Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Normální operátory}
\begin{theorem}
Nechť $A$ je uzavřený operátor, $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $A^*A$ je
samosdružený a platí $\uz{A\restriction\Dom(A^*A)}=A$ ($\Dom(A^*A)$ je
\uv{core} pro $A$).
\begin{proof}
Platí: $\Dom(A^*A)=\{x\in\Dom A|Ax\in\Dom A^*\}$. Dále
$\H_+=(\Gamma(A),(\cdot,\cdot)_+)$, kde $(x,y)_+=(x,y)+(Ax,Ay)$,
je Hilbertův prostor a $\Dom(A)$ je izomorfní s~$\Gamma(A)$: $\Dom
A\ni x\mapsto[x,Ax]\in\Gamma(A)$. Pro normu v~$\Gamma(A)$ platí
$\norm{x}_+=\sqrt{\norm{x}^2+\norm{Ax}^2}\ge\norm{x}$ a proto
zobrazení $\iota:\H_+\hookrightarrow\H:[x,Ax]\mapsto x$ je spojité
vnoření ($\norm{\iota([x,Ax])}=\norm{x}\le\norm{x}_+$).
Pro libovolné $z\in\H$ položme $\phi_z(u)=(z,u)$ pro
$u\in\Dom(A)\equiv\H_+$. Funkcionál $\phi_z\in\H_+^*$, neboť
\[\abs{\phi_z(u)}=\abs{(z,u)}\le\norm{z}\norm{u}\le\norm{z}\norm{u}_+\]
a tedy $\norm{\phi_z}_+\le\norm{z}$.
Z~Riezsova lemmatu plyne existence
lineárního zobrazení $F$ takového, že pro každé
$z\in\H$, $u\in\Dom A$ je $\phi_z(u)=(Fz,u)_+$ pro každé
$u\in\H_+$, tj.
\[(z,u)=(Fz,u)+(AFz,u)\iff(z-Fz,u)=(AFz,Au).\]
Pro každé $z\in\H$ je tedy $AFz\in\Dom A^*$ a $A^*AFz=z-Fz$.
Z~toho také plyne, že $Fz\in\Dom A^*A$. Tedy
$F:\H\mapsto\Dom(A^*A)$ a po úpravě $(I+A^*A)F=I$. Je-li $Fz=0$,
pak také $z=(I+A^*A)Fz=0$ a proto $\Ker F=\{0\}$.
Zvolme $z=(I+A^*A)v$, kde $v\in\Dom A^*A$. Po úpravě dostaneme
\[(I+A^*A)(v-F(I+A^*A)v)=0.\]
Operátor $I+A^*A$ je prostý: Buď $u\in\Dom(I+A^*A)$,
$(I+A^*A)u=0$. Potom
\[\begin{split}
0&=(u,(I+A^*A)u)=\norm{u}^2+(u,A^*Au)=\norm{u}^2+(Au,Au)=\\
&=\norm{u}+\norm{Au}^2\ge\norm{u}^2
\end{split}\]
a proto $u=0$. Odtud pro každé $v\in\Dom A^*A$ je $v-F(I+A^*A)v=0$
a proto $F(I+A^*A)=I_{\Dom A^*A}$, $\Ran F=\Dom(A^*A)$,
$F=(I+A^*A)^{-1}$ a $I+A^*A=F^{-1}$.
Dále pro každé $z,v\in\H$ je
\[(z,Fv)=(Fz,Fv)+(AFz,AFv)=
\overline{(Fv,Fz)}+\overline{(AFv,AFz)}=
\overline{(v,Fz)}=(Fz,v).\]
Operátor $F$ je tedy symetrický a protože $\Dom F=\H$, je i
omezený a samosdružený. Dále $\uz{\Ran F}=\H$, neboť
$(\Ran F)^\perp=\Ker F^*=\Ker F=\{0\}$, takže
$(F^{-1})^*=(F^*)^{-1}=F^{-1}$. Proto i $A^*A=F^{-1}-I$ je
samosdružený a $\Dom A^*A=\Dom F^{-1}=\Ran F$.
Zbývá dokázat tvrzení o~uzávěru. Buď $B=A\restriction\Dom
A^*A$. Potom $\uz
B=A\iff\uz{\Gamma(B)}=\Gamma(A)\iff \Gamma(B)^\perp=\{0\}$, kde
$\Gamma(B)^\perp$ značí OG doplněk v~$\Gamma(A)$.
