la A x_n,Ax_n\ra=
\sum_n\sum_k\la Ax_n,y_k\ra\la y_k,Ax_n\ra=\\
&=\sum_n\sum_k\abs{\la Ax_n,y_k\ra}^2=
\sum_k\sum_n\abs{\la x_n,A^*y_k\ra}^2=
\sum_k\norm{A^* y_k}^2.
\end{split}\]
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{dusl}
Hilbert--Schmidtova norma
\[\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}=\norm{A}_2\]
nezávisí na volbě ON báze. Navíc $\norm{A}_2=\norm{A^*}_2$.
\end{dusl}
\begin{define}
Prostor Hilbert--Schmidtových operátorů značíme $\I_2\subset\B(\H)$.
Pro $A,B\in\I_2$ definujeme
\[\la A,B\ra _2 := \sum_n\la Ax_n,Bx_n\ra ,\]
kde $\{x_n\}$ je ON báze.
\end{define}
\begin{lemma}
$\I_2$ je podprostor $\B(\H)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Buďte $A,B\in\I_2$. Je jasné, že $\norm{\lambda A}_2=\abs{\lambda}\norm{A}_2$. Využitím trojúhelníkové nerovnosti v $l^2$ dále získáme
\[\norm{A+B}_2\le\left(\sum_n(\norm{Ax_n}+\norm{Bx_n})^2\right)^{1/2}\le
\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}+\left(\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)^{1/2}<\infty.\]
\end{proof}
\begin{lemma}
Suma v definici zobrazení $\la \cdot,\cdot \ra_2 \colon\I_2\to\C$ konverguje absolutně, nezávisí na volbě ON báze a představuje skalární součin na prostoru $\I_2$ (Hilbert--Schmidtova norma $\norm{\cdot}_2$ je tedy skutečně norma). Navíc platí $\la A,B \ra_2 = \la B^*,A^* \ra_2$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Buď $\{x_n\}$ ON báze. Užitím Schwarzovy nerovnosti v $\H$ a v $l^2$ ukážeme absolutní konvergenci
\[\sum_n\abs{\la Ax_n,Bx_n\ra }\le
\sum_n\norm{Ax_n}\norm{Bx_n}
\le\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}
\left(\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)^{1/2}=\norm{A}_2\norm{B}_2<\infty.\]
Nechť je nyní $\{y_k\}$ libovolná jiná ON báze. Nejenže ověříme rovnost skalárních součinů $ \la A,B\ra_2 = \la B^*,A^*\ra_2$, ale cestou odvodíme nezávislost výrazu $\la A,B \ra_2$ na zvolené bázi.
\[\begin{split}
\la A,B\ra_2&=\sum_n\la Ax_n,Bx_n\ra=
\sum_n\sum_k\la Ax_n,y_k\ra\la y_k,Bx_n\ra =\\
&=\sum_k\sum_n\la B^*y_k,x_n\ra\la x_n,A^*y_k\ra=
\sum_k\la B^*y_k,A^*y_k\ra=\la B^*,A^*\ra_2.
\end{split}
\]
Využili jsme při tom, že absolutně konvergentní řady lze přerovnat. Ověříme onu absolutní konvergenci opět s použitím Schwarzovy nerovnosti
\[\begin{split}
\sum_n\sum_k\abs{\la Ax_n,y_k\ra\la y_k,Bx_n\ra}\le
\sum_n\left(\sum_k\abs{\la Ax_n,y_k \ra}^2\right)^{1/2}\left(\sum_k\abs{\la y_k,Bx_n \ra}^2\right)^{1/2}&=\\
=\sum_n\norm{Ax_n}\norm{Bx_n}\le\norm{A}_2\norm{B}_2.
\end{split}\]
Seskvilinearita $\la\cdot,\cdot\ra_2$ plyne snadno ze seskvilinearity skalárního součinu na $\H$. Rovněž není těžké ověřit pozitivitu.
\end{proof}
\begin{tvrzeni}
$\I_2$ je dvoustranný $*$-ideál v $\B(\H)$.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Buď $A\in\I_2$ a $B\in\B(\H)$. Z lemmatu výše plyne $A^*\in\I_2$. Dále využitím Schwarzovy nerovnosti máme $\sum_k\norm{BAx_k}^2\le\sum\norm{B}^2\norm{Ax_k}^2=\norm{B}\norm{A}_2$, tedy $BA\in\I_2$. Protože $\B(\H)$ i $\I_2$ jsou uzavřené na sdružování, musí být i $B^*A^*\in\I_2$, a tedy i $AB\in\I_2$.
