01DIFRnew:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 20. 6. 2014, 00:32, kterou vytvořil Krasejak (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRnew

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRnewNguyebin 1. 9. 201321:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 1. 9. 201321:47 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaNguyebin 29. 8. 201314:23 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatÚvodKubuondr 7. 6. 201708:21 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatŘešení speciálních typů rovnicKubuondr 8. 6. 201709:00 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTeoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnicPerinhyn 2. 6. 201821:54 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAnalytické řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řáduKubuondr 10. 6. 201710:19 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatAnalytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řáduKrasejak 20. 6. 201400:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatOkrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovniceKubuondr 10. 6. 201710:16 kapitola6.tex
KapitolaA editovatLiteraturaKrasejak 20. 6. 201400:33 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:priklad1.pdf priklad1.pdf
Image:rotujici_sklenice.pdf rotujici_sklenice.pdf
Image:mat_kyvadlo.pdf mat_kyvadlo.pdf
Soubor:lorentz-attractor.pdf lorentz-attractor.pdf
Soubor:vedeni-tepla.pdf vedeni-tepla.pdf
Image:smerova_pole.pdf smerova_pole.pdf
Image:RL_obvod.pdf RL_obvod.pdf
Image:k_lomene_care.pdf k_lomene_care.pdf
Image:k_peanove_vete.pdf k_peanove_vete.pdf
Image:k_prodlouzeni.pdf k_prodlouzeni.pdf
Image:k_prodl_lemma.pdf k_prodl_lemma.pdf
Image:k_prodl_tvrz.pdf k_prodl_tvrz.pdf
Image:k_prodl_lemma_2.pdf k_prodl_lemma_2.pdf
Image:ke_spoj_zav_na_datech.pdf ke_spoj_zav_na_datech.pdf
Image:metoda_strelby.pdf metoda_strelby.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu}
 
\begin{define}
  \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních}
  \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~pravou stranou}
  \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!bez pravé strany}
  Systém ve tvaru
  \begin{equation}
    \tag{\ref{eq:sysdrlin}}
    y' - \mat{A}(x) y = b(x)
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu bez pravé strany} právě tehdy, když $b \equiv \theta$. V~opačném případě
  se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu s~pravou stranou}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  V~dalším textu budeme kvůli větě o~existenci a jednoznačnosti předpokládat, že funkce $\mat{A}(x)$ a $b(x)$ jsou spojité na nějakém otevřeném intervalu
  $I\subset\R$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  Analogicky jako v~předchozí kapitole můžeme rovnice zapsat kompaktněji pomocí lineárního diferenciálního operátoru $L$ ve tvarech
  \begin{eqnarray}
    \label{eq:sysdrlin_sps}    Ly &=& b(x), \\
    \label{eq:sysdrlin1_bezps} Ly &=& \theta,
  \end{eqnarray}
  kde $Ly = y' - \mat{A}(x)y$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  Vzhledem k~linearitě platí
  \[
    Lz = b \wedge Ly = \theta \Rightarrow L(y+z) = b.
  \]
 
  Libovolná funkce $z$ taková, že $Lz=b$, se nazývá \emph{partikulární řešení rovnice} \eqref{eq:sysdrlin}.
\end{remark}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Řešení soustavy bez pravé strany
% ****************************************************************************************************************************
\section{Řešení soustavy bez pravé strany}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}
  Uvedeme několik poznámek k~řešení soustavy bez pravé strany:
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item Funkce $y \equiv \theta$ řeší rovnici bez pravé strany \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}.
    \item Počáteční úloha
      \begin{equation}
        \begin{array}{r@{ \ = \ }l}
          y' - \mat{A}(x) y & \theta \\
                     y(x_0) & \theta
        \end{array}
      \end{equation}
      má jediné řešení $y(x) = \theta$, $\forall x\in I$, kde $I$ je definiční obor maticové funkce $\mat{A}(x)$. Tvrzení plyne 
      z~věty o~existenci a jednoznačnosti \ref{theo:exajedn_sysdrlin}.
    \item Pokud funkce $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}, potom pro $\forall \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R$ je 
      $y=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i y_i$ také řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}. Tvrzení plyne z~linearity $L$.
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{determinant!Wronskiho}
  Nechť jsou dány funkce $y_1,\ldots,y_n : I \to \R^n$, $I$ je interval v~$\R$, kde $y_j(x) = (y_j^1(x),\ldots,y_j^n(x))$.
  Potom \textbf{wrońskiánem funkcí} $y_1,\ldots,y_n$ rozumíme determinant
  \begin{equation}
    W_{y_1,\ldots,y_n}(x)
    =
      \left| \begin{matrix}
        y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
        y_1^2(x) & \ldots & y_n^2(x) \\
                 & \ddots & \\
        y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
      \end{matrix} \right|.
  \end{equation}
\end{define}
 
\begin{define}
  Funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou \textbf{na intervalu $I$ lineárně závislé (LZ)} právě tehdy, když 
  \[
    \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr) 
      \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \forall x\in I : \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) = \theta\Bigr).
  \]
 
  V~opačném případě řekneme, že jsou \textbf{lineárně nezávislé (LN) na $I$}.
\end{define}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$. Pak $(\forall x\in I)(W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0)$.
  \begin{proof}
    Tvrzení je zřejmé.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Uvažme dvě funkce
  \[
    y_1(x) = \col{x}{0} \qquad \text{a} \qquad y_2(x) = \col{x^2}{0}.
  \]
 
  Potom zřejmě 
  \[
    W_{y_1,y_2}(x) = \left| \begin{matrix} x & x^2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| = 0
  \]
  a přitom jsou funkce $y_1,y_2$ LN na libovolném intervalu.
 
  Vidíme tedy, že tvrzení předchozí věty nelze jednoduše obrátit. Situace je podobná situaci v~předchozí kapitole o~lineárních diferenciálních rovnicích
  $n$-tého řádu, kde jsme zformulovali opačné tvrzení s~dodatečným předpokladem, že funkce $y_1,\ldots,y_n$ splňovaly rovnici bez pravé strany. 
  Následující věta nás přesvědčí, že takové tvrzení lze zformulovat i zde.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$ a nechť 
  \[
    \Bigl( \exists x_0\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0 \Bigr).
  \]
  Potom $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$.
 
  \begin{proof}
    Je-li $W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0$, pak jsou vektory $y_1(x_0),\ldots,y_n(x_0)$ LZ a tedy
    \[
      \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr) 
        \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x_0) = \theta \Bigr).
    \]
    Definujme funkci $Y$ tak, že 
    \[
      Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro každé } x\in I.
    \]
 
    Potom $Y(x_0) = \theta$ a zároveň $Y$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$, což plyne z~poznámky 
    \ref{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}, bodu (3). Potom, využijeme-li ještě bod (2) poznámky \ref{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}, dostaneme
    \[
      Y(x) = \theta \qquad \text{pro všechna } x\in I
    \]
    a tedy funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Důsledkem právě uvedené věty je následující tvrzení.
 
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Pak platí buď
  \[
    \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr),
  \]
  nebo
  \[
    \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0 \Bigr).
  \]
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{systém!fundamentální}
  Řekneme, že soubor $y_1,\ldots,y_n$ je \textbf{fundamentální systém (FS)} řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ právě tehdy, když
  tyto funkce řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ a zároveň jsou LN na $I$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ je FS na $I$. Pak každé řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} lze v~něm jednoznačně vyjádřit (tj.~lze jej 
  jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci funkcí $y_1,\ldots,y_n$).
 
  \begin{proof}
    Nechť $y(x)$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ a nechť $x_0\in I$. Dále nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS na $I$.
    Potom soubor vektorů $(y_1(x_0),\ldots,y_n(x_0))$ tvoří bázi prostoru $\R^n$. Pak
    \[
      \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( y(x_0) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x_0) \Bigr).
    \]
 
    Definujme
    \[
      Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro každé } x\in I.
    \]
    Ihned vidíme, že $Y(x_0) = y(x_0)$ a zároveň $Y$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Máme tedy počáteční úlohu
    \begin{eqnarray*}
      f' - \mat{A}(x) f &=& \theta, \\
                 f(x_0) &=& Y(x_0).
    \end{eqnarray*}
    Podle věty \ref{theo:exajedn_sysdrlin} má tato úloha jednoznačné řešení a přitom $y$ i $Y$ jsou jejím řešením na $I$. Musí tedy platit
    \[
      \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( Y(x) = y(x) \Bigr).
    \]
    Odtud dostáváme
    \[
      y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro všechna } x\in I.
\qedhere
    \]
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Doposud jsme se zabývali situacemi, kdy jsme měli k~dispozici nějaký FS. Vůbec jsme však neřešili otázku existence FS. To napravíme 
  v~následující větě.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Pro systém \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} existuje FS.
 
