Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Holomorfní vektorové funkce}
\begin{define}
Buď $\X$ Banachův nad $\C$ a $D\subset\C$ otevřená neprázdná množina. Řekneme, že $F\colon D\to \X$ je holomorfní na $D$, jestliže pro každé $\lambda_0\in D$ existuje derivace, tj. limita
\[F'(\lambda_0)=\lim_{\lambda\to\lambda_0}\frac{1}{\lambda-\lambda_0}(F(\lambda)-F(\lambda_0)).\]
\end{define}
\begin{remark}
Nechť $\phi\in \X^*$ a $F\colon D\to \X$ je holomorfní, pak je $\phi\circ F\colon D\to\C$ je holomorfní komplexní funkce a platí $(\phi\circ F)'=\phi\circ F'$ na $D$.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $\X$ Banachův nad $\C$ a $D\subset\C$ otevřená neprázdná množina. Řekneme, že $F\colon D\to \X$ je analytická na $D$, jestliže pro každé $\lambda_0\in D$ existuje $r>0$ takové, že $F$ lze na $\lambda\in B(\lambda_0,r)$ vyjádřit ve tvaru $F(\lambda)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(\lambda-\lambda_0)^k$, kde $(a_k)_{k=0}^{+\infty}$ je posloupnost z $\X$.
\end{define}
\begin{remark}
Nechť křivka $\gamma\colon [a,b]\to D$ je třídy $C^1$ a $F\colon D\to \X$ je spojitá. Potom existuje integrál $\int_\gamma F=\int_a^b F(\gamma(t))\gamma'(t)\d t\in \X$ jako limita $\sum_{j=1}^n F(\gamma(\xi_j))\gamma'(\xi_j)(t_j-t_{j-1})$ pro posloupnost rozdělení $(t_j)_{j=0}^n$ intervalu $(a,b)$ jehož norma $\max(t_j-t_{j-1})$ konverguje k 0, $\xi_j\in(t_{j-1},t_j)$. Navíc platí pro každý pro každý $\phi\in \X^*$ $\phi(\int_\gamma F)=\int_\gamma\phi\circ F$.
\end{remark}
\begin{tvrzeni}
Buď $F\colon D\to \X$ holomorfní, $\gamma$ kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka v $D$, $\lambda_0\in\intd\gamma\subset D$. Potom
\[\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda=F(\lambda_0).\]
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Definuji $v:=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda\in \X$. Beru libovolný $\phi\in \X^*$. Pak $\phi(v)=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{\phi(F(\lambda))}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda=\phi(F(\lambda_0))$, kde jsme využili platnost příslušného tvrzení pro komplexní funkce. Využitím důsledku Hahn--Banachovy věty pak máme $v=F(\lambda_0)$.
\end{proof}
\begin{tvrzeni}
Buď $F\colon D\to \X$ holomorfní, $\lambda_0\in D$, $r>0$ takové, že $B(\lambda_0,r)\subset D$. Nechť $\gamma$ je kružnice $\gamma(t)=\lambda_0+r'\e^{\im t}$, $0<r'<r$, $t\in[0,2\pi]$. Definujme
\[a_k:=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{(\lambda-\lambda_0)^{k+1}}\d\lambda\in \X\]
pro $k\in\N_0$. Pak $\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(\lambda-\lambda_0)^k$ konverguje k $F(\lambda)$ pro $\abs{\lambda-\lambda_0}<r$.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Pro ověření konvergence stačí, aby konvergovala suma norem, což platí, neboť $\norm{a_k}\le\max_{\lambda\in S(\lambda_0,r')}\norm{F(\lambda)}/r'^k$. Dosaďme tedy do řady vyjádření $a_k$, stačí ověřit možnost záměny sumy a integrálu a můžeme psát
\[\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\sum\left(\frac{\lambda-\lambda_0}{\eta-\lambda_0}\right)^k\d\eta=\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\d\eta=F(\lambda).\]
Přičemž je potřeba ověřit korektnost záměny sumy a integrálu.
\end{proof}
\begin{dusl}
Je-li $F$ holomorfní, je analytická. Navíc musí platit $a_k=1/k!\;F^{(k)}(\lambda_0)$, takže jsou koeficienty v řadě určeny jednoznačně.
\end{dusl}
\begin{tvrzeni}
Buďte $0\le R_1<R_2\le+\infty$. Je-li $F$ holomorfní na mezikruží $D=\{\lambda\mid R_1<\abs{\lambda}<R_2\}$, pak na něm existuje jednoznačný rozvoj $F$ do Laurentovy řady
\[F(\lambda)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\lambda^k\]
\end{tvrzeni}
\begin{tvrzeni}[Liouvilleova věta]
Buď $F\colon\C\to \X$ holomorfní omezená. Pak je $F$ konstantní.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Pro každý omezený funkcionál $\phi\in \X^*$ je $\phi\circ F$ holomorfní omezená komplexní funkce definovaná na celém $\C$. O ní již víme, že musí být konstantní. Pro každé $\lambda\in\C$ je tedy $\phi(F(\lambda))=\phi(F(0))$. Z důsledku Hahn--Banachovy věty můžeme opět usoudit, že to znamená $F(\lambda)=F(0)$, tedy $F$ je konstantní.
\end{proof}
