Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Fundamentální věty funkcionální analýzy}
\begin{theorem}[Baire]
Nechť $X$ je úplný metrický prostor a $V_n\subset X$, $n\in\N$, jsou
otevřené množiny husté v~$X$. Potom $W=\bigcap_n V_n$ je množina hustá
v~$X$.
\begin{remark}
Množina $M$ je hustá v $X$ právě tehdy, když $\uz{M}=X$, což je ekvivalentní s tvrzením, že pro každou $N \subset X$ otevřenou platí, že $N \cap M \not= \emptyset$. Toto lze nahlédnout díky další ekvivalentní definici husté množiny: $M$ je hustá v $X$ právě tehdy, když $(\forall x \in X)(\forall \varepsilon > 0)(\exists y \in M) (\rho(x,y) < \varepsilon)$
\end{remark}
\begin{proof}
Buď $A\subset X$ otevřená, $A\not=\emptyset$. Chceme ukázat, že
$W\cap A\not=\emptyset$ tedy, že $W$ je hustá. Sestrojíme posloupnost koulí $B(x_n,r_n)$
s~vlastnostmi:
\begin{enumerate}
\item $0<r_n<\frac1n$,
\item $\uz{B(x_n,r_n)}\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$,
$n=2,3,\dots$,
\item $\uz{B(x_1,r_1)}\subset A\cap V_1$.
\end{enumerate}
Ve (2) a (3) požadujeme, aby uzávěr koule ležel v průniku předcházející koule a příslušné množiny $V_n$, protože budeme potřebovat, aby nám posloupnost středů nevykonvergovala z posloupnosti koulí, a tedy ani z otevřené množiny $A$ (V opačném případě by se mohlo stát, že limitní prvek bude ležet na hranici všech koulí -- byl by společným bodem dotyku -- a zároveň na hranici $A$, ovšem nikoli v~$A$).
Existenci takového systému koulí dokážeme indukcí:
\begin{itemize}
\item $n=1$: Protože je $A\cap V_1$ otevřená a neprázdná ($V_n$ jsou husté v $X$), je v ní každý bod i s nějakým svým okolím, popřípadě s uzávěrem nějakého (menšího) okolí. Existuje tedy $x_1$ a $r_1<1$ takové, že $\uz{B(x_1,r_1)}\subset A\cap V_1$.
\item $n-1\to n$: Předpokládejme, že
$B(x_1,r_1),\dots,B(x_{n-1},r_{n-1})$ známe. Víme, $B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$ je otevřená a neprázdná, takže díky podobnému argumentu jako pro $n=1$ existuje $x_n$ a $r_n<1/n$ tak, že $\uz{B(x_n,r_n)}\subset
B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$.
\end{itemize}
Pro libovolné $n,m\in\N$, $n>m$ je $\uz{B(x_n,r_n)}\subset
B(x_m,r_m)$ a pro jejich středy platí $\rho(x_n,x_m)<r_m<\frac1m$,
takže
\[\rho(x_n,x_m)<\frac1{\min(n,m)}\]
pro každé $n,m\in\N$. Posloupnost $x_n$ je tedy cauchyovská a
konverguje k~nějakému $x\in X$. Protože pro každé
$k\ge n$ je $x_k\in B(x_n,r_n)$, je pro každé~$n$ $x\in\uz{B(x_n,r_n)}\subset V_n$.
Současně $x_k\in B(x_1,r_1)$ a $x\in\uz{B(x_1,r_1)}\subset
A$. Tedy $x\in W\cap A$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Řekneme, že množina $Y$ je řídká, právě když $\vn{(\uz Y)}=\emptyset$.
\end{define}
\begin{remark}
Definice je ekvivalentní té, jak ji známe z MAA3: $Y$ je řídká právě tehdy, když $X\sm \uz Y$ je hustá.
