01DIFRcviceni:Kapitola7

\section{Bernoulliho rovnice}

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaký tvar má Bernoulliho rovnice a jakým způsobem se řeší? \\ co víme o otázce jednoznačnosti řešení?

\begin{displaymath} tvar: y` + p \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \cdot y^{ \alpha } \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} y` + 4xy = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sqrt{y} \end{displaymath}

Můžeme hned v podstatě říci, že $y=0$ je určitě řešením. K zjištění dalších řešení musíme provést operaci známou z přednášky:

\begin{displaymath} \frac{y` }{ \sqrt{y} } + 4x \cdot \sqrt{y} = 2x \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}

Takže nyní jen zvolíme známou substituci:

\begin{center} \begin{math} \sqrt{y} = z \end{math}

\begin{math} \frac{ y` }{ 2 \sqrt{y} } = z` \end{math} \end{center}

takže nám po dosazení vyjde rovnice:

\begin{displaymath} z` + 2x \cdot z = x e^{-x^2} \end{displaymath}

což je ale naprosto stejná rovnice, jakou jsme počítali v kapitole LDR, můžu tedy rovnou zapsat řešení:

\begin{displaymath} z = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}

tedy:

\begin{displaymath} y = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) ^2 \cdot e^{-2x^2} \end{displaymath}