01DIFRcviceni:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 9: Řádka 9:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
tvar: y` + q \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big)
+
tvar: y^\prime + q \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big)
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 17: Řádka 17:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` + 2xy = x \cdot e^{-x^2}
+
y^\prime + 2xy = x \cdot e^{-x^2}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 26: Řádka 26:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` + 2xy = 0
+
y^\prime + 2xy = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 32: Řádka 32:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{ y` }{y} + 2x = 0
+
\frac{ y^\prime }{y} + 2x = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 67: Řádka 67:
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
A` \big( x \big) \cdot e^{-x^2} + A \big( x \big) \cdot \big( -2x \big) \cdot e^{-x^2} + 2x \cdot A \big( x \big)
+
A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x^2} + A \big( x \big) \cdot \big( -2x \big) \cdot e^{-x^2} + 2x \cdot A \big( x \big)
 
\cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2}
 
\cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
A` \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2}
+
A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
A` \big( x \big) = x
+
A^\prime \big( x \big) = x
 
\end{math}
 
\end{math}
  
Řádka 114: Řádka 114:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` \cdot \sin x - y \cdot \cos x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2}
+
y^\prime \cdot \sin x - y \cdot \cos x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 124: Řádka 124:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` \cdot \sin x - y \cdot \cos x = 0
+
y^\prime \cdot \sin x - y \cdot \cos x = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 131: Řádka 131:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
\frac{ y` }{y} = \frac{ \cos x }{ \sin x }
+
\frac{ y^\prime }{y} = \frac{ \cos x }{ \sin x }
 
\end{math}
 
\end{math}
  
Řádka 163: Řádka 163:
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
C` \big( x \big) \cdot \sin ^2 x + C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x - C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x = - \frac{ \sin ^2 x}{x^2}
+
C^\prime \big( x \big) \cdot \sin ^2 x + C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x - C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x = - \frac{ \sin ^2 x}{x^2}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
C` \big( x \big) \cdot \sin ^2 x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2}
+
C^\prime \big( x \big) \cdot \sin ^2 x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
Řádka 189: Řádka 189:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` + \tan y = \frac{x}{ \cos y}
+
y^\prime + \tan y = \frac{x}{ \cos y}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 195: Řádka 195:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` \cdot \cos y + \sin y = x
+
y^\prime \cdot \cos y + \sin y = x
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 206: Řádka 206:
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
z` = \cos y \cdot y`
+
z^\prime = \cos y \cdot y^\prime
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
Řádka 213: Řádka 213:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
z` + z = x
+
z^\prime + z = x
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 220: Řádka 220:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
z` + z = 0
+
z^\prime + z = 0
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
\frac{z`}{z} = -1
+
\frac{z^\prime}{z} = -1
 
\end{math}
 
\end{math}
  
Řádka 240: Řádka 240:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
z` = A` \big( x \big) \cdot e^{ -x} - A \big( x \big) \cdot e^{-x}
+
z^\prime = A^\prime \big( x \big) \cdot e^{ -x} - A \big( x \big) \cdot e^{-x}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
A` \big( x \big) \cdot e^{-x} = x
+
A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x} = x
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
A` \big( x \big) = x \cdot e^x
+
A^\prime \big( x \big) = x \cdot e^x
 
\end{math}
 
\end{math}
  

Verze z 13. 2. 2011, 19:38

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Lineární diferenciální rovnice 1.řádu}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký mají tvar LDR? \\
Na jaké dva kroky se rozpadá řešení takovýchto rovnic? \\
Jak je to s jednoznačností řešení LDR? 
 
\begin{displaymath}
tvar: y^\prime + q \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big)
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime + 2xy = x \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
Z přednášky víme, že takovéto řešení se tento typ diferenciálních rovnic rozpadá na 2 etapy, v první řešíme rovnici
\uv{bez pravé strany} a v druhé řešíme pomocí metody variace konstant celkové řešení.
 
\subsubsection*{ 1.etapa \ldots \uv{bez pravé strany} }
 
\begin{displaymath}
y^\prime + 2xy = 0
\end{displaymath}
 
Vidíme, že se jedná o rovnici separovatelnou, pro jistotu spočtu sám:
 
\begin{displaymath}
\frac{ y^\prime }{y} + 2x = 0
\end{displaymath}
 
kde $y=0$ je rovněž řešením.
 
\begin{center}
\begin{math}
\int \frac{dy}{y} + 2 \int x dx = 0 \ldots y \neq 0
\end{math}
 
\begin{math}
\ln |y| = - x^2 + C
\end{math}
 
\begin{math}
|y| = A \cdot e^{-x^2} \ldots A>0
\end{math}
 
\begin{math}
y = A \cdot e^{-x^2}
\end{math}
\end{center}
 
kde A může být libovolné. Máme tedy obecné řešení rovnice bez pravé strany.
 