\end{remark}
\begin{dusl}
Úplný metrický prostor nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých
množin.
\begin{proof}
Předpokládejme, že $X=\bigcup_n X_n=\bigcup_n \uz{X_n}$, kde $X_n$
jsou řídké. Z de Morganových zákonů plyne, že $\bigcap_n(X\sm\uz{X_n})=\emptyset$.
Protože $(X\sm\uz{X_n})$ jsou otevřené, musí podle Bairovy věty
existovat $n$ takové, že $(X\sm\uz{X_n})$ není hustá, takže $X_n$
není řídká, což je spor.
\end{proof}
\begin{remark}
Například $\R$ nelze zapsat jako spočetné sjednocení bodů, $\R^2$ nelze zapsat jako spočetné sjednocení přímek atd.
\end{remark}
\end{dusl}
\begin{theorem}[Banach--Steinhaus, princip stejnoměrné omezenosti]
Nechť $\X$ je Banachův prostor, $Y$ normovaný prostor a
$\{A_\alpha\}_{\alpha\in\A}$ libovolný (i nespočetný) systém omezených lineárních
zobrazení $\X$ do $Y$. Pak nastane právě jeden ze dvou případů:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Existuje $M>0$ tak, že $\norm{A_\alpha}\le M$ pro každé
$\alpha\in\A$.
\item Existuje hustá podmnožina $G\subset\X$ taková, že pro každé
$x\in G$ je \[\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}=+\infty.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
Buď $\phi\colon\X\to [0,+\infty]$,
$\phi(x):=\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}$. Definujeme systém
množin $V_n:=\{x\in \X \mid\phi(x)>n\}$.
Dokážeme, že $V_n$ jsou otevřené, tj. že s každým bodem tam leží i okolí. Je-li $x\in V_n$, pak existuje $\alpha$ takové, že $\norm{A_\alpha x}>n$. Díky tomu, že $A_\alpha$ je omezené, a tedy spojité, existuje okolí $U$ bodu $x$ tak, že $\phi(y)=\norm{A_\alpha y}>n$ pro $y\in U$, tj. $U\subset V_n$, což jsme chtěli ukázat. (Potřebovali jsme i spojitost normy.)
Dále může nastat právě jedna z následujících dvou možností:
\begin{enumerate}
\item Existuje $n$ takové, že $V_n$ není hustá. Potom dle ekvivalentní definice husté podmnožiny víme, že existuje otevřená podmnožina v $X$, se kterou má $V_n$ prázdný průnik. Existuje proto $y\in X$ a $r>0$ tak, že $B(y,r)\cap V_n=\emptyset$. Dále pro
každé $x\in B(y,r)=y+B_r$ je $\phi(x)\le n$, a tedy
$\norm{A_\alpha x}\le n$ pro každé $\alpha\in\A$.
Norma $\A_\alpha$ lze spočítat jako $\norm{\A_\alpha}=\sup_{\norm{z}=1}\norm{A_\alpha z}$. Vezměme tedy libovolný jednotkový vektor $z$. Ten lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z $B(y,r)$ jako $z=\frac{2}{r}((y+\frac{r}{2}z)-y)$. Pak lze pro všechna $\alpha\in\A$ odhadnout
\[\norm{A_\alpha z}=\norm{\frac{2}{r} A_\alpha \left(\left(y+\frac{r}{2}z\right)-y\right)}\le\frac{2}{r}\left(\norm{A_\alpha \left(y+\frac{r}{2}z\right)}+\norm{A_\alpha y} \right)\le\frac{4n}{r}=:M\]
\item Všechny $V_n$ jsou husté. Z~Bairovy věty poté plyne, že
$G=\bigcap_n V_n$ je hledaná hustá podmnožina $\X$. Každé $x$ z $G$ je totiž zároveň element všech $V_n$, platí tedy $(\forall n)(\phi(x)>n)$, tj. $\phi(x)=+\infty$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Pokud pro každé $x\in\X$ je $\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}<\infty$, pak jsou $A_\alpha$ stejnoměrně omezeny.
