Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Spektrum uzavřeného operátoru}
Nejprve zopakujeme definici uzavřeného operátoru a definici spektra.
\begin{define}
Grafem operátoru $A\colon X\to Y$ nazýváme podprostor vektorového prostoru $X\oplus Y$ daný vztahem
\[\Gamma(A):=\{[x,Ax] \mid x\in\Dom A\}.\]
\end{define}
\begin{define}
Operátor $A$ označujeme jako uzavřený, když $\Gamma(A)$ je uzavřený v $X\oplus Y$.
\end{define}
\begin{tvrzeni}
Operátor $A$ je uzavřený, právě když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ platí
\[x_n\to x\wedge Ax_n\to y\implies x\in\Dom A\wedge Ax = y.\]
\end{tvrzeni}
\begin{remark}
Nechť $A$ je uzavřený a $A^{-1}$ existuje. Potom $A^{-1}$ je
uzavřený.
\end{remark}
\begin{define}
Operátor $A\colon X\mapsto Y$ je uzavíratelný (má uzávěr), právě když $\uz{\Gamma(A)}$ je grafem nějakého lineárního operátoru. Tento operátor pak značíme $\uz{A}$ a nazýváme uzávěr $A$.
Jestliže $A$ je uzavíratelný, pak existuje jeho nejmenší uzavřené rozšíření a je jím právě jeho uzávěr.
\end{define}
\begin{tvrzeni}
Operátor $A$ lze uzavřít právě tehdy, když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ takovou, že $x_n\to 0$ a $Ax_n\to y$, platí $y=0$. K tomu, aby $x$ patřilo do definičního oboru $\uz{A}$ je nutné a stačí, aby existovala posloupnost $x_n\in\Dom A$ taková, že $x_n\to x$ a $A x_n$ konverguje, je-li to splněno, pak $Ax_n\to \uz{A}x$.
\end{tvrzeni}
\begin{theorem}[o uzavřeném grafu]
Nechť $A\colon\X\to\Y$ je uzavřený lineární operátor, $\X$ a $\Y$ jsou
Banachovy prostory. Potom jestliže $\Dom A=\X$, pak $A$ je omezený.
\begin{proof}
Podle předpokladů je $\Gamma(A)$ uzavřený podprostor v $\X\oplus\Y$, takže $\Gamma(A)$ je B-prostor s normou
$$\norm{[x,y]}_{\oplus} = \norm{x}_\X+\norm{y}_\Y.$$
Zobrazení $S_1\colon \Gamma(A) \to\X$, $S_1([x,Ax]) = x$ je vzájemně
jednoznačné spojité zobrazení prostorů $\Gamma(A)$ a $\X$, tudíž podle věty o inverzním zobrazení je $S_1^{-1}$ spojité.
Podobně zavedeme spojité zobrazení $S_2\colon \Gamma(A) \mapsto\Y$, $S_2([x,Ax]) = Ax$. Složené zobrazení $S_2\circ S_1^{-1}$ je definováno na celém $\X$ a $\forall x \in\X$ platí $S_2( S_1^{-1}x) = Ax$ proto $A = S_2\circ S_1^{-1}$. Protože složení dvou spojitých zobrazení je spojité, je i $A$ spojité.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Součtem operátorů s různým definičním oborem budeme mít na mysli jejich součet na průniku definičních oborů, tedy $\Dom(A+B)=\Dom A\cap\Dom B$.
\end{remark}
\begin{remark}
Je-li $A$ uzavřený, je uzavřený také $A-\lambda I$ pro libovolné $\lambda\in\C$.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $\X$ Banachův, $A\colon\Dom A\subset\X\to\X$ uzavřený operátor. O komplexním číslu $\lambda$ řekneme, že je prvkem \emph{rezolventní množiny} $\rho(A)$, je-li operátor $A-\lambda I$ bijekce $\Dom A$ na $\X$. V opačném případě řekneme, že je $\lambda$ prvkem spektra $\sigma(A):=\C\sm\rho(A)$. Spektrum operátoru dále rozdělíme na tři disjunktní množiny. Není-li $A-\lambda I$ prostý, tj. jedná-li se o vlastní číslo $A$, řekneme, že je prvkem \emph{bodového} spektra $\sigmap(A)$; je-li prostý, ale není surjektivní, zařadíme $\lambda$ buď do \emph{spojitého} spektra $\sigmac(A)$, je-li $\uz{\Ran(A-\lambda I)}=\X$, nebo do \emph{reziduálního} spektra $\sigmar(A)$, je-li i $\uz{\Ran(A-\lambda I)}\neq\X$.
