01DIFRcviceni:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 10: Řádka 10:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
tvar: y` = a_0 \big( x \big) + a_1 \big( x \big) \cdot y + a_2 \big( x \big) \cdot y^2
+
tvar: y^\prime = a_0 \big( x \big) + a_1 \big( x \big) \cdot y + a_2 \big( x \big) \cdot y^2
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 18: Řádka 18:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` = y^2 - xy - x
+
y^\prime = y^2 - xy - x
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
přičemž víme, že jedno konkrétní řešení má tvar: $ y = ax +b$. Čili $y` = a$.
+
přičemž víme, že jedno konkrétní řešení má tvar: $ y = ax +b$. Čili $y^\prime = a$.
  
 
\begin{center}
 
\begin{center}
Řádka 51: Řádka 51:
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
1 - \frac{u`}{u^2} = \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) ^2 - x \cdot \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) - x
+
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) ^2 - x \cdot \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) - x
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
1 - \frac{u`}{u^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{u^2} + 2x + 2 \frac{x}{u} + \frac{2}{u} - x^2 -x - \frac{x}{u} -x
+
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{u^2} + 2x + 2 \frac{x}{u} + \frac{2}{u} - x^2 -x - \frac{x}{u} -x
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
- \frac{u`}{u^2} = \frac{1}{u^2} + \frac{x}{u} \frac{2}{u}
+
- \frac{u^\prime}{u^2} = \frac{1}{u^2} + \frac{x}{u} \frac{2}{u}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
-u` = 1 + ux + 2u
+
-u^\prime = 1 + ux + 2u
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
Řádka 70: Řádka 70:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
u` + \big( x +2 \big) \cdot u = -1
+
u^\prime + \big( x +2 \big) \cdot u = -1
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  

Verze z 13. 2. 2011, 19:39

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Riccatiho rovnice}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký tvar má Riccatiho rovnice? \\
Jakými způsoby je neřešitelná? :-) \\
Jakým způsobem lze hledat řešení, když známe jedno konkrétní řešení? \\
Jaký je vztah mezi Riccatiho rovnicí a mezi mezi LDR II.řádu?
 
\begin{displaymath}
tvar: y^\prime = a_0 \big( x \big) + a_1 \big( x \big) \cdot y + a_2 \big( x \big) \cdot y^2
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Nalezněte další řešení rovnice:
 
\begin{displaymath}
y^\prime = y^2 - xy - x
\end{displaymath}
 
přičemž víme, že jedno konkrétní řešení má tvar: $ y = ax +b$. Čili $y^\prime = a$.
 
\begin{center}
\begin{math}
a = a^2 \cdot x^2 + 2ab \cdot x + b^2 - ax^2 - bx -x
\end{math}
 
\begin{math}
a = \big( a^2 - a \big) \cdot x^2 + \big( 2ab - b - 1 \big) + b^2 - a = 0
\end{math}
\end{center}
 
Nyní musíme dát rovnosti u různých mocnin x do rovnosti, z čehož nám vyjde, že vyhovuje rovnost $a=1, b=1$. 
Každý sám si tohle ověřte. Může se stát, že ty tři nebo více rovností může splňovat více dvojic či trojic čísel.
 
Nyní tedy máme jedno konkrétní řešení. Ze znalosti z přednášky tedy víme, že můžeme zbývající dopočítat pomocí algorytmu, 
který si teď ukážeme. 
 
Zavádím nové řešení:
 
\begin{center}
\begin{math}
y = y_1 + \frac{1}{u}
\end{math}
 
\begin{math}
y = x + 1 + \frac{1}{u}
\end{math}
 
\begin{math}
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) ^2 - x \cdot \big( x + 1 + \frac{1}{u} \big) - x
\end{math}
 
\begin{math}
1 - \frac{u^\prime}{u^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{u^2} + 2x + 2 \frac{x}{u} + \frac{2}{u} - x^2 -x - \frac{x}{u} -x
\end{math}
 
\begin{math}
- \frac{u^\prime}{u^2} = \frac{1}{u^2} + \frac{x}{u} \frac{2}{u}
\end{math}
 
\begin{math}
-u^\prime = 1 + ux + 2u
\end{math}
\end{center}
 
čímž jsem se dostal do tvaru:
 
\begin{displaymath}
u^\prime + \big( x +2 \big) \cdot u = -1
\end{displaymath}
 
Jak všichni vidí, je to LDR. Řešení nechám na Vás samotných. Jen upozorním na to, že řešení nevyjde nijak pěkně, 
asi nějak takto to stačí nechat:
 
\begin{displaymath}
y = x + 1 + \frac{ e^{ \frac{x^2}{2} + 2x } }{ C - \int e^{ \frac{x^2}{2} +2x }dx }
\end{displaymath}