\end{dusl}
\begin{lemma}
Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $U,V\subset X$ a $\lambda\in\C$. Potom
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\uz{\lambda U}=\lambda\uz{U}$,
\item $\uz{U+V}\supset\uz{U}+\uz{V}$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item Je-li $\lambda=0$, dostaneme jednu ze zjevně platných rovností $\{0\}=\{0\}$ nebo
$\emptyset=\emptyset$. Dále uvažujme pouze $\lambda\neq 0$.
Zobrazení $T:X \to X$ zadané předpisem $T=\lambda I$ je pak homeomorfismus (jde o bijekci, která je i s inverzí jakožto lineární zobrazení omezená) a tedy zachovává topologické vlastnosti jako uzavřenost a otevřenost množin. Proto
\[\lambda\uz{M} = T(\uz{M}) = \uz{T(M)} =\uz{\lambda M}\]
\textbf{Alternativně}: Pokud je $\lambda\not=0$, platí
\[z\in\uz{\lambda U}\iff(\exists z_n\in\lambda U)(z_n\to z)\iff
\frac1\lambda z_n\to\frac1\lambda z\in\uz{U}\iff z\in\lambda\uz{U}.\]
\item Je-li $z\in \uz{U}+\uz{V}$, lze ho psát ve tvaru $z=u+v$, kde $u\in\uz{U}$ a
$v\in\uz{V}$. Existují posloupnosti $\{u_n\}\subset U$, $\{v_n\}\subset V$ tak, že
$u_n\to u$ a $v_n\to v$. Přitom $(u_n+v_n)\in (U+V)$, z čehož
$u+v\in\uz{U+V}$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
První bod předchozího lemmatu platí i pro topologický lineární prostor se stejným důkazem.
\end{remark}
\begin{theorem}[o otevřeném zobrazení]
Buďte $\X$ a $\Y$ Banachovy prostory, $A\colon\X\to\Y$ omezené lineární
zobrazení a $\Ran A=\Y$. Potom $A$ je otevřené zobrazení (zobrazuje
otevřené množiny na otevřené).
\begin{proof}
Nejprve ukážeme, že tvrzení věty bude splněno, dokážeme-li, že existuje $r>0$ takové, že $B_r^\Y \subset A(B_1^\X)$. Ve druhé části najdeme $\rho>0$ takové, že $ B_\rho^\Y \subset \uz{A(B_1^\X)}$. A nakonec dokážeme, že pro libovolné $\epsilon >0$ platí $B_\rho^\Y \subset A(B_{1+\epsilon}^\X)$. Volbou $r=\rho/(1+\epsilon)$ pak už dostáváme $A(B_1^X)\supset B_r^Y$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Tvrzení}: Lineární zobrazení $A\colon\X\to\Y$ takové, že $B_r^\Y\subset A(B_1^\X)$ pro nějaké $r>0$, je otevřené, tj. pro každou $W\subset\X$ otevřenou je $A(W)$ otevřená.
Nechť tedy $A$ splňuje dané předpoklady a $W$ je otevřená množina v $\X$. Beru libovolné $x\in W$, díky otevřenosti $W$ je v něm $x$ obsaženo i se svým okolím, tj. $B(x,\delta)\subset W$ pro nějaké $\delta$. Chci ukázat, že i $y:=Ax$ je v $A(W)$ se svým okolím.
\[A(W)\supset A(B^\X(x,\delta))= A(x+\delta B_1^\X )= Ax + \delta A(B_1^\X) = y + \delta A(B_1^X) \supset y+ \delta B_r^Y = B(y,\delta r)^Y.\]
K libovolnému $y\in A(W)$ jsme našli okolí, jež leží v $A(W)$. $A(W)$ je tedy otevřená množina.