  \begin{proof}
    FS získáme řešením počátečních úloh ve tvaru
    \begin{eqnarray*}
      y' - \mat{A}(x) y &=& \theta, \\
                 y(x_0) &=& \vec{e}_j,
    \end{eqnarray*}
    pro $j\in\widehat{n}$, kde $\vec{e}_j$ značí $j$-tý vektor standardní báze $\R^n$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$, $\mat{C} = (c_{ij})_{i,j=1}^n$, $z_i(x) = \sum\limits_{j=1}^n c_{ij} y_j(x)$, $i\in\widehat{n}$, $x\in I$.
  Pak $z_1,\ldots,z_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} a platí
  \[
    W_{z_1,\ldots,z_n}(x) = \abs{\mat{C}} W_{y_1,\ldots,y_n}(x), \qquad \forall x\in I
  \]
  a tedy $(z_1,\ldots,z_n)$ je FS právě tehdy, když $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS a zároveň $\abs{\mat{C}} \neq 0$.
 
  \begin{proof}
    Snadno prověříme
    \[
      W_{z_1,\ldots,z_n}(x) 
      = 
        \left| \begin{matrix}
          z_1^1(x) & \ldots & z_n^1(x) \\
                   & \ddots & \\
          z_1^n(x) & \ldots & z_n^n(x)
        \end{matrix} \right|
      =
        \left| \begin{matrix}
          y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
                   & \ddots & \\
          y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
        \end{matrix} \right|
      \cdot
        \left| \begin{matrix}
          c_{11} & \ldots & c_{n1} \\
                 & \ddots & \\
          c_{1n} & \ldots & c_{nn}
        \end{matrix} \right|
      = \abs{\mat{C}} W_{y_1,\ldots,y_n}(x).
    \]
 
    Zbývající tvrzení je již zřejmé.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$, $x_0 \in I$. Pak
  \[
    W_{y_1\ldots,y_n}(x) = W_{y_1\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{\int_{x_0}^x \Tr \mat{A}(\xi) \dif\xi \right\}, \qquad \forall x\in I.
  \]
 
  \begin{proof}
    Podle poznámky \ref{rmrk:der_det} platí
    \[
      \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr)
      = 
        \sum_{j=1}^n
        \left| \begin{matrix}
          y_1^1(x)    & \ldots & y_n^1(x) \\
                      & \ddots & \\
          (y_1^j)'(x) & \ldots & (y_n^j)'(x) \\
                      & \ddots & \\
          y_1^n(x)    & \ldots & y_n^n(x)
        \end{matrix} \right| = (*).
    \]
    Využijeme nyní toho, že podle předpokladů věty řeší $y_j$ rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} a platí tudíž
    \[
      (y_i^j)'(x) = \sum_{l=1}^n a_{jl}(x) y_i^l(x).
    \]
    Dostaneme
    \[
      (*) = 
        \sum_{j=1}^n \sum_{l=1}^n a_{jl}(x) 
        \left| \begin{matrix}
          y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
                   & \ddots & \\
          y_1^l(x) & \ldots & y_n^l(x) \\
                   & \ddots & \\
          y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
        \end{matrix} \right|
        \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \leftarrow \text{$j$-tý řádek} \\ \vdots \\ \vdots \end{matrix}.
    \]
    Snadno si rozmyslíme, že determinanty v~jednotlivých sčítancích jsou rovny $0$ pro $l \neq j$. Pro $l=j$ z~nich naopak dostáváme
    wrońskiány $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$. Shrneme-li dosavadní výsledky, máme
    \[
      \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = (*) = \ub{\sum_{j=1}^n a_{jj}(x)}_{\Tr \mat{A}(x)} W_{y_1,\ldots,y_n}(x).
    \]
 
    Dostali jsme tedy diferenciální rovnici ve tvaru
    \[
      \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = \Tr \mat{A}(x) \ W_{y_1,\ldots,y_n}(x),
    \]
    jejímž řešením je (jak se snadno přesvědčíme dosazením)
    \[
       W_{y_1\ldots,y_n}(x) = W_{y_1\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{\int_{x_0}^x \Tr \mat{A}(\xi) \dif\xi \right\},
    \]
    což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť funkce $y_1,\ldots,y_n \in \Cc^{(1)}(I)$ a nechť $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$ na $I$. Potom existuje právě jeden systém tvaru 
  \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}, pro nějž je $(y_1,\ldots,y_n)$ FS na $I$.
 
