01DIFRcviceni:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 50: | Řádka 50: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | x = y^\prime ^2 + \frac{y}{y^\prime} | + | x = (y^\prime) ^2 + \frac{y}{y^\prime} |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Verze z 13. 2. 2011, 20:44
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Diferenciální rovnice tvaru: $x = f \big( y^\prime \big)$ resp. $y= g \big( y^\prime \big)$ } \subsection*{Zamyslete se:} Co víme o způsobu jejich řešení? \\ Jak vypadají jednotlivé parametrické vyjádření křivek? \\ Jednoznačnost? \subsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} x = y^\prime \cdot \cos y^\prime \end{displaymath} Zvolíme tedy: \begin{center} \begin{math} t = y^\prime \end{math} \begin{math} x = t \cdot \cos t \end{math} \end{center} \begin{displaymath} y = \int \frac{dy}{dx} dx = \int t \big( t \cdot \cos t \big) ^\prime dt = \big[ t^2 \cdot \cos t \big] - \int \big( t \cdot \cos t \big) dt = t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - \cos t \end{displaymath} čímž jsme dostali požadované parametrické vyjádření křivky: \begin{center} \begin{math} x = t \cos t \end{math} \begin{math} y = t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - cos t \end{math} \end{center} \subsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} x = (y^\prime) ^2 + \frac{y}{y^\prime} \end{displaymath} Řešení této rovnice bude trochu obtížnější, protože se nejedná přímo o tvar zadání, které známe z přednášky. Nejdříve si tedy vyjádřím: \begin{center} \begin{math} y^\prime = t \end{math} \begin{math} x = t^2 + \frac{y}{t} \ldots / \frac{d}{dy} \end{math} \end{center} a dál už budu jen upravovat druhou rovnost. \begin{displaymath} \frac{1}{t} =\frac{dx}{dy} = 2t \frac{dt}{dy} + \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \frac{dt}{dy} \end{displaymath} \begin{center} \begin{math} 0 = 2t \cdot \frac{dt}{dy} - \frac{1}{t^2} \frac{ dt}{dy} \end{math} \begin{math} 0 = \frac{dt}{dy} \big( 2t - \frac{1}{t^2} \big) \end{math} \begin{math} x = C^2 + \frac{y}{C} \longrightarrow y = Cx - C^3 \end{math} \end{center} To je pro první případ \ldots $ \frac{dt}{dy} = 0 \Longrightarrow t = C$. \begin{center} \begin{math} x = ^3\sqrt{ \frac{ y^2}{4} } + \frac{y}{ ^3\sqrt{ \frac{y}{2} } } = \frac{3}{2} ^3\sqrt{2y^2} \end{math} \begin{math} x^3 = \frac{27}{8 } \cdot 2 y^2 \end{math} \end{center} tedy: \begin{displaymath} y_1 = 2 \frac{ \sqrt{27} }{27} x^{ \frac{3}{2} } = - y_2 \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.3} Řešte: \begin{displaymath} y = y^\prime ^2 + 4 y^\prime ^3 \end{displaymath} Klasický druhý případ. Taky vidíme, že $y=0$ je taky řešením rovnice. Dále budu postupovat následovně: \begin{center} $y = t^2 + 4t^3$ \end{center} \begin{displaymath} x = \int \frac{dx}{dy} dy = \int \frac{1}{t} \big( 2t + 12t^2 \big) dt = \int \big( 2 + 12t \big) dt = 2t + 6t^2 + C \end{displaymath} Tím už řešení rovnice mám. Jedním způsobem. Můžeme si ale ukázat další, měli bychom se dostat ke stejnému výsledku. No, uvidíme. \begin{center} \begin{math} y = t^2 + 4t^3 \ldots / \frac{d}{dx} \end{math} \begin{math} \frac{dy}{dx} = 2t \frac{dt}{dx} + 12 t^2 \frac{dt}{dx} \end{math} \begin{math} t = 2t \frac{dt}{dx} + 12 t^2 \frac{dt}{dx} - t = t \big( 2 \frac{dt}{dx} + 12 t \frac{dt}{dx} - 1 \big) = 0 \end{math} \begin{math} 2 \frac{dt}{dx} + 12 t \frac{dt}{dx} = 1 \end{math} \begin{math} 2 + 12 t = \frac{dx}{dt} \end{math} \begin{math} x = 6t^2 + 2t + c \end{math} \end{center} čímž jsme se dostali ke stejnému výsledku. Shrňme si tedy jak vypadajá naše parametrické vyjádření: \begin{center} \begin{math} x = 6t^2 + 2t + c \end{math} \begin{math} y = t^2 + 4t^3 \end{math} \end{center} \subsection*{Příklad č.4} Řešte: \begin{displaymath} y = x y^\prime - e^{y^\prime} \end{displaymath} Zparametrizuji: \begin{displaymath} y^\prime = t \Longrightarrow y = xt - e^t \end{displaymath} \begin{center} \begin{math} \frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx} - e^t \frac{dt}{dx} \end{math} \begin{math} 0 = \big( x - e^t \big) \frac{dt}{dx} \end{math} \end{center} Teď musíme vyřídit různé možnosti nulovosti: \begin{center} \begin{math} t = C \Longrightarrow y = Cx - e^C \end{math} nebo: \begin{math} x - e^t = 0 \Longrightarrow x = e^t \end{math} \begin{math} y = e^t \big( t-1 \big) \end{math} nebo: \begin{math} x = e^t \end{math} \begin{math} \ln x = t \Longleftarrow y = x \ln x - x = x \big( \ln x - 1 \big) \end{math} \end{center}