\item \textbf{Tvrzení}: Pro zobrazení splňující předpoklady věty existuje $\rho>0$ takové, že $B_\rho^Y \subset\uz{A(B_1^X)} )$
Zapíšeme $\X$ ve tvaru $\X=\bigcup_{k=1}^\infty B_k^\X$, potom lze díky surjektivitě $A$ rovněž psát $\Y=A(\X)=\bigcup_{k=1}^\infty A(B_k^\X)$. Důsledek Bairovy věty říká, že úplný metrický prostor nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých množin, tedy alespoň jedna z množin ve spočetném sjednocení není řídká. Existuje tedy $k$ takové, že $\vn{\left(\uz{A(B_k^\X)}\right)}\neq\emptyset$, to jest existuje $y\in \Y$ a $\delta>0$ tak, že $B^\Y(y,\delta)\subset\uz{A(B_k^\X)}$.
Podle předchozího lemmatu a s využitím linearity $A$ je
\[y\in\uz{A(B_k^\X)}\Rightarrow -y\in(-1)\uz{A(B_k^\X)}=\uz{(-1)A(B_k^\X)}=\uz{A(-B_k^\X)}=\uz{A(B_k^\X)},\]
\[B_\delta^\Y=-y+(y+B_\delta^\Y)
\subset\uz{A(B_k^\X)}+\uz{A(B_k^\X)}
\subset\uz{A(B_k^\X+B_k^\X)}\subset \uz{A(B_{2k}^\X)}.\]
Nyní díky linearitě lze vztah vydělit $2k$ a volbou $\rho = \frac{\delta}{2k}$ splníme tvrzení.
\item \textbf{Tvrzení}: S předpoklady a značením z předchozího bodu platí, že $(\forall \epsilon>0)(B_\rho^\Y\subset A(B_{1+\epsilon}^\X))$.
Pro každé $y\in\Y$, $\norm{y}<\rho$ tedy hledáme $x$, pro něž $\norm{x}<1+\epsilon$ a platí $Ax=y$. Hledané $x$ najdeme jako součet řady.
Zkonstruujeme posloupnost $x_n\in\X$ splňující
\begin{enumerate}
\item $\norm{x_1}<1$,
\item $\norm{x_n}<\frac{\epsilon}{2^{n-1}}$ pro $n\ge 2$,
\item $\norm{y-A\sum_{k=1}^n x_k}<\frac1{2^n}\rho\epsilon$ pro $n\in\N$.
\end{enumerate}
Existenci takové posloupnosti ukážeme indukcí. Z předchozího bodu víme, že existuje $\rho$ takové, že $B_\rho^\Y\subset\uz{A(B_1^\X)}$, z čehož plyne, že pro každé $\rho>0$ $B_{\rho\rho}^\Y\subset\uz{A(B_\rho^\X)}$. To lze přepsat do tvaru
\[(\forall\rho>0)(\forall\tilde y\in \Y, \norm{\tilde y}<\rho\rho)(\forall\nu>0)(\exists\tilde x\in \X, \norm{\tilde x}<\rho)(\norm{\tilde y-A\tilde x}<\nu).\]
Pro $k=1$ stačí volit $\rho=1$, $\tilde y=y$ a $\nu=\rho\epsilon/2$ a najdeme tak $x_1$ splňující $\norm{x_1}<1$ a $\norm{y-Ax_1}<\rho\epsilon/2$. Předpokládejme tedy, že jsme již našli body $x_1,\dots,x_n$ splňující dané požadavky. Pak stačí volit $\rho=\epsilon/2^n$, $\tilde y=y-A\sum_{k=1}^nx_k$ a $\nu=\rho\epsilon/2^{n+1}$, a protože z indukčního předpokladu je skutečně $\norm{\tilde y}<\rho\rho$, dostáváme $\tilde x=:x_{n+1}$ splňující $\norm{x_{k+1}}<\epsilon/2^k$ a $\norm{\tilde y-\tilde x}=\norm{y-\sum_{k=1}^{n+1}x_k}<\rho\epsilon/2^{n+1}$.
