Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Neomezené operátory}
Obecně $\Dom A\not=\H$, obvykle požadujeme $\uz{\Dom A}=\H$.
\begin{enumerate}
\item $A=B\iff\Dom A=\Dom B\wedge Ax=Bx\ \forall x\in\Dom A$,
\item $C=AB$: $\Dom C=\{x\in\Dom B|Bx\in\Dom A\}$, $Cx=ABx\ \forall
x\in\Dom C$,
\item $C=A+B$: $\Dom C=\Dom A\cap\Dom B$.
\end{enumerate}
\begin{define}
Nechť $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $x\in \Dom A^*$, právě když existuje
$u\in\H$ tak, že pro každé $y\in\Dom A$ je $(x,Ay)=(u,y)$. Jestliže
$u\in\H$ existuje, pak je určeno jednoznačně: Kdyby existovalo
$u'\in\H$ tak, že pro každé $y\in\Dom A$ $(x,Ay)=(u',y)$, pak pro
každé $y\in\Dom A$ je $(u-u',y)=0$ a $u-u'\in\Dom A^\perp=(\uz{\Dom
A})^\perp=\{0\}$. Pokládáme $A^*x=u$.
\end{define}
\begin{tvrzeni}
Platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(\lambda A)^*=\uz{\lambda}A^*$ ($\lambda\not=0$);
\item $(A+B)^*\supset A^*+B^*$, pokud je levá strana definovaná
($\uz{\Dom (A+B)}=\uz{\Dom A\cap \Dom B}=\H$);
\item $(AB)^*\supset B^*A^*$, pokud je levá strana definovaná
($\Dom AB=\H$);
\item $A\subset B\implies B^*\subset A^*$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Buď $x\in\Dom A^*=\Dom(\lambda A^*)$ (platí pro
$\lambda\not=0$). Pro $y\in\Dom(\lambda A)$ platí
\[(x,(\lambda A)y)=(x,\lambda(Ay))=\lambda(x,Ay)=\lambda(A^*x,y)=
(\overline\lambda A^*x,y),\]
z~čehož plyne $x\in\Dom (\lambda A)^*$, díky jednoznačnosti
$\overline\lambda A^*x=(\lambda A)^*x$ a $\overline\lambda
A^*\subset (\lambda A)^*$.
Naopak buď $x\in\Dom(\lambda A)^*$, pak
\[(\overline\lambda x,Ay)=(x,\lambda Ay)=((\lambda A)^*x,y).\]
Proto $x\in\Dom(\overline\lambda A^*)$ a $(\lambda
A)^*\subset\overline\lambda A^*$. Celkem
$(\lambda A)^*=\overline\lambda A^*$.
\item Buď $x\in\Dom(A^*+B^*)$, tedy $x\in\Dom A^*\cap\Dom B^*$,
$y\in\Dom(A+B)$. Pak
\[(x,(A+B)y)=(x,Ay)+(x,By)=(A^*x,y)+(B^*x,y)=((A^*+B^*)x,y).\]
\item Buď $x\in\Dom(B^*A^*)\iff x\in\Dom B^*\wedge A^*x\in\Dom
B^*$. Pro každé $y\in\Dom(AB)$, tj. $y\in\Dom B$, $By\in\Dom A$
platí
\[(x,(AB)y)=(x,A(By))=(A^*x,By)=(B^*(A^*x),y)=(B^*A^*x,y).\]
Proto $x\in\Dom(AB)^*$, $(AB)^*x=(B^*A^*)x$ a $B^*A^*\subset
(AB)^*$.
\item Buď $x\in\Dom B^*$. Pro $y\in\Dom(A)\subset\Dom(B)$ platí
\[(x,Ay)=(x,By)=(B^*x,y)\]
a $x\in\Dom A^*$, $A^*x=B^*x\implies B^*\subset A^*$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{tvrzeni}
\begin{theorem}
Nechť $\uz{\Dom A}=\H$, $A^{-1}$ existuje ($\Ker A=0$) a
$\uz{\Dom A^{-1}}=\H$ ($\Dom A^{-1}=\Ran A$). Potom $(A^*)^{-1}$
existuje a platí $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Buď $x\in\Ker A^*$. Potom pro každé $y\in\Dom A$ je
$(x,Ay)=(0,y)=0$. Protože $Ay\subset\Ran A=\Dom A^{-1}$, který
je hustý, je $x=0$, tj. $\Ker A^*=\{0\}$ a tedy $(A^*)^{-1}$
existuje.
