Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1}
\chapter{Metrické prostory}
\begin{define}
{\bf Metrickým prostorem} rozumíme uspořádanou dvojici $\left( X, \rho \right)$, kde $X$ je množina a~$\rho: X\times X \longrightarrow \left[0, +\infty\right)$ je tzv. {\bf metrika}
splňující následující 3 axiomy:
\begin{enumerate}
\item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$;
\item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = \rho(y,x) $;
\item $\forall x,y,z \in X$, $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) +\rho(y,z)$, tzv. trojúhelníková nerovnost.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
V poznámce zavedeme dva pojmy, které budeme často intuitivně využívat. Buď $x\in X$ a $r>0$.
$$B(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) < r \} \dots \mbox{tzv. {\it otevřená koule}}$$
$$\overline{B}(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) \leq r \} \dots \mbox{tzv. {\it uzavřená koule}}$$
Pro $r=0$ definujeme $B(x,0) = \emptyset$ a $\overline{B}(x,0) = \{x\}$.
\end{remark}
\begin{remark}
Obecně neplatí, že $\overline{B}(x,r) =\overline{B(x,r)}$. V $\R^n$ pro $r>0$ to platí, ale už pro $r=0$ máme
$\overline{B(x,0)} = \emptyset \neq \{x\} = \overline{B}(x,0).
\end{remark}
\begin{remark}
Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku.
\end{remark}
\begin{remark}
$(X,\rho)$ je topologický prostor s bází $\B = \{B(x,r)| x\in X \land r>0\}$.
\end{remark}
\begin{define}
Řekneme, že dvě metriky $\rho_1, \rho_2$ jsou {\bf ekvivalentní na $X$}, právě když existují konstanty $0<K<L$ takové, že $\forall x,y\in X$
$$K \rho_1(x,y) \leq \rho_2(x,y) \leq L\rho_1(x,y).$$
\end{define}
\begin{theorem}[o topologiích]
Ekvivalentní metriky na $X$ definují stejnou topologii.
\begin{proof}
$$\{y\in X | \rho_1(x,y) < r\} = B_1(x,r) \subset B_2(x,Lr)$$
$$\{y\in X | \rho_2(x,y) < r\} = B_2(x,r) \subset B_1(x,\frac{r}{K})$$
Tedy příslušné otevřené množiny jsou totožné a totéž platí i pro topologie.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Buďte $(X,\rho_X)$, $(Y,\rho_Y)$ metrické prostory. Pak $(X\times Y, \rho_{X\times Y})$ je metrický prostor.
\end{remark}
Metriku $\rho_{X\times Y}$ je možno volit vícero (ekvivalentními) způsoby. Zde jsou ty nejběžnější:
$$\rho_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= \left \{
\begin{array}{c l}
\rho_X(x_1,x_2) + \rho_Y(y_1,y_2) & (1) \\
\mathrm{max}\{ \rho_X(x_1,x_2),\rho_Y(y_1,y_2) \} & (2) \\
\sqrt {\rho_X(x_1,x_2)^2+\rho_Y(y_1,y_2)^2} & (3) \\
\end{array} \right $$
První z výše definovaných metrik generuje topologii $\tau_{X\times Y}$ ve smyslu výše definovaném. Aby se toto dokázalo, stačí ověřit (na cvičeních), že
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\forall (x,y)\in X\times Y$ a $\forall r > 0$ existují $r_1,r_2 >0$ tak, že $B_X(x,r_1) \times B_Y(y,r_2) \subset B_{X\times Y}((x,y),r)$,
\item[(ii)] $\forall (x,y)\in X\times Y$ a $\forall r_1,r_2 >0 $ existuje $r>0$ tak, že $B_{X\times Y}((x,y),r) \subset B_X(x,r_1) \times B_Y(y,r_2)$.
\end{enumerate}
Zabývejme se nyní otázkou, jak se změní, resp. zjednoduší, vlastnosti při přechodu od topologického prostoru k metrickému.
\begin{remark}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor a $x\in X$. Pak
\begin{itemize}
\item $U\subset X$ je okolím bodu $x$ $\Leftrightarrow \ \exists r>0, \ B(x,r) \subset U$;
\item
\end{itemize}
\end{remark}