\end{define}
\begin{remark}
Pro prvky rezolventní množiny $\lambda\in\rho(A)$ platí, že inverze $(A-\lambda I)^{-1}$ je uzavřený všude definovaný operátor na Banachově prostoru. Podle věty o uzavřeném grafu to znamená, že je $(A-\lambda I)^{-1}$ omezený.
\end{remark}
\begin{define}
Na rezolventní množině uzavřeného operátoru $A$ definujeme tzv. \emph{rezolventní funkci} neboli \emph{rezolventu} $R_A\colon\rho(A)\to \B(\X)$ vztahem $R_A(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1}$. Je-li jasné, ke kterému operátoru rezolventa přísluší, značíme často $R_\lambda$ nebo $R(\lambda)$ místo $R_A(\lambda)$.
\end{define}
\begin{theorem}
Buď $\X$ Banachův prostor nad $\C$, $A$ hustě definovaný uzavřený operátor na $\X$. Potom $B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})\subset\rho(A)$ a pro každé $\mu\in B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})$ je $R(\mu)=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$.
\end{theorem}
\begin{proof}\footnote{Fanoušci pana profesora Havlíčka mohou využít lemma z FA1, které umožňuje zapsat $B^{-1}$ jako součet geometrické řady se členy $(I-B)^k$. (Viz Modrá smrt, strana 96, lemma 3.6.4.) Příslušné lemma lze ostatně v této kapitole využít ještě minimálně jednou; kromě lenosti mě od jeho zařazení do wikiskript odrazovala i snaha držet se co nejpřesněji těch důkazů, které nám byly předvedeny na přednášce.}
Pro důkaz konvergence opět stačí ukázat, že konverguje řada z norem. To je splněno, neboť
\[\norm{R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\norm{R(\lambda)}(\underbrace{\norm{R(\lambda)}(\mu-\lambda)}_{<1})^k.\]
Označme součet řady $B(\mu):=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$. Stačí ukázat $(A-\mu I)B(\mu)=I$ a $B(\mu)(A-\mu I)=I|_{\Dom A}$. Nejprve je potřeba ověřit, že sedí definiční obory. To je splněno, neboť $\Dom B(\mu)=\X$ a $\Ran B(\mu)\subset\Ran R(\lambda)\subset\Dom A$. Nyní upravme
\[(A-\mu)B(\mu)=(A-\lambda+\lambda-\mu)R(\lambda)\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=(I-(\mu-\lambda)R(\lambda))\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=\]
\[\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k-\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=I.\]
Stejným způsobem se upraví součin v opačném pořadí.
\end{proof}
\begin{dusl}
Rezolventní množina je otevřená, tj. spektrum uzavřené.
\end{dusl}
\begin{theorem}
Rezolventní funkce je spojitá, a dokonce holomorfní na rezolventní množině.
\end{theorem}
\begin{proof}
Nejprve spojitost:
\[\norm{R(\mu)-R(\lambda)}=\norm{\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\sum_{k=1}^{+\infty}\norm{R(\lambda)}^{k+1}\abs{\mu-\lambda}^k=\frac{\norm{R(\lambda)}^2\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\]
Nyní holomorfnost. Ukážeme, že $R'(\lambda)=R(\lambda)^2$.
\[\norm{\frac{1}{\mu-\lambda}(R(\mu)-R(\lambda))-R(\lambda)^2}=\norm{\sum_{k=2}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^{k-1}}\le\frac{\norm{R(\lambda)}^3\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\]
\end{proof}
\begin{theorem}[Hilbertova identita]
Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neomezený) operátor, platí
\[(R_\lambda-R_\mu)=(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu.\]
kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$.
\begin{proof}
$\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = \X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda) $.
Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. Stačí tedy pro každé $x\in \X$ dokázat rovnost
\[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?=
(A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\]
Ta ale platí, protože
\[\%=((A-\mu)-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=
x+(-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=x.\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují.
\end{dusl}
\begin{proof}
Úpravou $(\lambda-\mu)(R(\lambda)R(\mu)-R(\mu)R(\lambda))$.
\end{proof}
\begin{theorem}
Nechť $\X$ je Banachův prostor nad $\C$, $A\in\B(\X)$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $\X$
na $\X$.
\item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$.
\item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je
\[R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n.\]
\item $\sigma(A)\not=\emptyset$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Přímo z~definice.
\item Vyplývá z~(iii).
\item Protože $\frac1{\abs{\lambda}}\norm{A}<1$, je
\[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\]
Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde
R_\lambda(A-\lambda)=I$, a proto $\tilde
R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$.
\item Pro spor předpokládejme $\sigma(A)=\emptyset$, tj. $\rho(A)=\C$. Rezolventa $R_\lambda$ je tedy celá funkce (holomorfní na celém $\C$). Abychom mohli použít Liouvillovu větu, ukážeme ještě, že je omezená. Zobrazení $\lambda\mapsto R_\lambda$ je spojité, na kompaktní množině tedy musí být omezené, tedy $\sup_{\lambda\le\norm{A}+1}\norm{R_\lambda}<+\infty$. Pro $\lambda>\norm{A}+1$ můžeme použít vyjádření z předchozího bodu
\[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n=\frac{1}{\abs{\lambda}-\norm{A}}<1.\]
Podle Liouvillovy věty je tím pádem rezolventní funkce konstantní, označme $R_\lambda=C$. Musí tedy $\abs{C}=\lim_{\abs{\lambda}\to+\infty}\norm{R_\lambda}=0$, tedy $R_\lambda=0$. To je ale spor s tím, že $R_\lambda$ je bijekce.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Vyjádření rezolventy v předchozím bodě je jejím Laurentovým rozvojem na mezikruží $\{\lambda\in\C\mid\abs{\lambda}>\norm{A}\}$.
Číslo $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda}\mid\lambda\in\sigma(A)\}$ nazýváme spektrální poloměr $A$. V minulé větě jsme odvodili, že pro omezené operátory je $r_\sigma(A)\le\norm{A}$. Rezolventní funkce $R_\lambda$ je analytická na mezikruží $\{\lambda\mid\abs{\lambda}>r_\sigma(A)\}$, má na něm tedy Laurentův rozvoj. Z jednoznačnosti Laurentova rozvoje pak plyne, že odvozený vztah
\begin{equation}
\label{laur_res}R_\lambda=
-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n
\end{equation}
je platný pro všechna $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ i v případě $r_\sigma(A)<\norm{A}$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $\X$ je Banachův prostor, $A\in\B(\X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom
$p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$.
\begin{proof}
Buď $\lambda\in\C$, $p(z)-\lambda=a_n(z-\xi_1)\cdots(z-\xi_n)$, kde
$\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ jsou kořeny $p(z)-\lambda$ včetně
násobností. Analogicky platí
$p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$.
Zobrazení $p(A)-\lambda\colon\X\to\X$ je bijekce, právě když pro
každé $n$ je $A-\xi_n\colon\X\to\X$ bijekce:
\begin{enumerate}
\item[($\Leftarrow$)] Složením bijekcí vznikne bijekce.
\item[($\Rightarrow$)] Je-li stupeň polynomu nula nebo jedna, je to triviální. Pro polynomy vyššího stupně využijeme toho, že operátory $A-\xi_i$ vzájemně komutují:
Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není
prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i
\[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1})
(A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)x=0,\]
pročež $p(A)-\lambda$ není prosté.
Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=\X$, potom
\[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1})
(A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=\X.\]
\end{enumerate}
Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda\colon\X\to
\X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce
$\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists
z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Pro každé $A\in\B(\X)$ a $n\in\N_0$ platí $r_\sigma(A)^n=r_\sigma(A^n)$.
