Součásti dokumentu 01DIFRnew
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice}
\begin{remark}[\textbf{Fyzikální motivace}]
Uvažme úlohu vedení tepla stěnou známe-li teploty na obou stranách této stěny. Tuto úlohu lze formalizovat následujícími rovnicemi
\begin{eqnarray*}
-ky'' &=& f(x), \qquad \text{kde } x\in(a,b), \\
y(a) &=& T_a, \\
y(b) &=& T_b,
\end{eqnarray*}
kde $y(x)$ je neznámá funkce popisující průběh teploty ve stěně, $f(x)$ je funkce popisující zdroje/propady dané veličiny (tj.~teploty) ve stěně,
konstanta $k$ je tepelná vodivost stěny a $T_a$, $T_b$ jsou teploty na krajích stěny. Vidíme tedy, že řešíme \emph{okrajovou úlohu pro diferenciální
rovnici}. Řešení této úlohy s~nulovou pravou stranou je uvedeno v~příkladu \ref{ex:vedeni_tepla_1}.
Obecné řešení naší úlohy lze zapsat v~následujícím tvaru
\[
y(x) = -\frac{1}{k} \int_a^x \int_a^s f(p) \dif p \ \dif s + C_1 x + C_2,
\]
kde $C_1$, $C_2$ jsou integrační konstanty, které je potřeba určit za pomoci okrajových podmínek. Má tedy platit
\begin{eqnarray*}
y(a) = T_a &=& C_1 a + C_2, \\
y(b) = T_b &=& \ub{-\frac{1}{k} \int_a^b \int_a^s f(p) \dif p \ \dif s}_{=D} + C_1 b + C_2,
\end{eqnarray*}
což přepíšeme do tvaru
\begin{eqnarray*}
C_1 a + C_2 &=& T_a, \\
C_1 b + C_2 &=& T_b - D.
\end{eqnarray*}
Odtud nakonec dostáváme
\begin{eqnarray*}
C_1 &=& \frac{1}{b-a}(T_b - T_a - D), \\
C_2 &=& T_a - \frac{a}{b-a}(T_b - T_a - D).
\end{eqnarray*}
\end{remark}
\begin{remark}[\textbf{Metoda střelby}]
Mějme typovou úlohu
\begin{equation}
\label{eq:ex_okrulo}
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}
y'' & f(x,y,y'), \qquad \text{kde } x\in(a,b), \\
y(a) & \gamma_1, \\
y(b) & \gamma_2.
\end{array}
\end{equation}
Jeden z~možných postupů, jak vyšetřit existenci řešení této úlohy, je použití tzv.~\textbf{metody střelby}, která byla původně určena pro numerické úlohy.
Tato metoda spočívá v~tom, že místo původní okrajové úlohy \eqref{eq:ex_okrulo} budeme řešit následující počáteční úlohu
\begin{equation}
\label{eq:ex_poculo}
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}
y'' & f(x,y,y'), \\
y(a) & \gamma_1, \\
y'(a) & \alpha,
\end{array}
\end{equation}
kde neznámý parametr $\alpha$ chceme zvolit tak, aby řešení dospělo do bodu $[b,\gamma_2]$.
Řešením úlohy \eqref{eq:ex_poculo} je tedy funkce $y(x;\alpha)$ (v~zápisu jsme zdůraznili závislost na parametru $\alpha$). Volba parametru $\alpha$ přitom
odpovídá volbě počátečního sklonu křivky $y(x;\alpha)$, přičemž jej volíme tak, aby platilo $y(b;\alpha) = \gamma_2$. To nám může připomínat volbu náklonu děla
s~požadavkem, aby vystřelený projektil zasáhl danou souřadnici. Odtud také pochází název této metody. Situace je znázorněna na obr.~\ref{fig:metoda_strelby}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{metoda_strelby.pdf}
\caption{K~vysvětlení metody střelby.}
\label{fig:metoda_strelby}
\end{figure}
Úloha \eqref{eq:ex_poculo} je počáteční a tudíž můžeme rozhodnout o~existenci a jednoznačnosti jejího řešení. Potom stačí zkoumat řešitelnost algebraické
rovnice
\[
y(b;\alpha) = \gamma_2,
\]
které pak odpovídá existence a počet řešení původní okrajové úlohy \eqref{eq:ex_okrulo}.
\end{remark}
