Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Riccatiho rovnice}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký tvar má Riccatiho rovnice? \\
Jakými způsoby je neřešitelná? :-) \\
Jakým způsobem lze hledat řešení, když známe jedno konkrétní řešení? \\
Jaký je vztah mezi Riccatiho rovnicí a mezi mezi LDR II.řádu?
\begin{displaymath}
tvar: y^\prime = a_0 \big( x \big) + a_1 \big( x \big) \cdot y + a_2 \big( x \big) \cdot y^2
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.1}
Nalezněte další řešení rovnice:
\begin{displaymath}
y^\prime = y^2 - xy - x
\end{displaymath}
přičemž víme, že jedno konkrétní řešení má tvar: $ y = ax +b$. Čili $y^\prime = a$.
\begin{center}
\begin{math}
a = a^2 \cdot x^2 + 2ab \cdot x + b^2 - ax^2 - bx -x
\end{math}
\begin{math}
a = \big( a^2 - a \big) \cdot x^2 + \big( 2ab - b - 1 \big) + b^2 - a = 0
\end{math}
\end{center}
Nyní musíme dát rovnosti u různých mocnin x do rovnosti, z čehož nám vyjde, že vyhovuje rovnost $a=1, b=1$.
Každý sám si tohle ověřte. Může se stát, že ty tři nebo více rovností může splňovat více dvojic či trojic čísel.
Nyní tedy máme jedno konkrétní řešení. Ze znalosti z přednášky tedy víme, že můžeme zbývající dopočítat pomocí algoritmu,
který si teď ukážeme.
Zavádím nové řešení:
\begin{center}
\begin{math}
y = y_1 + \frac{1}{u}
\end{math}
\begin{math}
y = x + 1 + \frac{1}{u}
\end{math}
\begin{math}
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) ^2 - x \cdot \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) - x
\end{math}
\begin{math}
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{u^2} + 2x + 2 \frac{x}{u} + \frac{2}{u} - x^2 -x - \frac{x}{u} -x
\end{math}
\begin{math}
- \frac{u^\prime}{u^2} = \frac{1}{u^2} + \frac{x}{u}+\frac{2}{u}
\end{math}
\begin{math}
-u^\prime = 1 + ux + 2u
\end{math}
\end{center}
čímž jsem se dostal do tvaru:
\begin{displaymath}
u^\prime + \big( x +2 \big) \cdot u = -1
\end{displaymath}
Jak všichni vidí, je to LDR. Řešení nechám na Vás samotných. Jen upozorním na to, že řešení nevyjde nijak pěkně,
asi nějak takto to stačí nechat:
\begin{displaymath}
y = x + 1 + \frac{ e^{ \frac{x^2}{2} + 2x } }{ C - \int e^{ \frac{x^2}{2} +2x }dx }
\end{displaymath}
