01DIFRcviceni:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Preklep)
Řádka 28: Řádka 28:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y = \int \frac{dy}{dx} dx = \int t \big( u \cdot \cos t \big) ` dt = \big[ t^2 \cdot \cos t \big]  - \int \big( t \cdot \cos t \big) dt  
+
y = \int \frac{dy}{dx} dx = \int t \big( t \cdot \cos t \big) ` dt = \big[ t^2 \cdot \cos t \big]  - \int \big( t \cdot \cos t \big) dt  
 
= t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - \cos t
 
= t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - \cos t
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}

Verze z 10. 7. 2010, 19:21

\section{Diferenciální rovnice tvaru: $x = f \big( y` \big)$ resp. $y= g \big( y` \big)$ }

\subsection*{Zamyslete se:}

Co víme o způsobu jejich řešení? \\ Jak vypadají jednotlivé parametrické vyjádření křivek? \\ Jednoznačnost?

\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} x = y` \cdot \cos y` \end{displaymath}

Zvolíme tedy:

\begin{center} \begin{math} t = y` \end{math}

\begin{math} x = t \cdot \cos t \end{math} \end{center}

\begin{displaymath} y = \int \frac{dy}{dx} dx = \int t \big( t \cdot \cos t \big) ` dt = \big[ t^2 \cdot \cos t \big] - \int \big( t \cdot \cos t \big) dt = t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - \cos t \end{displaymath}

čímž jsme dostali požadované parametrické vyjádření křivky:

\begin{center} \begin{math} x = t \cos t \end{math}

\begin{math} y = t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - cos t \end{math} \end{center}

\subsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} x = y` ^2 + \frac{y}{y`} \end{displaymath}

Řešení této rovnice bude trochu obtížnější, protože se nejedná přímo o tvar zadání, které známe z přednášky. Nejdříve si tedy vyjádřím:

\begin{center} \begin{math} y` = t \end{math}

\begin{math} x = t^2 + \frac{y}{t} \ldots / \frac{d}{dy} \end{math} \end{center}

a dál už budu jen upravovat druhou rovnost.

\begin{displaymath} \frac{1}{t} =\frac{dx}{dy} = 2t \frac{dt}{dy} + \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \frac{dt}{dy} \end{displaymath}

\begin{center} \begin{math} 0 = 2t \cdot \frac{dt}{dy} - \frac{1}{t^2} \frac{ dt}{dy} \end{math}

\begin{math} 0 = \frac{dt}{dy} \big( 2t - \frac{1}{t^2} \big) \end{math}

\begin{math} x = C^2 + \frac{y}{C} \longrightarrow y = Cx - C^3 \end{math} \end{center}

To je pro první případ \ldots $ \frac{dt}{dy} = 0 \Longrightarrow t = C$.

\begin{center} \begin{math} x = ^3\sqrt{ \frac{ y^2}{4} } + \frac{y}{ ^3\sqrt{ \frac{y}{2} } } = \frac{3}{2} ^3\sqrt{2y^2} \end{math}

\begin{math} x^3 = \frac{27}{8 } \cdot 2 y^2 \end{math} \end{center}

tedy:

\begin{displaymath} y_1 = 2 \frac{ \sqrt{27} }{27} x^{ \frac{3}{2} } = - y_2 \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.3}

Řešte:

\begin{displaymath} y = y` ^2 + 4 y` ^3 \end{displaymath}

Klasický druhý případ. Taky vidíme, že $y=0$ je taky řešením rovnice. Dále budu postupovat následovně:

\begin{center} $y = t^2 + 4t^3$ \end{center}

\begin{displaymath} x = \int \frac{dx}{dy} dy = \int \frac{1}{t} \big( 2t + 12t^2 \big) dt = \int \big( 2 + 12t \big) dt = 2t + 6t^2 + C \end{displaymath}

Tím už řešení rovnice mám. Jedním způsobem. Můžeme si ale ukázat další, měli bychom se dostat ke stejnému výsledku. No, uvidíme.

\begin{center} \begin{math} y = t^2 + 4t^3 \ldots / \frac{d}{dx} \end{math}

\begin{math} \frac{dy}{dx} = 2t \frac{dt}{dx} + 12 t^2 \frac{dt}{dx} \end{math}

\begin{math} t = 2t \frac{dt}{dx} + 12 t^2 \frac{dt}{dx} - t = t \big( 2 \frac{dt}{dx} + 12 t \frac{dt}{dx} - 1 \big) = 0 \end{math}

\begin{math} 2 \frac{dt}{dx} + 12 t \frac{dt}{dx} = 1 \end{math}

\begin{math} 2 + 12 t = \frac{dx}{dt} \end{math}

\begin{math} x = 6t^2 + 2t + c \end{math} \end{center}

čímž jsme se dostali ke stejnému výsledku. Shrňme si tedy jak vypadajá naše parametrické vyjádření:

\begin{center} \begin{math} x = 6t^2 + 2t + c \end{math}

\begin{math} y = t^2 + 4t^3 \end{math} \end{center}

\subsection*{Příklad č.4}

Řešte:

\begin{displaymath} y = x y` - e^{y`} \end{displaymath}

Zparametrizuji:

\begin{displaymath} y` = t \Longrightarrow y = xt - e^t \end{displaymath}

\begin{center} \begin{math} \frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx} - e^t \frac{dt}{dx} \end{math}

\begin{math} 0 = \big( x - e^t \big) \frac{dt}{dx} \end{math} \end{center}

Teď musíme vyřídit různé možnosti nulovosti:

\begin{center} \begin{math} t = C \Longrightarrow y = Cx - e^C \end{math}

nebo:

\begin{math} x - e^t = 0 \Longrightarrow x = e^t \end{math}

\begin{math} y = e^t \big( t-1 \big) \end{math}

nebo:

\begin{math} x = e^t \end{math}

\begin{math} \ln x = t \Longleftarrow y = x \ln x - x = x \big( \ln x - 1 \big) \end{math} \end{center}

% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky