01DIFRcviceni:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (pravopis)
Řádka 36: Řádka 36:
 
Každý sám si tohle ověřte. Může se stát, že ty tři nebo více rovností může splňovat více dvojic či trojic čísel.
 
Každý sám si tohle ověřte. Může se stát, že ty tři nebo více rovností může splňovat více dvojic či trojic čísel.
  
Nyní tedy máme jedno konkrétní řešení. Ze znalosti z přednášky tedy víme, že můžeme zbývající dopočítat pomocí algorytmu,  
+
Nyní tedy máme jedno konkrétní řešení. Ze znalosti z přednášky tedy víme, že můžeme zbývající dopočítat pomocí algoritmu,  
 
který si teď ukážeme.  
 
který si teď ukážeme.  
  

Verze z 16. 4. 2017, 09:12

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Riccatiho rovnice}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký tvar má Riccatiho rovnice? \\
Jakými způsoby je neřešitelná? :-) \\
Jakým způsobem lze hledat řešení, když známe jedno konkrétní řešení? \\
Jaký je vztah mezi Riccatiho rovnicí a mezi mezi LDR II.řádu?
 
\begin{displaymath}
tvar: y^\prime = a_0 \big( x \big) + a_1 \big( x \big) \cdot y + a_2 \big( x \big) \cdot y^2
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Nalezněte další řešení rovnice:
 
\begin{displaymath}
y^\prime = y^2 - xy - x
\end{displaymath}
 
přičemž víme, že jedno konkrétní řešení má tvar: $ y = ax +b$. Čili $y^\prime = a$.
 
\begin{center}
\begin{math}
a = a^2 \cdot x^2 + 2ab \cdot x + b^2 - ax^2 - bx -x
\end{math}
 
\begin{math}
a = \big( a^2 - a \big) \cdot x^2 + \big( 2ab - b - 1 \big) + b^2 - a = 0
\end{math}
\end{center}
 
Nyní musíme dát rovnosti u různých mocnin x do rovnosti, z čehož nám vyjde, že vyhovuje rovnost $a=1, b=1$. 
Každý sám si tohle ověřte. Může se stát, že ty tři nebo více rovností může splňovat více dvojic či trojic čísel.
 
Nyní tedy máme jedno konkrétní řešení. Ze znalosti z přednášky tedy víme, že můžeme zbývající dopočítat pomocí algoritmu, 
který si teď ukážeme. 
 
Zavádím nové řešení:
 
\begin{center}
\begin{math}
y = y_1 + \frac{1}{u}
\end{math}
 
\begin{math}
y = x + 1 + \frac{1}{u}
\end{math}
 
\begin{math}
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) ^2 - x \cdot \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) - x
\end{math}
 
\begin{math}
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{u^2} + 2x + 2 \frac{x}{u} + \frac{2}{u} - x^2 -x - \frac{x}{u} -x
\end{math}
 
\begin{math}
- \frac{u^\prime}{u^2} = \frac{1}{u^2} + \frac{x}{u} \frac{2}{u}
\end{math}
 
\begin{math}
-u^\prime = 1 + ux + 2u
\end{math}
\end{center}
 
čímž jsem se dostal do tvaru:
 
\begin{displaymath}
u^\prime + \big( x +2 \big) \cdot u = -1
\end{displaymath}
 
Jak všichni vidí, je to LDR. Řešení nechám na Vás samotných. Jen upozorním na to, že řešení nevyjde nijak pěkně, 
asi nějak takto to stačí nechat:
 
\begin{displaymath}
y = x + 1 + \frac{ e^{ \frac{x^2}{2} + 2x } }{ C - \int e^{ \frac{x^2}{2} +2x }dx }
\end{displaymath}