\end{proof}
\begin{tvrzeni}
Buďte $A,B\in\I_2$, $T\in\B(\H)$, pak $\la TA,B\ra_2=\la A,T^*B\ra_2$ a $\la AT,B\ra_2=\la A,BT^*\ra_2$.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Plyne přímo z definice.
\end{proof}
\begin{theorem}\label{V.HSner}
Pro každé $A\in\I_2$ je $\norm{A}\le\norm{A}_2$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Vezměme libovolné $z\in\H$ a ON bázi $\{x_k\}$, pak
\[\norm{Az}^2=\sum_k\abs{\la Az,x_k\ra}^2=\sum_k\abs{\la z,A^* x_k\ra}^2\le\sum_k\norm{z}^2\norm{A^*x_k}^2=\norm{A}_2^2\norm{z}^2.\]
\end{proof}
\begin{theorem}
Každý Hilbert--Schmidtův operátor je kompaktní.
\end{theorem}
\begin{proof}
Buď, $A\in\I_2$, $\{x_k\}$ ON báze $\H$. Definujme pro každé $n\in\N$ $P_n$ jako ortogonální projektor na lineární obal $\{x_1,\dots,x_n\}$. Projektor $P_n$ je konečněrozměrný operátor, a tedy i složení $P_nA$ je konečněrozměrné. Ukážeme, že konverguje k $A$, které tak bude limitou konečněrozměrných operátorů, a bude tedy kompaktní. Přitom využijeme, že $I-P_n$ je doplňkový projektor, který projektuje na obal $\{x_{n+1},\dots\}$.
\[\norm{A-P_nA}^2=\norm{A^*(I-P_n)}^2\le\norm{A^*(I-P_n)}_2^2=\sum_{k=0}^{+\infty}\norm{A^*(I-P_n)x_k}^2=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\norm{A^*x_k}^2,\]
což je chvost konvergentní posloupnosti, který jde pro $n\to+\infty$ k nule.
\end{proof}
\begin{theorem}
Prostor $(\I_2,\la\cdot,\cdot\ra_2)$ je Hilbertův.
\end{theorem}
\begin{proof}
Zbývá ověřit už jenom úplnost. Nechť je $(A_n)$ cauchyovská v $\I_2$, pak je z věty \ref{V.HSner} cauchyovská i v $\B(\H)$, což je úplný prostor, musí v něm tedy konvergovat k nějakému operátoru $A\in\B(\H)$. Zbývá ukázat, že $A\in\I_2$ a že $(A_n)$ konverguje k $A$ i v $\I_2$.
V důkazu využijeme Fatouovo lemma, které pro posloupnost nezáporných $\mu$-měřitelných funkcí $(f_n)$ říká $\liminf\int f_n\d\mu\ge\int\liminf f_n\d\mu$. Zvolíme-li zde diskrétní míru $\mu$, přejdou integrály v součty.
Nechť $\{x_k\}$ je ON báze $\H$, odhadneme pak
\[\norm{A}_2^2=\sum_k\norm{Ax_k}^2=\sum_k\liminf_{n\to+\infty}\norm{A_nx_k}^2\le\liminf_{n\to+\infty}\sum_k\norm{A_nx_k}^2=\liminf_{n\to+\infty}\norm{A_n}_2^2<+\infty,\]
přičemž poslední nerovnost plyne z toho, že $(A_n)$ je v $\I_2$ cauchyovská. Dokázali jsme tak $A\in\I_2$. Analogicky ukážeme, že $\norm{A_n-A}_2^2\le\liminf_{l\to+\infty}\norm{A_l-A_n}_2^2$, což je opět z cauchyovskosti od jistého $n_0$ menší než dané $\epsilon$.
\end{proof}
\begin{example}
Integrální operátory jsou Hilbert--Schmidtovy.
Vezměme $\H=L^2(M,\d\mu)$, kde $M\subset\R^n$ je měřitelná množina a $\d\mu$ je nezáporná míra ve tvaru $\d\mu(x)=\rho(x)\d^nx$, kde $\rho$ je měřitelná a skoro všude kladná funkce. Takový Hilbertův prostor je separabilní, existuje tedy ON báze $(\phi_n)_{n=1}^{+\infty}$.
