01DIFRcviceni:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 10. 4. 2010, 11:02, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: \section{Riccatiho rovnice} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký tvar má Riccatiho rovnice? \\ Jakými způsoby je neřešitelná? :-) \\ Jakým způsobem lze hledat řeše…)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

\section{Riccatiho rovnice}

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaký tvar má Riccatiho rovnice? \\ Jakými způsoby je neřešitelná? :-) \\ Jakým způsobem lze hledat řešení, když známe jedno konkrétní řešení? \\ Jaký je vztah mezi Riccatiho rovnicí a mezi mezi LDR II.řádu?

\begin{displaymath} tvar: y` = a_0 \big( x \big) + a_1 \big( x \big) \cdot y + a_2 \big( x \big) \cdot y^2 \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.1}

Nalezněte další řešení rovnice:

\begin{displaymath} y` = y^2 - xy - x \end{displaymath}

přičemž víme, že jedno konkrétní řešení má tvar: $ y = ax +b$. Čili $y` = a$.

\begin{center} \begin{math} a = a^2 \cdot x^2 + 2ab \cdot x + b^2 - ax^2 - bx -x \end{math}

\begin{math} a = \big( a^2 - a \big) \cdot x^2 + \big( 2ab - b - 1 \big) + b^2 - a = 0 \end{math} \end{center}

Nyní musíme dát rovnosti u různých mocnin x do rovnosti, z čehož nám vyjde, že vyhovuje rovnost $a=1, b=1$. Každý sám si tohle ověřte. Může se stát, že ty tři nebo více rovností může splňovat více dvojic či trojic čísel.

Nyní tedy máme jedno konkrétní řešení. Ze znalosti z přednášky tedy víme, že můžeme zbývající dopočítat pomocí algorytmu, který si teď ukážeme.

Zavádím nové řešení:

\begin{center} \begin{math} y = y_1 + \frac{1}{u} \end{math}

\begin{math} y = x + 1 + \frac{1}{u} \end{math}

\begin{math} 1 - \frac{u`}{u^2} = \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) ^2 - x \cdot \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) - x \end{math}

\begin{math} 1 - \frac{u`}{u^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{u^2} + 2x + 2 \frac{x}{u} + \frac{2}{u} - x^2 -x - \frac{x}{u} -x \end{math}

\begin{math} - \frac{u`}{u^2} = \frac{1}{u^2} + \frac{x}{u} \frac{2}{u} \end{math}

\begin{math} -u` = 1 + ux + 2u \end{math} \end{center}

čímž jsem se dostal do tvaru:

\begin{displaymath} u` + \big( x +2 \big) \cdot u = -1 \end{displaymath}

Jak všichni vidí, je to LDR. Řešení nechám na Vás samotných. Jen upozorním na to, že řešení nevyjde nijak pěkně, asi nějak takto to stačí nechat:

\begin{displaymath} y = x + 1 + \frac{ e^{ \frac{x^2}{2} + 2x } }{ C - \int e^{ \frac{x^2}{2} +2x }dx } \end{displaymath}