\item Buď $y\in\Dom(A^{-1})=\Ran A$, $y=Au$, $u\in\Dom A$,
$(x,A^{-1}y)=(x,u)$.
Pro každé $u\in\Dom A$, $x\in\Dom(A^*)^{-1}$ je
\[(x,A^{-1}Au)=(x,u)=(A^*(A^*)^{-1}x,u)=((A^*)^{-1}x,Au).\]
Pro $y\in\Dom(A^{-1})$, $x\in\Dom(A^*)^{-1}$ je
$(x,A^{-1}y)=((A^*)^{-1}x,y)$, tudíž $x\in\Dom(A^{-1})^*$ a
$(A^{-1})^*x=(A^*)^{-1}x$.
\item Buď $y\in\Dom(A^{-1})^*$, $x\in\Dom A^{-1}$. Potom
\[((A^{-1})^*y,AA^{-1}x)=((A^{-1})^*y,x)=(y,A^{-1}x).\]
Pro $y\in\Dom(A^{-1})^*$, $z\in\Dom A$ je
$((A^{-1})^*y,Az)=(y,z)$. Proto $(A^{-1})^*y\in\Dom A^*$,
$A^*(A^{-1})^*y=y\in\Ran A^*=\Dom(A^*)^{-1}$,
$(A^*)^{-1}y=(A^{-1})^*y$ a $(A^{-1})^*\subset(A^*)^{-1}$.
Celkem $(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $A=\uz A\implies\uz{\Ker A}=\Ker A$.
\item Je-li $\uz{\Dom A}=\H$, potom $\Ran(A-\lambda
I)^\perp=\Ker(A^*-\overline\lambda I)$.
\begin{proof}
$x\in\Ran(A-\lambda I)^\perp\iff(x,(A-\lambda I)y)=0\ \forall
y\in\Dom A\iff x\in\Ker(A^*-\overline\lambda I)$.
\end{proof}
\item Jestliže $\uz{\Dom A}=\H$, $B\in\B(\H)$, pak $(A+B)^*=A^*+B^*$
a $\Dom(A+B)=\Dom(A)$. Specielně $(A-\lambda
I)^*=A^*-\overline\lambda I$.
\item Je-li $A\in\B(\H)$, pak $A^{**}=A$. Je-li $A$ neomezený,
potom $A^{**}$ existuje, právě když $\uz{\Dom A^*}=\H$; potom
$A^{**}=\uz A$.
\item $\Gamma(\uz A)=\uz{\Gamma(A)}$,
$\Gamma(A)\subset\H\oplus\H$. Definujeme
$([x,y],[x',y'])=(x,x')+(y,y')$,
$\norm{[x,y]}=\sqrt{\norm{x}^2+\norm{y}^2}$. Označme
$U:\H\oplus\H\mapsto\H\oplus\H:[x,y]\mapsto[y,-x]$. Zřejmě
$U^2=-I$, $U^*=U^{-1}=-U$.
\item Buď $M\subset \H\oplus\H$. Pak $U(M)^\perp=U(M^\perp)$:
\[\begin{split}
[x,y]\in U(M)^\perp&\iff\forall[u,v]\in U(\Gamma):([x,y],[u,v])=0\\
&\iff\forall[u,v]\in\Gamma:([x,y],[v,-u])=0\\
&\iff(x,v)-(y,u)=0,
\end{split}\]
\[\begin{split}
[x,y]\in U(M^\perp)&\iff[-y,x]\in\Gamma^\perp\\
&\iff\forall[u,v]\in M([-y,x],[u,v])=0\\
&\iff -(y,u)+(x,v)=0.