Platí $\Gamma(B)=\{[x,Ax]|x\in\Dom(A^*A)\}$. Nechť
$[u,Au]\in\Gamma(A)$ leží v~$\Gamma(B)^\perp$. Potom pro každé
$x\in\Dom A^*A$ je
\[0=([u,Au],[x,Ax])=(u,x)+(Au,Ax)=(u,(I+A^*A)x)=(u,F^{-1}x).\]
Protože $F^{-1}:\Dom A^*A\mapsto\H$ je surjektivní, je $(u,y)=0$
pro každé $y\in\H$ a proto $u=0$ a $[u,Au]=0$. Tedy $\uz B=A$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Uzavřený, hustě definovaný operátor $A$ je normální, právě když
$\Dom A=\Dom A^*$ a $\forall x\in\Dom A$, $\norm{Ax}=\norm{A^*x}$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Předpokládejme, že $A$ je normální ($A^*A=AA^*$). Položme
$V=\Dom A^*A=\Dom AA^*\subset\Dom A\cap A^*$. Potom pro $x\in V$
je
\[\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^*Ax)=(x,AA^*x)=(A^*x,A^*x)=\norm{A^*x}^2.\]
Z~předchozí věty plyne $A=\uz{A\restriction V}$,
$A^*=\uz{A^*\restriction V}$ (protože $A=\uz A$, je $A=A^{**}$,
$AA^*=(A^*)^*A^*$ a tedy $A^*$ je normální).
Potom
\[\begin{split}
y\in\Dom
A~&\iff(\exists y_n\in V)(y_n\to y\text{ a $\{A_n\}$ je
cauchyovská})\\
&\iff(\exists y_n\in V)(y_n\to y\text{ a $\{A^*_n\}$ je
cauchyovská})\\
&\iff y\in\Dom A^*.
\end{split}\]
Z~toho plyne $\Dom A=\Dom A^*$. Navíc pro $y_n\in V$ je
$\norm{Ay_n}=\norm{A^*y_n}$, provedením limity dostáváme
$\norm{Ay}=\norm{A^*y}$ pro každé $y\in\Dom A$.
\item Nechť $\Dom A=\Dom A^*$, $\norm{Ay}=\norm{A^*y}$. Použitím
polarizační formule dostáváme rovnost $(Ax,Ay)=(A^*x,A^*y)$ pro
každé $x,y\in\Dom A$. Dále pro každé $x\in\Dom A^*A$, $y\in\Dom
A=\Dom A^*$ je $(A^*Ax,y)=(A^*x,A^*y)$. Z~toho plyne
$A^*x\in\Dom A^{**}=\Dom A$ a tedy $x\in\Dom AA^*$. Protože
$\Dom A$ je hustý, je $AA^*x=A^*Ax$, takže $A^*A\subset
AA^*$. Symetricky i $AA^*\subset A^*A$, celkem $AA^*=A^*A$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $A=\uz A$ je normální. Potom
\begin{enumerate}
\item $\lambda\in\rho(A)\iff\exists M>0\ \forall x\in\Dom A\
\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$.
\item $\lambda\in\sigma(A)\iff\exists x_n\subset\Dom A,\
\norm{x_n}=1$ taková, že $\lim(A-\lambda)x_n=0$,
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Nechť $\lambda\in\rho(A)$. Potom
$\norm{(A-\lambda)^{-1}}<\infty$ a pro každé $x\in\Dom A$ je
\[\norm{x}=\norm{(A-\lambda)^{-1}(A-\lambda)x}\le
\norm{(A-\lambda)^{-1}}\norm{(A-\lambda)x},\]
takže \[M=\frac{1}{\norm{(A-\lambda)^{-1}}}.\]
\item Z~nerovnosti $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$ plyne, že
$A-\lambda$ je prostý. Proto $(A-\lambda)^{-1}$ existuje a
$\Dom(A-\lambda)^{-1}=\Ran A-\lambda$. Operátor $A$ je normální,
takže i $A-\lambda$ je normální a podle předchozí věty pro každé
$x\in\Dom A=\Dom A^*$ je
$\norm{(A-\lambda)x}=\norm{(A^*-\overline\lambda)x}$,
a proto $\Ker A-\lambda=\Ker A^*-\overline\lambda=\Ran
(A-\lambda)^\perp$ a tedy $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\H$.
Buď $x\in\Dom(A-\lambda)^{-1}$, $x=(A-\lambda)y$, $y\in\Dom
A$. Potom
\[\norm{y}\le\frac1M\norm{(A-\lambda)y}\iff
\norm{(A-\lambda)^{-1}x}\le\frac1M\norm{x}\]
a proto $(A-\lambda)^{-1}$ je omezený. Protože $A$ je uzavřený,
je i $(A-\lambda)^{-1}$ uzavřený a z~omezenosti a uzavřenosti
plyne $\Dom (A-\lambda)^{-1}=\uz{\Dom
(A-\lambda)^{-1}}=\H$. Tedy $\lambda\in\rho(A)$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
$A=A^*\implies\sigma(A)\subset\R$.
\begin{proof}
Obdobně jako v~omezeném případě.
\end{proof}
\end{dusl}