\end{dusl}
\begin{lemma} \label{le:liminf}
Buď $A \in \B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \le \liminf\norm{A^n}^{1/n}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Spojením předchozího důsledku a známé nerovnosti $r_\sigma(B) \le \norm{B}$ získáváme pro každé přirozené $n$ odhad $r_\sigma(A)^n = r_\sigma(A^n) \le \norm{A^n}$. Odmocněním a následným aplikováním $\liminf$ získáme požadovanou nerovnost.
\end{proof}
\begin{lemma} \label{le:limsup}
Buď $A\in\B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \ge \limsup\norm{A^n}^{1/n}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Nejprve ukažme, že pro $0<\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$ řada $-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n$ nekonverguje, ale pro $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ konverguje.
\begin{enumerate}
\item Víme, že je-li $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$, dotyčná řada konverguje. Představuje totiž Laurentův rozvoj rezolventy, a ten je jednoznačně daný.
\item Sporem ukážeme, že je-li $\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$, řada nekonverguje. Kdyby existovalo $\lambda_0$,
$\abs{\lambda_0}<r_\sigma(A)$ a řada konvergovala,
potom
\[\exists C \ge 0 \text{ takové, že }\forall n\in N \quad \norm{\frac{ A^n}{\lambda_0^{n+1}}}\le C.\]
Z toho můžeme pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}$ vyvodit
\[\norm{\frac1{\lambda^{n+1}} A^n}=
\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1}
\norm{\frac1{\lambda_0^{n+1}}A^n}\le
C\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1},\]
tj. příslušná řada konverguje jako geometrická řada, její součet představuje rezolventu a spektrální poloměr tedy nemůže být větší než $\lambda_0$.
\end{enumerate}
Je-li $\abs{\lambda}< \limsup\norm{A^n}^{1/n}$, existuje nekonečně mnoho $n$ takových, že $\abs{\lambda}<\norm{A^n}^{1/n}$ neboli
\[1<\norm{\frac1{\lambda^n}A^n}.\]
Není tedy splněna ani nutná podmínka konvergence a řada pro každé $\lambda$, $\lambda < \limsup\norm{A^n}^{1/n}$ diverguje. Z toho, co jsme si prve dokázali o spektrálním poloměru, ale nezbytně vyplývá požadovaná nerovnost.
\end{proof}
\begin{theorem}
Nechť $A\in\B(\X)$. Potom
\[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Větu ihned dostáváme spojením předchozích dvou lemmat.\footnote{Zde jsme si dovolili výraznější odchýlení od přednášky, protože důkaz na ní prezentovaný je zbytečně o krok delší. Nejprve se totiž dokazuje silnější podoba lemmatu \ref{le:limsup}: spektrální poloměr je \emph{roven} příslušnému limes superior. Následně se prohlásí, že musíme ověřit existenci limity, a slavnostně se dokáže lemma \ref{le:liminf}. Prostým přeuspořádáním důkazu z přednášky dostáváme důkaz ze skript, v němž ale jednu pasáž můžeme vypustit.} Všimněme si ještě, že podle věty mimo jiné příslušná limita vždy existuje (což není vůbec samozřejmé).
\end{proof}
\begin{lemma}
Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$.
\end{lemma}
\begin{proof}
$x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H \; \la x,Ay \ra = 0 \Leftrightarrow \forall y\in \H \; \la A^*x,y \ra = 0 \Leftrightarrow x\in \Ker A^*$.
\end{proof}
\begin{dusl}
Nechť $A\in\B(\H)$, pak $\uz{\Ran A}=(\Ker A^*)^\perp$.
\end{dusl}
Nyní se podrobněji podíváme na spektrální vlastnosti normálních a hermitovských operátorů. Dále tedy budeme uvažovat, že $\H$ je Hilbertův prostor.
\begin{define}
Operátor $A\in\B(\H)$ nazveme \emph{normální}, je-li splněno $AA^*=A^*A$ a \emph{hermitovský}, je-li splněno $A=A^*$.