\subsubsection*{2.etapa \ldots metoda variace konstant}
 
Předpokládejme tedy, že konstanta A závisí nějak na parametru X, tedy $A = A \big( x \big) $, pak tedy:
 
\begin{center}
\begin{math}
y = A \big( x \big) \cdot e^{-x^2}
\end{math}
 
\begin{math}
A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x^2} + A \big( x \big) \cdot \big( -2x \big) \cdot e^{-x^2} + 2x \cdot A \big( x \big)
\cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2}
\end{math}
 
\begin{math}
A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2}
\end{math}
 
\begin{math}
A^\prime \big( x \big) = x
\end{math}
 
\begin{math}
A \big( x \big) = \frac{1}{2} x^2 + C
\end{math}
\end{center}
 
a tedy obecné řešení na intervalu $ \big( - \infty , + \infty \big) $ původní rovnice je:
 
\begin{displaymath}
y = \big( \frac{1}{2} x^2 + C \big) \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
Pokud bychom chtěli nějaké konkrétní řešení, ke kterému bychom měli zadané nějaké počáteční podmínky, museli bychom 
je dosadit do zadání. Ukažme si jeden konkrétní případ:
 
\begin{displaymath}
y \big( 1 \big) \frac{1}{e}
\end{displaymath}
 
nechť je podmínka. Dosaďme tedy:
 
\begin{displaymath}
\frac{1}{e} = \big( \frac{1}{2} \cdot 1 + C \big) \cdot e^{-1} \Longrightarrow c = \frac{1}{2}
\end{displaymath}
 
Máme tedy jedno konkrétní řešení:
 
\begin{displaymath}
y = \big( \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} \big) \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Následující zadání bude trochu zajímavější. Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime \cdot \sin x - y \cdot \cos x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2}
\end{displaymath}
 
pokud požadujeme, aby při $x \to \infty $  bylo splněno: $y \big ( x \big) = 0$.
 
Opět se řešení rozpadá na dva případy.
 
\subsubsection*{ 1.etapa \ldots \uv{bez pravé strany} }
 
\begin{displaymath}
y^\prime \cdot \sin x - y \cdot \cos x = 0
\end{displaymath}
 
kde vidíme, že $y = 0$ je rovněž řešením. Proto můžeme do dalších výpočtů brát $y \neq 0$.
 
\begin{center}
\begin{math}
\frac{ y^\prime }{y} = \frac{ \cos x }{ \sin x }
\end{math}
 
\begin{math}
\int \frac{ dy }{y} = \int \frac{ \cos x }{ \sin x } dx
\end{math}
 
\begin{math}
\ln |y| = \ln | \sin x | + \ln C
\end{math}
 
\begin{math}
|y| = c | \sin x |
\end{math}
 
\begin{math}
y = C \cdot \sin x ; \ldots C \in R
\end{math}
\end{center}
 
\subsubsection*{2.etapa \ldots metoda variace konstant}
 
\begin{center}
\begin{math}
C = C \big( x \big)
\end{math}
 
\begin{math}
y = C \big( x \big) \cdot \sin x
\end{math}
 
\begin{math}
C^\prime \big( x \big) \cdot \sin ^2 x + C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x - C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x = - \frac{ \sin ^2 x}{x^2}
\end{math}
 
\begin{math}
C^\prime \big( x \big) \cdot \sin ^2 x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2}
\end{math}
 
\begin{math}
C \big( x \big) \frac{1}{x} + A
\end{math}
\end{center}
 
Obecným řešením tedy je:
 
\begin{displaymath}
y = \big( \frac{1}{x} + A \big) sin x \longrightarrow y = \frac{ \sin x }{x} + k \cdot \sin x
\end{displaymath}
 
Naložíme-li na toto řešení podmínku, že $x \to \infty ;y \big ( x \big) = 0$, vidíme na první pohled, že $A = 0$, aby
byla podmínka splněna.
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime + \tan y = \frac{x}{ \cos y}
\end{displaymath}
 
Nejdříve tedy tuto rovnici převedeme na LDR.
 
\begin{displaymath}
y^\prime \cdot \cos y + \sin y = x
\end{displaymath}
 
kde můžeme použít substituci a zjednodušit si řešení:
 
\begin{center}
\begin{math}
z = \sin y
\end{math}
 
\begin{math}
z^\prime = \cos y \cdot y^\prime
\end{math}
\end{center}
 
Dostávám tedy tuto jednoduchou diferenciální rovnici:
 
\begin{displaymath}
z^\prime + z = x
\end{displaymath}
 
a dále už budu postupovat stejně jako v předchozím případě. 1.etapa:
 
\begin{center}
\begin{math}
z^\prime + z = 0
\end{math}
 
\begin{math}
\frac{z^\prime}{z} = -1
\end{math}
 
\begin{math}
\ln |z| = -x + C
\end{math}
 
\begin{math}
z = A \cdot e^{-x}
\end{math}
\end{center}
 
čímž jsme dostali obecné řešení bez pravé strany. V druhé etapě tedy budu postupovat:
 
\begin{center}
\begin{math}
z^\prime = A^\prime \big( x \big) \cdot e^{ -x} - A \big( x \big) \cdot e^{-x}
\end{math}
 
\begin{math}
A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x} = x
\end{math}
 
\begin{math}
A^\prime \big( x \big) = x \cdot e^x
\end{math}
 
\begin{math}
A = x \cdot e^x - e^x + C
\end{math}
\end{center}
 
tím dostávám:
 
\begin{displaymath}
z = \big( x \cdot e^x - e^x + C \big) \cdot e^{-x}
\end{displaymath}
 
tedy konečné řešení je:
 
\begin{displaymath}
 y = \arcsin \big( x - 1 + C \cdot e^{-x} \big)
\end{displaymath}