Měřitelnou funkci $\K\colon M\times M\to\C$ nazveme \emph{integrální jádro} a definujeme tzv. \emph{integrální operátor} $K$ příslušný integrálnímu jádru $\K$ rovnicí
\[(Kf)(x):=\int_M\K(x,y)f(y)d\mu(y).\]
Ukážeme, že jestliže $\K\in L^2(M\times M,\d\mu\times\d\mu)$, je $K$ dobře definovaný a omezený.
\[\left(\int_M\abs{\K(x,y)f(y)}\d\mu(y)\right)^2\le\int_M\abs{\K(x,y)}^2\d\mu(y)\int_M\abs{f}^2\d\mu=\norm{f}^2\int_M\abs{\K(x,y)}^2\d\mu(y)<+\infty\]
pro s. v. $x$, tedy $Kf$ existuje a platí
\[\norm{Kf}^2=\int_M\left|\int_M\K(x,y)f(y)\d\mu(y)\right|^2\d\mu(x)\le\int_M\norm{f}^2\int_M\abs{\K(x,y)}^2\d\mu(y)\;\d\mu(x)=\norm{f}^2\norm{\K}_{L^2}^2,\]
takže $K\in\B(\H)$ a $\norm{K}\le\norm{\K}_{L^2}^2$.
Nyní ukážeme, že $K$ je dokonce Hilbert--Schmidtův (a tedy i kompaktní) a platí $\norm{K}_2=\norm{\K}_{L^2}$. K tomu však nejprve odvodíme, že množina $\{\psi_{m,n}\}_{m,n=0}^{+\infty}$ funkcí na $M\times M$, kde $\psi_{m,n}(x,y):=\phi_m(x)\overline{\phi_n(y)}$ tvoří ON bázi $L^2(M\times M)$. Ortonormalita se dokáže snadno
\[\la\psi_{m,n},\psi_{m',n'}\ra=\int_{M\times M}\overline{\phi_m(x)}\phi_n(y)\phi_{m'}(x)\overline{\phi_{n'}(y)}=\delta_{m,m'}\delta_{n,n'}.\]
Nyní ukážeme úplnost báze. Nechť $F\in\{\psi_{n,m}\}^\perp$, ukážeme, že $F=0$. Platí tedy pro každé $m,n\in\N$
\[0=\la\psi_{m,n},F\ra=\int_{M\times M}\overline{\phi_m(x)}\phi_n(y)F(x,y)\d\mu(x)\d\mu(y)=\int_M\overline{\phi_m(x)}\int_MF(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)\d\mu(x),\]
kde jsme mohli použít Fubiniho větu, protože už jsme ukázali výše, že $\int_MF(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)\in L^2(M)$. Z úplnosti báze $\{\phi_n\}$ pak plyne, že pro s. v. $x$ je $0=\int_MF(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)$. Tuto rovnost můžeme komplexně sdružit, a protože pro s. v. $x$ je $F(x,\cdot)\in L^2(M)$ a $\{\bar\phi_n\}$ je také ON báze, znamená to, že pro s. v. $x,y\in M$ je $F(x,y)=0$, což jsme chtěli ukázat.
Vraťme se tedy k důkazu $K\in\I_2$.
\[\norm{K}_2^2=\sum_n\norm{K\phi_n}^2=\sum_n\sum_m\abs{\la\phi_m,K\phi_n\ra}^2=\sum_n\sum_m\abs{\int_M\overline{\phi_m(x)}\int_M\K(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)\d\mu(x)}^2.\]
Na tento výraz použijeme Fubiniho větu. To můžeme díky tomu, že $\overline{\phi_m(x)}\phi_n(y)\in L^2(M\times M)$ a $\K\in L^2(M\times M)$, takže jejich součin je integrabilní. Získáváme tedy
\[\norm{K}_2^2=\sum_{m,n}\abs{\int_{M\times M}\overline{\phi_m(x)\overline{\phi_n(y)}}\K(x,y)\d\mu(x)\d\mu(y)}^2=\sum_{m,n}\abs{\la\psi_{m,n},\K\ra}^2=\norm{\K}_{L^2}^2.\]
\end{example}
\begin{remark}
Na cvičení se ukáže, že $K^*$ je také integrální operátor, který přísluší integrálnímu jádru $\K_*(x,y)=\overline{\K(y,x)}$. Je-li tedy $\K(x,y)=\overline{\K(y,x)}$, je $K$ hermitovský a má reálné čistě bodové spektrum.
\end{remark}