  \begin{proof}
    Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost.
    \begin{enumerate}[(1)]
%\item EXISTENCE
      \item Existenci dokážeme konstrukcí. Označme nejdříve
        \[
          D_i (x,y(x))
          = 
            \left| \begin{matrix}
              (y^i)'(x) & (y_1^i)'(x) & \ldots & (y_n^i)'(x) \\
              y^1(x)    & y_1^1(x)    & \ldots & y_n^1(x) \\
              \vdots    &             & \ddots & \\
              y^n(x)    & y_1^n(x)    & \ldots & y_n^n(x)
            \end{matrix} \right|.
        \]
        Všimneme si, že pravý dolní minor matice na pravé straně je vlastně wrońskián $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$. Rovněž pozorujeme, že
        \[
          \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( D_i(x,y_j(x)) = 0 \Bigr).
        \]
 
        Rozvojem determinantu podle 1.~sloupce dostáváme
        \[
          D_i(x,y(x)) = (y^i)'(x) \ub{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}_{\neq 0} + \sum_{j=1}^n (-1)^j y^j(x) \tilde{D}_{ij}(x),
        \]
        kde $\tilde{D}_{ij}(x)$ je determinant matice, jež vznikne z~matice determinantu $D_i(x,y(x))$ vynecháním 1.~sloupce a $(j+1)$-ního řádku.
 
        Sestavíme matici $\mat{A}(x) = (a_{ij}(x))$ tak, že
        \[
          a_{ij}(x) = (-1)^j \frac{\tilde{D}_{ij}(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}.
        \]
        Potom
        \[
          y' - \mat{A}(x) y = \theta
        \]
        je hledanou diferenciální rovnicí s~fundamentálním systémem $(y_1,\ldots,y_n)$.
 
%\item JEDNOZNAČNOST
      \item Nechť funkce $y_j$ řeší na intervalu $I$ dvě různé diferenciální rovnice
        \[
          y' - \mat{A}(x) y = \theta \qquad \text{a} \qquad y' - \mat{B}(x) y = \theta,
        \]
        kde $(\exists x_0\in I)(\mat{A}(x_0) \neq \mat{B}(x_0))$.
 
        Potom zřejmě platí
        \[
          \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( \bigl(\mat{A}(x) - \mat{B}(x)\bigr) y_j(x) = \theta \Bigr)
        \]
        a zároveň vektory $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ tvoří bázi vektorového prostoru $\R^n$, pro libovolné pevné $x\in I$. Potom ale musí platit
        \[
          \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( \mat{A}(x) = \mat{B}(x) \Bigr),
        \]
        což je spor. \qedhere
 
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Řešení soustavy s pravou stranou
% ****************************************************************************************************************************
\section{Řešení soustavy s~pravou stranou}
\begin{remark}[\textbf{Metoda variace konstant}]
  \index{metoda!variace konstant}
  Nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je fundamentální systém pro \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$. Hledejme řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin_sps}
  ve tvaru
  \[
    z(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x),
  \]
  kde $c_j : I\to\R$ pro všechna $j\in\widehat{n}$. Potom platí
  \[
    z'(x) 
      = \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) + \sum_{j=1}^n c_j(x) \ub{y'_j(x)}_{=\mat{A}(x) y_j(x)} 
      = \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) + \mat{A}(x) \ub{ \left( \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x) \right) }_{= z(x)}
  \]
  a zároveň 
  \[
    z'(x) - \mat{A}(x) z(x) = b(x).
  \]
 