\end{define}
\begin{remark}
Zejména při práci s hermitovskými operátory pro nás bude důležitá seskvilineární forma $f_A(x,y)=\la x,Ay\ra$, kde $A\in\B(\H)$. Dva operátory $A$ a $B$ se rovnají, právě když se rovnají příslušné formy, neboť $\forall x,y\in\H\;\la x,Ay\ra=\la x,By\ra\iff\forall x,y\in\H\;\la x,(A-B)y\ra=0\iff\forall y\in\H\; (A-B)y=0$. Protože seskvilineární forma je určena jednoznačně svojí diagonálou prostřednictvím polarizační formule\footnote{Pozor, toto platí pouze nad tělesem $\C$. Na $\R$ totiž polarizační formule pro seskvilineární formy obecně neplatí. Protipříkladem je například operátor otočení o pravý úhel v $\R^2$, pro který je $\la x, Ax \ra$ vždy nula. Toto se ale člověk ve škole nedozví a ani mu nehrozí, že by to po něm někdo chtěl na zkoušce.}, znamená to, že
\[A=B\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra=\la x,Bx\ra.\]
Snadno vidíme, že operátor je hermitovský, právě když je příslušná forma symetrická, a víme, že to nastane právě tehdy, když je reálná, tedy
\[A=A^*\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra\in\R.\]
\end{remark}
\begin{lemma}
Operátor $A\in\B(\H)$ je normální, právě když pro každé $x\in\H$ je $\norm{Ax}=\norm{A^*x}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
\[\norm{Ax}^2=\norm{A^*x}^2\iff\la x,A^*Ax\ra=\la x,AA^*x\ra\iff A^*A=AA^*.\]
\end{proof}
\begin{theorem}[Weylovo kritérium]
Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že
$\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$, tj. právě když $\inf_{\norm{x}=1}\norm{(A-\lambda I)x}>0$.
\item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$,
$\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
První ekvivalence v (i) jinými slovy říká, že rezolventní množina $A$ je shodná s tzv. oblastí regularity $A$, tu v následujících odstavcích dokážeme. Druhá ekvivalence je zřejmá a tvrzení (ii) je pouze obměnou ekvivalence (i).
\begin{enumerate}
\item[($\Rightarrow$)] Buď $\lambda\in\rho(A)$. Potom pro
$x\in\H$ je
\[\norm{x}=\norm{R_\lambda(A-\lambda)x}\le
\norm{R_\lambda}\norm{(A-\lambda)x}.\]
Stačí volit $M=1/\norm{R_\lambda}$.
\item[($\Leftarrow$)] Je-li $(A-\lambda)x=0$, potom $M\norm{x}=0$
a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté, zbývá ukázat, že je na. Protože $A$ je
normální, je $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\Ker(A^*-\bar\lambda)^\perp=\Ker(A-\lambda)^\perp=\{0\}^\perp=\H$.
Zbývá tedy ukázat uzavřenost oboru hodnot. Vezměme konvergentní posloupnost $y_n\in\Ran A-\lambda$, $y_n\to y\in\uz{\Ran(A-\lambda)}$. A vezměme odpovídající $x_n\in\H$ takovou, že $(A-\lambda)x_n=y_n$. Ta je cauchyovská, neboť
\[\norm{y_n-y_m}=\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\]
Má tedy limitu $x$ a ze spojitosti $A$ už plyne $y=(A-\lambda)x\in\Ran(A-\lambda)$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\begin{remark}
Část důkazu Weylova kritéria opakuje důkaz tvrzení, které by čtenář měl znát z FA1: \uv{Reziduální spektrum normálního operátoru je prázdné.}
\end{remark}
\begin{tvrzeni}
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Buď $\lambda\in\C$, $\lambda=\mu+\im\nu$, $\mu,\nu \in \R$. Protože $A=A^*$, je
$\la (A-\mu)x,\nu x \ra =\nu \la Ax,x\ra -\mu\nu\la x,x\ra \in\R$, z čehož plyne
\[
\norm{(A-\lambda)x}^2 = \la (A-\mu)x-i\nu x, (A-\mu)x-i\nu x \ra
=\norm{(A-\mu)x}^2+\abs{\nu}^2\norm{x}^2\ge
\abs{\nu}^2\norm{x}^2,
\]
takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé $x$, a tedy $\lambda\not\in\R\implies\lambda\in\rho(A)$.