Protože $\sum_{n=1}^\infty\norm{x_n}$ konverguje a $\X$ je Banachův, konverguje i
$\sum_{n=1}^\infty x_n=:x$ a platí
\[\norm{x}=\norm{\sum_{n=1}^\infty x_n}\le
\sum_{n=1}^\infty\norm{x_n}<\sum_{n=2}^\infty
\frac{\epsilon}{2^{n-1}} + 1 = 1+\epsilon,\]
takže $x\in B_{1+\epsilon}^\X$.
Dále platí
\[\norm{y-Ax}=\lim_{n\to\infty}
\norm{y-A\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)}=0,\]
a tedy $y=Ax$. Z~toho plyne, že $B_\rho^\Y\subset
A(B_{1+\epsilon}^\X)$, což jsme chtěli dokázat. \qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}[věta o inverzním zobrazení]
Jsou-li $\X$, $\Y$ Banachovy prostory a $A\colon\X\mapsto\Y$ vzájemně
jednoznačné omezené lineární zobrazení. Potom $A^{-1}$ je omezené.
\begin{proof}
Označme $B:=A^{-1}$. Podle předchozí věty je $B^{-1}=A$ otevřené
zobrazení, a tedy $B$ je spojité, tudíž omezené.
\end{proof}
\end{dusl}
\begin{theorem}[Hahn--Banach]
Buď $X$ normovaný prostor nad $\R$ nebo nad $\C$, $V\pp X$ a $\phi$ spojitý funkcionál na
$V$. Potom existuje spojitý funkcionál $\tilde\phi$ na $X$ takový,
že
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\tilde\phi\_V=\phi$,
\item $\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Důkaz provedeme v několika krocích. Nejprve se omezíme na reálný případ; v prvním kroku ukážeme, že je možné funkcionál rozšířit na prostor, do jehož báze jsme přidali jeden vektor, ve druhém kroku využijeme Zornova lemmatu, abychom ukázali, že existuje rozšíření na celý prostor $X$. Následně ukážeme, že tvrzení platí i nad $\C$.
\begin{enumerate}
\item Pohybujme se tedy nad tělesem $\R$. Nalezněme vektor $x_0$, který do $V$ nepatří. (Neexistuje-li žádný takový, je funkcionál definovaný na celém prostoru a není co dokazovat.) Označme $V':=V+[x_0]_\lambda$. Jedná se o direktní součet dvou podprostorů, každý vektor z $V'$ lze tedy jednoznačně psát ve tvaru $v+\lambda x_0$, kde $v\in V, \lambda\in\R$.
Nalezneme rozšíření $\phi$ na prostor $V'$. Definujeme $\phi'(v+\lambda
x_0)=\phi(v)+\lambda c$. Hledáme $c\in\R$ tak, aby
$\norm{\phi'}=\norm{\phi}$. Pro každé $c$ bude zřejmě platit
$\norm{\phi'}\ge\norm{\phi}$. Chceme, aby platilo i
$\norm{\phi'}\le\norm{\phi}$, tj. pro každé $\lambda$ a každé $v \in V$ má platit
$\abs{\phi'(v+\lambda x_0)}\le\norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}$.
Pro $\lambda=0$ je nerovnost splněna. Je-li $\lambda\not=0$, můžeme ji přepsat jako
\[\abs{\lambda}\abs{\phi'\left(\frac1\lambda v+x_0\right)}\le
\abs{\lambda}\norm{\phi}\norm{\frac1\lambda v+x_0}.\]
Položme $w:=\frac1\lambda v$. Vidíme, že splnění předchozí nerovnosti pro všechna $\lambda \in \R$ a všechna $v \in V$ je ekvivalentní platnosti nerovnosti
\[\abs{\phi'(w+x_0)}\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\]
pro každé $w\in V$.