  Dostali jsme tedy soustavu $n$ lineárních rovnic pro $n$ neznámých $c'_j(x)$ ve tvaru
  \[
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) = b(x) 
      \quad\Longleftrightarrow\quad
      \left(\begin{matrix}
        y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
                 & \ddots & \\
        y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
      \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} c'_1(x) \\ \vdots \\ c'_n(x) \end{matrix}\right) 
      = \left(\begin{matrix} b^1(x) \\ \vdots \\ b^n(x) \end{matrix}\right).
  \]
  Determinant matice soustavy je wrońskián $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$, a proto jsou neznámé $c'_j(x)$ určeny jednoznačně. S~využitím 
  Cramerova pravidla dostáváme
  \[
    c'_j(x) = \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)},
  \]
  kde $W_j(x)$ je determinant matice, která vznikne z~matice soustavy nahradíme-li $j$-tý sloupec sloupcem pravých stran. Potom
  \[
    c_j(x) = \int \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \dif x + d_j,
  \]
  kde $d_j$ jsou integrační konstanty. Obecné řešení rovnice s~pravou stranou \eqref{eq:sysdrlin_sps} potom je
  \[
    z(x) = \sum_{j=1}^n \left[ \int \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \dif x \right] y_j(x) + \sum_{j=1}^n d_j y_j(x).
  \]
 
\end{remark}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Soustavy s konstantními koeficienty
% ****************************************************************************************************************************
\section{Soustavy s~konstantními koeficienty}
\begin{define}
  \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~konstatními koeficienty}
  Nechť $\mat{A}\in\R^{n,n}$. Potom soustavu ve tvaru
  \begin{equation}
    \label{eq:sysdrlin1r_kk}
    y' - \mat{A} y = b(x)
  \end{equation}
  nazveme \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu s~konstantními koeficienty}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Uvažujme rovnici bez pravé strany ve tvaru
  \[
    y' - \mat{A} y = \theta.
  \]
  Předpokládejme řešení ve tvaru
  \[
    y(x) = \me^{\lambda x} v,
  \]
  kde $v\in\R^n$. Dosadíme-li za $y$ do rovnice, získáme vztah
  \[
    \lambda \me^{\lambda x} v - \mat{A} \me^{\lambda x} v = \theta \quad\Longleftrightarrow\quad (\mat{A} - \lambda \mat{E}) v = \theta.
  \]
  Řešíme tedy úlohu hledání vlastních čísel a k~nim příslušejících vlastních vektorů matice $\mat{A}$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:Jordan}
  \index{věta!Jordanova}
  \index{matice!v~Jordanově normálním tvaru}
  Než přistoupíme k~další větě, připomeneme si tvrzení, které se nám pro její důkaz bude hodit. 
 
  Podle \emph{Jordanovy}\footnote{\textbf{Marie Ennemond Camille Jordan} (1838--1922), francouzský matematik.} \emph{věty} (viz~\cite[Věta 17.8]{bican}) je každá 
  matice $\mat{A}\in\C^{n,n}$ podobná\footnote{\index{podobnost matic}Řekneme, že matice $\mat{A}$ je \textbf{podobná} matici $\mat{B}$ právě tehdy, když 
  existuje regulární matice $\mat{T}$ tak, že platí $\mat{A} = \mat{T}^{-1} \mat{B} \mat{T}$.} matici $\mat{J}$ v~tzv.~\emph{Jordanově normálním tvaru}. 
  Tj.~existuje regulární matice $\mat{P}$ tak, že platí
  \[
    \mat{A} = \mat{P}^{-1} \mat{J} \mat{P},
  \]
  kde matici $\mat{J}$ lze zapsat v~blokově diagonálním tvaru
  \[
    \mat{J}
      = 
      \left(\begin{matrix}
        \mat{J}_1^1 &        &                 &        &            &        & \\
                    & \ddots &                 &        &            &        & \\
                    &        & \mat{J}_{s_1}^1 &        &            &        & \\
                    &        &                 & \ddots &            &        & \\
                    &        &                 &        &\mat{J}_1^p &        & \\
                    &        &                 &        &            & \ddots & \\
                    &        &                 &        &            &        & \mat{J}_{s_p}^p \\
      \end{matrix}\right),
    \quad \text{kde }
    \mat{J}_j^i
      =
      \left(\begin{matrix}
        \lambda_i &        &        & \\
        1         & \ddots &        & \\
                  & \ddots & \ddots & \\
                  &        &   1    & \lambda_i
      \end{matrix}\right).
  \]
  Zde $\lambda_i \in \sigma(\mat{A})$, čtvercové matice $\mat{J}_j^i$ nazýváme Jordanovy bloky (buňky) příslušné vlastnímu číslu $\lambda_i$.
  Čísla $s_i = \nu_g(\lambda_i)$ jsou geometrické násobnosti vlastního čísla $\lambda_i$ a zřejmě musí platit
  \[
    \sum_{j=1}^{s_i} \dim \mat{J}_j^i = \nu_a(\lambda_i),
  \]
  kde $\nu_a(\lambda_i)$ je algebraická násobnost vlastního čísla $\lambda_i$.
 