\end{proof}
\begin{define}
Hermitovský operátor nazveme pozitivní, jestliže pro všechna $x \in \H$ platí
\[
\la x, Ax\ra \geq 0,
\]
to jest, jestliže je příslušná seskvilineární forma $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ také pozitivní (ne nutně pozitivně definitní, tj. diagonálou je seminorma, ne nutně norma). Pro pozitivní seskvilineární formy platí Cauchyho--Schwarzova nerovnost, která v tomto případě nabude tvaru
\[\abs{\la x,Ay\ra}^2\le\la x,Ax\ra\la y,Ay\ra.\]
S pomocí této definice lze mezi hermitovskými operátory zavést uspořádání. Řekneme, že $A$ je větší nebo roven $B$, jestliže $A-B$ je pozitivní operátor, tj. symbolicky
\[
A\ge B\iff \forall x\in\H \; \la x,Ax \ra \ge \la x,Bx \ra.
\]
\end{define}
\begin{lemma}
Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}\la x,Ax \ra$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Vezmeme Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro formu $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ a poté Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro skalární součin.
\[
\norm{Ax}^4=\abs{\la Ax,Ax\ra}^2 \le
\la x,Ax\ra \la Ax,A^2x\ra \le
\la x,Ax \ra \norm{Ax}\norm{A^2x} \le
\la x,Ax \ra \norm{Ax}^2\norm{A}.
\]
Pro $Ax = 0$ je požadovaná nerovnost triviální, v opačném případě ji získáváme vydělením předchozího vztahu.
\end{proof}
\begin{define}
Pro $A=A^*$ označíme
\[
M_A := \sup_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra,\quad m_A := \inf_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra.
\]
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť $A\in\B(\H)$, $A=A^*$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$,
\item $m_A,M_A\in\sigma(A)$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Už víme, že spektrum je podmnožinou $\R$. Ukážeme, že $\lambda>M_A\implies\lambda\in\rho(A)$. Z~definice $M_A$ plyne $\la x,Ax\ra\le M_A\norm{x}^2$ pro každé $x$, a tedy pro $\lambda>M_A$ je
\[(\lambda-M_A)\norm{x}^2\le\lambda\la x,x\ra-\la x,Ax\ra=\la x,(\lambda-A)x\ra\le
\norm{x}\norm{(A-\lambda)x}
\]
pro každé $x$. Po vydělení $\norm{x}$ z~Weylova kritéria plyne, že $\lambda\in\rho(A)$.
\item Buď $x_n\in\H$, $\norm{x_n}=1$,
$M_A=\lim_{n\to\infty}\la x_n,Ax_n \ra$. Potom $\la x_n,(M_A-A)x_n \ra \to 0$ a
\[\norm{(M_A-A)x_n}^2\le\norm{M_A-A} \la x_n,(M_A-A)x_n\ra \to 0.
\]
Z~Weylova kritéria pak vyplývá $M_A\in\sigma(A)$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\begin{theorem}
\label{norma_herm}
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom
\[\norm{A}=r_\sigma(A)=
\max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,Ax\ra}.\]
\begin{proof}
Ukážeme první rovnost. Druhá snadno plyne z předchozí věty (obě čísla $m_A$ a $M_A$ jsou prvky spektra) a třetí z definice čísel $m_A$ a $M_A$.
Pro $\norm{x}=1$ plyne ze Schwarzovy nerovnosti
$\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra =\la x,A^2x\ra\le\norm{A^2x}$, tedy
$\norm{A}^2\le\norm{A^2}$, současně ale pro každý
operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže celkem
$\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na
$\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$:
Pro $n=1$ to platí a
\[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2=
\left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\]
Konečně
\[r_\sigma=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{n}}^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{2^n}}^{2^{-n}}=
\lim_{n\to\infty}\norm{A}=\norm{A}.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
S využitím znalostí z předešlého důkazu není těžké dokázat, že pro hermitovský (a s využitím jedné věty z některé z následujících kapitol i normální) operátor dokonce platí $\norm{A^k}=\norm{A}^k$. Ale ani toto tvrzení se na FA2 neprobírá -- jen jsem nemohl odolat a musel jsem ho sem připsat. Konec konců by to někdo mohl dostat u zkoušky jako jednoduché \uv{neznámé tvrzení}.
\end{remark}