Rozepišme ji jako dvojici nerovností:
\[\phi(w)+c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\wedge
-\phi(w)-c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0},\]
tedy
\[-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0}\le c \le\norm{\phi}\norm{w+x_0}-\phi(w).\]
Stačí nalézt $c\in\R$ tak, že tato nerovnost platí pro každé $w\in
V$. Takové $c$ existuje, pokud
\[\sup_{w\in V}(-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0})\le\inf_{w\in V}
(-\phi(w)+\norm{\phi}\norm{w+x_0}).\]
To je dále ekvivalentní s~platností nerovnosti\footnote{Ve skutečnosti lze krok se supremy a infimy přeskočit a na základě předchozí dvojnerovnosti rovnou vysvětlit, proč musí platit tato nerovnost. Pan profesor ale důkaz přednáší tímto způsobem a já ho nepovažuji za natolik špatný, abych mátl hlavu těm čtenářům, kteří chodí na přednášku a pamatují si, že \uv{tam někde byla nějaká infima}.}
\[-\phi(w_1)-\norm{\phi}\norm{w_1+x_0}\le
-\phi(w_2)+\norm{\phi}\norm{w_2+x_0},\]
tj.
\[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0})\]
pro každé $w_1,w_2\in V$. To je splněno, neboť
\[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}\norm{w_2-w_1}\le
\norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0}).\]
\item Definujeme množinu
\[M=\{(W,\psi) \mid V\pp W\pp X,\ \psi\in W^*\text{ tak, že }
\psi\_V=\phi,\ \norm{\psi}=\norm{\phi}\}.\]
Na $M$ definujeme uspořádání
\[(W_1,\psi_1)\le(W_2,\psi_2)\iff W_1\pp W_2\wedge
\psi_2\_{W_1}=\psi_1.\]
Buď $M'\subset M$ úplně uspořádaná. Její horní závorou je prvek
$(U,\eta)$ takový, že $U=\bigcup_{(W,\psi)\in M'}W$ a pro $x\in U$
pokládáme $\eta(x)=\psi(x)$ (existuje nějaký prvek $(W,\psi)\in
M'$, kde $x\in W$).
Definice $\eta$ je korektní, neboť jestliže $(W,\psi)$, $(W',\psi')\in M'$, pak pro $x\in W\cap W'$ platí $\psi(x)=\psi'(x)$. Prvek $(U,\eta)$ je
horní závorou $M'$. Z Zornova lemmatu pak plyne existence
maximálního prvku $(\tilde V,\tilde\phi)$ v~$M$ takového, že $V\pp
\tilde V\pp X$, $\tilde\phi\_V=\phi$,
$\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$.
Platí, že $\tilde V=X$: Kdyby $\tilde V\not=X$, pak by existovalo
$x_0\not\in\tilde V$ a podle prvního bodu bychom mohli $\tilde\phi$ rozšířit na
$\Tilde{\Tilde\phi}\in(\tilde V+\R x_0)^*$ tak, aby platilo
$\norm{\Tilde{\Tilde\phi}}=\norm{\tilde\phi}$. Tím bychom ale dospěli do sporu s maximalitou $(\tilde V,\tilde\phi)$.
Tím jsme větu dokázali pro vektorové prostory nad tělesem $\R$. (Dodejme ještě, že důkaz druhého bodu lze zformulovat přirozeněji, když se na funkcionály $\psi$ budeme dívat v duchu původní definice zobrazení jako na podmnožiny kartézského součinu $V \times \R$. Potom totiž lze použít uspořádání inkluzí a horní závorou bude zkrátka sjednocení příslušných funkcionálů.)
\item Zobecnění na komplexní těleso: Buď $X$ nad $\C$, $V\pp X$,
$\phi\in V^*$. Označme $X_\R$ prostor $X$ nad $\R$, $V_\R\pp X_\R$.
Definujeme funkcionál
$\eta=\Re\phi$ vztahem $\eta(x):=\Re(\phi(x))$. Pak $\eta\in V_\R^*$ (linearita se ověří snadno). Ukažme, že $\norm{\eta}=\norm{\phi}$. Zjevně platí
\[
\abs{\eta(x)}=\abs{\Re\phi(x)}\le\abs{\phi(x)} \le \norm{\phi}\norm{x}.