  Snadno si také rozmyslíme, že každý blok $\mat{J}_j^i$ (považujeme-li jej za samostatnou matici) má právě jedno vlastní číslo $\lambda_i$ 
  s~algebraickou násobností rovnou řádu matice $\mat{J}_j^i$ a s~geometrickou násobností 1. K~tomuto vlastnímu číslu tedy přísluší právě
  jeden vlastní vektor (a pochopitelně jeho libovolné nenulové násobky).
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ jsou různá vlastní čísla matice $\mat{A}$ s~algebraickými násobnostmi $k_1,\ldots,k_p$, $\sum\limits_{j=1}^p k_j = n$.
  Pak FS pro rovnici $y' - \mat{A} y = \theta$ má tvar
  \[
    \begin{matrix}
      \me^{\lambda_1 x} y_{11}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_1 x} y_{1k_1}(x) \\
      \me^{\lambda_2 x} y_{21}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_2 x} y_{2k_2}(x) \\
      \vdots                       &         &  \vdots \\
      \me^{\lambda_p x} y_{p1}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_p x} y_{pk_p}(x)
    \end{matrix},
  \]
  kde $y_{ij}(x)$ je vektorový polynom stupně nejvýše $j-1$ (resp.~vektor o~složkách ve tvaru polynomů stupně menšího než $j$).
 
  \begin{proof}
    V~rovnici $y' - \mat{A} y = \theta$ provedeme substituci $y(x) = \mat{P}^{-1} z(x)$, kde $\mat{P}$ je matice z~poznámky \ref{rmrk:Jordan}. Dostaneme tak
    novou rovnici ve tvaru
    \[
      z' - \mat{J} z = \theta.
    \]
    Ihned vidíme, že soustava se \uv{rozpadla} na několik nezávislých soustav podle bloků matice $\mat{J}$. Toho využijeme a řešení budeme hledat po
    jednotlivých blocích. Nechť např.~první blok je tvaru
    \[
      \mat{J}_1^1
      =
      \ub{\left(\begin{matrix}
        \lambda_1 &        &        & \\
        1         & \ddots &        & \\
                  & \ddots & \ddots & \\
                  &        &   1    & \lambda_1
      \end{matrix}\right)}_{\text{$k$ sloupců}}.
    \]
    Potom je třeba řešit soustavu ve tvaru
    \begin{eqnarray*}
      (z^1)' &  =   & \lambda_1 z^1, \\
      (z^2)' &  =   & z^1 + \lambda_1 z^2, \\
             &\vdots& \\
      (z^k)' &  =   & z^{k-1} + \lambda_1 z^k.
    \end{eqnarray*}
    Přitom klademe $z^i(x) = 0$ pro $i>k$.
 
    Provedeme-li další substituci $z^j(x) = \me^{\lambda_1 x} u^j(x)$, převedeme soustavu do tvaru
    \begin{eqnarray*}
      (u^1)' &  =   & 0, \\
      (u^2)' &  =   & u^1, \\
             &\vdots& \\
      (u^k)' &  =   & u^{k-1}.
    \end{eqnarray*}
    Pro tuto soustavu však snadno nalezneme FS. Ten obsahuje $k$ funkcí
    \[
      u_1(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right),\
      u_2(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ x \end{matrix}\right),\
      u_3(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ x \\ x^2/2 \end{matrix}\right),\
      \ldots,\
      u_k(x) = \left(\begin{matrix} 1 \\ x \\ \vdots \\ x^{k-2}/(k-2)! \\ x^{k-1}/(k-1)! \end{matrix}\right).
    \]
 
    Nyní je potřeba provést zpětnou transformaci
    \[
      y_j(x) 
        = \mat{P}^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} z_j^1(x) \\ \vdots \\ z_j^k(x) \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right)
        = \me^{\lambda_1 x} \ \ub{\mat{P}^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} u_j^1(x) \\ \vdots \\ u_j^k(x) \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right)}_{=y_{1j}(x)}
        \qquad \text{pro } j=1,\ldots,k.
    \]
    Odtud také vidíme, že řešení je v~požadovaném tvaru, kde $y_{1j}$ je vektorový polynom stupně nejvýše $j-1$.
 
    Analogicky se zpracují i ostatní bloky.
  \end{proof}
\end{theorem}