\end{split}\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{lemma}
Nechť $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $\Gamma(A^*)=U(\Gamma(A))^\perp$.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
[x,y]\in\Gamma(A^*)&\iff\forall u\in\Dom A:(x,Au)=(y,u)\\
&\iff\forall[u,Au]\in\Gamma(A):
([x,y],\underbrace{[Au,-u]}_{U[u,Au]})=0\\
&\iff\forall[u,v]\in\Gamma(A):([x,y],U[u,v])=0\\
&\iff[x,y]\in U(\Gamma(A))^\perp.\qed
\end{split}
\]
\noqed
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{dusl}
$A^*$ je uzavřený, neboť $\Gamma(A^*)=\uz{\Gamma(A^*)}$.
\end{dusl}
\begin{theorem}
Nechť $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $A^{**}=(A^*)^*$ existuje, právě když
$A$ je uzavíratelný a navíc $A^{**}=\uz{A}$.
\begin{proof}
$A^{**}$ existuje $\iff\uz{\Dom
A^*}=\H\iff\Dom(A^*)^\perp=\{0\}$. Dále
\[\begin{split}
[x,0]\in\Gamma(A^*)^\perp&\iff
\forall[u,v]\in\Gamma(A^*):0=([x,0],[u,v])=(x,u)\\
&\iff x\in\Dom(A^*)^\perp
\end{split}\]
a
\[\begin{split}
x\in\Dom(A^*)^\perp&\iff[x,0]\in\Gamma(A^*)^\perp=
{U(\Gamma(A))^\perp}^\perp=\uz{U(\Gamma(A))}=U(\uz{\Gamma(A)})\\
&\iff -U[x,0]\in\uz{\Gamma(A)}\\&\iff[0,x]\in\uz{\Gamma(A)}.
\end{split}\]
Z~toho plyne
\[\begin{split}
\exists A^{**}&\iff\uz{\Dom A^*}=\H\iff\Dom(A^*)^\perp=\{0\}\\
&\iff\{x\in\H|[0,x]\in\uz{\Gamma(A)}\}=\{0\}\\
&\iff\uz{\Gamma(A)}\text{ je graf}\\
&\iff A\text{ je uzavíratelný}.
\end{split}\]
Konečně
\[\Gamma(A^{**})=U(\Gamma(A^*))^\perp=U(\Gamma(A^*)^\perp)=
U(\uz{U(\Gamma(A))})=U^2(\uz{\Gamma(A)})=
\uz{\Gamma(A)}=\Gamma(\uz{A}).\]
Přitom jsme využili toho, že $\uz{\Gamma(A)}$ je podprostor, takže
$(-1)\uz{\Gamma(A)}=\uz{\Gamma(A)}$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Nechť $A$ je hustě definovaný. Potom
\begin{enumerate}
\item $A$ je symetrický, právě když (ekvivalentní formulace)
\begin{enumerate}
\item $(\forall x,y\in\Dom A)((Ax,y)=(x,Ay))$,
\item $(\forall x\in\Dom A)(x\in\Dom A^*,\ A^*x=Ax)$,
\item $A\subset A^*$.
\end{enumerate}
\item $A$ je samosdružený, právě když $A^*=A$.
\item $A$ je normální, právě když $A^*A=AA^*$ (včetně definičních
oborů).
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item Symetrický operátor je uzavíratelný.
\item Uzávěr symetrického operátoru je symetrický.
\item Je-li $A$ symetrický a $\Dom A =\H$, potom $A$ je omezený.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $A\subset A^*$, $A^*$ je uzavřený.
\item $A\subset A^*\implies \uz{A}\subset A^*=(\uz A)^*$. Obecně
pro každý $B:\uz{\Dom B}=\H$, uzavíratelný, platí $B^*=(\uz
B)^*$.
\[\Gamma(B^*)=U(\Gamma(B))^\perp=(\uz{U(\Gamma(B))})^\perp=
(U(\uz{\Gamma(B)}))^\perp=U(\Gamma(\uz B))^\perp=\Gamma((\uz B)^*).\]
Druhá rovnost zleva plyne ze spojitosti skalárního součinu, třetí
z~unitarity $U$ a čtvrtá z~uzavíratelnosti $B$.
\item $A\subset\uz A$ existuje, $\Dom A=\H$, takže $A=\uz A$ a $A$
je omezený.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