\]
Pro důkaz obrácené nerovnosti uvažme následující: K libovolnému $x\in X$ existuje $\lambda\in\C$, $\abs{\lambda}=1$
tak, že $\phi(\lambda x)=\lambda\phi(x)\in\R_0^+$. Potom $\eta(\lambda
x)=\Re\phi(\lambda x)=\Re\lambda\phi(x)=\lambda\phi(x)$, což nám umožňuje psát
\[
\abs{\phi(x)} = \abs{\lambda}\abs{\phi(x)} = \abs{\eta(\lambda x)} \le \norm{\eta}\norm{\lambda x} = \norm{\eta}\norm{x}.
\]
Celkem tedy $\norm{\phi}=\norm{\eta}$, což jsme chtěli ukázat.
Nyní ukážeme, že na základě znalosti lineárního funkcionálu $\eta$ na prostoru nad tělesem $\R$ jsme schopni z(re)konstruovat funkcionál $\phi$ na \uv{tomtéž} prostoru, ale nad tělesem $\C$ takový, že $\eta = \Re{\phi}$. (Provedeme tedy opačnou operaci než v předešlém odstavci. Z předešlého odstavce pak už vyplyne, že $\norm{\eta}=\norm{\phi}$.)
Kdyby takový funkcionál $\phi$ existoval, musel by splňovat
\[\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Im\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Re(-\im\phi(x))=
\eta(x)-\im\eta(\im x).\]
Musíme ale ověřit, že funkcionál definovaný vztahem $\phi(x):=\eta(x)-\im\eta(\im x)$ je lineární nejen nad tělesem $\R$, ale i nad $\C$. K tomu stačí platnost vztahu $\im\phi(x)=\phi(\im x)$. Ověřme ji:
\[
\phi(\im x) = \eta(\im x)-\im\eta(\im^2 x) = -\im^2\eta(\im x)+\im\eta(x) = \im(-\im\eta(\im x)+\eta(x)).
\]
Nyní už je snadné důkaz dokončit. Původní funkcionál nejprve zúžíme z $V_\C$ na $V_\R$, čímž nezměníme normu. K~funkcionálu $\eta$ na $V_\R$ nalezneme podle už dokázané části Hahn--Banachovy věty funkcionál $\tilde\eta$ na $X_\R$, který je rozšířením $\eta$ a má stejnou normu.
Nakonec položíme $\tilde\phi(x):=\tilde\eta(x)-\im\tilde\eta(\im x)$.
Pak je splněno $\norm{\tilde\phi}=\norm{\tilde\eta}=\norm{\eta}=\norm{\phi}$ a $\tilde\phi\_V=\phi$. \qed
\end{enumerate} \noqed
\end{proof}
\begin{dusl}
Buď $X$ normovaný prostor nad $\R$ nebo nad $\C$. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item Pro každou dvojici vektorů $x_1$, $x_2$ existuje spojitý funkcionál rozlišující $x_1$ od $x_2$. Pro každý vektor $x$ tedy existuje spojitý funkcionál takový, že $\phi(x) \neq 0$.
\item Jestliže pro každý spojitý funkcionál $\phi$ platí $\phi(x_1)=\phi(x_2)$, pak $x_1 = x_2$.
\end{enumerate}
\end{dusl}
\begin{proof}
Druhý bod je snadným důsledkem prvního. Z prvního nám stačí dokázat pro každé $x$ existenci $\phi$ takového, že $\phi(x) \neq 0$. Vezměme tedy za $V$ z Hahn--Banachovy věty lineární obal vektoru $x$ a definujme $\phi(\lambda x) = \lambda \norm{x}$. Tento funkcionál má normu jedna a v bodě $x$ dává nenulovou hodnotu. Tyto vlastnosti si tedy zachová i po rozšíření na celé $X$.
\end{proof}
