01DIFRcviceni:Kapitola7: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
Řádka 8: Řádka 8:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
tvar: y` + p \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \cdot y^{ \alpha }
+
tvar: y^\prime + p \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \cdot y^{ \alpha }
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 16: Řádka 16:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` + 4xy = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sqrt{y}
+
y^\prime + 4xy = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sqrt{y}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 22: Řádka 22:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{y` }{ \sqrt{y} } + 4x \cdot \sqrt{y} = 2x \cdot e^{-x^2}
+
\frac{y^\prime }{ \sqrt{y} } + 4x \cdot \sqrt{y} = 2x \cdot e^{-x^2}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 33: Řádka 33:
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
\frac{ y` }{ 2 \sqrt{y} } = z`
+
\frac{ y^\prime }{ 2 \sqrt{y} } = z^\prime
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
Řádka 40: Řádka 40:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
z` + 2x \cdot z = x e^{-x^2}
+
z^\prime + 2x \cdot z = x e^{-x^2}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  

Aktuální verze z 13. 2. 2011, 19:39

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Bernoulliho rovnice}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký tvar má Bernoulliho rovnice a jakým způsobem se řeší? \\
co víme o otázce jednoznačnosti řešení?
 
\begin{displaymath}
tvar: y^\prime + p \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \cdot y^{ \alpha }
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime + 4xy = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sqrt{y}
\end{displaymath}
 
Můžeme hned v podstatě říci, že $y=0$ je určitě řešením. K zjištění dalších řešení musíme provést operaci známou z přednášky:
 
\begin{displaymath}
\frac{y^\prime }{ \sqrt{y} } + 4x \cdot \sqrt{y} = 2x \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
Takže nyní jen zvolíme známou substituci:
 
\begin{center}
\begin{math}
\sqrt{y} = z
\end{math}
 
\begin{math}
\frac{ y^\prime }{ 2 \sqrt{y} } = z^\prime
\end{math}
\end{center}
 
takže nám po dosazení vyjde rovnice:
 
\begin{displaymath}
z^\prime + 2x \cdot z = x e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
což je ale naprosto stejná rovnice, jakou jsme počítali v kapitole LDR, můžu tedy rovnou zapsat řešení:
 
\begin{displaymath}
z = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
tedy:
 
\begin{displaymath}
y = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) ^2 \cdot e^{-2x^2}
\end{displaymath}